Exercices corrigés : Le dipôle RL BAC LE DIPÔLE RL Exercice 1 Enoncé : On charge un condensateur de capacité C=47 µF avec un générateur de tension de f.e.m E puis on le place en série avec une bobine idéale d’inductance L, un conducteur ohmique de résistance R réglable et un interrupteur K. A la date t=0, on ferme l’interrupteur K. la tension uc aux bornes du condensateur est visualisée à l’aide d’un ordinateur relié à une interface. On réalise plusieurs mesures en utilisant des valeurs de R différentes. uc(V) R=10 R Ω 1 RR 1 3 R2 t(ms) 10 10 20 20 30 30 R3 R2 1- De quel type d’oscillations, le circuit est-il le siège dans chacun des trois cas ? 2- Classer, par ordre croissant, les résistances R1, R2 et R3. Justifier la réponse. 3a- Déterminer la pseudo-période T des oscillations. b- Sachant que la pseudo-période est pratiquement égale à la période propreT0 avec T0 2 LC , calculer la valeur de l’inductance L. c- Donner, en le justifiant, la valeur de la fem E du générateur. Corrigé : 1- Les chronogrammes obtenus pour différentes valeurs de R représentent une fonction périodique mais avec une amplitude qui diminue au cours du temps donc le circuit est le siège d’oscillations pseudopériodiques. 2- Lorsqu’on augmente la valeur de R en régime pseudopériodique, le nombre d’oscillations diminue. D’après le graphe : R2>R3>R1. 3a- D’après le graphe la pseudo-période T=10 ms =10-2 s. b- T=T0 ; T 2 T02 T2 42LC d’où L T2 (102 )2 L A.N : =0,054 H. 4 2 C 42 47.106 A t=0 le condensateur est complètement chargé donc uc(0)=E or d’après le graphe uc(0) = 6 V d’où E=6 V. Exercice 2 i(mA) Énoncé : Un circuit RLC série est constitué d’une bobine d’inductance L=1H, de résistance R et d’un condensateur de capacité C. Le condensateur est initialement chargé. A la date t=0, on décharge le condensateur dans la bobine et à l’aide d’un dispositif approprié on enregistre l’évolution de l’intensité du courant i(t) dans le circuit. Copyright © Page 1 sur 3 WWW.TUNISCHOOL.COM t(ms) Exercices corrigés : Le dipôle RL BAC 1- Établir l’équation différentielle que vérifie l’intensité du courant dans le circuit. Montrer qu’elle s’écrit sous la forme : d2i R di i 0. 2 dt L dt LC 2- Exprimer l’énergie électromagnétique du circuit RLC en fonction de L, C, i et uc. Comment varie cette énergie au cours du temps. Justifier la réponse. 3- Calculer la perte d’énergie entre les instants t1 9T 3T et t 2 . A quoi est due cette perte d’énergie ? 4 4 Corrigé : 1- D’après la loi des mailles : uB + uc = 0 i di Ri uc 0 , on dérive cette équation dt du du d2i di du d2i di i i L 2 R c 0 or i C c donc c d’où L 2 R 0 dt dt dt C dt dt dt C dt L uB uc C L En divisant toute l’équation par L, on trouve : d2i R di i 0 2 L dt LC dt 2- E = EL + Ec E 1 2 1 2 Li Cuc 2 2 Rappel mathématique : Pour connaître le sens de variation d’une fonction f(x) on calcule sa dérivée. De même ici pour connaître le sens de variation de l’énergie totale E au cours du temps, on doit calculer sa dérivée par rapport au temps : Rappel mathématique : dE dt dE dt dE dt dE dt dE 1 d(i2 ) 1 d(uc2 ) L C dt 2 dt 2 dt d(f 2 ) df 2f. { (f2(x))’ = 2f(x)f’(x)} dt dt du 1 di 1 L.2i. C.2uc . c 2 dt 2 dt duc du di on a i C c , on peut alors mettre i en facteur L.i. uc .C dt dt dt di di i(L uc ) d’après l’équation différentielle L uc Ri dt dt Ri2 0 , la dérivée est négative donc la fonction est décroissante d’où l’énergie totale du circuit diminue au cours du temps. 3Rappel : Pour les grandeurs i(t) et uc(t) on a dit que si l’une est extrêmale (càd minimale ou maximale) l’autre est nulle.( de même pour i(t) et q(t) ). A la date t1 3T , i(t) est maximale donc uc(t) est nulle à cette 4 date d’où : i(t1) est notée I1max et uc(t1)=0 donc : E t1 Page 2 sur 3 t(ms) t1 t2 1 2 1 LI1max A.N : E t1 1.(60.103 )2 =18.10-4 J. 2 2 Copyright © i(mA) WWW.TUNISCHOOL.COM Exercices corrigés : Le dipôle RL BAC A la date t 2 9T , i(t) est minimale donc uc(t) est nulle à cette date d’où : 4 i(t2) est notée –I2max et uc(t2)=0 donc : E t2 1 1 1 L( I2max )2 LI22max A.N : E t 2 1.(40.103 )2 8.104 J . 2 2 2 A retenir : La variation E = Efinale - Einitiale La perte E = Einitiale - Efinale La perte d’énergie entre les instants t1 et t2 est égale à E(t1) – E(t2) = 18.10-4 - 8.10-4 = 10.10-4 = 10-3 J. Cette perte d’énergie est due à la dissipation d’énergie par effet joule dans la résistance interne de la bobine. Copyright © Page 3 sur 3 WWW.TUNISCHOOL.COM