énoncé

Lycée Naval, Spé 2.
carcasse métallique. Le véhicule est modélisé par un deuxième circuit d’inductance
propre L2 parcouru par un courant d’intensité i2 .
On note M le coefficient d’inductance mutuelle. On néglige la résistance des circuits.
i1
i2
A
M
TD09 : électromagnétisme, ARQS
Calculs d’inductance
EM071. Inductance propre d’une bobine torique (*)
Une bobine torique, centrée autour d’un axe Oz, est constituée de N spires jointives enroulées sur un tore de section rectangulaire, de rayon intérieur a, de rayon
extérieur b et de hauteur h. Les spires sont parcourues par un courant d’intensité
I.
Dans l’hypothèse de spires jointives (N 1), on rappelle que le champ magné~ int = µ0 N I ~uθ au sein de la bobine et qu’il est nul en dehors B
~ ext = ~0.
tique vaut B
2πr
1. En considérant le flux propre, déterminer l’inductance propre de la bobine
torique.
u
B
µ0 N 2 h
ln
2π
0
Réponses : 1 : L = L1
On considère le dispositif ci-dessous, comportant un fil infini et une spire rectangulaire.
Déterminer le coefficient d’inductance mutuelle entre le fil infini et la spire rectangulaire.
M2
1−
L1 L2
;3:
∆ω0
M2
=
ω0
2L1 L2
Couplage électromécanique
EM108. Chute d’une tige dans un champ magnétique permanent (*)
h
Une tige horizontale T de masse m et de résistance R tombe dans un champ de
pesanteur uniforme ~g en glissant sans frottement le long d’un cadre métallique
vertical de résistance négligeable. Un aimant permanent crée un champ magnéto~ que l’on suppose uniforme et normal au plan du circuit C formé par le
statique B
cadre et T .
y
z
véhicule
3. Cette boucle fait partie d’un circuit électronique oscillant dont la fréquence
est fonction de son inductance. Ce circuit est composé d’une capacité C et
du dipôle AB.
Quelle est la pulsation de résonance ? Calculer sa variation relative en fonction de la variation relative d’inductance.
EM057. Inductance mutuelle (*)
b
boucle inductive
2. On constate que L0 < L1 . Quelle en est la raison physique ?
b
a
i2
L2
1. Montrer qu’en présence du véhicule, le dipôle AB est équivalent à une inductance propre L0 que l’on exprimera en fonction de L1 , L2 et M .
2. En considérant l’énergie magnétique, déterminer l’inductance propre de la
bobine torique.
Réponse : L =
L1
x
a
z
i1
B
y
x
µ0 h
b
ln
Réponse : M =
2π
a
tige T
g
EM072. Détection par boucle inductive (**)
En milieu urbain, la détection de véhicules peut s’effectuer par boucle inductive.
Le capteur est une boucle conductrice d’inductance propre L1 implantée dans la
chaussée. Lorsque le véhicule passe, des courants de Foucault sont induits dans la
a
1. Analyser qualitativement l’état électrique de C et le mouvement de T .
1
2. T est lâchée sans vitesse initiale. En négligeant le champ propre de C devant
le champ extérieur, étudier le mouvement de T .
Exprimer en particulier en fonction de g, B, a, m et R la vitesse limite de ce
mouvement et la constante de temps τ nécessaire à l’établissement de cette
vitesse limite.
Réponses : 2 : v(t) = v∞ 1 − e−t/τ
avec
l’aimant.
1. Calculer la f.e.m induite par le mouvement de la bobine.
2. Déterminer le moment Γop par rapport à l’axe que l’opérateur doit exercer
pour entretenir la rotation :
(a) Première méthode : en déterminant la puissance du couple des forces de
Laplace grâce à la relation PLap + Pf em = 0.
v∞ = gτ
EM091. Tige et induction (Banque PT 2013, **)
(b) Seconde méthode : en utilisant le fait qu’un champ magnétique exerce
−
→
→
−
−
→ ~
sur un moment magnétique M un couple Γ Lap = M ∧ B.
~ est constant
La tige, de longueur a et de résistance R, glisse sans frottement ; B
et uniforme et u(t) = u0 cos (ωt).
k
R
B 2 S 2 N 2 ω sin2 (ωt)
Réponses : 1 : e = BSN ω sin (ωt) ; 2 : ~
Γop =
~
uz
R
y
u(t)
Pour aller plus loin
x
B
EM077. Pince ampèremétrique (**)
Une bobine torique est constituée de N spires jointives enroulées sur un tore, de
section rectangulaire, de rayon intérieur a, de rayon extérieur b et de hauteur h.
On suppose N 1.
µ0 N 2 h
b
L’inductance propre de la bobine torique vaut : L1 =
ln
(exercice 1).
2π
a
Le tore enlace un fil infini d’axe Oz parcouru par un courant sinusoïdal i2 (t).
1. Donner l’équation différentielle régissant le mouvement de la tige.
2. Déterminer l’amplitude Vm de sa vitesse.
ω0
Ba
ẋ + ω02 x = −
u
Q
mR
Ba
ω
u0
mR
= |V m | = s
ω2
(ω02 − ω 2 )2 + ω 2 02
Q
Réponses : 1 : ẍ +
2 : Vm
avec
ω02 =
k
m
et
B 2 a2
ω0
=
;
Rm
Q
i2
EM075. Alternateur rudimentaire (**)
a
Un alternateur transforme une énergie mécanique (ici la rotation de la bobine) en
une énergie électrique (générée par la force électromotrice).
Une bobine plate comportant N = 200 spires, d’aire S = 20 cm2 , tourne avec une
vitesse angulaire constante ω = 10 rad.s−1 entre les pôles d’un aimant qui produit
un champ uniforme B = 0, 2 T normal à l’axe de rotation.
1. Déterminer l’inductance mutuelle entre les deux circuits.
2. On court-circuite le circuit torique et on néglige sa résistance interne. On se
place en régime sinusoïdal forcé.
Exprimer le rapport des amplitudes des intensités I1 et I2 .
vue de dessus
ω
3. Une pince ampèremétrique peut être utilisée pour mesurer le courant circulant dans une ligne à haute tension. Expliquer l’intérêt d’un tel dispositif.
n
B
B
θ
+
bobine
∆
µ0 N h
Réponses : 1 : M =
ln
2π
B
b
L1
I1
M
1
=
;2:
=
=
a
N
I2
L1
N
EM118. Courants de Foucault, barreau cylindrique (***)
bobine
La bobine qui constitue un circuit fermé possède une résistance totale R = 1 Ω.
Le champ magnétique qu’elle crée est négligeable devant le champ magnétique de
On considère un barreau conducteur cylindrique d’axe Oz, de rayon a, de longueur
~ 0 = B0 cos (ωt)~ez .
h ≥ a, de conductivité γ, placé dans un champ magnétique B
2
~ 0 au sein du conducteur.
1. Exprimer le champ électrique induit E
2. Exprimer la densité volumique de courants ~j0 qui apparaît dans le conducteur (courants de Foucault). Quelle est la puissance moyenne dissipée par
effet Joule par ces courants dans le conducteur ?
~ 1 variable, et
3. Les courants volumiques ~j0 créent un champ magnétique B
~
donc source d’un champ électrique induit E1 .
~ 1 et E
~ 1 à l’intérieur du conducteur. À quelle condition a-t-on
Déterminer B
~ 1 k kB
~ 0 k et kE
~ 1 k kE
~ 0 k ? Commenter.
kB
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0
γB0 ωr
γB02 ω 2 hπa4
~ 0 = B0 ωr sin (ωt)~
Réponses : 1 : E
uθ ; 2 : ~j0 =
sin (ωt)~
uθ ; P =
;
2
2
16
2
µ
γB
ω
sin
(ωt)
−µ
γB
ω
cos
((ωt)
0
0
~1 = 0 0
~1 =
uθ ;
3:B
× (a2 − r2 )~
uz ; E
r 2a2 − r2 ~
4
16
r
B1m
1
a 2
2
= ×
avec δ =
B0
2
δ
µ0 γω
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0
EM110. Circuits résistifs couplés par mutuelle inductance (***)
On considère le montage ci-contre. On pose M = kL avec 0 ≤ k ≤ 1.
R
i1
L
E
R
M i2
L
Les courbes suivantes représentent l’évolution des intensités au cours du temps
(ramenées à l’intensité maximale) pour différentes valeurs de k. Commenter.
i1
i2
k =0,10
2
3
t/τ
4
1
2
3
t/τ
4
5
5
6
7
3
6
k =1,0
1
2
3
t/τ
7
i1
i2
4
5
−t
−t
E
1
0 < k < 1 : i1 (t) =
1−
exp
+ exp
;
2
τ[1 + k] τ [1 − k]
R
E
−t
−t
i2 (t) =
− exp
+ exp
;
2R
τ
[1
+
k]
τ
[1
− k]
E
1
t
−E
t
k = 1 : i1 (t) =
1 − exp −
et i2 (t) =
.
exp −
R
2
2τ
2R
2τ
Pour t < 0 on a i1 = i2 = 0. À t = 0, on ferme l’interrupteur K.
Déterminer et tracer i1 (t) et i2 (t) dans les cas :
— premier cas : 0 ≤ k < 1 ;
— second cas : k = 1.
1
k =0,95
Réponses :
K
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0
i1
i2
6
7