Partie III : Evolution des systèmes électriques Chap. VIII : Le circuit R,L,C Les systèmes de télécommunication utilisent de nombreux oscillateurs électriques pour l'émission et la réception des ondes. Comment réaliser un oscillateur électrique? I. Que se passe-t-il lorsqu'on relie un condensateur chargé et une bobine? 1°- Observation d'oscillations électriques Activité 1 : comment évolue la tension aux bornes d'un condensateur chargé branché aux bornes d'une bobine? Montage : On charge le condensateur (K en 1). On bascule K en 2. La voie Y1 est reliée au système d'acquisition d'un ordinateur. On visualise uAM. Observation : Pour une faible valeur de la résistance R = r + r', on observe des oscillations de la tension électrique aux bornes du condensateur dont l'amplitude décroît : ce sont des oscillations libres amorties. Interprétation : Les oscillations résultent de la tendance de C à se décharger spontanément quand il est chargé et de l'opposition de la bobine à la variation du courant. On définit la pseudo-période T comme la durée entre deux passages consécutifs par une valeur nulle de la tension, celleci variant dans le même sens. On utilise le terme pseudo-période, et non celui de période, car l'amplitude de la tension ne reste pas constante. Partie III : Evolution des systèmes électriques 2°- Les trois régimes d'oscillations Activité 2 : quelle est l'influence de la valeur de la résistance R du circuit sur les oscillations? On reprend le montage précédent en attribuant à r' des valeurs de plus en plus grandes. Observation : Pour de faibles valeurs de R (10 Ω), on observe des oscillations dont l'amplitude décroît progressivement : c'est le régime pseudo-périodique. Lorsque la valeur de R est très faible, proche d'une valeur nulle, les oscillations durent longtemps : l'amortissement est faible. La pseudo-période est alors indépendante de R. Pour des valeurs élevées de R, les oscillations disparaissent : la tension uAM tend lentement vers zéro : c'est le régime apériodique. La valeur de R qui délimite les deux régimes précédents est appelée résistance critique, on la note RC. Pour R= RC , la tension tend le plus rapidement vers zéro sans oscillations : c'est le régime critique. 3°- Etude de la pseudo-période Activité 3 : qu'observe-t-on lorsqu'on modifie les valeurs de C ou de L? Observation : Pour une valeur de C fixée, la pseudo-période augmente avec la valeur de l'inductance L de la bobine. Pour une valeur de L fixée, la pseudo-période augmente avec la capacité C. La pseudo-période T d'un circuit (R, L, C) augmente avec la capacité C et avec l'inductance L. II. Quelle loi décrit l'évolution temporelle d'un circuit oscillant (L,C) ? Les circuits constitués d'une bobine et d'un condensateur jouent un rôle très important en électronique : dans les récepteurs radiophoniques, ils permettent de sélectionner les stations de radio. On considérera la résistance du circuit (L,C) nulle. 1°- Equation différentielle de la tension aux bornes du condensateur Dans le circuit ci-dessous on néglige la résistance de l'inductance L. On a uAB + uBD + uDA = 0; uBD= 0. On note uAB = uC la tension aux bornes du condensateur et uDA = uL = L.di/dt la tension aux bornes de l'inductance. On a donc : uC + L.di/dt = 0 (1). Exprimons di/dt en fonction de uC. On a : q = C. uC et i=dq/dt = CduC/dt. D'où di/dt = Cd²uC/dt² . La relation (1) devient alors : uC + L. C.d²uC/dt² = 0 ou d²uC/dt² + 1/(LC). uC=0 Durant les oscillations électriques libres non amorties d'un circuit (L,C), la tension aux bornes du condensateur obéit à l'équation différentielle : d²uC/dt² + 1/(LC). uC=0 Remarque : Ce circuit (L,C) dont la résistance est nulle est un circuit idéal : il est irréalisable en pratique et les oscillations sont pseudo-périodiques et amorties. Partie III : Evolution des systèmes électriques 2°- Evolution temporelle de la tension uc ● Solution de l'équation différentielle : Vérifions que l'équation différentielle précédente admet pour solution une fonction de la forme : uC = um.cos(2π/T0.t+Φ0) um , Φ0 et T0 sont des paramètres constants, indépendants du temps. On dérive deux fois la fonction uC , par rapport au temps : duC/dt = -(2π/T0).um.sin(2π/T0.t+Φ0) d/dt(duC/dt) = d²uC/dt²= -(2π/T0)².um.cos(2π/T0.t+Φ0)= -(4π²/T0²).uC. On substitue cette expression de d²uC/dt² dans l'équation différentielle : d²uC/dt² +(1/(LC)).uC = 0 donne : ( -(4π²/T0²)+(1/(LC)).uC =0 équivaut à 4π²/T0²=1/(LC), soit : T0 =2π√(LC) : cette relation est appelée formule de THOMSON (1853, anobli sous le nom de Lord Kelvin). Conclusion : La fonction uC(t) = um.cos(2π/T0.t+Φ0) avec T0 =2π√(LC) , est solution de de l'équation différentielle : d²uC/dt² + 1/(LC). uC=0 . T0 , période propre des oscillations, ne dépend que de L et de C. um et Φ0 sont des constantes qui ne dépendent que des conditions initiales portant sur uc(0) et i(0) à t=0. ● Cohérence des unités Vérifions que√(LC) s'exprime commeT0 , en seconde. On a : uL = Ldi.dt , L s'exprime en V.s.A-1. On a aussi : q = C.uC et i=dq/dt C est donc en A.s.V-1. Donc le produit L.C s'exprime en s² et √(LC) en seconde comme T0. ● – – – Signification de um et Φ0 um est la valeur maximale de la tension uC qui varie entre - um et + um . On l'appelle amplitude. Φ= 2π/T0.t+Φ0 est la phase. À t=0, Φ= Φ0 ; Φ0 est appelée la phase à l'origine des dates. Pour déterminer les valeurs de um et Φ0, on exprime les valeurs de uC et de i = CduC /dt à t = 0 i.e u(0) et i(0) : appelées conditions initiales. 3°- Evolutions de la charge q et de l'intensité i – – q= C.uC d'où q= qm.cos( 2π/T0.t+Φ0) , avec qm= C.um ; i = dq/dt = -qm. (2π/T0).sin(2π/T0.t+Φ0)= im.sin(2π/T0.t+Φ0)=im.cos(2π/T0.t+Φ0+π/2), avec im=qm. (2π/T0)=C.um 2π/T0 III. Comment s'effectuent les échanges d'énergie dans un circuit oscillant ? 1°- L'énergie d'un circuit (L,C) série E circuit (L,C) = Eélectrique + Emagnétique. Rappel : Eélectrique stockée par le condensateur, Emagnétique stockée par la bobine. = ½ C.u²+ ½ L.i² Au cours du temps, E = Eélec+ Emagné= constante. Lorsque uC =um , i=0 et quand uC =0 ,i = im et donc l' énergie totale E est: E = ½ C um ²= ½ .L.im ². 2°- L'énergie d'un circuit (R, L, C) série Il y a dissipation d'énergie par effet Joule dans la résistance R. E= Eélec+ Emagné =½ C.u²+ ½ L.i² n'est plus constante, elle diminue au cours du temps. C'est cette perte d'énergie par effet Joule qui est à l'origine de l'amortissement des oscillations dans un circuit (R,L,C). Partie III : Evolution des systèmes électriques IV. Comment entretenir des oscillations non amorties? 1KΩ 100 Ω S uL 1K Ω voie 0 uc uR0 R0 Ce montage compense les pertes dues à l'effet Joule en fournissant de l'énergie pour entretenir les oscillations. Conclusion : les oscillations d'un circuit (R,L,C) série peuvent être entretenues par un module électronique qui compense les pertes d'énergie par effet Joule.