Chapitre 10. Plus.Grand.Commun.Diviseur.

Chapitre 10. Plus.Grand.Commun.Diviseur.
Arithmétique : Science qui étudie les nombres rationnels (qui sont des entiers ou qui s’écrivent sous forme d’une
fraction)
I) DIVISEURS ET MULTIPLES
1. Définitions
Soient a, b et c des entiers. Si a= bc alors : - a est un multiple de b et de c
Exemples :
- 1 est un diviseur de tous les entiers
- 2 est un diviseur de 56 car 56 = 2 × 28
- 84 est un multiple de 6 et de 7 car 84 = 6 × 14
et
- b et c sont des diviseurs de a
84 = 7 × 12
2. Critères de divisibilité de sixième
Propriétés (admises)
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair.
Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples : - 12 345 est divisible par 3 et par 5 - 6 354 est divisible par 2, par 3 (et donc par 6), et également par 9
3. Propriété
La somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont des multiples de ce nombre.
Démonstration : Soient a, b et c trois nombres entiers tels que a = c  a’ et b = c  b’
a + b = c  (a’ + b’) et a – b = c  (a’ – b’) d’où (a + b) et (a – b) sont des multiples de c.
Exemples :
- 21 et 56 sont des multiples de 7, donc 21 + 56 = 77 est un multiple de 7
- 78 et 114 sont des multiples de 6, donc 78 + 114 = 192 et 114 – 78 = 36 sont des multiples de 6
II) DIVISEURS COMMUNS ET P.G.C.D.
1. Diviseurs communs
Définition : Un diviseur commun à deux ou plusieurs entiers est un entier qui divise chacun d’eux.
Exemples :
-
2 est un diviseur commun de 14 et 38 -
2, 6 et 7 sont des diviseurs communs de 42 et 126
2. P.G.C.D.
Définition : Soient a et b deux nombres entiers positifs. Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de a et b est
le plus grand nombre qui divise a et b.
Exemples :
Déterminer le PGCD de 12 et de 18
Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Donc le PGCD de 12 et de 18 est 6
Déterminer le PGCD de 42 et de 70.
Les diviseurs de 42 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Les diviseurs de 70 sont : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.
Donc le PGCD de 42 et de 70 est 14
Propriétés (admises)
1) PGCD(a ; a) = a
a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.
2)PGCD(b ; a) = PGCD (a ;b) 3) Si b est un diviseur de a, alors PGCD(a;b) = b.
Exemples :
1) Recherche du PGCD (6 ; 6) :
Les diviseurs de 6 sont : 1 – 2 – 3 – 6.
Les diviseurs de 6 sont : 1 – 2 – 3 – 6.
Parmi leurs diviseurs communs (1 ; 2 ; 3 ; 6), le plus grand est 6. On en déduit que PGCD (6 ; 6) = 6.
2) PGCD (24 ; 36) = PGCD (36 ; 24) = 12.
3) PGCD (12 ; 6) = 6.
III) METHODES DE CALCUL DU PGCD DE DEUX NOMBRES
Le mot « algorithme » vient d’une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi (médecin arabe du
IXème siècle).
Un algorithme est une suite d’opérations répétées appliquées à une demande initiale. Un algorithme permet de
remplir une tâche ou de calculer un résultat.
1. Méthode des soustractions successives ou algorithme des différences
On utilise la propriété du I
Propriété (admise): a et b désignent des nombres entiers non nuls avec a > b. PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b)
On utilise l’algorithme suivant :
Recherche du PGCD de 42 et de 70 :
70 - 42 = 28
42 - 28 = 14
28 - 14 = 14
14 - 14 = 0
(Fin de l’algorithme)
14 est le dernier résultat non nul (≠ 0)
14 est le PGCD de 70 et de 42.
2. Méthode avec Algorithme d'Euclide (mathématicien de la Grèce antique III° av JC)
On utilise la propriété du I
Propriété (admise): a et b désignent des nombres entiers non nuls avec a > b.
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) ou r est le reste de la division euclidienne de a par b.
On utilise l’algorithme suivant :
Recherche du PGCD de 3465 et de 1575 :
3465 = 1575  2 + 315
1575 = 315  5 + 0
le dernier reste non nul est 315
Le PGCD de 3465 et de 1575 est donc 315.
Remarque : Ces procédés ne sont pas toujours les plus rapides (surtout pour les petits nombres où il est préférable
de chercher les diviseurs communs.
IV) FRACTIONS IRREDUCTIBLES
1. Nombres premiers entre eux
Définition : Deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est éga1 à 1.
Exemples :
-
7 et 12 sont premiers entre eux.
15 et 44 sont premiers entre eux.
Montrer que 28 et 15 sont premier entre eux.
Calculons le PGCD (28 ; 15) en utilisant une des 3 méthodes au choix. On obtient PGCD (28 ;15) = 1
Donc 28 et 15 sont premiers entre eux.
Remarque : Méthode pour déterminer les nombres premiers inferieurs à 100
(Voir activité sur le crible d’Eratosthène) Ératosthène : mathématicien grec du IIIᵉ siècle av. J.-C.
2. Fractions irréductibles
Définition :
On dit qu’une fraction est irréductible quand on ne peut pas la simplifier.
Exemples :
14
est une fraction irréductible
9
mais
34
n’en est pas une
28
Propriétés (admises) :
Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux alors, cette fraction est irréductible
Si on simplifie une fraction par le PGCD du numérateur et du dénominateur alors, on obtient alors une fraction
irréductible.
Exemples :
PGCD (42;70) = 14
42 3
=
70 5