AE?lA CONCOURS D’ENTRÉE CYCLE INGENIERIE Mathématiaues Mercredi 17 Avril 2002 Durée : 3 Heures EPREUVE COMMUNE de MATHEMATIQUES 1 Dans ce problème, on désigne par E un K-espace vectoriel de dimension finie n 2 2. On dira qu’un endomorphismefde E est cyclique s’il existe un vecteur x0 de E tel que : E = Vect(f’(~a) / k E N) ou encore E = Vect(x,,~~o),f2(~o),f3(~O), . . . ). Dans la partie 1, on donne quelques exemples d’endomorphismes cycliques. Dans la partie II, on procède à une étude plus générale des endomorphismes cycliques. PARTIE 1 1”) Deux exemples d’endomorphismes cycliques en dimension 11= 3 Dans cette question seulement, l’espace E est de dimension 3 et rapporté à une base (ei, e2, ej). a) On considère l’endomorphisme a dont la matrice dans la base (ei, e2, es) est : Exprimer a(ei) et a2(el) dans la base (ei, e2, e3) et en déduire que a est cyclique. Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme a. Pour chacune des trois valeurs propres possibles, déterminer un vecteur propre dont la troisième composante est égale à 1. En déduire une matrice inversible P telle que P'AP soit une matrice diagonale qu’on explicitera. b) On considère l’endomorphisme b dont la matrice dans la base (ei, e2, es) est : 1 I 00 B= 1 0 1 0 1 -1 l . Exprimer b(et) et b2(ei) dans la base (tel, e2, es) et en déduire que b est cyclique. Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme Etudier si l’endomorphisme b. b est ou non diagonalisable. 2”) Un exemple d’endomorphisme cyclique en dimension n Dans cette question, on note c un endomorphisme de E admettant y1valeurs propres distinctes A,, . . . Aetxl, . . . , xn y1vecteurs propres associés à ces n valeurs propres Ai, . . . , A et on pose alors x0 = xi + . . . + x,. a) Exprimer c(xi + . . . + x,), c*(xi + . . . + x,), . . . , cn-i(xi + . , . + x,) en fonction de xi, . . . SC,et A 1, . . . , A, puis établir que la famille (x0, c(xo), . . . , c”-‘(x0)) est libre dans E. b) En déduire que l’endomorphisme PARTIE c est cyclique. II Dans cette partie II, on notef un endomorphisme cyclique de l’espace vectoriel E (dimE = n), autrement dit un endomorphismefpour lequel existe un vecteur x0 de E tel que : E = Vect@(xo) Si Q(X) = q,,,P + q,&T’ Qu> = qmfm + qm-f+l / k E N) ou encore E = Vect(x,,f(x-o),f2(xo),f3(x0), . . . ). + . . . + qlX + qo désigne un polynôme de K[Xj, + . . . + qd+ qJd on pose : (Id endomorphisme identité de E). 3”) Une base adaptée de E On désigne par m le plus grand nombre entier naturel tel que : est liée. bl,f(X0)~f2(~0)~ . ** , f”-l(xo)) est libre et (~g,flxo),f~(xo), . . . , f”-‘(xo),f”(xo)) a) Justifier l’existence d’un tel nombre entier naturel m, puis montrer par récurrence sur k que les vecteursfm+k(xO) appartiennent à Vect(xo,flxo),f2(xo), . . . , f”‘-l(xa)). b) En déduire que la famille (xo,f(xo),f2(xo), . . . , f”*-‘(x0)) est une base de E, puis que nz = n. Dans toute la suite de ce problème, on convient de poser : f”(xo> = pn-If+* (x0) + ** * + pj@o) + f-w0 et on désigne alors par P le polynôme de K[XJ défini par P(X) = X” -pnmlXnml - . . . -piX 4”) Matrice et polynôme annulateur a) Ecrire la matrice A4 defdans -po. def la base (xg,flxg),f*(x~), . . . , f”-‘(x0)). b) Montrer que les n endomorphismes Id, f, f *, . . . , f”-’ sont indépendants, puis en déduire qu’il n’existe aucun polynôme Q non nul de degré strictement inférieur à n tel que Q(j) = 0. c) Déterminer l’image par l’endomorphisme P(B = f n -pli-d”-’ - . . . - pdde la base (xa,flxg), f *(x0), . . . , f"-'(x0)), puis en déduire que Pcf) = 0. poId des vecteurs 5”) Caractérisation des endomorphismes cycliques diagonahsables a) On considère une valeur propre A defet un vecteur propre associé x. Calculerfk(x) pour k E IN et en déduire que P(A) = 0. b) On considère une valeur propre A de f Déterminer le rang de l’endomorphisme f - Ad à l’aide de sa matrice, puis en déduire la dimension du sous-espace propre associé à A. c) Etablir que l’endomorphisme valeurs propres distinctes. 6“) Etude du’commutant cyclique f est diagonalisable def lorsquef si et seulement s’il possède II est cyclique a) Montrer que le commutant C(j) = { g E L(E) / g of=fo un sous-anneau de L(E). g } est un sous-espace vectoriel et b) Soient deux endomorphismes u et v appartenant à C(f). Montrer, si U(XO) = V(X~), que u = v. b) Soit g un endomorphisme pour lequel on pose g(xo) = a,,-f-i(xcJ En déduire, si g appartient à C(f), que g = an-f-i + . . . + aIf + UC-Q. + . . . + alf+ a&$‘. d) En déduire que le commutant C(f) est de dimension IZ et démontrer qu’il admet pour base W,f,f2, ... J-“-1>.