⋇ Développements limités ⋇ Définition et propriétés Définition – Développement limité Soient I un intervalle ouvert, a un point de I et n un entier. On dit que f admet un développement limité d’ordre n en a s’il existe un polynôme Pn tel que le reste f(x) – Pn(x) soit négligeable devant (x – a)n R n (x) = f(x) − Pn (x) = o((x − a)n ) * Un développement limité s’il existe est unique. * Pn(x) s’appelle la partie régulière du développement limité Proposition Soit I un intervalle ouvert de ℝ, a un point de I et n un entier. Soit f une fonction définie sur I. Soit g la fonction qui à h associe g(h) = f(a + h). La fonction f admet un développement limité d’ordre n en a ssi g admet un développement limité d’ordre n en 0. f(x) = Pn (x) + o((x − a)n ) ⇔ g(h) = f(a + h) = Pn (a + h) + o(hn ) Proposition Soit f une fonction admettant au voisinage de 0 un développement limité à l’ordre n dont la partie régulière est P n(x). Si f est paire Pn(x) ne contient que des puissances paires de x. Si f est impaire Pn(x) ne contient que des puissances impaires de x. 27/03/2012 Analyse – Développements limités | 1 Dérivabilité et développement limité DL à l’ordre 0 * Soit f une fonction admettant une limite réelle l en x 0 ∈ ℝ alors la fonction f admet un développement limité à l’ordre 0 au voisinage de x0 * Réciproquement : Soit f une fonction possédant un développement limité à l’ordre 0 en x 0 ∈ ℝ telle que f(x) = a 0 + ε(x). Avec lim ε(x) = 0. Alors f possède en x0 une limite égale à a0. 𝑥→𝑥0 DL à l’ordre 1 * Soit f une fonction dérivable en x0. La fonction f admet un développement limité à l’ordre 1 au voisinage de x0. * Réciproquement : Soit f admettant un développement limité à l’ordre 1 en x 0 pour laquelle on peut trouver des constantes a0 et a1 telles que : f(x) = a 0 + a1 (x − x0 ) + o(x − x0 ). f est dérivable en x0 et f’(x0) = a1 DL à l’ordre n ≥ 2 * Si est une fonction de classe C n au voisinage de x0 alors la formule de Taylor-Young montre que f possède un développement limité d’ordre n en x0 * En revanche une fonction peut admettre un développement limité d’ordre n en x 0 et ne pas être n fois dérivable en 0. Mais si on sait qu’une fonction est de classe C n au voisinage de x0 et que l’on connait son développement limité, on peut en déduire les valeurs des dérivées en x 0. 27/03/2012 Analyse – Développements limités | 2 Opérations sur les développements limités Somme – Produit – Quotient – Composition Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soient f et g deux fonctions définies sur I, admettant chacune un développement limité d’ordre n en 0. f(x) = Pn (x) + o(x n ) et g(x) = Q n (x) + o(x n ) * somme : f + g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est la somme de ceux de f et g * produit : fg admet un développement limité en 0 dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux à n dans le produit Pn Q n * composition : si g(0) = 0 alors f o g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux à n dans le polynôme composé Pn oQ n * quotient : Le développement limité du quotient est égal au quotient de la partie régulière de f par g suivant les puissances croissantes à l’ordre n (en supposant que g ne s’annule pas en 0) * Si f admet un développement limité d’ordre n et g admet un développement limité d’ordre p alors fg d’ordre min(n,p). (on ne peut rien dire à l’ordre n+p, les termes pouvant s’annuler) * Si f admet un développement limité d’ordre n alors xpf admet un développement limité d’ordre p + n Dérivation – Intégration Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soit f une fonction n-1 fois dérivable sur I, dont la dérivée n-ième en 0 existe. Soit Pn son polynôme de Taylor d’ordre n et Rn le reste. f(x) = Pn (x) + R n (x) et R n (x) = o(x n ) * dérivation : la dérivée f’ admet un développement limité à l’ordre n-1 en 0 et son polynôme de Taylor est la dérivée de celui de f f′(x) = P′n (x) + o(x n−1 ) * intégration : toute primitive de f admet un développement limité d’ordre n+1 en 0, dont le polynôme de Taylor est une primitive de celui de f 27/03/2012 Analyse – Développements limités | 3 Développements usuels x x2 xn + + ⋯ + + o(x n ) 1! 2! n! x x3 x 2n+1 sh x = + + ⋯ + + o(x 2n+2 ) (2n + 1)! 1! 3! x2 x 2n ch x = 1 + + ⋯ + + o(x 2n+1 ) (2n)! 2! (−1)n x 2n+1 x3 x5 sin x = x − + + ⋯ + + o(x 2n+1 ) (2n + 1)! 3! 5! (−1)n x 2n x2 x4 cos x = 1 − + + ⋯ + + o(x 2n ) (2n)! 2! 4! 1 = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + o(x n ) 1−x α(α − 1) 2 α(α − 1) … (α − n + 1) n (1 + x)α = 1 + αx + x +⋯+ x + o(x n ) 2! n! (−1)n x n+1 x2 x3 ln(1 + x) = x − + + ⋯ + + o(x n+1 ) 2 3 n+1 ex = 1 + 27/03/2012 Analyse – Développements limités | 4 Applications Recherche d’équivalents Quand une fonction f admet en x0 un développement limité d’ordre n dont la partie régulière est ∑nk=p a k (x − xo )k avec a p ≠ 0 alors 𝑓(𝑥)~𝑥0 a p (x − xo )p Etude de tangentes Si une fonction f dispose en x0 d’un développement limité d’ordre p ≥ 2 f(x) = a 0 + a1 (x − xo ) + a p (x − xo )p + o((x − xo )p ) avec a p ≠ 0 alors la tangente est la droite d’équation 𝑦 = a 0 + a1 (x − xo ) et la position de la courbe par rapport à cette tangente est donnée par le signe de a p (x − xo )p si p est pair : signe positif = au-dessus de la courbe et signe négatif = au-dessous de la courbe si p est impair : le signe change avant et après x0 Recherche d’asymptotes Soit f une fonction définie au voisinage de l’infini avec une limite infinie. S’il existe un entier p ≥ 1 et des réels a0, a1 et ap+1 tels que ap+1≠ 0 et f(x) = a 0 x + a1 + ap+1 xp 1 + o ( p) x alors la droite d’équation 𝑦 = a 0 x + a1 est asymptote au graphe et au voisinage de l’infini, la position de la courbe par rapport à son asymptote est donnée par le signe de ap+1 xp . * On dit que f possède un développement asymptotique au voisinage de l’infini. Pour obtenir un tel développement on calcule un développement limité de f(x)/x à l’ordre p+1 27/03/2012 Analyse – Développements limités | 5 27/03/2012 Analyse – Développements limités | 6