énoncé et correction

Exercice à rendre no 17 – mardi 21 mars
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Mouvement des particules chargées
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des
questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec votre cours ouvert et les exercices faits en classe à portée de main est chaudement recommandé.
Utiliser votre calculatrice ou un logiciel comme Geogebra ou Python est possible, et peut parfois vous aider.
Travailler en groupe est autorisé mais le travail de rédaction doit être individuel. Rappelons également qu’un
travail de groupe est un travail à plusieurs, et pas le travail d’une personne recopié plusieurs fois.
Spectrométrie de masse
Un spectromètre de masse est un appareil qui permet de mesurer la masse des particules chargées avec
une précision telle qu’il donne accès aux compositions
isotopiques des éléments chimiques.
source
d’ions Hg2+
P1
z
F1
Dans le dispositif considéré, une source émet des ions
2+
2+
mercure 200
et 202
. Ces ions entrent dans le
80Hg
80Hg
spectromètre de masse par la fente F1 . Le spectromètre
se compose de trois étages d’accélération, filtrage en vitesse puis séparation des ions. Deux collecteurs C1 et C2
sont placés dans la chambre de séparation.
y
d
accélération
P2
F2
#”
B2
filtrage
P3
x
#”
E2
C1
C2
Par convention, on note sans indice les grandeurs relatives à un ion quelconque et on l’indice par le nombre
de masse lorsqu’il est important pour les valeurs numériques : par exemple m (pour un calcul littéral) et m200
ou m202 pour les applications numériques.
F3
séparation
Données : les calculs sont à faire à la calculatrice.
. Géométrie du dispositif : d = 1,00 m ;
. Charge élémentaire : e = 1,61 · 10−19 C ;
. Masse d’un nucléon : 1,67 · 10−27 kg ;
#”
⊗ B3
A - Accélération des ions
Un ion mercure, de masse m et charge 2e entre dans le spectromètre par la fente F1 . On néglige sa vitesse initiale.
Une tension U = 10,0 kV appliquée entre les plaques P1 et P2 permet de l’accélérer jusqu’à la fente F2 .
#”
1 - Déterminer la direction et le sens du champ accélérateur E 1 . En déduire la plaque de potentiel le plus élevé.
Calculer numériquement la valeur E1 .
2 - Établir l’expression littérale de la vitesse v de l’ion lorsqu’il atteint la plaque P2 .
3 - Calculer numériquement les vitesses v200 et v202 des deux isotopes du mercure lorsqu’ils atteignent la fente F2 .
B - Filtrage en vitesse
Comme l’hypothèse de vitesse initiale nulle en F1 est difficile à réaliser en pratique, la vitesse des ions en F2
présente une certaine dispersion. Pour améliorer la précision de l’appareil, un filtrage en vitesse est alors réalisé. Le
dispositif est réglé tel que, dans la chambre de filtrage située entre P2 et P3 , il règne un champ électromagnétique
composé de :
#”
. un champ électrique E 2 = E2 #”
e y uniforme et valant E2 = 5,30 · 104 V · m−1 ;
#”
. un champ magnétique B 2 = B2 #”
e z uniforme et valant B2 = 383 mT.
On suit un ion qui traverse la plaque P par la fente F avec une vitesse #”
v = v #”
e .
2
2
x
4 - À quelle condition sur les forces qu’il subit l’ion peut-il avoir un mouvement rectiligne l’amenant de F2 à F3 ?
5 - En déduire que seuls les ions de vitesse v = v0 = E2 /B2 parviennent en F3 .
6 - Calculer numériquement cette vitesse. En déduire quel isotope du mercure parvient en F3 avec ces réglages.
1/2
Étienne Thibierge, 11 avril 2017, www.etienne-thibierge.fr
Exercice à rendre no 17 : Mouvement des particules chargées
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
C - Séparation des ions
Pour mesurer la composition isotopique du mercure, on règle la valeur de E2 pour permettre le passage de l’isotope
200 pendant une minute puis on change sa valeur pour que l’isotope 202 passe pendant une minute. La valeur de B2
reste constante tout au long de l’opération.
Une fois sorti de la zone de filtrage par la fente F3 avec une vitesse #”
v 0 = v0 #”
e x , l’ion pénètre dans une région
#”
#”
où il ne règne qu’un champ magnétique uniforme B = −B e valant 200 mT. Ce champ magnétique donne à l’ion
3
3
z
une trajectoire qu’on admet être circulaire, et après avoir parcouru un demi tour il peut être capté par l’un des
collecteurs C1 ou C2 .
7 - Montrer que le mouvement de l’ion dans cette région est uniforme.
8 - Déterminer littéralement le rayon R de la trajectoire de l’ion.
9 - Calculer numériquement les rayons R200 et R202 . En déduire quel collecteur C1 ou C2 capte quel isotope et la
distance ∆y devant séparer les entrées des deux détecteurs.
10 - Les charges totales accumulées par les collecteurs valent respectivement Q1 = 1,2 · 10−7 C et Q2 = 3,5 · 10−8 C.
En déduire la composition isotopique des ions émis par la source.
2/2
Étienne Thibierge, 11 avril 2017, www.etienne-thibierge.fr
Correction de l’exercice à rendre no 17
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
Mouvement des particules chargées
Spectrométrie de masse
A - Accélération des ions
1 L’ion mercure Hg2+ est un cation, chargé positivement. Lorsqu’il est placé dans un champ électrique seul, il subit
#”
#”
la force de Lorentz électrique F E = 2eE de même direction et même sens que le champ électrique. Pour l’accélérer
il faut donc que le champ dans la chambre d’accélération vaille
#”
E 1 = E1 #”
ex
avec
E1 > 0 .
#”
Le sens de E 1 dépend du signe de la charge accélérée, il doit donc être explicitement justifié.
Comme le champ électrique est dirigé vers les potentiels les plus bas, on en déduit que la plaque P2 doit
être portée à un potentiel inférieur à la plaque P1 , si bien qu’en termes de potentiel U = V (P1 ) − V (P2 ).
Numériquement,
U
= 1,00 · 104 V · m−1 .
E1 =
d
2 L’ion n’est soumis qu’à la force de Lorentz électrique, qui dérive de l’énergie potentielle Epe = 2eV où V est le
potentiel électrique. Ainsi, son énergie mécanique est conservée, soit en l’exprimant entre les plaques P1 et P2
1
1
m v(P1 )2 + 2e V (P1 ) = m v(P2 )2 + 2e V (P2 )
2
2
1
0 + 2e V (P1 ) = m v 2 + 2e V (P2 )
2
1
2
m v = 2e [V (P1 ) − V (P2 )]
2
r
4eU
v=
m
3
Compte tenu des différents nombres de masse, on a
m200 = 200 mnucl = 3,34 · 10−25 kg
et
m202 = 202 mnucl = 3,37 · 10−25 kg
v200 = 1,39 · 105 m · s−1
et
v202 = 1,38 · 105 m · s−1
et ainsi
B - Filtrage en vitesse
4 L’ion ne peut avoir un mouvement rectiligne entre les fentes F2 et F3 que si la résultante des forces qu’il
subit est dirigée selon #”
ex .
Attention à ne pas confondre mouvement rectiligne « tout court » et mouvement rectiligne uniforme.
Rien n’impose ici a priori que la résultante des forces subies par l’ion soit nulle.
5
L’ion n’est soumis qu’à la force de Lorentz, et son poids est négligeable. Cette force s’écrit
h #”
#”
#” i
F L = 2e E 2 + #”
v ∧ B 2 = 2e [E2 #”
e y + vB2 ( #”
e x ∧ #”
e z )] = 2e(E2 − vB2 ) #”
ey .
Comme cette force n’est jamais dirigée selon #”
e x , on en déduit que l’ion n’a une trajectoire rectiligne que si elle est
nulle, c’est-à-dire
E2
E2 − vB2 = 0
soit
v = v0 =
.
B2
6 Numériquement, v0 = 1,38 · 105 m · s−1 , ce sont donc donc les ions de l’isotope 202 qui passent au travers du
filtre.
1/2
Étienne Thibierge, 11 avril 2017, www.etienne-thibierge.fr
Correction DM 17 : Mouvement des particules chargées
Langevin-Wallon, PTSI 2016-2017
C - Séparation des ions
#”
#”
7 Dans la zone de séparation, l’ion n’est soumis qu’à la force de Lorentz magnétique FB = 2e #”
v ∧ B. Comme elle
est orthogonale à la vitesse, alors sa puissance est nulle, et d’après le théorème de la puissance cinétique,
dEc
=0
dt
Ec = cte
donc
v = cte = v0 .
et
Le mouvement de l’ion est bien uniforme.
8 Comme la trajectoire est circulaire, on la décrit en coordonnées cylindriques de centre le centre de la trajectoire
et d’axe z. D’après le PFD appliqué à l’ion modélisé comme un point matériel,
#”
m #”
a = FL
soit
−m
v02 #”
#”
e r = 2e #”
v ∧ B3
R
en utilisant l’expression de l’accélération pour un mouvement circulaire uniforme. Compte tenu de la géométrie
du dispositif, on devine que l’ion tourne en sens trigonométrique, sinon il n’atteindrait jamais les collecteurs : on
a donc #”
v = +v0 #”
e θ car le mouvement est uniforme. On peut le vérifier à partir du sens du champ magnétique
#”
B 3 = −B3 #”
e z . Cela permet d’exprimer le produit vectoriel,
#”
#”
v ∧ B = −v0 B3 ( #”
e θ ∧ #”
e z ) = −v0 B3 #”
er .
On déduit du PFD projeté sur #”
er
m
v02
= 2ev0 B3
R
donc
R=
mv0
.
2eB3
9 Numériquement, R200 = 71,8 cm et R202 = 72,5 cm. On en conclut que le collecteur C1 récupère l’isotope
200 et C2 l’isotope 202. Les deux cercles trajectoires passent tous les deux en F3 où ils sont tangents, si bien que
les entrées des collecteurs aux points diamétralement opposés doivent être séparées de
∆y = 2(R202 − R200 ) = 1,4 cm .
10
À partir de la charge totale accumulée on remonte au nombre d’ions reçus par les deux collecteurs,
N1 =
Q1
= 3,7 · 1011
2e
et
N2 =
Q2
= 1,1 · 1011 .
2e
On en déduit alors les proportions isotopiques α200 et α202 ,
α200 =
N1
= 77 %
N1 + N2
et
α202 =
N2
= 23 % .
N1 + N2
La première étape du calcul est ajoutée par souci de clarté, mais est inutile : comme les deux ions ont
la même charge, on peut tout à fait raisonner directement en termes de proportion de la charge totale
reçue.
2/2
Étienne Thibierge, 11 avril 2017, www.etienne-thibierge.fr