LES CONSTANTES DES EQUATIONS FONCTIONNELLES DES

LES CONSTANTES DES EQUATIONS FONCTIONNELLES DES FONCTIONS L
Par P. Deligne
International Summer School on Modular
Function~
Antwerp 1972
-502Del-2
Contents
- Introduction
3
- §l. Representations virtuelles d'un groupe fini
7
- §2. Groupes de Weil
21
- §3. Rappels sur les fonctions L
26
- §4. Existence des constantes locales
35
- §5. Formulaire
48
- §6. Reduction modulo
t des constantes locales
54
- §7. Fonction L modulaires
58
- §8. Representations t-adiques des groupes de Weil locaux non
archimediens- Structures de Hodge et groupes de Weil locaux
archimediens .
66
- §9. Systemes compatibles de representations t-adiques
74
- §lO.La theorie de Grothendieck
81
§l1.~ppendice.
Le calcul de
Bibliographie
£
modulo les racines de l'unite
93
96
-503-
Del-3
INTRODUCTION
Les resultats essentiels de cet article sont les suivants
(A) On donne une demonstration simple du theoreme de Langlands [9]
(deja prouve au
signe pres par Dwork [6] ) qui permet d'ecrire la constante des equations fonctionnelles des fonctions L
d'Artin (ou de Weil [19] ) comme produit de constantes 10-
cales.
Le theoreme a demontrer est local, et la demonstration de Langlands
avait l'elegance
d'~tre
purement locale. Pour l'essentiel, il s'agit de demontrer
une identite (multiplicative)entre sommes de Gauss un peu generalisees chaque fois
qu'on a une relation
~-lineaire
entre caracteres de groupes de Galois locaux induits
par des caracteres de representations de dimension un de sous-groupes. Langlands construisait un ensemble generateur de telles relations, et ramenait les identites a demontrer a des identites entre Sommes de Gauss qu'il demontrait en s'appuyant sur Ie
theoreme de Stickelberger.
La demonstration presentee ici est tres proche de la demonstration
[5] de l'identite de Hasse-Davenport (cf. aussi Weil [ISJ ). Elle utilise un argument
global (4.12), et Ie fait que les constantes locales a definir sont de nature essentiellement triviale a l'infini, dans Ie cas non ramifie, et dans certains cas tres
ramifies (4.14).
(B) Soient
K un corps de fonctions et
P:
Gal (K/K) ~
GL(n,~t) une representa-
tion t-adique du groupe de Galois de K, presque partout non ramifiee. Grothendieck a
montre que Ie produit eulerien etendu aux places de K (avec p-s remplace par une
indeterminee t)
Z (P,t)
rr
V
det (l-F t deg(v)
v
( ..~) P(I v ) )-1 E III [ [ ] ]
"'",
'" t t
-504Del-4
est une fraction rationnelle, et qu'une equation fonctionnelle relie
a
Z(P,t)
v
Z(P,t} :
v
Z(P,pt
(la
constante
-1
)
e: est un mon5me a t b ).
e: • Z(P,t)
Cette theorie est resumee au §l0. Le resul-
tat (A) suggere une formule pour exprimer la constante
E:
comme produit de constan-
tes locales. Nous montrons que cette formule est vraie lorsque
P
appartient a un
systeme compatible infini de representations L-adiques (9.3 et 9.9) . D'apres Weil
[16J
et Jacquet-Langlands [81 , cette formule, appliquee au systeme compatible de
representations !-adiques defini par une courbe elliptique sur
une forme modulaire pour
GL(Z,K)
K, permet d'associer
a toute courbe elliptique sur K
II serait tres interessant de savoir si la formule obtenue reste valable pour une .quelconque representation !-adique.
Voici Ie contenu des divers §§, et leur interdependance.
Le debut du § 1 rassemble quelques resultats sur les representations
induites des groupes finis qui nous seront utiles.
La fin du § (l,ll-fin) ne sert pas dans Ie reste de l'.article. Pour
G un groupe resoluble, on y decrit un ensemble R de relations lineaires (sur
~
)
entre les caracteres de G induits par des caracteres de dimension un de sous-groupes,
et on montre que toute telle relation est combinaison lineaire d'elements de R. Le
resultat, et sa demonstration,sont contenus implicitement dans [9J .
Les §§Z et 3 servent essentiellement a fixer les notations. Au §Z,
on rappelle la structure du groupe de Galois d'un corps local [lOJ , on definit les
"groupes de Weil" (variante des groupes de Galois) et on donne quelques enonces de
la theorie du corps de classe. Le lecteur prendra garde que, dans tout cet article,
-505Del-5
l'isomorphisme de la theorie du corps de classe local transforme uniformisante en
inverse de la substitution de Frobenius (la raison est donnee en 3.6). Le §3 est un
rappel de la these de Tate, et de Artin [lJ
Le §4 contient la demonstration du resultat annonce en (A) ci-dessus
le formulaire du §S donne une liste de proprietes fondamentales des constantes locales construites au §4, et quelques identites entre sommes de Gauss qui en resultent.
Les §§6,7 et 8 (qui ne depend que du §2) sont preliminaires
a
la de-
monstration de (B), donnee au §9. Dans les enonces des §§3 et 4 , nous avions ete
tres attentifs
a n'utiliser que des formules "rationnelles", ne contenant ni passage
a la limite ni racine carree (filt-ce d'un entier positif)
Nous en recoltons Ie fruit
aux §§6 et 7. Au §6, pour K un corps local non archimedien et V une representation mo·dulaire de W(K/K) sur un corps
transport de structure pour
locale
E:
A de caracteristique
t
0
t f p, nous definissons (par
et par reduction mod t pour t f 0) une constante
(V, '!', dx) E A* .
Au §7, pour
tion modulaire de
K
global de caracteristique
p
et
V une representa-
W(K/K) , nous prouvons par reduction mod tune equation fonction-
nelle pour la fonction
L E A(t) correspondante.
Au §8, nous donnons des classes d'isomorphie
de representations
t-adiquesdu groupe de Weil d'un corps local une description purement algebrique, independante de la topologie de
sentation
t
et
~t
. Ceci sert a definir la compatibilite de repre-
t'-adique. La notion introduite est plus fine que celle de Serre
Le §9 donne la demonstration de (B) (9.3 et 9.9). L'idee est que pour
demontrer une identite, il suffit de la demontrer mod t
pour une
infi~ite
Nous donnons aussi, pour les corps de fonctions, une reponse partielle
de Serre en montrant (9.8) que deux representations
t
de
t
a une question
et t'-adiques, donnant lieu
-506Del-6
au m~me polyn~me caracteristique de FrOb.enius (suppose dans
~[tJ)en presque toutes
les places, verifient une compatibilite aux places residuelles.
Le §10 resume la theorie de Grothendieck des fonctions
et SGA 5), qui nous a servi de
fa~on
L (cf [7J
cruciale au §9. En 10.11, je tente d'expl.iquer
Ie sel de sa methode. Les resultats farfelus 10.n resultent aussit5t de ce qui precede. J'ignore leur signification.
-507-
Del-7
§1.- REPRESENTATIONS VIRTUELLES D'UN GROUPE FINI
Soit
1.1
sera celui ou
Soit
K un corps (commutatif). Le cas Ie plus important pour neus
K est algebriquement clos de caracteristique 0, par exemple
G un groupe . On notera
~(G)
K[G] - modules de dimension finie sur
K=
~
Ie groupe de Grothendieck de la categerie des
K. 11 s' identifie au
7l -module libre de base
l'ensemble des classes d'isomorphie de representations lineaires K-irreductiblesde
sur
K. C'est un anneau commutatif a unite (pour Ie produit tensoriel sur
m~me
un
~-anneau
K)
et
au sens de Grothendieek. Ses elements sont les representations
virtuelles de G sur K .
Pour definir un homomorphisme
tif
f
de
RK(G)
dans un groupe commuta-
X, il suffit :
a) de definir
f(V), pour
V une representation de
G
sur
K
b) de verifier que pour toute suite exaete de representations
0 __
on a
f(V)
f(v')
+
V'--V--
V"~O,
f( V") .
Appliquant cette regIe, on definit la dimension d'une representation
virtuelle
dim
---~»
7l
et son determinant
det : R (G) --~>
K
Si
Hom (G ,K*).
H est un sous-groupe d'indice fini de
G
comme correspondant a l'extension des sealaires
,on definit l'induction
V~
K[Gl
®K[H] V (e'est un
foncteur exact; il passe done aux representations virtuelles). Pour f : G
on definit la restriction
Res H
G
~
H,
G
-508-
Del-8
conune restriction des sc alaires de
plut~t
K[G J . Pour
f sUljectif, on parle parfois
d'inflation.
Pour tout groupe
de
a
K[H]
G. Un K-quasi-caractere
on note
G
Ie plus grand quotient abelien
X de G est un homomorphisme X:
l'identifie au K-quasi-caractere de
Gab
G
~
K*
; on
par lequel il se factorise, et on note [yJ
la representation de dimension I correspondante.
Pour G fini, nous emploierons indifferemment les mots "caractere" et "quasi-caractere".
"Caractere" ne signifiera jamais "caractere d'une representation de dimension> 1".
The following proposition is due to P. Gallagher [20).
Proposition
l.~
Gab ~ Hab
H et
-
~
G un groupe,
Ie transfert. Pour
H un sous-groupe d'indice fini et
P une
t
representation virtuelle de dimension
de
0
on a
G
det(IndH(p»)(x) • det(p) (t(x))
On montrera (a peine) plus generalement que, si
de la representation de permutation de
G
sur
---~~
on a, pour
P
e
est Ie determinant
G/H
+
de dimension quelconque,
det(Ind~(p)) (x)
8
dim
p det(p) (t(x))
C'est assez evident en termes topologiques. Soient
B
Ie classiG
fiant de G et BH celui de H ,vu conune rev~tement a [G: HJ feuillets de B :
G
f : BH ---> BG . Les representations de G s'identifient aux systemes locaux de
K-vectoriels de dimension finie sur
B , et
G
Ind G
H
au foncteur
HI (B G) ~ HI (B H) est transpose aux morphismes trace
(X groupe abelien). Pour
N(L), systeme local sur
images reciproques de
L
1
de
. Le transfert
*
f! : H1 (BG,X) ~ H1 (BH,X) ,
correspond a la ~ : si
X = K* ,f!
la classe d'un systeme local de rang
f
K-vectoriels L, f!
(TV
T)
..,.
E H1 (BG,K)
est
est la classe de
B
qui localement sur B
est Ie produit tensoriel des
G
G
par
[G:H J sections disjointes.
-:'09-
Del-9
Posons
morphisme canonique, pour
1\
(pour
V
V un systeme local)
V
systeme local sur
e@
dim V
Construction 1.3 - Pour (Vi)i E I
e
, et
=
H
N(det V )
@
B
G
une famille finie de
elle se ramene a la
K-vectoriels de dimension
I
det(K ), on a canoniquement
La fleche est, pour
1\ •••
~
B
La construction de cet isomorphisme est locale sur
d
et soit
La proposition 1.2 resulte de l'existence d'un iso-
det f¢
Ie systeme local
dimV
det V
t, e.
1.
1'
d) 1\ •••• 1\ (e.
1
n,
i
l
... i
n
la suite des elements de
I
1
@d
(ilA ... Ai n )
Parenthese 1.4.
@
(e.
1
1,
lA ... Ae ..
l.n'
d) ®
Plut6t qu'un classifiant
B , on eut plus intrinsequement
G
pu prendre dans Ie raisonnement precedent Ie topos classifiant
Grothendieck
Supposons
(SGA 4 IV 2.4 pg. 315 (pour
G fini. Nous dirons que
E
Un groupe
H sera dit
= (Ens».
K est assez gros
les racines de l'unite d'ordre divisant Ie
de
ppcm
s'il contient toutes
des ordres des elements de
G.
p-elementaire s'il est produit d'un p-groupe par un groupe
cyclique, elementaire s~il est p-elementaire pour un nombre premier
p
convenable.
Nous aurons be so in de la variante suivante du theoreme de Brauer sur les
teres induits (qu'on obtient en omettant partout "de dimension 0">'
car~c-
-510Del-10
est assez gros, toute
Proposition 1. 5.
Si
dimension
G est sornme de
x
de
0
K
virtuel de dimension 0,
repr~sentations
D'apres Ie
repr~sentations
~l~mentaire
de dimension 1 de
th~oreme
G, il existe une
de
H
repr~sentation
x
et
virtuelle de
virtuelles
Ind G(x),
H
combinaison
lin~aire
~
de
H.
de Brauer
appliqu~
a la
repr~sentation
triviale
lG
d~composition
E
(H
H~mentaire).
H
Pour
y
repr~sentation
Par
dim
(Res~(Y)'ZH)
lin~arit~,
irr~ductible,
0
de
G, on a alors
= O.
supposer
=
y
avec
virtuelle de dimension
on peut supposer
donc (puisque
X d'un sous-groupe
H de
a
Ceci nous ramene
y
G ~l~mentaire.
p - dim(p).lG ,avec
de la forme
G est nilpotent) induite par un caractere
Z. On a alors
G contenant Ie centre
Le premier terme est du type voulu, et Ie second est 1 'inflation d'une
tation virtuelle de dimension
de
G (noter que
Scholie 1. 6.
valeur en
1.7.
IGI
Un homomorphisme
lG
Soit
jG/ZI <
et en les
de l'homomorphisme de
V une
G/Z. On conclut par une
de
si
G ~ (e}).
f:
~(G) ~
G
IndH(x-lH), pour
K et de corps
d~composition
d
pour
0
H
repr~sentation
de
r~siduel
repr~sen-
r~currence
~l~mentaire
et
X un caractere de
d'in~gale caract~ristique
k
= Aim.
Rappelons la
: ~(G) --~> ~(G)
K et
E
un
r~seau
p
de
d~finition
([llJ III 2.2)
G sur
sur l'ordre
X est connu quand on connatt sa
A un anne au de valuation discrete
corps des fractions
p
G-invariant,
H •
-511-
Del-II
d«(VJ)
Proposition 1.8.
d
d~composition
On suppose
est alors
K
assez gros. Le noyau de l'homomorphisme de
engendr~
par les
Ind~( (X' J - [X" J)
pour
H
L'homomorphisme d'anneaux
nous ramene au cas ou
un groupe
~(G)
p,
H
G
d
est
commutant
~l~mentaire,
a
d'ordre premier
= ~(P) ® ~(H),
d
X', X"
un sous-groupe ~l~mentaire et
a
1 'induction, Ie raisonnement de 1.5
K
et
k
~tant
d'un p-groupe est congru
la fin de ce
Dan~
a
Ie groupe des caracteres de
Soit
R+(G)
1
assez gros, on a
a
a
H, on voit qu'il suffit de prouver 1.8
XE
on suppose que
~(G)
en
K
R(G). Pour
(1. 9.1)
= ~,
G
on ne considere que des
commutatif, on note
Ie ~ -module libre de base l'ensemble des classes de
G
et
X
~
(Ax n BY,
(X,Y)EG\(G!AXG!B)
tiplication,
aX
R+(G)
H.
(axIAxnBY).(~YIAxnBY»
parcourt des represent ants des orbites de
et
caractere de
une multiplication par la regIe
~(G)
(A,a).(B,~) =
= xAx- 1
G*
G.
G-conjugaison de couples(H,x) : H sous-groupe de
On d~finit dans
Hom(P,K*)
mod m.
nu~ro,
groupes finis et on abrege
AX
par
~. Pour un groupe d'ordre premier
pour un p-groupe. Ce cas est trivial, car tout caractere
«x,y)
P
est bijectif. On a donc
Appliquant Ie theoreme de Brauer
1.9.
mod m .
donc produit d'un p-groupe
p. Les corps
et de mame pour
E Hom(H,K*) congrus
est Ie caractere
G
a(x-lax) de AX).
est un anneau commutatif d'unite
dans
G/A x G/B,
Pour cette mul(G,l),
et on
-512Del-12
d€finit un homomorphisme d'anneaux
(1.9.2)
Cet homomorphisme est surjectif d'apres Ie theoreme de Brauer. Pour
caractere de
torsion par
G, la multiplication par
se note
. X et s' appe11e
X:
(H,q>). X
(1.9.3)
Pour
(G,X)
X un
(H,q>. (X\H»
G' C G, on definit l'induction
(1.9.4)
Pour
G ---> G'
u
Res
0.9.5)
(s
un morphisme, on definit la restriction
( H,X) ~
~
sEu(G)\ G' /H
(u
-1
(sHs
-1
),X
s
0
u)
parcourt un ensemble de representants des doubles classes). On dispose
de diagrammes commutatifs (pour Ie second, cf. [11J p. 75)
R+ (G')
b
Ind
1
R(G' )
b
Ind
et on a la formule, pour
0.9.6)
> R+ (G)
>
R
1
b
1
R(G' ) _ _.. ; R.:. e. ; .s_ _~> R(G)
R(G)
E R+(G),
R. (H,X)
On parle d'inflation lorsque
0.9.])
R+ (G')
u
est surjectif :
-513Del-13
Notation 1.9.8.
m~me
Pour toute fonction additive de representation
la fonction qu'elle definit sur
R(G), et Ie compose
F, on note de
Fob. Ainsi,
= dim(b(v», ...
dim(v)
Variantes 1.10.
R~(G)
(i)
On note
Ie sous-groupe de
Pour
(H,x) .parcourant la base canonique de
ces elements formant une base de
R+(G). Soit
o
de
engendre par les
(H,x) - (H,l).
R+(G), a 1 'exception des (H,l),
R~(G). On verifie que
R~(G)
est un ideal de
l'ensemble des representations virtuelles de dimension
G. D'apres 1.5, l'application naturelle, induite par (1.9.2), de
R~(G)
(ii)
RO(G) C R(G)
R+(G)
dans
Pour
RO(G)
est surjective.
G un groupe topologique (fini au non), on note
R+(G)
et
R~(G)
les groupes andlogues aux precedents obtenus en se limitant aux sous-groupes fermes H
d'indice fini et aux quasi-caracteres continus. Les fonctorialites 1.9 se generalisent, mutatis mutandis.
La fin de ce § ne servira plus par la suite. Nous y exposons
des resultats
tires de Langlands [9].
Lemme 1.11.
Supposons que
un caractere de
~
C*
= H.C,
G
H . Pour tout
par conjugaison). Si
avec
C commutatif distingue, et soit
\..l E C*, soit
xlHnc
G
= \..lIHnC,
C G
\..l
on note
X
Ie fixateur de
{X,\..l}
Ie caractere de
(H n G). C qui prolonge xlHnG
et \..l. On a, pour \..l parcourant un
G
\..l
\..l
\..l
ensemble de representants des classes de G-conjugaison de caracteres de C tels
~ X\HnC
= \..lIHnC,
Ind~
\..l E C*/G
La verification est laissee au lecteur.
({X,\..l})
\..l
-514Del-14
1.12.
Un €l€ment
R de
s'il existe un quotient
Ker(R+(G)
S
Ker(R+(A)
par inflation de
et induction de
I
II
A
7/..
R(A»
B de
G tel que
I, II
ou III
R s'obtienne
de l'un des types respectifs suivants de
A a B, torsion par un caractere de
t
B a G . On d€signe par
S
It
A est une extension centrale de
H (i=l,2) l'image r€ciproque dans
i
un caractere de
sera dit de type
A d'un sous-groupe
a partir d'un €l€ment
~
R(G»
~
un nombre premier.
= (e,
[lJ) -
E
XEA*
(A,X)
2
11.) par un groupe abHien
(7/..
A des premiers et second facteurs
Hi . On suppose que
B
Z ,
7/..
It ,et
Xl!Z = X2!Z' et que ce caractere de
Z
est non trivial s9r un commutateur.
lC~>t
H '-c
2
La relation
III
S
~>
est
A est un produit semi-direct
groupe distingu€
non triviaux de
A
H.C,
X est un caractere de
H et Ie sous-
C est minimal parmi les sous-groupes commutatifs distingu€s
A. Pour tout caractere
est Ie caractere de
A
~
~
de
par conjugaison
C*
de
est Ie fixateur de
C
qui prolonge
la relation suivante, ou
A agissant dans
~
et
parcourt un ensemble de
S
~.
r~pr~sentants
exprime
des orbites
E
~EC*/A
Ces relations sont des cas particuliers de 1.11 (pour
pour
II,
H = HI'
C = H2
pour
III,
H et
C sont
I,
H = [e}, C
H et
C).
A
-515-
Del-1S
Toute relation deduite par induction, inflation ou torsion d'une relation
de type
I
Crespo II, III) est encore du m@me type.
Theoreme 1.13. (Langlands [9J § 18). Si
- ? RCG) est engendre
b : R+CG)
de type
I
et
Lenme 1.13.1.
de type
G est nilpotent, Ie noyau de
C~
7Z -module) par les relations
II .
Si
G est commutatif,
KerCb)
est engendre par les relations
I.
11 faut montrer que pour tout sous-groupe
H de
X E H* ,
G et tout
la relation
(0
est consequence
C= combinaison lineaire) de relations de type
sont les suivantes : pour
de
H'
H' C H" C G avec
I . Celles-ci
[H":H'J premier, et
X un caractere
(toujours induit par un caractere de G),
Ind
G
H
I
(X)
que (1) en resulte se voit en prenant une suite de Jordan-HVlder de
G/H.
La verification du lemme suivant est laissee au lecteur.
Lemme 1.13.2.
Soient
C un sous-groupe commutatif distingue de
ensemble de representants de
(Hi)
e*/G,
x. Ic
~
~st
et
E T . Si la relation
Ind
vraie dans
RCG), la relation
T un
G
Ie fixateur de Il. Soit
Il
G contenant C, ~ Xi un caractere de
f.l E T,
une famille de sous-groupes de
G,
G
Hi
CX·)
~
o
Hi'
- 516Del-16
l:
x·IC=1J.
1
est vraie dans
Soit
Z
o
n.
1
R(G).
IJ.
Ie centre de
G et prouvons 1.13 par recurrence sur I'ordre de
G/Z . D'apres 1.13.1, on peut supposer
G non commutatif. Soit done
sous-groupe commutatif distingue contenant
et d'image centrale dans
Z , tel que
[C:Z] = £
C un
soit premier,
G/Z.
Soit une relation
(1)
l:
o
n.
1
i
Elle est consequence de relations induites par les relations
l:
[xi]
xilHi=x i
et d'une relation (2) analogue
Les relations
(a )
i
a
(1), avec
H. :::J Z •
1
sont combinaisons lineaires de relations de type
I
on peut Ie deduire de 1.13.1 applique a HiZ/Ker(x ).
i
La relation (2) est consequence
pour
HC, H, C,
X
(avec
Ind
(b)
de relations induites par des relations 1.11
H::> Z)
HC
(X)
H
l:
xlHnc = IJ.IHnC
IJ. E C*/H
et d'une relation (3) analogue
1.13.2
a
a
(1), avec cette fois
Hi::> C.
Appliquons
(3), pour l'exprimer comme somme de relations induites par des relations
G
E n . Iud IJ. (Y.)
i 1
Hi "1.
o
-517-
Del-17
L'image de
C dans
est injectif sur
G
~
C/Ker(~».
G ,et les relations (4)
~
Ie sont. Si
Si
Soit
HC
HC
= G,
~
est centrale (car
/Ker(~)
~
a
sont du type voulu. Prouvons que les relations (b)
a
G, cela resulte de l'hypothese de recurrence, appliquee
H est distingue, car il contient
1 'inflation d'une relation analogue pour
a
G
, invariant par
L'hypothese de recurrence s'applique donc
Z
et que
C est central mod Z.
G/A. Si l'hypothese de recurrence
G/A, on a gagne. Sinon, on se retrouve dans la
=
(e,},
HC.
X. La relation (b) est
A l'intersection des noyaux des conjugues de
s'applique
~
qu'avant, avec
A
Lemme 1.13.3.
Avec les notations precedentes, si
situation
m~me
et on conclut par Ie
A
(e}, la relation (b)
est de la forme II.
Le groupe
Le groupe
Z
Pour
de
c
Z, car
H est comnmtatif, car des caracteres separent ses elements.
est cyclique, car un seul caractere separe ses elements.
E C et h E H,
posons
C est central
® H/Z
est Ie centre et que
G ~ Z,
u
cyclique tuee par
~
Z . Soit
c
engendrant
~(c, ) : H/Z ~ Z
L et non triviale. Des lors,
est extension centrale de
c-lh- l . C'est un element
mod Z. II depend biadditivemertt de
C/Z
et definit
= ch
u(c,h)
C/Z X H/Z
d'au moins un de ses conjugues (sinon
par
C/Z.
c
et
h
Puisque
Z
est inje~tif, d'image
\C/zi
=
IH/zi
Z . Le caractere
= L,
et
G
X est distinct
H serait central) ; il est donc non
trivial sur un commutateur, et on est dans la situation II.
Theoreme 1.14.
b : R+(G)
~
Lemme 1.14.1.
(Langlands [9J). Si
R(G)
S1
G est resoluble, Ie noyau de
est engendre par les relations de type I, II et III.
G est resoluble, Ie sous
~
-module
par les relations de type I, II et III est un ideal.
N(G) de
R+(G) engendre
-518Del-18
Prouvons 1.14 et 1.14.1
(A)
1.14
pour 1es sous-groupes propres de
Soient
R E R+(G)
R.(H,X) EN
= N(G).
ResH(R) E N(H)
torsion et induction est dans
(B) 1.14.1
1.14 pour
pour
G
~
1.14
8i
G.
H
Si
G
ResH(R) E Ker(R+(H)
avec
G
Vu l'hypothese,
et
R.(H,X)
G.
G.
X un
= G, ce1a resu1te de ce
H + G, on a (1.9.6)
--->
que
R(H».
qui se deduit de
G
ResH(R)
par
N(G).
pour 1es groupes
d'ordre plus petit impliquent
G.
Soit
Z
G. D'apres 1.13, on peut supposer (et on suppose)
1e centre de
G n'est pas nilpotent. Distinguons deux cas.
(BO
Z ;.
{e}
D'apres 1e theoreme de Brauer dans
H. ::JZ
1.
de
G
et des caracteres
1
G/Z
S
Soit
Puisque
E n.1.
ou 1 'hypothese,
Z
G
G/Z
In~./Z
te1s que
(Xt)
1.
G/Z, de sorte que
(1.9.6)
R.S E N(G). On conc1ut en notant que, d'apres 1.13
Res . (R) E N(H.)
1.
H1.
= {e}
a
H/Z
(G,O
R E Ker(b). On a
S E N(G), on a
G/Z, i1 existe des sous-groupes ni1potents
de
Xi
L'hypothese de recurrence s'app1ique
(B2)
H un sous-groupe et
est stable par torsion par un caractere de
G
G
R.(H,X) = IndH(ResH(R). X),
que
G imp1ique 1.14.1 pour
de type I, II ou III,
G. Prouvons que
caractere de
N
par une recurrence simu1tanee sur l'ordre de
-519Del-19
Soit
pour
~
C un sous-groupe commutatif
E C*, soit
G
~
son fixateur.
1.13. On trouve que toute relation
R
(a) induites par des relations 1.11
de
H, H
P C)
Proc~dons
cornme dans la
E Ker(b)
est combinaison
pour
G
Ind ~
Hi
(~
IG /Ker(~)
~
I<
Consid~rons
HC
IGI
HC, H, C,
X
d~monstration
(H C G,
lin~aire
X
de
de relations
caractere
H
minimalite de
Remarque 1.15.
nC
C,
(Y.)
'~
caractere de
a
a
C). Puisque
Z· {e},
et l'hypothese de r~currence s'applique aces dernieres.
une relation (a). Si
= G,
non trivial minimal et,
et de relations induites par des relations exprimant une identit~
(b)
Si
distingu~
HC
~
est distingue car
H
n C = {e}
G, on applique l'hypothese de recurrence.
distingu~
dans
H et dans
: la relation est du type III.
II est vraisemblablement possible d'extraire de
description d'un systeme g~n~rateur de
groupes convenables
C. Par
Ker(R~(G)
--->
RO(G»,
[9J
la
pour des
G. Je n'ai pas eu Ie courage de m'y essayer.
-520Del-20
§ 2.
GROUPES DE WElL.
2.1.
Racines de l'unite.
Soit
K un corps separablement clos d'exposant caracteristique
Pour tout entier
n, on note
des racines niemes de l'unite de
transition
Zl Im(I)
au simplement
Zl In(I)(K),
K
Pour
.
Zl
p.
In(l), Ie groupe
nlm, on dispose d'une application de
m
x t----? x n; on pose
--:> Zl In(I)
"
lim
Z l(I)
Zlln(l)
""
n
Pour
L
un nombre premier, on pose de
l;.m
ZlL(I)
Les applications evidentes
m~me
Zlll(I)
k
"
Zl (1)
--:> Zl L(l)
induisent un isomorphisme
_.
A
Zl(I)
Pour tout
A
Zl -module
tv
n
>
7l L(I)
L'FP
1\
V(I) = V I8i
Zl(I). Pour
Zl
V, on pose
V un
Zl L-module,
"
V(I) ~ V I8i
'11. (I).
Pour Ie Zl -module lI!IZl, lI!lZl (I) est canoniquement
Zl J, t
isomorphe au groupe de racines de l'unite de K : pour ~ E lI! et xEZl(I),
on a
d'image
x
Pour
dans
Zl
L ,;, p,
1m (I), l' image de
m
dans
I8i x
est libre de rang
note Zl t(i) sa puissance tensorielle
de
n
~
Zl £(-i». Pour tout Zl L-module
1
iieme (pour
lI!l7l (I)
sur
Zl £ . Pour
iSO,
V, on pose encore
-n
est identifiee a x
i
E
Zl, on
Zl t(i) est Ie dual
V(i) = V I8i
Zl
Zl L(i).
L
2.2. Notations.
2.2.1.
Soit
si
est une mesure de Haar,
dx
K
un corps local. On note
1I a ll
J
d(ax)
11 II
la valeur absolue normalisee de
J
f(ax) dx
Iiall
f(x)
dx
dx
i.e
K
-521Del-21
Pour
sEa:, on note Ws
Si
K
valuation
p
v
est non archimedien
de
II x ll = q -vex)
2.2.2.
Supposons
de
K et on ~ote
de
IS
~
K,
n
la caracteristique de
done
Ie quasi-caractere x .......... ~ x lis
( ::f:.
ou
]R
q:), on note
une uniformisante,
k , et on pose
K~
de
dans
I' anneau de la
IS
k le corps residuel
= [k:lF p J,
d
d
=P
q
a:lf; •
IS/(n),
.. k. On a
.
K non archimedien. On designe par
IS
la c18ture integrale de
(une c18ture algebrique de
, qui prolonge celIe de
k), et
v
IS
K une c18ture separable
dans
k
K,
Ie corps residuel
K, a valeurs dans
la valuation de
K.
On dispose d'une filtration en trois crans du groupe de Galois
Gal (K/K)
Gal(K/K),
~ I ~ P
de quotients successifs
Gal (K/K) II
Gal(k/k)
lip
un pro-p-groupe
P
On l'obtient comme suit (pour les demonstrations, on renvoie
a)
Par transport de structure,
d'inertie
I
Gal (k/k)
Gal(K/K) -----7
~
et
k
. Le groupe
Gal(k/k)
est canoniquement isomorphe a
la substitution de Frobenius
b)
agit sur
[loJ).
est Ie noyau de la fleche de reduction
v'
Le quotient
Gal (K/K)
a
~: x ~ x
Le groupe d'inertie sauvage
Le morphisme equivariant
t: I
de generateur topologique
.
Pest l'unique pro-p-groupe de Sylow de
--->
1\
~
la congruence (modulo l'ideal maximal de
o(x)
q
"-
~,
_
(l)(k), denoyau
~)
do). vex)
(0 E I,
I
P, est caracterise par
-522Del-22
ou
Pour
2.2.3.
On note
J,,,
p
premier, on note
k
un corps fini a q
~l~ments
W(k/k)
1e sous-groupe de
Gal(k!k)
Soit
cp : x l----7 x
q
tJ,
2.2.4.
g~o~trique
Soient
Wei1 abso1u de
v'(o)
de clOture alg~brique k
"
-~
2Z
K,
K,
~ E W(k/k)
~ 2Z
engendr~
par
est par definition
K comrne en 2.2.2.Le groupe de Weil
est 1e sous-groupe de
induisant 1a topo10gie nature11e de
Gal (K/K)
Gal (K/K)
sous-groupes ouverts d'indice fini ; pour
1e sous-groupe correspondant de
-1
W(K/K), ou groupe de
I
0
te1s que
est ouvert
pour 1a topo10gie des
une extension finie de
W(K/K) s'identifie a W(K/L).
parfois Frobenius geo~triques 1es elements de
cp)
cp. On 1e munit de 1a topo10gie
W(K/K)
L
cp
for~ des
I, et pour 1aque11e
est 1e comp1~t~ de
par
(engendr~
soit une puissance entiere du Frobenius
Le groupe
compos~e
. On a canoniquement
W(k/k)
Le Frobenius
1 'application
Ga1(K/K) ou
K dans
K
On appe11era
W(K/K) d'image
F.
-523-
de clOture
2.2.5.
Supposons
W(K/K)
comme 1 'extension suivante de
K
1)
F
2
= -1
2)
2.3.
:R
et
K
K
archim~dien,
: W(K/K)
F z F-1 '" -z
4;
est
W(K/K)
par
'K
alg~brique
Gal (K/K)
engendr~
par
K*
et un
'K*
On definit
F ,
~l~ment
avec
E K*
z
pour
Del-23
= K*
La theorie du corps de classe local fournit un isomorphisme entre
W(K/K)ab
et
Supposons
K*
K non archimedien. Pour une raison
expliqu~e
en 3.6, nous
normaliserons alors cet isomorphisme (= choisirons lui ou son inverse)
de telle sorte que les Frobenius
g~ometriques
> I <:..-~ W(K/K)
pC
1
1 1
l+(rr) ~ ~* ("'---»
Une repr~sentation de
W(K/K)
si elle est triviale sur
de
K*
(resp.
I
t
----? W(k/k)
K*
(resp. sur
a
(resp. mod~r~ment ramifi~e)
ramifie) s'il est trivial sur
p, l'action de
est non ramifiee, decrite par Ie quasi-caractere
Pour
1~1
p). De ml!me, un quasi-caractere
mod~rement
premier
'" 7l
_ _ _....:v:......_ _---'» 7l
est non ramifi~e
est non ramifie (resp.
l+(rr». Pour
correspondent aux uniformisantes.
WI
Gal (K/K)
= Ilxll
sur
de
X
~
7l tel)
K*
K complexe, l'isomorphisme de la theorie du corps de classe local
est celui evident sur
2.2.5; pour
K reel, c'est celui qui rend vrai 2.3.1,
2.3.2 ci-dessous.
Soit
L C K une extension finie de
Les diagrammes suivants (ou
commutatifs ([lOJ XIII § 4)
K, de Borte que
Nest la norme et
t
W(K/L) C W(K/K).
Ie transfert) sont
-524Del-24
(2.3.0
:>
w(i{JL)
r
W(K/L)
W(K/L)ab
L*
> W(K/K)ab
K*
i
(2.3.2)
W(K/K) ab
--....:....;=----
t
~
W(K/L) ab
2.4.
Soient
K
--'-='---
K,
L*
un corps de fonctions d'une variable sur
des constantes (fermeture algibrique de F
separable de
[
K*
k
la clOture algebrique de
noyau de l'applica~ion de restriction de
groupe de Weil global
(absolu)
W(K/K)
p
IF
dans K).
k
Gal (K/K)
dans
dans
p
et
k
son corps
Soient K une clSture
K
et
Galo(K/K)
Ie
Gal(k/k). Le
est, en analogie avec 2.2.4, defini
par Ie diagramme
Soient
de
v
une place de
K
et supposons choisie une place de
v. On dispose alors d'un diagramme commutatif
K
au-dessus
-525-
Del-25
~
[ I H<kr'
>W<k/k~O j
0-----:.-) I
~a
th~orie
v
--~) W(K /K )
v
v
du corps de classe global
fournit un isomorphisme
(groupe des classes d'ideles)
IA~/K*
rendant commutatifs les diagrammes
W(K /K )ab
v
v
-----~> W(K/K)
s
s
K*
v
2.5.
Pour la
d~finition
nombres on renvoie a Weil
qu I incidemment.
-------~> /~/K*
des groupes de Weil globaux dans Ie cas des corps de
[19J
ou a
[2] XIV. Nous ne nous en servirons
-526Del-26
§ 3.
RAPPELS SUR LES FONCTIONS L .
3.1.
Soit
par
dx
3.2.
un corps local et reprenons les notations 2.2.1. On
une mesure de Haar sur
$
et par
K
X
un quasi-caractere (.
K
une mesure de Haar sur
K
dans
:R. On pose
a
et
K*
K.
homomo~phisme
continu)
X
K*
~ ~
,
L(X) E ¢ U {=}.
on d~finit comme suit
de
d*x
un caractere additif non trivial de
Pour
<3.2.1)
K, par
d~signera
N '" 0
fm. (s) '" TTou
s/2
f ( ; ), et, pour
x
Ie plongement
1,
fm. (s)
(3.2.2)
de
K
(3.2.3)
On pose
K
dans
K
(
et
N
~
f~(s) '" 2. (2TT)-s f(s), et, pour
z un plongement
0,
non archi~dien.
On pose
1
L(X)
1
L(X) '"
(X
ramifi~)
(X
non ramifie)
l-X(TT)
3.3.
V et
compact sur
dx
etant donn~s, on pose, pour
une fonction
C=
a support
K
A
f(y)
On definit
f
e(X,V,dx)
E ~
S
f(x)
V(xy)
dx
par l'equation fonctionnelle locale de Tate
(independante de f)
J
f(x) X(x) d*x
<3.3.1)
L(X)
-527-
(on prend la m~me mesure de Haar
membres sont
X.w
(s E
s
d~finis
d*x
Del-27
dans les deux membres). Les deux
par prolongement analytique en
~). Dans ces familIes,
€
X
est de la forme
dans les familIes
A.e
Bs
On a
0.3.2}
0.3.3}
3.4.
Pour
K
non
archi~dien,
n(~}
plus petit entier
m
Ie plus grand entier
= Ie
a(x}
conducteur de
tel que
sw(X}
X
nous poserons
=0
X!(l+(n)m}
pour
X
X
n
(0 si
=1
si
X
X
=1
~I~-n~
tel que
;
est non ramifi~, Ie
est ramifi~} ;
non ou mod~rement ramifi~,
a(X}-l
pour
ramifi~
y
= un
La constante locale
~l~ment
€
est
de
K*
donn~e
de valuation
nKW} + sw(X}+l.
par (3.3.2), (3.3.3) et les formules
suivantes.
0.4.0
K'::::"':R
Soient
x
et
la mesure de Lebesgue,
dx
0.4.2}
Ie plongement de
K
, = exp(2ni
K
Soient
Tr~/:R (z» et
z
dans
~
et
N = 0 ou 1. Pour
un plongement de
dx =Idz 1\ dzJ. 2 da db
K
dans
(pour
~
W = exp(2n ix}
et
N
~
z .. a + bi),
0 . Pour
-528Del-28
K non archimedien.
3.4.3.
Si
X
est non ramifi~, que
J
dx = 1
$
1
0.4.3.0
Pour
0,
n(~)
et que
X
ramifi~,
on a
~-IC9*
On verra qu'il est naturel d'unifier ces deux fornillies de la fa90n suivante
si on definit
Eo(X,~,dx)
par les formules
(X ramifi~), et
0.4.3.3)
(X non ramifi~),
on a
dx
0.4.3.4)
De (3.4.3.3) et (3.4.3.4), on
d~duit
que pour W non
ramifi~,
0.4.3.5)
d)
e: ( XW, ,I," x
3.5.
Supposons
K non
=
archim~dien,
(n(~)+a(x))
W TT
€
continues
d'une repr~sentation et
0.5.0
E
Les repr~sentations p: W(K/K) ~ GL(V)
un sous-groupe ouvert de
VI
(X , ~ , dx)
et reprenons les notations 2.2.1. Soit
un espace vectoriel de dimension finie sur un corps
ou sur
e:
•
I
de
caract~ristique
V
0,
seront toujours suppos~es
agit trivialement. Pour
V l'espace
Ie sous-espace des invariants sous l'inertie, on pose
-529Del-29
L(V)
0.5.2)
Notons
w t(F) = t d
t
Z(V; 1)
lit
U
{oo} )
W(K/K) ~ E«t))*
Ie caractere non ramifie tel que
( -s)
). On a
(en un sens evident, on a W =w p
s
w
<3.5.3)
3.6.
(E E
Z(V,t)
C'est pour que
L(V <81 wt)
(3.2.3) et (3.5.2) soient compatibles que nous avons
normalises l'isomorphisme du corps de classe local de telle sorte que les
Frobenius geometriques correspondent aux uniformisantes. Tant (3.2.3) que (3.5.2)
sont tres naturels : 3.2.3 s'impose du point de vue analytique
(cf. 3.3.1), et
3.5.2 suit la tradition des geometres:c'est Ie Frobenius geometrique
qui tend
a agir sur la cohomologie des varietes algebriques avec pour valeurs propres
des entiers algebriques.
3.7.
Les representations (continues) complexes irreductibles de
pour
K complexe, 1es quasi-caracteres. Pour
quasi-caracteres de
W(K/K)
sont,
K reel, elles sont, outre les
K*, les representations induites par les quasi-caracteres
X de K* tels que X # X cr , pour cr 1a conjugaison complexe de K
0
Pour toute representation complexe
des representations de
L(V)
N
et
L(V)
V
11
i
2)
K
exprimee, dans Ie groupe de Grothendieck
W(K/K) comme somme de representations simples, on definit
comme suit
K-m.
V,
-530-
Del-3D
Proposition 3.8.
Soient
K un corps local et
Pour toute suite exacte
(n
complexes de
L(V)
Soient
~
V'
~
V ~ V" ---'> 0
de
alg~brique
de
K.
repr~sentations
W(K/K), ~
(3.8.0
(ii)
0
K une clOture
L
= L{V')
L(V")
une extension finie s~parable de
repr~sentation complexe de
w(K/L). Soit
K dans
K
et
V
L
une
V la repr~sentation induite de
K
On a
w(K/K).
0.8.2)
L'assertion (i) est triviale. Dans Ie cas
r~sulte
archim~dien, 1
'assertion (ii)
de la formule de duplication
correspondant a
1nd([w J) = [w J + [x-l.w IJ
s
s
s+
Prouvons (ii) pour
de
K et
K non
archim~dien.
Notant
k
et
tIes corps
r~siduels
L, on a
I
[
(isomorphisme de
dW(!/K)
I dW(E/k)
n Vl (k/1,)
nVl(K/L)
w(k/k)-repr~sentations), les deux membres s'identifiant
a
H°'\l(K/L)
(fonctions covariantes de
W(k/k)
dans
VL '
par translation; cf. Ie diagramme commutatif
W(K/L)
agissant sur
W(k/k)
-531-
Del-31
> W(k!i,)
W(K/L)
1
1
> w(kl £)
w(K/K)
Ceci ramene (3.8.2)
Lemme
Soient
3~9.
n
V
phisme de
Fn(V~ en_I)
F
= V~
= F(v)
un endomorphisme de
n
t
au lemme bien connu suivant.
Fn(V ~ e )
i
tel que
~ eo
V,
n un entier et
=v
~ e
ifl
~ i
(0
F
l'endomor-
n
< n-l) et
On a
det(l - F t}
n
Par Ie principe de prolongement des
identit~s
diagonal, dans une base convenable
de
cas ou
dim(V)
la base
f
i
= 1,
et ou
= a-i(v ~
vecteurs propres de
n
F
V; on se ramene des lors aussitOt au
Fest la multiplication par un nombre
e ), on a alors
i
F
algebriques, on peut supposer
Fn(f )
i
sont les
=a
f +
i l
(i
E~
(x caractere de
an(a
+ 0).
Dans
In). Les
~ In),
et
detCl-F t)
n
3.10.
v
de
Soit
K un corps global
K , on notera
K
v
~-corps,
Ie corps local
au sens de [15J), Pour toute place
complet~
de
K en
iefinis plus haut pour tout corps local seront, pour
)n note IA
l'anneau des adeles de
fCax) '"' lIali dx pour une mesure de
'Ixlls
de
IA* . Notant
Xv
dx
II II
Haar dx
=
not~s
avec un indice
la valeur absolue (v~rifiant
sur IA), et
la composante de
II xll
On designera par
K,
K '
v
v . Les objets
x E IA
til s
dans
Ie quasi-caractere
K ' on a donc
v
Trv IlxvII v
1 'unique mesure de Haar sur
IA telle que
v.
-532Del-32
f
IA/K
(mesure de Tamagawa), par
d*x
dx
1
une mesure de Haar sur
non trivial de /A/K, de composantes locales
A*, et par
f
Pour
$v
00
C
$
un caractere
a support compact
sur lA, on pose
flY) ..
3.11.
L'~quation
quasi-caractere de
f(x)
dx
$(xy)
fonctionnelle globale de Tate [14J
IA*/K*
ff(X)
<3.n.U
f
(int~grales d~finies
X' (x) dx* ..
J
f(x) X(x)
s'~crit,
pour
X un
d*x
par prolongement ana1ytique dans les familIes
X.ws)'
Posons
<3.11.2)
(d~fini
par prolongement analytique), et, pour
dx ,. <81 dx
v
<3.n.3)
Le produit 3.11.3 est
d~composition
tout
v,
de
~~v
ind~pendant
dx, comme on
dxv .. 1,
d~duit
du choix de
presque tous ses facteurs sont
<3.11.4)
L
de
et de ce1ui de 1a
de (3.3.2) et (3.3.3). Si, pour presque
Les formu1es (3.3.1) et (3.11.1) fournissent
globale des fonctions
$
Hecke
e:(x) L(X')
~gaux a
l'~quation
1 •
fonctionne11e
-533Del-33
3.12.
Les r~sultats ~nonc~s ci-dessous sont d~montr~s dans
Soient
K
un corps global,
une repr~sentation complexe de
l'action de
Gal (K/K)
Pour chaque place
la
v
(A)
de
d~composition
Pour
X
une clOture
Gal(K/K».
alg~brique
de
K
K, soit encore
de
V
V
et
V
(Toujours supposee continue
se factorise par un groupe de Galois fini
repr~sentation d~duite
groupe de
K
[1] et [19] •
une place de
R
Gal(K'/K)
au-dessus, et
par restriction au sous-groupe
W(K /K )
v v
V
v
du
Gal(K /K ).
v
v
un quasi-caractere de
£*/K*, de composantes locales
Xv'
Ie produit infini
peut
~tre d~fini
x.w s
' 11 converge pour
~romorphe
(B)
de
Notons
par prolongement analytique en
Re(s)
X
dans les familIes
grand, et se prolonge en une fonction
s.
v*
Ie dual de
V. On a
L(V,X)
e(V,x) E t*
avec
(e)
Soit L
A. eBs
de la forme
une extension finie de
repr~sentation de
Gal (K/L),
et
K
V
K
pour
X
variant dans les familIes
dans K_, N /
la norme, V
une
L K
L
Gal(K/K)
Ind Gal(K/L) (V ) . Pour X un
L
quasi-caractere de A~/K* , on a
(A) et (B)
via Ie
se d~montrent par r~duction au cas Oll
th~oreme
(cons~quence
de Brauer. (e)
de 2.10),
r~sulte
dim V • I,
de (B) et de ce que,
x.w s .
-534Del-34
On a aussi, de m@me,
dv' + V" , X)
(D)
ce qui permet de
d~finir
e(v,~)
pour
~
e(v',x).dv",X)
V seulement une
repr~sentation
virtuelle.
-535Del-35
§ 4. EXISTENCE DES CONSTANTES LOCALES
Theoreme 4.1.
(1)
!
11 existe une et une seule fonction
(4) ci-dessous, qui associe un nombre
d'isomorphie de sextuples
$ : K~
~*,
(1)
~
formes d'un corps local
K,
K, d'un caractere additif non trivial
d'une mesure de Haar
de dimension finie sur
a chaque classe
e(V,$,dx) E t*
(K, K, $, dx, V, p)
K de
d'une clOture algebrique
e, verifiant les conditions
dx
K, d'un espace vectoriel
~
p: W(K/K)
et d'une representation
V
~ GL(V).
Pour toute suite exacte de representations
O~V'~V~V"~O
on a
e<V, $,dx)
= e<V', $,dx)
e<V", $,dx).
Cette condition montre que
e(V,$,dx)
ne depend que de la classe de
W(K/K)
dans le groupe de Grothendieck des representations de
donner un sens a
e(V,$,dx)
En particulier, pour
independant de
Si
L
ie dimension zero
Si
dim
a
dimV
e<V,$,dx)
V
V
L
= 1,
de
e(V,$,dx)
0,
est
e(v,$).
est une extension separable finie de
la representation virtuelle de
:4)
=
V virtuel de dimension
dx. On le note
et permet de
V seulement une representation virtuelle.
e<V,$,a dx)
(2 )
(3)
pour
V
w(K/K)
K
dans
~
et que
VK
est
induite par une representation virtuelle
W(K/L), on a
P etant defini par un guasi-caractere
e<V, $,dx)
e<x, $,
dx)
X de
K*, on a
-536-
Del-36
4.2.
Soit
a deux non
v
=E
nijCHi,Xij) E R: CWCK/K»
i,j
conjugu~s.
Soit
Ki
1 'extension de
1e quasi-caractere de
encore
de mesures de Haar sur 1es
K
1
d~finie
par
Hi'
H.1
deux
et
no tons
Pour un choix que1conque
par
d~fini
K~
K ,et
i
W un caractere additif de
K, on pose
"IT
C4.2.1)
11
C1.10). On suppose 1es
i,j
r~su1te
Lemme 4.3.
e est
de C3.3.2) que
Avec 1a notation 1.9.8, pour
v~rifier
pour
correspondant a une extension
virtue11e
[xJ - [lJ
de
v
L de
dx.
1
v E R:CWCK/K», ~
detCv)Ca)
dv, WCax»
11 suffit de Ie
du choix des
ind~pendant
de 1a forme
K dans
eCv, W)
CH,x) - CH,l),
K. Soit
v
o
1a
H
repr~sentation
WCK/L). La formu1e C3.3.3) fournit
dv, w(ax»
On sait C[10] XII § 4) que l'inc1usion de
K*
W(K/K)ab ~W(K/L)ab . Puisque
transfert
dans
b(v)
L*
s'identifie au
= Ind(vo )'
4.3
r~su1te
de 1.2.
Lemme 4.4.
Pour
Le
th~oreme
est vrai dans 1e cas
K ::::. C, on d~finit
automatique. Pour
engendr~
x
b(v)
=V
par 1es formu1es (1) et (4), et (2) est
K ::::. lR, on v~rifie sur
est surjective, de noyau
Pour
e
archi~dien
s
par 1es
2.9 que 1 'application
X
s
(K*, ws
)u
- r,W
sJ
V une repr~sentation virtue11e et
- dimCV).[lJ, on pose
- x
t
' pour
-1
[x ws +1 J
v E R~(W(K/K»
tel que
-537-
Del-37
(4.4.1)
V~rifions
v
que Ie second membre est
verifiant
pour
b(v)
= 0,
= exp(2TT
~(x)
on a
ind~pendant
€(v'~)
=1
€
l'assertion resu1te de 1a
~,
Ker(b) et du fait que Ie second membre de (3.4.1),
(3.4.2) soit independant de
II est clair que
v, i.e. que pour
. D'apres 4.3, i1 suffit Ie verifier
ix). Pour ce choix de
determination ci-dessus de
du choix de
s.
d~fini
par
(4.4.1) verifie (1) a (4).
On se restreint maintenant au cas non archimedien.
4.5.
Soit
K un corps local non archimedien,
K et
K C K 1 'extension non ramifiee maximale de
nr
groupe distingue ouvert du groupe d'inertie
correspondante de
K
. Pour
nr
o
K une c16ture separable de
1= GaI(K/Knr) et
J
un sous-
L
I'extension
E I/J, on pose
tII/O) = inf (v (o(x)-x)
L
et on definit des fonctions
K. Soit
Ix
entier dans
par Ies formu1es
et
(4.5.1)
pour
pour
D'apres Artin (voir [IOJ VI § 2 Th. 1),
de
de
m~me
a
I/J
on a
est
I/J, 1a representation d'Artin. D'apres 10c. cit. prop. 2,
Ie caractere d'une representation
SWI/J
SW
I/J
, 1a representation de Swan.
et de Ia representation d'augmentation de
A
I/J
I/J. Pour
(loc. cit. prop. 3)
(4.5.2)
0'" e
0'" e
est Ie caractere d'unc representation
Ces representations ne sont definies qu'a isomorphisme pres.
de
L)
et done
est somme
I
~
J
~
K,
-538Del-38
Si
d
rente
est la valuation du discriminant
~L/K
b
,i.e. la valuation de la diffeL/K
nr
([10] III § 3 prop. 6) et que r designe une representation
reguliere, on a
(loc. cit.prop. 4)
(4.5.3)
Soit
caractere
W(K/K) , triviale sur
V une representation de
*.
J C I, et de
On definit les conducteurs d'Artin et de Swan de
V par les
formules
a(V)
(4.5.4)
= dim
Hom
I/J
(AI/J,V)
= sw(V) +
dim V - VI
1
I/J
D'apres 4.5.2, ces conducteurs sont independants du choix de
Pour
V de dimension 1, defini par un quasi-caractere
a(V)
(4.5.5)
conducteur
a(x) de
J.
X, on a (loc. cit. prop. 5)
X
Les notations precedentes sont done compatibles avec celles introduites en 3.4.
Avec la notation 1.9.8, on a
Lemme 4.5.
Pour
v E R:(W(K/K»!!X un quasi-caractere non rami fie de
II suffit de Ie verifier pour
une extension L de K et
A,~
la differente de l'extension
I CW(K/K)
Calculons
(4.~.3)
et
et
J cW(K/L)
v
de la forme
(H,A) -
etant deux quasi-caracteres de
L/K,
f
(H,~),
K*, ~
H definissant
L*. Soit
d la valuation de
Ie degre de 1 'extension residuelle,
les groupes d'inertie et
KC J
assez petit.
a(v) . La formule d'adjonction pour les representations induites,
(4.~.5)
fournissent, pour tout Quasi-caractere V de
H (i.e. de L*)
-539-
Del-39
(4.5.1)
d'oll
a(v)
Pour
n
= n (W
f(a(~)
-
a(~))
xt
V un quasi-earaetere de L*,
0
Tr
L/K
)
un quasi-caraetere non ramifie de L*, et
eomme en 3.4, on a d'apres (3.4.3.1) ou (3.4.3.2),
e;(v.Xl' W
\jJ
0
Tr, dx)
0
Tr, dx)
d'ou
ee qui est la formule annoneee.
Terminologie 4.6.
de groupe de Galois
G,
(0)
L
Pour
de
K
Kl/K
~
€~,\jJ
H un sous-groupe ouvert de
V une representation de
,I,(V, dx)
~, f
Pour une suite exaete de
€
€~'w
K* et \jJ
un quasi-caraetere de
s'il existe
€
0)
une extension galoisienne (finie au non) de
K. On dira qu'il existe une
additif non trivial de
constantes pour
K
l
Soient
un earaetere
\jJ - theorie des
~,
du type suivant
G, definissant une extension finie
H, et
dx
E ~*
representation~
,I,<V, dx)
~, f
K,
= € ~, \jJ <V',
une mesure de
Haar sur
L,
est defini.
0
dx)
~
€
V'
~,\jJ
~
(V"
V ---? V" ---? 0 ,
, dx)
garde done une sens pour les representations virtuelles.
-540Del-40
(Z)
On a
"e:
En particulier, pour
e:
on Ie note
(3)
Pour
~,*
(V, a dx) = a dimV e:
V virtuel de dimension
HI C HZ
~
G,
definissant
de
0
L
l
~
L
V de dimension 1, defini par
e:
Soient
non trivial de
,I,
est independant de
V
une representation
~,~
K
Kl/K
Z
'
et
,I,(V)
~,~
un caractere
*
,I, (V, dx)
~, ~
et
~
X de
comme plus haut,
II existe au plus une
~,*-
~
0
* un
L* ,
Tr L / K ,
dx)
caractere additif
theorie des constantes pour
Kl/K . Pour qu'il en existe une, il faut et suffit que pour tout
v
o
E Ker(R+(G)
Soient
v
E R:(H)
dx
HI' on a
e:
Lemme 4.7.
0, e:
,I. (V).
~, ~
virtuelle de dimension
Pour
,I, ( V,dx)
~,~
~
R(G)), on ait
He G, L
d'image
et
V comme plus haut. D'apres 1.5, il existe
V - dim (V). [lJ
dans
R(H). On a necessairement
(4.7.0
d'ou l'unicite. L'hypothese assure que
est independant du choix de
e:
,I<
~, ~
'
defini par cette formule,
v ; on verifie aisement les axiomes (0) a (4).
-541Del-41
Lemme 4.8.
Soit
(i)
$' = $ (ax)
SL
0
K*
(resp.
K1/K, il faut et il suffit qu'il en existe une
a,$'-theorie). Pour
~
=S
un quasi-caractere non ramifie de
un caractere additif non trivial). Pour qu'il existe une
des constantes pour
(resp.
S
et
NL/K
~
=a
0
H, L
et
V comme plus haut,
a,$-theorie
a.S,$-theorie
=$
$L
0
Tr L/K '
NL/K ' on a alors
(4.8.l)
(4.8.2)
€
0.,
,I,' (V,dx)
f
II a jj L-dim(V)
. det(V ~
) ( )
a.
€a, ~(V, dx)
La premiere assertion resulte du critere 4.7 et de 4.5 (resp. de 4.3). 11
suffit de prouver (4.8.1) (4.8.2) pour
que soit
V E RO(Gal(K1/K)),
soit
V
K
= L.
= [1].
De plus, on peut supposer
Dans le premier cas, on applique
4.5 et 4.3. Dans le second, on utilise (4.7.l)et la definition 3.4.3.
On dira qu'il existe une
(pour un) $,
Kl
~
L
~
a,$-theorie des constantes pour
K, il existe alors une
Reduction 4.9.
(*)
il existe une
a-theorie des constantes pour
0.
a-theorie des constantes pour
K et toute extension galoisienne
0.
implique que, pour
K*,
K une
un quasi-caractere non ramifie quelconque de
a-theorie des constantes pour
de
et une
Kl/K.
D'apres 4.8, l'assertion (*)
0.
Kl/L.
Le theoreme 4.1 est implique par l'assertion suivante
K1/K, il existe un quasi-caractere non ramifie
K et
Kl/K. Pour
NL/K-theorie des constantes pour
Pour tout corps local non archimedien
finie
de
0
Kl/K si pour tout
cl~ture
separable
K*, il existe une
K/K. La discussion ci-dessous nous permettra
de passer du groupe de Galois au groupe de Weil.
Del-'l2
Toute repr~sentation V de
4.10.
d'indice fini convenable
I/J
Puisque
I/J
sur
de l'inertie I . Soit
J
est fini, une puissance convenable
m
F
de
si une puissance
Vest alors
l'~l~ment
n
F
(x
....
E Xm D
a
a* . Toute
Les repr~sentations de
ab~lienne
R
F
g~om~trique.
agit trivialEment
w(K/K)/J. On dira que
V
a. Le ~
n
4:* ,
cp
n,m
=x
(x)
W(K/K)
de type donn~ r
m
n
a un type.
formant une cat~gorie
W(K/K)
' et la cat~gorie de toutes les repr~sentations de
r
Rr(W(K/K))
est Ie groupe de Grothendieck
R , on a done
r
R(W(K/K) )
(4.10.1)
Les
de
repr~sentation irr~ductible
est somme de ces sous-cat~gories. Si
de
n
F
un Frobenius
n'a qu'une valeur propre
nlm
par
F
de la limite inductive
lim
d~fini
est triviale sur un sous-groupe
par conjugaison, donc est centrale dans
a un ~
de
w(K/K)
repr~sentations
semi-simples de type 1 sont exaetement les
(continues) de Gal(K/K). Si
repr~sentations
est un quasi-earaetere de type T (il existe des quasi-
caraeteres, m@me non ramifi6s, de tous les types), la torsion par
Xr
d6finit
done un isomorphisme
(4.10.2)
Soient
une extension
de 1 'extension
d~gr~
de type
que
L
V
o , la
s~parable
r~siduelle.
repr~sentation
est de K-type
r
si
Si
finie de
une repr6sentation
induite de
of
=r
K dans
w(K/K)
K
V
de
est de type
L'ensemble des
et
Ie
f
W(K/L)
c/ .
est
On dit
repr~sentations
de
K-type
donn6 est done stable par induction.
Variante 4.10.3.
je
~
Les arguments
pr~e6dents
s'appliquent
a
tout groupe extension
par un groupe fini, et aux limites projectives de tellesextensions. Le
-543Del-43
cas des groupes de Wei1 globaux noussera utile plus tard.
4.11.
Admettons
(*). Pour tout type
de type
r . Puisqu'i1 existe une
e
Rr(W(K/K»
sur
r~su1te
de
l'unicit~
On d~finit ensuite
Xr
1jI, dx)
e
A
avec
et
~
est
€
ramifi~
des constantes, on peut
d~finir
v~rifier
Xr-1 '
dx)
ind~pendant
Xr
du choix de
par additivit~ (4.10.1). D'apres
4.1, el1e est
On a fait ce qu'il fal1ait pour que
a
r
R(W(K/K»
th~orie
,I. (V ~
X ,~
4.7. que cet
sur
€
4.7, s'il existe une
a un type. II reste
-th~orie
un caractere non
par 1a formu1e
e<v,
II
Xr
r , soit
donn~e
v~rifie
€
(3) pour
(1), (2), (4) et (3) Iorsque
V de Ia forme
L
deux quasi-caracteres non
ramifi~
e.
par cet
de
[A
0
NL/K]-[~
K*, de types
0
V
L
N
] ,
L/K
donn~s.
On a, par (3.4.3.1), (3.3.2), (3.3.3)
D'apres 4.8, on a d'autre part
Soient
et
f
Ie
d
degr~
Ia valuation de 1a
de 1 'extension
de sorte que Ia formule
a
diff~rente
r~siduelle.
d~montrer
se
qui est essentiellement Ia
d~finition
Le point clef de Ia
L/K, e I'indice de ramification
La formule (4.5.1) fournit
r~duit
f d
de
a
+ [L:K] n(1jI)
de Ia
d~monstration
diff~rente
soit
([10] III § 3).
de (*) est Ie Iemme suivant.
-544Del-44
Lemme 4.12.
place
Soit
w de
Soient
a
place de
w # v
K'/K
une extension galoisienne de corps globaux. Pour chaque
K, on choisit une place de
K Qui ne se decompose pas dans
K, il existe une
il existe une
Soient
On a
= Gal(K~/Kv)'
' avec
dx
de
v
v
v
de
ete definie en 3.12.
w
Soit
ifAL/L
Gal(K~/Kw)'
w une place de
alors,
L
sa v-composante. Nous
K' /K
v
v
.
Gal(K' /K )
v
de
K
definit
v
de complete
L
v
de volume 1), et posons
vv
de
H
Une constante globale
L, et no tons encore
w
€(v,a)
a
la place de
infinie, on dispose (4.4) de constantes locales
w
e<Vw·(aoNL/K~,(WoTrL/K)w' dxw) . Pour
par hypothese de constantes
€
€ (V , W, dx ), on pose
a w
une
Gal(K'/L) et, par restriction, des representations
des groupes de decomposition
K image. Pour
W
v
H de
K ' une extension
v
L
~/Kw'
choisi a l'avance. Toute representation
definit une representation
V
w
et
~/K,
Un sous-groupe
la mesure de Tamagawa sur /A
= @ dxw
w
L
v
K' /K
v v
a ' wv-theorie des constantes pour
v
done, outre une extension
dx
aw-theorie des constantes pour
W un caractere non trivial de
Gal(K'/K)
K, et
w
K'. Si, pour toute place finie
av-theorie des constantes pour
allons construire une
dx
au-dessus, et on la note encore
un Quasi-caractere du groupe des classes d'ideles de
de
Soit
K'
,I,
Ow' ~w
(V
w
finie autre que
, dxw)
v, on diBpose aussi
Notant les unes et les autres
w
dV,a)
€
av '
,I, (V , dx )
~v
v
v
1T
w'fv
€ (V ,W,dx)
a w
w
= @ dxw
€a ,I,
v' ~v
et verifie les axiomes
ne depend pas du choix de la decomposition
Lemme 4.13. Soit
une extension galoisienne de corps locaux. 11 existe une
On verifie que
K'/K
(0)
a (4). Le point clef est 3.l2(C).
extension galoisienne de corps globaux
se decompose pas dans
et
K'
dx
lK', telle que
a une sous-extension de
lK~
lK'/lK, et une place
K
/lK
v
v
de
s 'identi fie au comple te de
lK
qui ne
en
v
-545Del-45
C'est trivial: on prend d'abord
remplace
1K
Lemme 4.14.
de
K et
Soient
K un corps global,
n
Si
S
K'
lK~ ~
~
K
S,
a
w
mew), et que pour
~
on peut en effet librement specifier
nombre~
1T
lS* n K*
w w
ne rencontre
K*
au
a
lS~,
de conducteur arbitrairement
constantes pour
~
additive en
de
Pour
*
K'/K
m, il existe une
Soit
et
a
un quasi-caractere de
K;~.
sont non ramifies, il existe une a-theorie des
un caractere de
pour
K, i l existe donc
K tel que
donne, il existe
v(a)
m
~
et
m-n. Si
n
= [m+l J .
*
n(*)
o .
11 suffit alors
m tel que, si le conducteur
a-theorie des constantes pour
a de conducteur
a
G
K'/K
Choisissons pour
~
resultent des
K'/K est une extension galoisienne finie de corps locaux
K'/K
~
qu'en {l}.
ki~.
non archimedien, de groupe de Galois
Si
sur
k, on a
D'apres 4.12, 4.13 et 4.14, 1 'assertion 4.9 (*) et donc 4.1
deux lemmes suivants,
a
k*
et on remarque qu'il existe des caracteres de
grand, qui soient triviaux sur
v .
soit non ramifie.
K est un corps de fonctions, de corps de constantes
Lemme 4.16.
' puis on
du groupe des classes
soit
car ce sous-groupe compact de /A*
~,
a
w E S, le conducteur de
K est un corps de
Lemme 4.15.
= lKv
un ensemble fini de places finies
11 existe un caractere
m: S - - ? "
toute place finie hors de
w fini
avec
par l' el:tension definie par un groupe de decomposition en
d'ideles tel que, pour
Si
lK'/lK
K'/K.
La fonction
2
m de
aO+a)
est alors
est un caractere additif non trivial
y, de valuation - (m + n (1jJ»
et bien defini modulo
a
-546Del-46
a(li-a) = 1jJ(ya)
Pour
X un quasi-caractere de
(4. 16.0
W,
e;(x a.,
paUl" yea) ;;. n.
K*, de conducteur :s; m - n, on a alol"s
dx) =
Pour TI- m- n (1jJ)u non contenu dans y(1i-(TIm- n », l'integrale partielle correspondante
est nul Ie : c'est l'integrale d'un cal"actere additif non trivial.
mn
constant de valeur X(y) sur y(li-(TI e;( Xa.,
de
K et
a.,
1 'inclusion de
XIII
Soit
§
det(V)
y
W,
dx)
a.,W-theorie
He G definissant une extension
L
H
-1
(y).
e;(a.oNL/K , woTrL/K,dx)
dim V
(0) (1) (2) sont triviaux. L'axiome (3) resulte de ce que
Les axiomes
([IOJ
K'/K en posant, pour
,1,(V,dx)
e;(a.,
m assez grand, on obtient une
V une representation de
e;
on a done
X-1 (y)
W' dx)
Nous allons montrer que, pour
des constantes pour
»,
Puisque X est
K*
dans
L*
s'identifie au transfert
W(K/K)ab ~W(K/L)ab
4) et de 1.2. Reste l'axiome (4).
He G correspondant a L/K, et
Rappelons que pour
u
e
l'indice de ramification.
E ~ et n = Ie plus petit entier tel que n e
~
2v(u),
(4.16.2)
On Ie verifie en ecrivant Ia norme de (I+u) comme Ie produit de ses conjugues.
Nous noterons 0(1)
D'apres 4.1 5 .2, si
a.
tout nombre borne en terme de
est de conducteur
[m+I J
m,
em - 00). De plus, pour -yea)
e - " -2- + 0(0,
a.oNL/K
K'/K
seulement.
est de conducteur
-547Del-47
a(l+Tr(a))
Pour tout caractere
X de
raisonnement fait plus haut
iii
(y Tra)
H, de conducteur
0(1), on peut refaire 1e
on obtient 1a formu1e vou1ue
-548Del-48
§
5. FORMULAlRE.
5. Formu1aire.
(5.1)
Outre 1a eonstante locale
€(V,~,dx)
definie par 4.1, nous eonsidererons
aussi, dans le cas non arehimedien, la eonstante
€o
definie par
dV, ~,dx)
Les constantes
(5.2)
€
et
(5.3)
€
et
€
€o
et
€o
ont les proprietes suivantes.
sont additifs en
sont independant de
a
et de
m~me
pour
€
dx
pour
V
virtuel.
virtuel de dimension
O.
un quasi-earaetere non ramifie de
K*,
dim V
dV, ~(ax), dx)
m~me
(5.5)
pour
Pour
€
o
K non arehimedien et
X
on a
(5.5.1)
et
En particu1ier, si on pose
dv, ~,dx,s)
et de
V
o
(5.4)
et de
V, done gardent un sens pour
m~me
(5.5.2)
pour
e: , on a
o
dV,~,dx,s)
,I'd)
e: (V ''t'' x .q
-(a(V)+dim(V).n(~».s
-549Del-49
q
Pour
-(sw(V)+ dim(V)(n( ~)+1). s
W une representation non ramifiee, on a de
m~me
(5.5.3)
Pour
(5.6)
L/K
a
de dimension
une extension separable finie,
de
W(K/L)
et
V
L
une representation virtuelle
V la representation induite de
K
W(K/K), on a
(5.6.1)
et de
m~me
pour
tel que, pour
8
V
L
0
,
En d'autres termes, il existe
de dimension quelconque,
(5.6.2)
La
m~me
formule vaut pour
Dans Langlands
8
o
[9J, c'est (5.6.2) qui fournit Ie
De plus, il prend systematiquement pour
~
dx
cadre de la theorie.
la mesure de Haar autoduale pour
' et il l'omet de la notation. Les constantes sont de plus normalisees pour
~tre
de valeur absolue complexe 1. Tout ceci lui impose une autre formule
(5.4).
5.7.
Soient
relativement
V*
a
~
Ie dual de
.
V et
dx'
la mesure de Haar duale de
dx,
On a
(5.7.1)
En particulier, si
K est non archimedien et que
Vest unitaire, de sorte
-550Del-50
que
V*
= V,
on a
-dim(V)
2
(5.7.2)
5.8.
\dV,*,dx) 1 = (::')
€
q
a(V)+dim(V).n(*)
apparatt dans l'equation fonctionnelle locale de Tate; posant X' = WIX
(5.8.I>
j(f(X)X'(X)d*X
=
€(X,*,dx)
Pour
K non archimedien,
L(X)
y E K*
de valuation
f
(5.8.2)
-1
y
5.9.
€ ( X,
Pour
*, d)x
K
_
-
non archimedien, si
(n(*»
X 11
•q
n(*)
(Tate) •
!fCx) X(x) d*x
L(X' )
.
(d
J$
x
X
•
l+sw(x)+n(*), on a (3.4.3.4)
-1
X (x) *(x)
<9*
dx
est non rami fie on a
En particulier, si
n(*)
=0
et que
.f<9
on a
5.10.
Prenons
Soient
X
k
et
K
non archimedien,
*k
les caracteres de
a(x)
~
k*
1,
et
(5.10.I>
OU
Test la somme de Gauss
(5.10.2)
xEk*
~gale
a 1 pour
(5.10.3)
~
-1
trivial. En particulier,
n(*)
k
= -1
et
definis par
(
dx
) (TT)
X
et
= 1.
*. On a
dx
= 1,
-551Del-51
5.11.
Soit
global de
K un corps global. Pour
K,
¢
V une
repr~sentation
un caractere additif de non trivial de
~/K
du groupe de Weil
et dx
=~
v
dx v la mesure
de Tamagawa sur £K' on pose
(5.11.0
L(V)
IT
v
L(V )
v
(5.11.2)
e(V)
If
v
e(Vv '
L'~quation
fonctionnelle globale
(5.11.3)
W
v'
dx )
v
s'~crit
L(V)
5.2, 5.3,
D~monstrations:
5.4 et 5.5
e t 5. 8 son t 4. 1 (l) e t (2), (3 ), (4) (e t 3.3) -
5.6
resultent de 4.8.
11 suffit de prouver (5.7.1) pour
V
d~fini
par un caractere ; la formu1e
resulte alors de (5.8.1) et de 1a formu1e d'inversion de Fourrier. (5.7.2)
resu1te de (5.7.1) et de (5.3) (5.4).
5.9
r~su1te
Enfin, 5.11
connus
de (3.4.3.1) et (5.10) de (5.8.2).
resulte de ce qui
pr~cede
et de (3.11.4) par des arguments
[lJ, [19J.
La restriction de 4.1 au cas des extensions et des caracteres moderement
ramifi~s
On
y
equivaut aux identites suivantes sur 1es sommes de Gauss (5.10.2).
designe par
k
un corps fini
additif non trivial de
5.12.
q
~lements
et
W un
par
caractere
k.
(Hasse-Davenport).
un caractere de
a
k*. On a
Soient
k'
une extension de
k
de degr~
n
et
X
- 5 5 2--
Del-52
5.13.
Soient
X un caractere de
k*
et
un entier premier a q. Soit
n
un ensemble de repr~sentants des classes d'isomorphie de couples
form~s
d'une extension
k'
de
k
et d'un caractere
x'
(b)
entre
k
de
(k',X')
k'*
tel que
et
(a)
~diaire
X'
X
et
k'
,
n'est pas de la forme x"oNk'/k" pour kit
f'
Le. x,q
# X' pour 0< f' < [k':k].
inter-
Posons
(k' ,X')EX
Alors,
(5.13.1)
Cette
identit~
se
d~visseen
les deux suivantes.
5.14.
(Langlands [9] 7.8). Soient
de
dans
de
q
repr~sentants
d'ordre J
k'
(~/L)*,
de
k~
~
une extension de
des orbites de Gal(k'/k)
et
X un caractere de
~
L
r(X ,$ )
reX, $)
.ieme,
~
caractere de
tel que
k'*
k'
~
de
T
un ensemble
$oTrk'/k)
un nombre premier divisant
k*
X un caractere de
une extension de
L
X'(x )
f,
l'ordre
k*. On a
r(X oN k , /k· iJ'
~
degr~
f
dans les caracteres (non triviaux)
Tr
(Langlands [9] 7.9). Soient
pas une puissance
de
r(iJ, $oTr k , /k)
iJET
semble des caracteres d'ordre
k
"IT
iJET
5.15
un nombre premier a q,
= XoNk'/k(x).
degr~
On a
L
de
q-l,
k*
k
et
T
l'en-
qui n'est
X'
un
-553Del-53
5.16.
Demonstrations.
Si
K'!K
corps locaux non archimedien et
on a encore
Soit
n(~oTrK'!K)
= -1,
est une extension moderement ramifiee de
un caractere additif de
~
de sorte que
5.10
V une representation moderement ramifiee
K tel que
s 'applique tant
a
n(~)
K qu'a
i
Soient
Pour
Ie corps residue1 de
k~
I.
dx
une mesure de Haar sur
(5.16.1)
€o(V,~,dx) =
+
Ind([~]-[l])
~ (Ind([l])-[K :K][l])
i
I.
K~
I.
K
et
Ie caractere de
Xi
JTI)
telle que
(_1)dim V
1f
i
k*
defini par
Xi'
dx = 1, on trouve
T(X:, ~koTrk~!k. )
I.
I.
La formu1e (5.12) s'obtient en prenant une extension non ramifiee
et en ecrivant que, pour
Xi
Ki!K.
dim(V). [1] + 2:
v
X un caractere (ici moderement ramifie) de
K'!K,
K*, on a
2: [~]-[IJ.]
IJ.
OU
IJ. parcourt 1es caracteres non ramifies d'ordre divisant
[K':K]. Cette
formu1e (5.12) assure que Ie second membre de (5.16.1) ne depend que de
V.
Les identites 5.13 s'obtiennent en prenant une extension tota1ement ramifiee
de degre
n
K'!K, et en conjugant 5.6.1 et (5.16.1) pour
caractere modere
X de
de
K'*
est
V induite par un
K'.
(5.14) et (5.15) sont Ie cas particu1ier de (5.13.1) OU
nombre premier
K'.
W(K!K). On peut toujours
l'ecrire comme somme de representations induites par des caracteres moderes
d'extensions non ramifiees
-1,
n
est un
£. Dans 5.14 (resp. 5.15), on suppose que Ie caractere
(resp. n'est pas) une puissance
£ieme.
X
-554Del-54
§ 6.
REDUCTION
Soient
t
MODI~O
DES CONSTANTES LOCALES.
K un corps local non
archim~dien,
et reprenons les notations 2.2. Soit
soit inversible. On simplifierait
supposant que
un sens dans
6.1.
K une c16ture
s~parable
A un anneau commutatif dans lequel
sans perte de
l'expos~,
A es t local, voire un corps. Pour
x E K, Ilxll
sur
~
K, a valeurs dans un
~
a par hypothese
[l/p]-module
M, et invariante par translation. La fonction additive
IJ:o (a + x ttl)
est l'unique mesure de Haar
a
int~grer
valeurs dans
[lip]
K, a valeurs
A contre une mesure de Haar
6.2.
p : w(K/K) ~ GLA(V)
V, et
a
m.~o
a
valeurs dans
SWI/J
par
J
(m
= ~o(~)
EM)
support compact
a
A.
un sous-groupe
t
peut se r~aliser comme un
ouvert de
p, on sait que la
~ t[I/J]-module
A est une
projectif. Si
A est de plus local, il est libre ; son rang est le conducteur
de Swan
de
V
Plus
conducteur de Swan de
entieres sur
des scalaires
g~n~ralement,
on
HomI/J(SwI/J'V)
~
distingu~
projectif. Si
~
t-algebre,
lJ:o(ttl)= 1, et
une repr~sentation du groupe de Weil sur
p soit trivial. Pour tout nombre premier
repr~sentation de Swan
d~finie
telle que
M est de la forme
valeurs dans
sur lequel
~
une fonction localement constante
un A-module libre (ou projectif)
M est
ilxll
toute mesure de Haar a valeurs dans
Soient
p
A.
Une mesure de Haar
On peut
K
en
g~n~ralit~,
une fonction simplement additive de parties compactes ouvertes de
dans
de
v~rifie
est donc un
qu'on peut toujours
A-module
d~finir
le
V comme une fonction localement constante a valeurs
Spec(A). Ce conducteur est invariant par extension de l'anneau
A.
I
-555-
6.3.
,
Si
est une racl.·ne (pn)ieme
d e l' unl.t~
." d ans
une fonction localement constante sur
cyclotomiques
de sorte que
de
P
/I
a
~
p
engendrent l'ideal trivial de
=0
i (C)
/Ii
,
est +
n
W\rr- ~
m
si
mod
6.4.
Pour
W un
X E Hom(K*,/I*),
dx
p
-1
E /I),
P
i
/1*, il
Spec(/I) ; en un ideal premier
A, et Ie plus grand entier
new)
n
new)
A
tel que
/lA' crest pareil). Par
est non trivial si
caractere additif non trivial de
et
(puisque
K a valeurs dans
A (ou dans Ie localise
abus de langage, on dit que
est
(pn)iemes de l'unite. Ceci permet de definir
west trivial mod
soit trivial
/I[X]
est d'ordre
west un caractere additif (continu) de
comme une fonction localement constante sur
new)
,
~ i ~ n), la i eme coordonnee
(1
. Sur
valeurs dans les racines
/I , l' ~
d
de
Spec(/I) : deux quelconques des polyn6mes
est produits d'anneaux
verifiant
,
Si
est
i(X)
~
Del-55
n'est nulle part + m.
new)
K
a
valeurs dans
une mesure de Haar a valeurs dans
/I,
II, on peut maintenant
de£inir
par la formule C3 .4.3.4) (plus precisement, si
Spec(/I)
If
/I '" . /I.l. , avec new) et
l.
. erne
On definit alors la l.
projection de eo par
commence par ecrire
Theoreme 6.5.
(a)
Pour
K un corps local non archimedien,
+ p,
un vectoriel de dimension finie sur
valeurs dans
/I
et
dx
eo
eo
du type suivant
V une representation de
/I,
W un
W(K/K)
K,
dans
caractere additif non trivial
une mesure de Haar (non nulle)
est invariant par extension du corps
Spec(lI ) .
i
K une cl6ture separable de
E /1*
(b)
constant sur
(3.4.3.4»'
II existe une et une seule fonctions
/I ~ corps de caracteristique
a
Sw(x)
n'est pas connexe, on
/I
a
valeurs dans
/I, on a
-550Del-56
(c)
Soit
A un anneau de valuation discrete de caracteristique residuelle
son corps des fractions et
~
W(K/K)
tation de
V une represen
W et
dans un A-module libre de rang fini, et pour
A, on a
valeurs dans
s=A/m son corps residuel. Pour
~
o
W,
(V ,
~
Les conditions (1)
(e)
Pour
dim V
= 1,
est donne par 6.4.
~o
separablement clos. Si
=~
A
traite en 4.1. Supposons donc
Gal (K/K)
G un quotient fini de
et
A un anneau de valuation
discrete d'inegale caracteristique de corps residuel
a
releve en un caractere additif
valeurs dans
relativement
a
G sur
On
A*
~
A/m
=A
X
m~me
~,on a
d'une sous-groupe de
~o
dx
en une mesure de Haar
de
A est assez gros (1.4)
dans
G a valeurs dans
correspondante est clairement dans
~o(V~,
W'
dx)
E A*
d(V)
A. D'apres
.
d:
R~(G) ~
surjectif (les representations virtuelles se relevent). Pour
tel que
en
~*,
On en deduit que, pour toute representation
sait que l'homomorphisme de decomposition
V E R~(G)
W
. On suppose
G.
A*, la constante
5.7.1, elle est
valeurs dans
A, et que Ie corps des fractions
Pour tout caractere
de
A de caracte-
+ O.
L
Soient
fait dans
A est un corps
A est de caracteristique 0, l'enonce, etant purement
algebrique, resulte du cas
a
m.
! (3) de 4.1 sont verifiees
Par descente galoisienne, il suffit de traiter Ie cas ou
ristique
a
dx
dx) E A* , et
mod
(d)
+ p,
= V,
V
RA(G)
E RA(G),
on pose
reduction
mod
m de
~o(V,
W,
dx)
est
et
-557Del-57
D'apres 1.8, pour legitimer cette definition, il suffit de verifier que
(*)
Pour
et
X', X"
congrus
H C G definissant une extension
deux caracteres de
H
a
L
de
valeurs dans
K,
*L
T]*, si X'
est
X"
mod m, on a
Les conducteurs de Swan de
de Swan de
X'
mod m. Pour
y
f -1~*
eo
Y
X'
= IT
et
X"
sont tous deux egaux au conducteur
l+Sw(X')+n(*L) , on a done
X I -1 (x)
L
Numerateur et denominateurs sont des unites, et sont clairement congrus
On a done
Pour
eo
V
une representation de
Gal(K/K), on obtient ainsi une fonction
cel1es exp1icitees dans Ie formula ire 5.1 dans Ie cas
Gal (K/K)
mod m .
1.
ayant 1es proprietes annoncees. Ses proprietes formelles sont les
de
sont
a W(K/K)
A
m~mes
E:
o
que
a; • Pour passer
on peut done reprendre l'argument utilise en 4.9,
a l'aide de 1a deuxieme formule (5.5.1).
Remarque 6.6. Dans tout ce numero, i1 a ete essentie1 de travail1er avec
E:
o
plut6t qu'avec E: . D'abord pour avoir a uti1iser Ie conducteur de Swan (invariant
par reduction
mod L) plutOt que Ie conducteur d'Artin, ensuite pour n'avoir pas
a distinguer, dans 1a definition de
E:o(X, *, dx), entre les cas non ramifie et
moderement ramifie. La signification de
numero suivant
E:
o
apparattra plus c1airement au
-558Del-58
§
7.
FONCTIONS
Soit
7.1.
L
MODULAIRES
X une courbe projective non singulieres sur
X irreductible, on note
K son corps de fonctions rationnelles et on
identifie points fermes de
triquernent irreductible,
7.2.
de
Soit
~
X et places de
F P
i.e.
x
X
(SGA 4 IX 2.3).
et
,qui est un
clOture separable de
~-module
k(x)
dans
X), et
K
v
Pour tout
K .
x EX, et pour
k(x), un tel faisceau
k(i)
G a une fibre
de type fini. Ce dernier ne depend que de la
k(i) , et
par transport de structure. De plus, pour
de
X geome-
un anneau noetherien. On sait ce qu'est un faisceau constructible
~-modules sur
en
K. On ne suppose pas
algebriquement ferme dans
une extension separablement close de
~
F p . On suppose
une clOture algebrique de
Gal(k(x)/k(x»
v
une place de
agit sur
~
K (point ferme
K ' on dispose d'une fleche de
v
specialisation
Gk(v) ---~>~
v
Cette fleche est equivariante ; son image est done contenue dans
On dit que
G est non ramifie en
v
si
sPv
I
~v
v
est un isomorphisme. Un faisceau
constructible est presque partout non ramifie.
Une fois choisies une clOture separable
au-des sus de chaque place de
constructible de
(a)
ou
(b)
~-modules
On se donne les fibres
K,
K de
K et une place de
K
on peut reciproquernent definir un faisceau
cornrne suit.
~
et
Gk(V') (respectivement des ~-Gal(K/K) -
A-Gal(k(v)/k(v»-modules, de type fini sur
~).
On se donne les fleches de specialisation (equivariantes pour l'action des
groupes de decomposition)
Gk( v)
Pour que
(a) (b)
----.;»
~
definissent un faisceau, il suffit que les
presque tous des isomorphismes.
soient
-559-
Del-59
7.3.
II nous sera commode de modifier la definition precedente en
les groupes de Galois par des groupes de Weil. Soit
Soient
Weil
IF
une cll'lture algebrique de
p
(resp. un faisceau de Weil de
un faisceau (resp. un faisceau de
une action de Frobenius sur
*Remarque (inutile) :
Y
topos
IF
«'it
Y un schema sur
= Y ISlF p IF p
Y
G sur
G
G, au-dessus de son action sur
sur
au topos classifiant
B~
, on a
wet
*
A-modules constructible peut se decrire en termes
galoisien comme en 7.2, en rampla~ant partout
Gal(k /k )
par
7.5.
K
sur
v
Soit
W(K/K),
W(K /K )
v v
et
Gal (K/K),
en paraphrasant 7.3. Soit
Spec(~v)
OJ( ,
v
un
v
et
v
K
v
une cll'lture separable de
A-W(K /kv )-module.. de type fini sur
v
K
v
A-modules constructible
A',
Gjz , un A-W(kv /kv )-module, de type Hni sur A
la fibre
c)
la fleche de specialisation,
v
sp
v
v
ou de se donner
b)
Soient
v
W(k /k ) = ~
II revient au m@me de se donner un faisceau (de Weil) de
a) la fibre
GaHK /K)
un corps local non archimedien. On definit un faisceau de Weil
v
Spec(~)
G sur
les faisceaux
seront appeles faisceaux etales.
Un faisceau 7.3. de
v
Yet' plus
Y forment un
Nous appellerons simplement faisceaux les faisceaux de Weil
7.4.
Y est
Y
Les faisceaux de Weil en ensembles sur
y
Yet
P
. Un faisceau de
p
A-modules constructible)
A-modules constrcutible)
IF
. On peut Ie decrire comme un 2-produit fibre de topos : identifiant
wet
Spec( IF) t
P e
sur
rempla~ant
une place de
faisceau (de Weil) de
;
W(K /K )-equivariante
v v
OJ;v
K et
----~>
OJ(
v
xv
Spec(~v)'
A-modules constructible sur
Par restriction, tout
X en definit un sur
X
v
-500Del-50
Un faisceau est plat si ses fibres sont des
7.6.
Soit
tel que
Soit
Ie quasi-caractere non ramifie de
G un faisceau constructible plat sur
= det(l-Fvtdeg(v),Gk
)-1
v
Pour
p
inversible dans
0.6.2)
= sw(~
a(G)
(un entier si
a valeurs dans
W(K/K),
v
v
Wt(F ) = tdeg(v)
v
Z(Gv,t)
0.6.0
deg(v) = [k ::IF ]
v
P
un corps local non archimedien. On pose
K
v
t
et on note W
A( t),
A-modules plats.
v
Spec(~v)'
= det(l-F v ' ~
On pose
®wt)-l
v
A, on definit un conducteur
) + dim(~ )-dim(~ )
v
v
A est local, une fonction localement constante sur
Spec(A)
en general).
Supposons que
caractere additif non trivial de
de Haar
a
# p. Soient
A soit un corps de caracteristique
valeurs dans
K
v
a
valeurs dans
A*, et
dx
une mesure
A, comme en 6.5. On pose
e:o(~ ®w t , W, dx). det<_Fvtdeg(V), ~ )-1
0.6.3)
v
e:
W un
v
est un monOme. D'apres (5,5,2), son degre en
Remarque 7.7. Soit
M une representation de
definit des faisceaux
JIM
et
j*M
sur
test
a(G),deg(v),
W(K /K ). En termes galoisiens, on
v
Spec(~v)
v
par les fleches de specia-
lisation
a ----»M
I
M v ---»M
Les quantites
e:
et
des § precedents s'identifient a la quantite (7.6.3)
e:o
relative respectivement
a
j*M
et
j,M. Au contraire de
j*, Ie foncteur
j,
commute a la reduction mod L . Ceci peut expliquer pourquoi, au § 6, nous n'avons
-561Del-51
7.8.
Soit
place
v
G un faisceau constructible de
de
G induit un faisceau
K,
0.8.0
7.9.
dx
Les
v
v
Spec(~v)'
= 1.
X. Pour chaque
On pose
E A[[t]]
K une unique mesure de Haar
a
~
p. 11 existe sur
va1eurs dans
= I8i
~[l/p]
(dx = mesure de Haar
dx
v
v
v
dx = O.
~ [l/p] ; pour presque tout v
v
v
definissent des mesures de Haar a va1eurs dans A
dx
JA/K
K , a va1eurs dans
v
sur
sur
A soit un corps de caracteristique
l'anneau des ade1es de
telle que
G
v
IT Z(Gv , t}
Z(G, t)
Supposons que
A-modules plats sur
On peut ecrire
dx
, I~
* de
S'i1 existe un caractere non trivial
A/K, a va1eurs dans
A*, on
pose
e:CG, t)
(7.9.0
Presque tous 1es termes du produit sont egaux
pas du choix de
Soit
AI
*
independante de
de definir
7.10.
de
e
de
*
i
1 'inclusion de
Z(G,t)
(ii)
~
Z(G,t)/e(G,t)
(iii)
Spec(K)
dans
~
00
*.
X. Si
A
Ceci perme t
K ega1e a V, et
sPv: V v~V.
A un corps de caracteristique
,
1.
Vest une representation
X de fibre en
A-vectorie1s,
Z(G,t)
~
p. Soient
1
G en
G un
K
t .
est asymptotique a
est une serie forme11e en
L
V 1a fibre de
~
est une fraction rationne11e en
t
de
I
sont
faisceau constructible de
(i)
Gal(A'/A), donc dans
$* V 1e faisceau sur
Soit
ieme
La constante globa1e correspondante, etant
s'i1 n'existe pas de caractere
pour 1eque1 1es
Theoreme 7.11.
A'*
, est invariante par
W(K/K), on note
dx
A par adjonction d'une racine primitive p
va1eurs dans
m~me
Notons
1, et 1e produit ne depend
ni de 1a decomposition choisie de
*
dedui t
a
I1 exis te
a
e(G,t). En d'autres termes,
t- , de terme constant 1.
-552Del-52
Soit
S
un ensemble fini de places con tenant toutes les places ou la
sentation
V
est
j,V
ramifi~e.
Ie faisceau sur
de fibre nulle en
(i')
Z(j,V,t)
(ii') Pour
en dehors de
~gale
E s.
v
S
=
j
1 'inclusion de
g~n~rale
1,
V, non
X-S
dans
X,
et soit
en dehors de
ramifi~
On v~rifie aussitOt que (i) (ii) ~quivalent
est fonction rationnelle de
Supposons que
j*W
X, de fibre
---> =,
t
Soit
repr~-
S, et
a
t
Z(j, V,t)
+ 0.
(identifi~e
l
i*W , R j*W
Pour toute repr~sentation W de
a
W(K/K) , non ramifi~e
un faisceau localement constant sur
Ie faisceau nul en dehors de
X-S), posons
S, de fibre en
v ES
1
a
H (Iv'W), et
O.ll.1)
Soit
de
Iv
P'
sur
Ie noyau de
t£: Iv
--->
~
1,(1) . Pour toute
repr~sentation
W
A, on a canoniquement
O.1l.2)
Pour toute
repr~sentation
W de
W)
O.1l.3)
~ 1,(1),
on a canoniquement
~ .(1)
~
=W
1
H (~ 1,(1),
W) = W~ 1,(1) (-1)
Hi(~ 1,(1),
w) =
(invariants)
(coinvariants tordu).
°
(i ~ 2)
Puisque 1a dualit~ ~change invariants et coinvariants, on a
Lemme 7. II . 4 .
Pour
et
1, ". 0,
(cf. 2.3).
sont canoniquement
en duali t~.
Naus n'uti1iserons pas que cette dualit~ peut s'interpr~ter comme un
cup-produit
tl,
mod 1, .
a
va1eurs dans
1
H (I ,A(l»
v
= Hom(I v , A(l»~
A ,
engendr~
par
-553Del-53
t
Pour
0, dans Ie courant de cette demonstration, nous poserons
z
et definirons
Z(Rj*W,t)
(7.11.1). Cette definition est justifiee par
par
7.11.5 et 7.11.6 ci-dessous. Pour
W une representation de
W(K /K ), nous
v v
poserons encore
Soient
et
A un anneau de valuation discrete d'inegale caracteristique
W(K /K )
v v
un A-module libre sur lequel
W
fractions de
A,
Lemme 7.ll.5.
s
A/m
z
agit. Soient
t # p
Ie corps des
Ie corps residuel.
Z (Rj*W ,t)
v
s
mod
Z (Rj*W ,t)
v
Tl
z
m.
La demonstration ci-dessous perdra son mystere au § 10.
Soient
F
P'
= Ker(tt
: I
~ ~ tel»~,
un Frobenius geometrique et
K
a un generateur de
~
Ie complexe concentre endegres
tel),
°
et
1
K
L'endomorphisme
q-l
i
a est unipotent et q est l'unique valeur propre de ~ a i
l'identite,
Soit
F
1
a
de
WP '
est inversible: il suffit de Ie voir apres
i=l
n
reduction modulo 1 'ideal maximal de A. Apres reduction, puisqu'un at
est
~
K = (Fo,F l )
=F
q-l
0
(~
l'endomorphisme de
i-I
a)
. La quantite
de compos antes
et
1
detCl-F tdeg(v) Wp ') -1
o
'
Z
est de formation compatible
extension des scala ires a Tl
Z
K
= det(l_Ftdeg(v)
-
H (K»-l
'0
a
detCl- Fltdeg(v) ,W p ')
1 'extension des scalaires
a
Tl
ou
s . Apres
(resp s), on a
detCl_Ftdeg(v)
-
, Hl(K». On conclut en notant que
Del-54
et
Variante 7.11.6. Supposons
W(K /K)
v v
A
complet et soit
W un A-module sur lequel
agit continOment pour la topologie ~-adique (et non plus, comme
auparavant, pour la topologie discrete). On pose encore
(W
et on definit
Le
HI
Zv(Rj*W,t)
p'
)7£
T1
~
comme auparavant.
(coinvariants tordu).
(1) (-1)
defini plus haut peut s'interpreter comme un
HI
continu
lim
O.1l.6.1)
<--
La formule de reduction 7.11.5 reste valable (avec la m@me demonstration).
La formule (iii) equivaut a
Lemme 7.11.7.
O.ll.B)
7.11.7
resulte de l'identite locale
Si on remplace
V par la representation
V <81 wt
de
W(K /K )
v v
sur
II< (t)) ,
cetce formule se simplifie en
qui resulte de la dualite locale 7.11.4.
Prouvons 7.11. Si
A
= ¢,
Ie produit infini
as sez pe ti t, e t
L(V,s)
Z(j*V,t)
converge pour It
I
-505-
Del-55
Z
est done une fonction
qu'e11e est
de
t.
=t
croissance
L'~quation
Les
A
a
~nonc~s
mod~r~e
de
pour
t;
t
~ ~
(i) et (iii) sont purement
ES
A de
caract~ristique
un sous-groupe ouvert
J
, done une fonction rationne11e
L
fournit (iii).
a1g~briques.
. Si une repr~sentation V de
d~pendent
Etant vrais pour
g~n~ra1
0. La
m~thode
cas des groupes finis, i.e. au
L'~nonc~
(ii')
Proposition 7.12.
constructible de
Dans 1a
1 'hypothese
r~su1te
Si
L
~
p.
sur
A
de
I
se re1eve en
v
caract~ristique
r~duction
mod L
Z{j,V,t), Z{Rj*V,t)
i1 suffit done de savoir que, apres
W{K/K)/J
se re1eve virtue11ement
de 4.10 (cf. 4.10.3) ramene cette question au
th~oreme
0.
pour
V (une extension donne un produit).
de Brauer.
A est un corps de
d~monstration
W{K/K), contenant
de (7.11.8) et ce que, pour
A-vectorie1s,
caract~ristique
0.
quantit~s
extension des sca1aires toute repr~sentation de
caract~ristique
A de
V s'obtiennent par
additivement de
Pour obtenir (i) et (7.1l.8) en
~
de
W{K/K)/J
(compte tenu, pour (7.1l.8), de 7.11.5). Les
e{j,V,t)
L
distingu~
0, 1es assertions (i') et (7.1l.8) pour
en
fonctionne11e montre
(ainsi que (i') et (7.11.8», i1s restent vrais pour
Soit
et
l'~quation
fonctionne11e de 1a fonction
Supposons maintenant
v
m~romorphe
caract~ristique
t
0, Z
p
~
1.
G un faisceau
Z{G,t) est encore une fraction rationne11e en
7.11 (i) nous n'avons en effet pas fait usage de
t.
-566Del-66
§
8. REPRESENTATIONS L-ADIQUES DES GROUPES DE WElL LOCAUX NON ARCHlMEDIENS.
STRUCTURES DE HODGE ET GROUPES DE WElL LOCAUX ARCHlMEDIENS.
8.1.
Soit
K un corps local non
archi~dien.
Nous utiliserons les notations
2.1 et 2.2.
Soient
L un nombre premier
une extension finie de
" p
(on pourrait prendre pour
E , plus generalement, un corps valu~ extension
A
~L)' Une representation A-adique V de W(K/K) est une representation
de
continue pour la topologie
un
A-adique
p : W(K/K)
~ GL(V) de
W(K/K)
sur
EA-vectoriel de dimension finie.
Le resultat suivant est demontre dans [13].
Theoreme 8.2. (Grothendieck). Soit (V,p)
W(K/K). 11 existe
d'indice fini de
Ce
une representation
N E End(V)(-l), nilpotent, tel que pour
A-adique de
cr dans un sous-groupe
I, on ait
N E End(V)(-l) est unique, done invariant par Galois
pour
w E W(K/K),
on a
p(w) N
p(w)
-1
•
V(w) N
q
•
Nous allons utiliser 8.2 pour decrire les representations A-adiques de
A(K/K)
8.3
)n
EA' Ce sera fait deux fois
est plus intrinseque, et 8.4, qui nous suffit, plus elementaire.
8.3.1.
sur
en termes independants de la topologie de
A isomorphisme unique pres, il existe un et un seul groupe algebrique
~L' isomorphe
Ie note
C (1).
a
a
Ca , et muni d'un isomorphisme
~L(l) ~ G(~L) .
G
-567Del-67
8.3.2.
J' ~ J
Soit
J C I un sous-groupe invariant ouvert de
n Ker(tt)'
w(K/K)/J
par
Le quotient
on obtient une extension
w1
est extension du groupe discret
W(K/K)/J'
J/J' ; app1iquant
de
a
W(K/K) , et
: J/J' ~ ~ t ~ 'a(l),
L
aa(l) (voir Serre [12J II 1.3).
cette extension
W(K/K)/J) par
t
---~> W(K/K)/J - - - ? 0
8.3.3.
W~ forment un systeme projectif, et 8.2 signifie que toute
Les
repr~sentation A-adique de
W(K/K)
se factorise par une repr~sentation
a1g~brique d'un w~. i.e. par une repr~sentation du sch~ma en groupes
8.3.4.
Soient
Associons
Cette section
It
J
a
1 'image r~ciproque d~
II J CW(K/K) I J
et
1'' • _lim
ItJ
.1
0 E I/J,
d~finit
image de
0
0
0
t
t
> W(K/K)
> I
> I
X C
>
0
t
II
>~
>0
(0 - - ? WL(K/K) - - - ? ~
> 0
t
fc
f
j
a
0
a(o) t(-tt(O»
des scindages
On a un diagrannne
0
0 E I/J, l'~l~ment
f
0
(1)
G (1)
at
0
de
W~
-568Del-68
Soit IW t
8.3.5.
W(K/K)
agit par
Wt(K/K)
W
'W t
et
Ie produit semi-direct de
x w- l
= qV'(w).x.
W(K/K) par
Ga(l), sur lequel
11 existe des isomorphismes
entre
qui rendent commutatif
----~> W(K/K)
I~
II
---~> 'Wt(K/K) ---~> W(K/K)
et on
v~rifie
facilement que deux quelconques sont
(l'ind~termination est
Frobenius
F E W(K/K), et on utilise que
8.3.6.
Soit
W(K/K)
par
'w
isomorphisme
'w
~
Ie
sch~ma
lC a ' sur lequel
W(K/K)
'a ~ 'a(l)
(i.e.
par un
+ 0;
~,
agit par
voir 8.4.3 ci-dessous).
produit semi-direct de
-1
w x w
Q!t ~ ~t(l»
= qv' (w) .x.
v~rifie
~ agissant
(voir 8.4.3) ci-dessous) que ce groupe d'automorphismes agit
trivialement sur l'ensemble des classes d'isomorphismes de
de
Chaque
d~finit un isomorphisme
'W t , d'on une classe de tels automorphismes modulo
Q!t
sur 'W t via son action sur
On
~l~ment
dans Ie choix d'un relevement d'un
q-l
en groupes sur
conjugu~s
repr~sentations
'W t . Au total, on a obtenu que
(8.3.7). Les classes d'isomorphie de repr~sentations
A-adiques de
W(K/K)
sont en correspondance bijective naturelle avec les classes d'isomorphie de
repr~sentations
D~finition
de
(a)
'W(K/k)
sur
8.4.1.
~
du
E
A
Soit
sch~ma
en groupes sur
E un corps de
E est un couple Q
~
caract~ristique
= (p',N')
une repr~sentation de dimension finie
un endomorphisme nilpotent
(8.4.1.1)
N de
O. Une
repr~sentation
consistant en
p' : W(K/K)
W(K/K) ~ E
(b)
'W .
V, tel que
~ GL(V)
de
de
-559Del-59
8.4.2.
Choisissons un Frobenius geometrique
F E W(K/K)
et un isomorphisme
T : ~L(l) ~ ~L . On associe comme suit une representation
'W(K/K)
E
a une representation
A
sur
a E I, on pose
(a)
Pour
(b)
N' E End(V)
(N
A-adique
F
correspond a N, via T .
et
Changeons
W(K/K) :
de
etant defini par 8.2)
Lemme 8.4.3. La cIa sse d'isomorphie de
choix de
(V,p)
(p',N') de
(p',N')
ne depend que de
p, non des
T.
F
en
F p , pour obtenir (p",N'). On a
pour
A
Changer
= exp«l-q -1 ) -1
en
T
change
ST
pour toute representation
(p' ,N')
Soient
tL(p»)
(p',N')
(p',N')
en
(p',aN'). Nous IDontrerons que
'W(K/K)
de
sur un corps
E, et tout
a
E E,
(p',a N').
I'
= Ker(p')
~
Aut(I/I'».
de
E, soit
Pour
va
et
n
n
F
tel que
sont central dans
a une classe de conjugaison dans une clOture algebrique
Ie plus grand sous-espace de
valeurs propres de
W/I' (par exemple,
n
F
I Vo.
soient dans
V, stable par
n
F , tel que les
a
On verifie que
(a)
(b)
Si
lue
Va
est stable sous
-n
N ya c yq a
p'(W(K/K), et
V
=e yU
A est la transformation lineaire, laissant stable les
AIYo.. A(a),
avec
A(q-na ) · a A(o.) , on a done
A(p',N')A
De 8.4.3
-1
.(p',aN')
on deduit aussitOt la conclusion 8.3.7.
yo., et telle
-570Del-70
8.5.
Soit
(p',N')
une repr€sentation de
est centrale dans
Si
+0
un
p'(w )
l
et
p'(W )
Z
u, done
u
u
la
N' E E dey)
puissance de
centralise
F
Im(p').
ont une puissance commune. On en
est la composante unipotente de
p'(FnO)
(0 E I), et, pour
, aussi celIe de
p' (F
n
0), exp (a N)
exp«l-q
qui en est Ie conjugu€ par
-n -1
)
.a.N). Posons
(8.s.U
u
D€finition 8.6.
(ii)
E . Soit
commutent. Puisqu'une
Im(p'), une puissance de
z
d€duit que
n
p'(F), u et N'
WI' W E W(K/K)-I,
sur
p'(F) : p'(F) ~ p'(F)sS . u. Puisque
composante unipotente de
est vecteur propre de
'W(K/K)
(i)
On dit que
(p'ss, N')
(p',N')
(resp. pour tout)
est la F-semi-simplifi€e de
p'
= p'ss,
~ (resp.~)
a E E,
~ F-semi-simple si
W E W(K/K)-I
p'(W)
-n
(p',N')
l.~. si pour un
exp (aN)
est semi-simple.
Pour une repr€sentation
A-adique, on d€finit encore sa F-semi-simplifi€e
par (8.5.1), et la F-semi-simplicit€ comme en (ii).
8.7.
Le formalisme 8.3 ou 8.4 permet de comparer des repr€sentations A-adiques
pour diff€rents corps
EA' Pour oe faire, introduisons la terminologie classique
suivante
Soit
On dit que
F
Q est d€finie
quement close
sur
sur
de
F
Soient
'W(K/K)
une extension de
F
F.~
l
sur
E
~
une repr€sentation de
'W(K/K) sur
F.
si, pour toute (pour une) extension alg€bri-
F, .Q- est isomorphe a ses conjugu€s sous AutC'F/E) .
p
deux extensions de E, et Qi une repr€sentation de
et F
Z
On dit que
E et que, pour
E, et
~ ~
et
Ql
F , F
l
Z
~
E
QZ
sont compatibles
si elles sont d€finies
une extension alg€briquement close commune
-571De1-71
de
FI
et
F
2
,
Q
et Q
IF
Defini tion 8.8.
~
ne divisant pas
p
de
de
W(K/K} . On dit que
correspondantes de
sont isomorphes.
2F
un corps de nombre,
E
E et
~
PI
'W(K/K}
,
PI
P2
Al
~
deux places finies
A2
des representations
P2
Al - et
A -adiques
2
sont compatibles si les representations
Ie sont (8.7).
On laisse au lecteur la verification du plaisant exercice suivant.
Supposons
Propos i tion 8.9.
(Vl,P )
l
filtration finie croissante de
Vi
(V ,P )
2 2
~
F-semi-simples. Soit W 1 'unique
k
N W
telle que
k
CW - 2
et que
N induise
un isomorphisme
Pour que
PI
~
P2
sont compatibles, il faut et il suffit que les caracteres
des representations de
dans
F
W(K/K}
Gr~CVl} et Gr4Cv2} soient a valeur~
sur les
et respectivement egaux.
Exemple 8.10
(on fait
representations de
E
= ~).
Soit
WCK/K} C GalCK/K}
A une variete abelienne sur
sur les
VL(A}
= TL(A}
® ~L
K. Les
sont
F-semi-simples et compatibles.
Variante 8.11.
Soit
G un groupe algebrique lineaire sur
Une representation de
'w
(p',N') : p' : W(K/K}
---->
N' E Lie(G},
dans
G
(sur
E) est un couple
G(E} (trivial sur un sous-groupe ouvert)
C8.4.1.0 etant verifie. Pour
'w
associent une representation de
pour la topologie
A-adique
E de caracteristique O.
P
(apres extension des scalaires
a
dans
E
G
= EA '
a
et
les formules C8.4.2}
toute representation continue
W--7 G {E }. Sa classe d' isomorphie geometrique
A
FA)
ne depend pas des choix arbitraires
faits: la premiere partie de la demonstration 8.4.3 s'applique encore, il reste
a
montrer que (p' ,N') ~ (p' ,a N'). Pour ce, on note que Ie sous-groupe algebrique
-572Del-72
H de
G qui centralise
m
p'(F ), done un element
de
Im(p')
g
N'
ge~eralise
Facteur locaux : Soit
E-vectoriel
caractere
ne peut done qu'@tre surjectif.
E, on definit la compatibilite
W(K/K) ~ G(E )
A
A-adiques
Le sorite 8.5, 8.6 se
sur un multiple contient un
= qmN,. Le
G est defini sur un corps de nombres
de representation
8.12.
N'
envoie
adg(N')
tel que
H donnant l'action sur
Si
et
(p',N')
comme en 8.7, 8.8.
tel quel.
une representation de
'W(K/K)
sur un
V. Par abus de notation, on pose
VI
c'est une representation de
= Ker(N,)P'(I)
W(k/k). On definit un conducteur, un facteur
L
local et des constantes locales par les formules
a(V)
(8.12.1)
sw(V ,p I) + dim V _ dim VI
(8.12.2)
(8.12.3)
(8.12.4)
Pour
(p'N')
definis par une representation
VI
Z(V,t)
eo(V,t)
Le cas archimedien:
p
sur
V, on a
Vp(n
= det(l-Ft,
= eo
yP(I»
(semi-simplifiee de
V,t)
Dans Ie cas non archimedien, ce que fournit la geometrie
(la cohomologie t-adique) sont des representation
tations de
A-adique
'W(K/K), non des representations de
A-adiques, i.e. des represen-
W(K/K).
-573-
Del-73
Dans Ie cas archimedien, de m@me, la geometrie fournit non des representations
de
a
W(K/K), mais des structures de Hodge. Voici la regIe
utiliser pour passer
des structures de Hodge aux representations.
(A)
K complexe.
La geometrie fournit des vectoriels
V sur
K, munis d'une
Hn(X,K)
est muni d'une
bigraduation de Hodge
(par exemple, pour
X une variete algebrique sur
K,
telle decomposition). On en deduit une representation (semi-simple) p
W(K/K)
(B)
= K*
K reel
sur
V en posant
La geometrie fournit des vectoriels
bigraduation de Hodge
=e
V
pq
V
=~
/2
agit sur
X(K)
V sur
F~
et d'une involution
Par exemple, pour
Gal(K/K)
de
et
K, munis d'une
telle que
X une variete algebrique sur
Hn(X(K),K)
K,
est muni d'une telle structure
p
On en deduit une representation (semi-simple)
de
W(K/K)
sur
V en
posant
Ces formules different de celles de
[3J
1.12
(defigure en outre par une
faute "d'impression" p. 21 .12), parce qu'aux places finies j'utilisais dans
loco cit. 1 'inverse de l'isomorphisme de la theorie du corps de classe local
utilise ici.
Aux places finies,
1 -
WI . De ml!me,
F~
-1
si
H (lP 1,
2
~.t)
~ ~ .t(0
correspond au quasi-caractere
-
H (lP (K),K), structure de Hodge de type (-1,-0, avec
2
K
= It,
correspond au quasi-caractere
WI
de
W(K/K).
-574Del-74
§
9. SYSTEMES CO}WATIBLES DE REPRESENTATIONS L-ADIQUES.
Pour simplifier 1 'expose, nous ne considererons dans ce § que des repre-
sentations de groupes de Galois
de Weil). Comme en 7.1, on note
irreductible sur
9.1.
Soit
IF p'
(plut~t
X une courbe projective et lisse sur
de corps de fonctions
la topologie de
A-adique de
~t'
E
et presque partout non ramifiee de
A
E WO
A
= W).
avec
L
+ p.
Soit W
Gal (K/K)
dans un
EA' Le groupe de Galois etant compact, il
W un reseau invariant
W tel que
P
Gal (K/K), i.e. une representation continue pour
vectoriel de dimension finie sur
de
IF
K.
E
un corps local extension finie de
A
une representation
existe dans
que des representations de groupes
O
W
(un reseau
est un SOus-GA-module libre
Les facteurs locaux
de tC l-F t deg( v)
v
sont donc dans
~A [[t]], ainsi que leur produit
noyau de 1 'application de
de GROTHENDIECK,
GaHK/K)
dans
Z(W,t). Soit
Galo(K/K) Ie
GaHlFp /lF p )' D'apres un theoreme
Z(W,t) est une fraction rationnelle, est m@me un polynOme si
0-
WGal (K/K)
o
et verifie une equation fonctionnelle
(9.1.0
on
€Gr
z'(W, t)
est un monOme de degre
t deg(v).a(i*Wv )
v
(8.12.0.
Le lecteur trouvera au § 10 un resume de la theorie de Grothendieck.
-575-
Del-75
9.2. Soient
E un corps de nombre ,
divisant pas
tout
>..
par
A
e ~.
p
de
E
et
~ C E
un ensemble infini de places finies ne
~
l'anneau des elements de
E
A l'ideal premier de
&
On designe encore par
AE
Supposons donne, pour chaque
AV
),,-adique
de
dEHini
, une representation
~
Gal(i(/K). On suppose que, pour toute place
les representations
de
)..-adiques
W(i( /K )
v
v
(8.6) sont compatibles
et la "constante" (ua
K,
Z(AV,t)
e &(t)
mon~me)
sont done independantes de
v
1\
V
V
wv
A (cornrne d'habitude, les
d'un caractere non trivial de
~/K
On note ces fonction et constante
E l!l( t)
e:C,V, ljr ,dx ,t)
V
et
dx
~
Z{V,t)
v
et
sont les cornposantes
est une mesure de Tamagawa).
e{V,t).
Sous les hypotheses precedentes,
Z{V,t) ..
(9.3.U
~
Puis que
e{V,t)
Z{V*,pt
-1
)
Tf ~/A
est infini, l'application
i l suffi t de prouver 9.3.1 apres reduc tion
l!l---">
mod A pour tou t
est injective
A E
~.
allons pour cela mettre 9.3.1 sous une forme compatible a la reduction
et justifiable,
S
V se ramifie et
A-adique
de
F-semL-simplifiees
(cf. aussi 9.8). La fraction rationnelle
.. Tf
Soient
v
soient compatibles, au sens
strict (8.8). 11 nous suffirai t en fait de savoir que leurs
Theoreme 9.3.
A-entiers pour
Nous
mod
A,
mod A , de (i.ll.8).
un ensemble fini de places de
1 'inclusion de
X-S
W, non ramifiee en dehors de
Tfe: S
v
Tf
v~S
v
X. Pour toute representation
dans
S, nous poserons
det{l-F tdeg{v)
v
v
detCl-F tdeg{v)
K, contenant toutes les places ou
'
e:CW ' ljr,dx,t).
v
W I v)
v
1T
vES
-j Tf
vES
detCl-F tdeg{v) ,W
(_l»-l
v
vl v
e (W ,ljr,dx,t>
0
v
-576Del-76
Un calcul facile, deja fait en 7.11.7, montre que (9.3.1) equivaut a
(9.3.2)
On conclut par 7.11.6 et 7.11.8.
Stabilite9.4.
Soient
F
uneextensionde
E
Un systeme compatible de representations
et
lL
F
l'imagereciproquede
O. ElL)
,,--adiques
definit
par extension des scalaires un systeme compatible de representations
(A E lL ). Si
F
,,--adiques
X est un caractere du groupe des classes d'ideles, a valeurs
dans les racines de l'unite de
F, les
,,-V.X
forment encore un systeme
compatible, justiciable de 9.3.
Corollaire 9.5.
Soit
X un caractere du groupe des classes d'ideles, a valeurs
dans les racines de l'unite d'une extension finie de
SeX)
(resp. S(V»
Supposons que
l'ensemble des places de
S(V)
n SeX) = 0
K ou
(cf. 9.4). Soient
X (resp.
V)
se ramifie.
. On a
par de fi ni tion
€«V-dimV[llX[x)-ll),t)
€(Vx,t) € (V,t)-l
E
€(X,t)-dim(V) €([l),t)dim(V)
IT
vES(V)
v
IT
E Sex)
a(x)
det V (11
)
v
v
C'est un corollaire de 5.5.3.
Exemple 9.6.
(pour
E
=~
est une courbe elliptique sur
lL
= les
K, les
nombres premier autres que
de representa tiors L-adiques. Si 1 'invariant modulaire
pour tout caractere
X comme en 9.5,
p). Si
F
1
H (F'~L) forment un systeme compatible
n'est pas constant,
les fractions rationnelles
correspondantes sont des polynOmes, et verifient 9.5.
Z(FX,t)
lL.
-577Del-77
9.7.
a Weil
On renvoie
dim(V) .. 2 , entre
Le cas Ie plus
[16J
Z(V, t) et "formes modulaires" sur
int~ressant
On obtient des
par exemple E
pour la relation que 9.5 implique, lorsque
est fourni par 9.6.
r~sultats
plus
pr~cis
une courbe elliptique sur
en invoquant Jacquet-Langlands. Soit
K, d'invariant modulaire non constant.
D'apres Ie dictionnaire de Langlands (voir [4J
K, la
de
repr~sentation
1
H (E'~t)' pour
et est
correspondante. La
vecteur
t.
de
ind~pendant
(i.e. Ie centre
Nous
de
K~
TI(E) ..
consid~rerons
TI
v
repr~sentation
TI peut ~tre d~fini sur
v
la
w2 ),
de
repr~sentations
~
complexe
repr~sentation
est de dimension infinie, de poids
GL(2,K ) agit par
v
2
et a presque toujours un
D'apres 9.3, 9.6 et [8J 11.5
GL(2'~v)-invariant.
restreint
GL (K ). Les
2 v
variable, ~tant compatibles,
~
v
Hl(E,~~), d~finit une
sur
de
irr~ductible
), pour chaque place
3
GaI(K /K ) :;W(K /K )
v v
v v
admissible
repr~sentation
GL(2,A)/GL(2,K).
Ie produit tensoriel
figure cornme facteur direct dans la repr~sentation
TI
v
v
admissible ~ (GL(2,#.)/ (GL(2,K» de GL(2,M dans l'espace des fonctions
2
localement constantes sur GL(2 JA) /GL(2 ,K), se trans formant sous 1 'action du
~
W ' a support compact
2
centre par Ie quasi-caractere
modulo Ie centre et
cuspidales.
Th~oreme
9.8.
Soient
A- ~ ~-adi9ues de
supposons que, pour
A,
~
des places de
Gal(K/K). Soit
v It
s,
S
E
et
AV,
place
repr~sentations
un ensemble fini de places de
les semi-simplifi~es de
compatibles. Alors, pour toute
des
~V
v, les
et
v
soient
~v
semi-simplifi~es
K et
et
de
sont compatibles.
Si
S
est pris assez grand pour contenir toutes les places
ou
(*)
et
Pour
V
~v
Le
V, 1 'hypothese se
~v
v It S, les polynOmes
sont dans
th~oreme
int~ressant
9.8
E[tJ
et
r~duit
ramifi~es
a
caract~ristiques
de
F
v
agissant dans
AVV
~gaux.
est done une
des corps de fonctions,
r~ponse
a
partielle, dans Ie cas Ie moins
la question
1
de
Serre [12J I 12.
v
~v
-578Del-78
On prendra garde aux points suivants.
(a)
La conclusion porte seulement sur les
locales,
~
sur leur
F-semi-simplifi~e.
de 8.4.2, on considere seulement la
(b)
Pour
A" \..l ' AV • \..lV , Ie
semi-simplifi~e
ont un caractere a valeurs dans
de
affirme
W(Kv/K )
v
Appliquons Ie
cette
identit~
se
de
et
th~oreme
de
p' , et
~
N .
que les semi-simplifi!les
sont d~finies sur
5
E, i.e.
contient toutes les places ou
a
v l 5, il n'y a des lors plus
agit via un groupe infini. Pour
semi-simplifi~e
repr~sentations
E.
On peut supposer, et on suppose que
entre
des
En d'autres termes, avec les notations
th~oreme
AVV
des repr~sentations locales
semi-simplifi~es
Iv
distinguer
F-semi-simplifi~e.
de Grothendieck
rappel~
en 9.1
r~crit
Tf
z (, V*
vEs v
I\.
lTz
(,vwl,t)
vE5 v
I\.
ou Ie premier membre est dans
membre est done dans
E(T),
et Ie m@me pour
ind~pendant
de
A.
et
D~composant
V . Le second
I-l
Ie second membre
en Ie produit d'un monOme et d'une fraction rationnelle valant 1 en
trouve par Ie calcul local de 7.11.7
Tf
v E 5
est Ie m@me pour
(det( l-F t deg (v)
v
AV et
que
I
V v)/ det(l-F tdeg(v)
V
' A
v' A I
v
Av
et sa
coinvariants de
semi-simplifi~e
Iv
v
(1))
-
\-lV' Les facteurs de ce produit sont additifs en
(une extension donne un produit ; cela
pour
t .. 0, on
r~sulte
AVV
de (7.11.6.1)), done les m@mes
Pour celle-ci, invariants de
sont pareils, et on trouve que
et
-579-
1T
(9.8.1)
ES
v
v
est Ie m@me pour
Soit
V
I.l
E S, et tordons
o
classes d'ideles non
(X
Del-79
ramifi~
v par un caractere
et
en
I.l
et tres
V
o
est a valeurs dans une extension de
Les hypotheses faites sur
(AV, I.lV)
ramifi~
Posons
APv(T)
V
a
det (l-F
v #
v E S, on a, dans
X(F).
E(T),
P (T) / P (q T)
I.l v
Rq(T). R(T)/R(q T)
= lim
div (R)
De 9.8.2, on d~duit donc que
I.l v
en
0
N
lfR
(q T»
o q
div(
APv(T) E E[T]
(1 imi te simple),
et que
P (T)
a une extension finie
extension finie locale
Gal(K /K)
v v
K'
et
(remplacer
K~/Kv
~tant
K~
V sont respect~es par passage de
I.l
S par son image r~ciproque). Toute
est un sous-groupe fer~ de
les diverses
repr~sentations
soient non
K
induite par une extension globale
vaut aussi pour les repr~sentations de
E Iv ' on a
1
I.l v
Les hypotheses faites sur
Prenant pour
R valant
est injective: pour les diviseurs, on a
(9.8.3)
F
deviennent 1.
o
T, (AV;S) V). Appliquant l'invariance de (9.8.1)
La transformation qui a une fraction rationnelle
ces
V
I
v
V
o
X convenable,
subit une modification triviale, qui se lit sur
o
(9.8.2)
car
E S autres que
sont stables par torsion. Pour
a (AVX, I.lVX ) , on trouve que, pour chaque
associe
v
E; pour l'existence, cf. 4.14).
apres torsion, les facteurs de 9.8.1 relatifs aux
Celui relatifa
en les
A du groupe des
Gal(K/K», on trouve que
W(K /K')
v
v
d~finies
extensions telles que les
ramifi~e,
9.8.3
et
par
semi-simplifi~es
on trouve que, pour tout
F
de
EW(K
v
/K ),
v
-580Del-80
En dehors de
v
Iv ' les caracteres des representations
I-l
cotncident done.
Les m@mes arguments, on on ne retient de
nent
que pour tout sous-groupe ouvert
J
de
Iv
et tout caractere
et
X de
J,
vssll
et
Vssll
v
I-l
v
cotncident done sur tout
D'apres Ie theoreme de Brauer, ceci implique que
ont m@me caractere. Les caracteres de
que l'egalite des degres, don-
9.8.~
A
v
I-l
W(K /K ), et ceci acheve la demonstration
v v
Proposition 9.9.
Soit
(AV)AEL
un systeme infini de representations
On suppose que pour toute (ou presque toute : 9.8) place
simplifiees des
AVV
v
sont compatibles. Alors, pour chaque
de
A-adiques.
K, les semi-
A,
(9.9.0
Posons
Zss(AV,t)
E:
ss
(AV,t)
Ifv
dedl-F tdeg(v) ( VSS )
v
' Av
If
v
ss
e;(AV ,
Un calcul local montre que (9.9.1) equivaut
1\r
,
I
v)-l
dx, t)
a
(9.9.2)
(Ie quotient des facteurs locaux en
additif en
des deux membres de
~.9.l)
ou (9.9.2) est
AVV' et ces quotients cotncident dans Ie cas semi-simple).
L'identite
pour chaque
v
a
prouver (9.9.2) est independante de
A, et on conclut comme en 9.3.
A. On la prouve
mod
A
-581-
§ 10.
LA THEORIE DE GROTHENDIECK
10.1.
Soient
X une courbe projective non singuliere sur Ie corps fini
une clOture
IF P
de
IF
a
p
alg~brique
IF P •
L
de
IF p'
X
d~duit
un nombre premier premier
de
X
a
P
par extension des scalaires
p et A un anneau
G un faisceau (de Weil : 7.3, 7.4) constructible de
Soit
IF
noeth~rien
tue
L.
par une puissance de
plats. Notons encore
10.2.
Del-81
G Ie faisceau
~tale
Les groupes de cohomologie etale
A-modules
X qui s'en deduit.
sur
Hi(X,G)
sont des
A-modules de type finis.
N'etant pas projectifs, ils ne nous seront d'aucun usage. Nous devrons utiliser
un objet plus fin
que
RI'(X, G) EOb D f(A)
par
qui leur donne naissance. Rappelons
peut se definir comme la categorie des complexes finis de
D
par f(A)
A-modules projectifs de type fini, les morphismes etant les morphismes de complexes
pris
a
homotopie pres.
RI'(X,G)
de type fini, concentre en
est un complexe fini de
degr~s
0,1 et 2
A-modules projectifs
si on veut, bien defini a homotopie
pres, et dont les groupes de cohomologie sont les
Hi(X,G).
Par "transport de structure", la substitution de Frobenius
agit sur
a
Pour
K un complexe fini de
A-modules projectifs et
u
et
llr
detO-ut,K)
un endomorphisme
det(l_ut,Ki)(-l)i
i
v
sont des endomorphismes homotopes, on a
de t ( l-u t , K)
de sorte que
detO-ut,K)
est bien
Prenant 1 'oppose du coefficient de
de
u
K, on pose
00.3.0
Si
c'est un endomorphisme du complexe
homotopie pres, et induisant sur la cohomologie l'automorphisme de Frobenius.
10.3.
de
RI'(X,G)
cp E GalCi' /IF )
P
P
RI'(X,G), bien d~termine
det(l-ut,K), on
d~finit
la
detO-vt,K)
d~fini
t
~
pour
dans Ie
K E
Ob Dpar f(A)
d~veloppement
et
u E End(K).
en serie formelle
-582Del-82
Tr(u, K)
(1O.3.2~
8i
u
est une
auto-~quivalence
(K',u') isomorphe dans
cohomologie), on peut trouver
u' un automorphisme du complexe
et cette
quantit~
ne
d~pend
inverse homotopique de
On pose a10rs
pas des choix arbitraires faits. 8i
8i
D(K)
un contragr~dient de
Th~oreme
K (complexe de composantes les
D(K)i. Hom(K-i,I\»,
u, on a aussi
10.4.
d~monstration
du
th~oreme
suivant est
donn~e
en 10.8.
(Grothendieck). On a
00.4.0
Z(G, t)
-1
det(l-Ft, ar(x,G»
Dans les applications, les hypotheses faites sur
I1 y a lieu de prendre comme "coefficients" un
un complexe £ini
G*
pour la topologie
~tale
constructibles de
~l~ment
de faisceaux (de Weil) de
sur
X soit homo tope
a
G soot trop restrictives.
de
Dpar/X,I\), i. e.
A-modules sur
X, qui 10ca1ement
un complexe fini de faisceaux
A-modules plats. Utilisant 10.3, on peut, pour
d~finir
det(l-F tdeg(x) r.*)-l
x
' -it
On pose
est un
det(l-ut, K) • det(-ut, K) det(l - ~t-l, D(K».
Une esquisse de la
X,
-1
u, on a
est Ie dual de
(10.3.5)
de
u
der(l-ut, K) • det(-ut, K) det(1_u-lt- 1 , K)
(10.3.4)
~
K.
(K,u), avec
D
par f(l\)
det{u,K)
(10.3.3)
et
d'homotopie (i.e. induit un automorphisme sur la
x
un point
fer~
-583-
t> =
Z(G*,
On d~finit encore
logie de
Zx (G*,
x
X a valeurs dans
G*, et on a
det(l-Ft, Rr(X, G*»-l
Z(G*,t)
Tout
e Dparf (X,II)
G*
(11(1). placl en
t>
Rr(X,G*), de groupes de cohomologie les groupes d'hypercohomo-
(10.4.2)
10.5.
IT
Del-83
a un "dual a valeur dans Ie complexe dualisant
degr~-2)"
E Dpar f(X,II)
de i eme
faisceau de cohomologie de
11(1). La
dualit~
de
Poincar~
Appliquant 10.3.5, on obtient
S
Soient
de points
•
fer~s)
et
fonctionnelle
et
par
X (compl~ment d'un ensemble fini
f(U,II). On note
Rj*
Ie foncteur
Ie foncteur
d~riv~
d~riv~
du foncteur
du foncteur image directe
j .
--~:>
Le
avec
det(-Ft, Rr(G,t»-l Z(D(G), t- l )
G* ED
0"
G*
D(Rr(X,G*»
l'~quation
j : u~ X un ouvert de
exact "prolongement par
par
=
Z(G,t)
(10.5.2)
hyperext local de
prend la forme
Rr(X,D(G*»
(10.5.0
10.6.
(2+i)ieme
de
th~oreme
dualit~
locale
(prouv~
D f(X,II)
par
notamment en dimension un) donne
(10.6.0
Pour
de dual
G un faisceau localement constant de
"G,
on a
"
D(G)· G(l) [2J
et
(10.5.2)
II-modules projectifs sur
prend la forme
U,
-584Del-84
(10.6.2)
0.7.
Nous allons expliciter cette formule. Les fonctions
Z des deux membres
sont produits de facteurs locaux. Pour Ie membre de gauche, Ie facteur local
en
x
point ferme de
X est
{
det(l-F tdeg(x), G..) -1
x
x
Zx(j,G,t)
1
si
xEs
si
xES
Pour Ie membre de droite, c'est
={
Cette derniere formule se
de
W(K IK ),
x x
sous
a
det(l-F tdeg(x),
x
~(l)-l
x
detCl_FxtdegCx),
RrClx'~KCl»)-l si
v
lit ainsi : GK(l)
une
xES
xEs
repr~sentation
laquelle on applique Ie foncteur d~riv~ du foncteur "invariants
I" . On obtient ainsi un complexe de
agit, et on effectue la construction 10.3.
(a)
d~finit
si
Ie foncteur "invariants sous
"invariants sous
p ' . Ker(t.t)"
foncteur "invariants sous
A-module projectif en
I"
est
A-modules projectifs, sur lequel Frobenius
Explicitons:
compos~
I-modules
du foncteur
~
IIp'-modules et du
7l il)" . Le premier foncteur est exact et transforme
A-module projectif ; pour tout I-module
V, on a
RrCI, V)
Pour tout
une
r~solution
7l t(l)
de
module
W, on peut calculer
W par des modules coinduits
fonctions localement constantes de
par
f(x) ~ f(rx). Pour
(J
7l .t(l)
dans
un g~n~rateur de
Rr(71 .tCl), W)
3(71 .t(l),M)
en prenant
= module
M, sur lequel
des
7l t(l)
agit
7l .t(l), on a une suite exacte
-585Del-85
fleches
m ~ (i t---? im)
CL
f ~ (i t---? Hai) - a(f(i))). Passant
et
aux invariants, on identifie
&r(~
(10.7.0
l-a
------'l» W
W
a en
Quant on change
L(l), W)
au complexe
E ~1)' l'unique diagramme commutatif
(v
CL
a
~O
CLV
"-?> CJ(~ L(O,W) ----'> 0
""-a
:;(~ L(O,W)
fournit par passage aux invariants
l-a
W
00.7.2)
1
1
>
l_aV
>
W
ou, pour n
entier convergeant dans
(10.7.3)
l-a
V
l-a
On conclut que
w
.
lim
&r(~L(l),W)
vers
~L
W
1
l_aV
l-a
W
v,
n-l
i
!: aw
0
se
repr~sente
des complexes (10.7.1), ces complexes, pour
comme
n'importe lequel
~tant
a variable ,
~tant identifi~s
par les isomorphismes (10.7.2).
Quand on part d'un
W(K/K)-module
Y, Frobenius agit par "transport de
structure" sur
&reI,
y)
Quel que soit le FrobeniuG
p'
[ Y
g~om~trique
1 - a > yP'J
F
et
a engendrant
~
L(l),
F
d~finit
-586Del-86
I-a
Pl
[V -------~:>
qui,
v~a
(10.7.2), s'identifie
a
l'automorphisme du comp1exe
de composantes
est
d~fini
vPJ
(F,
o
F)
o~
comme en (10.7.3). On a done
ded1-Ft, RI'(r,v»
o~
F
de
7l 1,(1) .
d~signe
pI
1 - C;
• ded1-Ft, V ). detO- - -
1 - c;q
un que1conque Frobenius
La formu1e 10.6.2
se
g~o~trique
et
_p'
0
Ft, 'V)-
a un que1conque
1
g~n~rateur
r~crit
(10.7.4)
1T
xEs
ded1-F tdeg(x)
x
'
1T
xEs
"IT
xES
10.8.
Par passage
a
•
det (l-F t-deg(x) G_(l»-l
x
' x
det(l-F t-deg(x)
x
'
1a limite projective, les
aux faisceaux J,-adiques (ou
raison (c f
ax)
r~su1tats pr~c~dents
)..-adiques), et on obtient 1es
~nonc~s
se
g~n~ralisent
de 9.1. La
10.5.2) de 1a formu1e simple (9.1.1) est Ie resu1tat local que, pour
-587-
G
localement constant sur
Del-87
u~X, on a
Toutefois, la formule obtenue pour la "constante"
(determinant de
- Ft
agissant sur la cohomologie) n'est pas tres explicite, et on nlen a pas de
theorie locale.
Remargue 10.9.
Soient
algebtiquement clos
libres sur
k
X une courbe projective non singuliere sur un corps
et V un faisceau localement constant de
X
. Pour simplifier, on suppose
et
Voici deux methodes pour attacher
(a)
Ecrivons
Alors,
Rr(X,V)
a
V un
X coanexe de genre
comme un complexe fini
det(Rr(X,V»
K de
det
=~
K
n
Pi
i
1 et A local.
puissance exterieure
son dual.
Soit
~
A-modules libres.
maximale] ne depend, a isomorphisme canonique pres, que de
(b)
g
A-module libre de rang 1 .
i
h(V)
A-modules
un diviseur canonique
(~(K) ~
Rr(X,V). On note
ai),
et
~ det(Vp .) ~i . L'ensemble des diviseurs canoniques positifs forme
NK(V)
l.
l.
un espace projectif, et les
NK(V) forment un systeme local necessairement
trivial sur cet espace projectif. Les
NK(V)
pour
K variable
sont donc
canoniquement isomorphes, et on pose
Si (X, V)
est defini sur
extension des scalaires de
Gal (k/k)
agit sur
(a valeurs dans
h(V)
k
C
(Xo,V )
o
et
k , i. e. est donne comme provenant par
sur
Spec(k),
< Ol,v > par des caracteres Xk(V)
Proposition 10.9.1.
A
(b)
V
= ~A
~
et
A*).
Ces constructions se generalisent au cas
(a)
Ie groupe de Galois
Supposons verifiee llune des conditions suivantes
V se trivialise sur un
~rang
A-adique.
1 .
rev~tement
fini de
X;
Xo(V)
-588Del-88
~ W
est Ie caractere donnant l'action de Galois sur
n
:iZ/n).
"
Un argument standard, uti1isant Cebotarev, nous ramene au cas ou
un corps fini et ou
k
et
est sa
c1~ture a1g~brique.
k
est
II s'agit de montrer que
prennent 1a m@me valeur sur Ie Frobenius. Dans Ie cas
(a), Ie groupe de Wei1
W(i( /K )
o 0
de X
o
agit continument, pour 1a topo1ogie
discrete, sur
(Vo)i( , de sorte qu'on peut app1iquer 9.3.
o
Comparons (9.3 ) a (10.7.4) (pour S a 0). Ce sont des
fonctionne11es reliant 1es m@mes fonctions
~quations
Z. Exprimant qu'e11es ont 1a
m@me constante, on trouve (10.9.1) (i1 peut @tre plus commode de ne faire ce
ca1cu1 que pour
pour
V
V virtue1 de dimension 0, et de
(b), on pro cede de m@me en uti1isant 10.12.1 ci-dessous.
II serait tres
int~ressant
de
isomorphisme canonique entre h(V)et
(10.9.1) au cas
Remarque 10.10.
Le
de
th~oreme
10.4
r~su1ter
D~monstration
Dans [7J, 10.4
de
< rl,v>
(10.9.1) en
d~finissant
un
«l-g)dim(V», et de g~n~raliser
est sans doute encore va1ab1e pour
caract~ristique
p, i.e. tel que
d~monstration
A un
pA· 0 . La formu1e de traces
de 1a formu1e des traces en cohomo1ogie
(Woodsho1e trace formula). La
m~thode
pr~ciser
ramifi~.
noeth~rien
requise devrait
10.11.
(10.9.1) directement
= :iZ 1,"
Dans Ie cas
anne au
v~rifier
n'a toutefois pas
coh~rente
~t~ r~dig~e.
de 10.4.
n'est
d~monstration,
d~montr~
bas~e
que pour des faisceaux 1,-adiques, car 1a
sur 1a formu1e des traces de Lefschetz sur
pour 1es puissances de l'endomorphisme de Frobenius,
un entier arbitraire pour passer de Lefschetz
a
requ~rait
X
que l'on divise par
(10.4.1) (passage par 1a
d~riv~e
logarithmique de Z).
Pour obtenir 10.4 tel que1, i1 faut uti1iser SGA 4 XVII 5.5, 1a formu1e des
traces de Lefschetz sur 1es
Symn(X), et d~ve1opperen s~rie 1es deux membres
-589-
Del-89
de 10.4.1, Ie second se developpant comme
det(l-Ft, Rr(X,G»-l
Z
Tr(F,Symn(Rr(X,G»
t
n
n
(Sym
n
est Ie foncteur derive du foncteur (non additif) puissance symetrique n
ieme
Par ailleurs, la methode de demonstration de [7J, par fibrations par courbes
successives, ramene la formule des traces a demontrer au cas des courbes :
Formule des Traces 10.11.1.
U unouvert de
Soient
X une courbe projective et lisse sur
X !! G un faisceau (de Weil) localement constant de
Wq
A-modules
projectifs. On a
Dans cette formule, les Frobenius sont relatifs
On
peut supposer que
Wq
W
q
,et
X = X I8i
Wq
Wq
est Ie sous-corps des constantes du corps des fonctions
X, sans quoi les deux membres sont
K de
a
0
La methode de demonstration exposee par Grothendieck dans Ie seminaire oral
SGA 5 consiste a se ramener a la formule de Lefschetz sur Ie nombre de points
fixes d 'endomorphismes de courbes completes (deja prouve dans [17]), en etudiant
X comme representations du groupe du rev@tement.
la cohomologie de rev@tements de
Soit
de
K une clOture algebrique de
X. Le faisceau
projectif
K, con tenant Ie corps des fonctions
G definit une representation. de
~. L'intersection
de
J
W(K/K)
sur Ie A-module
Galo(K/K) et du noyau de cette represen-
u
U
tation definit un rev@tement etale connexe
f
G devient trivial. Posons
H est une extension de
groupe
Ho
Soit
du rev@tement
j'
H - W(K/K)/J
u'/u,
1 'inclusion de
U'
et
~
f
~
de
U sur lequel
est une representation de
~
par Ie
H.
dans une courbe projective non singuliere
X'. La cohomologie L-adique a support propre de
U'
est une representation de
Des arguments standards permettent de faire mieux, et de definir
H
).
-590Del-gO
RI'
c
(u' '
~
J,
) = RI'(X' ,
J"
~
!
l'action
~vidente).
E
)
D
f(~'[H J), sur 1eque1
par"
a son action sur
semi-1in~aire re1ativement
~tant
J,
0
H agit (de
et l'action de
~ J,[HoJ
fa~on
H C H
o
On a canoniquement
H
o
OO.1l.2)
isomorphisme compatible a 1 'action de Frobenius sur 1es deux membres.
Ecrivons
RI'(X',
connne un comp1exe fini de
j!~ t)
projectifs, sur lequel Frobenius agit.
»c
extension de
Lennne 10.11.3.
M ~
A ~
~
par
~
Soient
H+
H+
~ J,-a1gebre et
et
H (h)
o
H
un produit semi-direct de
»
par un groupe fini
J,[H+ J-modu1e, projectif de rang fini en tant que
V un
i1 existe une fonction
h E H
Ie sous-monoide de
H ' On leur applique Ie 1ennne suivant.
o
A[H+J-modu1e, projectif de rang fini connne
M et
V
H, a va1eurs dans
~
1es caracteres de
(i)
o
Les cornposantes de ce cornplexe
~ J,[H+J-modu1es, pour
apparaissent connne des
~ J,[H J-modules
~
~
= centra1isateur
~(h)
=
dfn
de
h
dans
J, , te11e que, pour
on ait
Tr(h,M)
~(h) x.v(h)
h -? F, mod
Ho-conjugaison
App1iquant Lefschetz, on ca1cu1e
diff~rence de
RI'(X',~ J,)
x*
pour
RI'(X',ji
~ J,)
(virtue11ement 1a
et d'une quantit~ ~l~mentaire) et 10.11.2, 10.11.3
fournissent 1a formu1e vou1ue.
-591-
Del-91
10.12.
Le cas abelien, et une application farfelue.
Soit
X : W(K/K) ----?
un quasi-caractere
1\*
non ramifie en dehors d'un ensemble fini
de
U
=X
dans
- S
et prolonge par
0
X, et
valeurs dans
de places de
1\*
Soit
K
Ie faisceau de rang un sur
j, [X]
U
1 'inclusion
defini par
X
Posons
Tr
11
vES
ro••
t
\IoU
S
a
est comme en 7.6; eo
e (y .W t ,1\1 ,dx ).
e (XUl t ,\jJ ,dx )
o .."
V
V
ve:S
v
v
est defini en
6.4
e , pour un caractere non
ramifie, est defini par 3.4.3.3.
Proposition 10.12.1.
On a
Cette proposition precise 10.7.4.
Soit
H Ie quotient de
universe 1 00
1\
= ~ ILn[H].
W(K/K)
par
Ker(x). II suffix de traiter Ie cas
Ce cas se releve en caracteristique
0, et 10.12.1
s'obtient par reduction.
10.13.
Prenons par exemp1e pour
1\
1es nombres duaux sur
~
ILn :
(e 2 = 0), pour a un homomorphisme continu du groupe des classes
n
d'ideles IA*Ij(fr dans Ie groupe additif ~ IL , et po sons
1\
z
~ ILn[e]
X ..
La ramification de
1 + a.E:
a est automatiquement moderee. Soit S un ensemble
fini de places en dehors desque11es
a est non ramifie. Appliquant 10.4 pour
X et pour Ie caractere trivial, et faisant Ie rapport, on trouve
(10.13.1) 1a serie formelle
-592Del-92
L
vE S
est dans
a (TT )
v
v
tdeg(v)
L:
deg(v) In
1_tdeg( v)
a v (TTv )
7Z / J,n( t).
Pour toute place
Adjoignons
a
v
de
K, choisissons une uniformisante
une racine primitive
7Z /J,n
caractere additif non trivial de
A/K,
a
pieme
de l'unite, et soit
valeur dans 1es racines
l'unite. Prenons Ie quotient de (10.7.4) pour
TT
v
X et de (10.7.4)
p
~
iemes
un
de
pour Ie
caractere trivial, et uti1isons (10.12.1). Apres simplifications, on obtient
l'identite suivante. Dans Ie premier membre, 1es deux premieres sommes (infinies)
sont sommees par (10.13.1). Les sommes portent toutes sur toutes 1es places de
(10.13.2)
Lav (TT)v
L nv
a(TT)
v
On verifie de
-deg(v)
tdeg(v)
q t
+
......
y _ _~....,......,..
1_tdeg (v)
-L L
fa~on
x E k*
v
a(x)~o).
nu1s si
J,,, 2.
Lav (-1)
1
1-q t-deg(v)
v
av (x)
e1ementaire que 1a va1idite de (10.13.2) ne depend
TT (se rappe1er que, pour x E k~, on a
v
Dans Ie premier membre, 1es a (-1) sont d'ordre 2, donc
pad du choix des uniformisantes
(q-1)
~
v
K
-593-
11. Appendice.
Le calcul de
Del-93
e modulo les racines de
l'unit~.
Cet appendice est une variation sur un theme de Lakkis et Dwork. Mon
attention a
~t~
attir~e
Nous noterons
sur leurs
a _ b
r~sultats
par J.P. Serre.
la relation suivante entre nombres complexes in-
versibles:
a _ b : alb
est produit d'une racine de
Soit
K un corps local non
l'unit~
archim~dien
2.2.1, 2.2.2 et 3.1. La mesure de Haar dx sera
avec
n
entier. Soient
, et
Gal (K/K)
V une
par une puissance de
repr~sentation
q
1/2
et reprenons les notations de
suppos~e
telle que
f
= qn/2
dx
&
complexe (d'un quotient fini) de
les invariants sous l'inertie sauvage. C'est une
sous-repr~sen-
V
tation de
TMoreme 11. 1
Modulo
Lenune 11.2
R~sulte
l'~guivalence
~,
dx)
est
ind~pendant
de
$ et
dx
aussit6t de 5.3 et 5.4.
Ce lenune nous permettra
Si Ie caractere de
Lenune 11. 3
_, e(v,
On peut supposer que
d'abr~ger
V est
J~ dx
r~el,
1
e(v, $, dx)
i.e. si
et que
en
e(v)
V est isomorphe a
n(~)
v*
o .
On applique alors
,W
une
5.7.1,5.4 et 5.5.
Soient
de
Gal (K/L)
Soit
L
et
une extension finie de
Ind(W)
W'
la
K dans
la repr~sentation induite de
repr~sentation
K
repr~sentation
Gal(K/K)
triviale de m@me dimension que
W . Pour
-594Del-94
W = ~
L
Tr /
L K
0
,on a (5.6.1)
a
et on conc1ut en app1iquant 11.3
Soient
11. 5.
L
et
a
et
Ind(W')
W comme ci-dessus,
comme une
et regardons
W'
P
L
repr~sentation
Ie groupe d'inertie sauvage de
de
H = P.Ga1(K/L). trivia1e sur
P.
Dna
D'apres 11.4, Ie
th~oreme
pour
W
Brauer, ceci nous ramene au cas ou
d'ordre fini
Si
X de
K*
. Si
Pour
de valuation
m Ie conducteur de
-m-n(w)
X(l+a)
w(a y)
X en
d'ordre une puissance de
(a)
pour
d~fini
= [X]
Ind(W)
; par
par un caractere
, et 11.1 est trivial.
e:(x, W, dx)
X , n = [m+1]
~
1
et
2
(n-n-n(w»
y
l'eIement de
,tel que
K lf
,
(cf 4.16)
v(a) "' n
X = Xl 'X:1
,avec
Xl
d 'ordre premier a p
et
'X:1
. Comme en 4.16, on prouve que
e:( X, t, dx)
01. 6. I)
m est pair
m impair
p
[xi
pour
et 11.1 resu1te du lemme suivant.
,bien defini modulo
Decomposons
Si
[X! = 0
X sauvagement ramifie,
Soient
th~oreme
Vest de dimension un,
X est modere,
X est sauvagement ramifie,
Lemme 11. 6
donc au
~quivaut
(m=2n)
(m=2n-1)
X-I (x) W(x)
,1a fonction integree est constante et 11.6 clair. Pour
,voici deux
fa~ons
de
proc~der.
est un caractere quadratique non degen~re sur
-595-
n
n
y(l+(nf- »/(l+(TI »
(b)
Del-95
; d'apres Weil, la somme de ses valeurs est
D'apres (11.6.1), il suffit de prouver que
de ce nombre,
de racines
multipli~
pN-iemes de
*,
e(~,
par une puissance convenable de
_ 1
dx) _ 1
q
. Le
,appartient
carr~
a
un corps
l'unit~, et est de valuation 1 en toutes les places de ce
corps, sauf peut-@tre en l'unique
place divisant
p
. C'est done une racine de
1 'unit~.
Corollaire 11.7
*,
e(v,
Alots,
Prenons
dx)
D~composant
* et
dx
est un entier
V en
tels que
n(
*)
-1
P dx
J(TI)
et que
1
alg~brique.
, on voit qu'il suffit de traiter les deux
cas suivants.
(a)
V est
induites de
mod~r~ment ramifi~e.
repr~sentations
Dans ce cas,
Vest une somme de
de dimension un de sous-groupes, et
e
repr~sentations
est. au signe
pres, un produit de sommes de Gauss (cf 5.10).
Dans ce cas,
complexe
dx'/dx
=q
lei
).
e _ 1
et il suffit de prouver que la valeur absolue
est une puissance positive de
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