enonces des travaux diriges de physique quantique

Travaux dirigés de physique quantique
LABORATOIRE
DE PHYSIQUE QUANTIQUE
Daniel MARCHAND
ENONCES DES TRAVAUX DIRIGES
DE
PHYSIQUE QUANTIQUE
(Edition 2006/2007)
D. Marchand
1
Travaux dirigés de physique quantique
D. Marchand
2
Travaux dirigés de physique quantique
SOMMAIRE
αδ ( x )
• « POTENTIELS
…………………………………………….……..05
(HAMILTONIENS DONT LE POTENTIEL EST UNE DISTRIBUTION)
APPLICATION : un modèle simple de molécule et de solide unidimensionnels
• NOTATIONS ET SYNTAXE DE DIRAC……………………………….07
Un exemple : l’opérateur parité – parité d’un opérateur
• LA MESURE EN MECANIQUE QUANTIQUE……………………….09
• L’OSCILLATEUR HARMONIQUE PERTURBE……………………...14
• PROBLEMES STATIONNAIRES………….…………………………..24
Champ magnétique oscillant assurant des transitions entre états
• « DYNAMIQUE EN REFERENTIEL TOURNANT »
L’exemple de la RESONANCE MAGNETIQUE…………………………..25
• PROBLEMES NON STATIONNAIRES………………………………..26
Interaction scalaire de deux spins
• ADDITION DE DEUX MOMENTS CINETIQUES 1.………………….28
D. Marchand
3
Travaux dirigés de physique quantique
NOTATIONS ET SYNTAXE DE DIRAC
D. Marchand
4
Travaux dirigés de physique quantique
POTENTIELS
αδ ( x )
APPLICATION : un modèle simple de molécule et de solide unidimensionnels
1-/ Soit une particule de masse m placée dans un potentiel à une dimension
V ( x ) = αδ ( x )
(α < 0, potentiel attractif ) (1)
⎛
⎞
⎧ +∞
⎜
⎟
⎪ ∫ δ ( x ) dx = 1
⎧0 si x ≠ 0
⎪ −∞
⎜
⎟
où δ ( x ) est la distribution de Dirac ⎜ δ ( x ) = ⎨
avec ⎨ +∞
⎟
⎩∞ si x = 0
⎪ f x δ x−a = f a ⎟
⎜
(
)
(
)
(
)
⎪∫
⎜
⎟
⎩ −∞
⎝
⎠
a) Quelle est la dimension de α ?
b) Montrer par des considérations de symétrie que la fonction d’onde ψ ( x ) de la
particule est nécessairement paire.
c) Ecrire l’équation de Schrödinger de la particule ∀x . On s’intéresse aux états liés
(bound states) de la particule (c’est-à-dire aux états d’énergie E négative). On
pose
2
2
K2
E=−
et λ0 = −
( 3)
2m
mα
Ecrire l’équation de Schrödinger précédente en fonction de K et λ0 .
Donner son expression pour x ≠ 0 et la forme générale ψ ( x ) de sa solution.
Sachant que ψ ( x ) ∈ L2 , espace des fonctions de carré sommable, et que ψ ( x ) est
continue en x = 0 , en déduire l’expression générale des états liés.
d) En intégrant l’équation de Schrödinger, écrite pour ∀x , sur un intervalle de largeur
2ε centré sur l’origine, déduire que le « saut » de la dérivée première de la
fonction d’onde est
2
ψ ' ( 0+ ) − ψ ' ( 0− ) = − ψ ( 0 ) ( 2 )
λ0
Combien y a-t-il d’états liés ? De quelle énergie ?
Donner l’expression de la fonction d’onde.
e) On s’intéresse maintenant aux états de diffusion (scattering states) de la
particule ( E > 0 ) .
Calculer le coefficient de transmission T du puits de potentiel (1) en fonction de
l’énergie E . En donner ses limites pour les grandes et les faibles valeurs de
l’énergie.
⎡
d
d ⎤
2-/ Soit un double potentiel δ : V ( x ) = α ⎢δ ⎜⎛ x + ⎟⎞ + δ ⎜⎛ x − ⎟⎞ ⎥ (α < 0 ) .
2⎠
2 ⎠⎦
⎝
⎣ ⎝
a) Ecrire la forme générale des fonctions d’onde pour les états liés. Quelle est la
condition de quantification ?
D. Marchand
5
Travaux dirigés de physique quantique
b) Discuter, à l’aide d’une résolution graphique, le nombre d’états liés en fonction de
la distance d .
c) Expliquer en quoi ce qui précède peut constituer un modèle simple de molécule
unidimensionnelle (ion moléculaire H+2 par exemple).
3-/ On considère maintenant que la particule est soumise à un peigne de Dirac
n =+∞
V ( x ) = α ∑ δ ( x − na )
(α < 0 )
n =−∞
et on s’intéresse à ses états de diffusion.
a) Ecrire l’équation de Schrödinger de la particule valable ∀x en fonction de
K et λ0 .
b) Le potentiel V ( x ) étant périodique, de période a , V ( x ) = V ( x + a ) , les états
propres de la particule doivent avoir la même symétrie. Vérifier qu’il en est ainsi
en posant que ψ ( x ) = u ( x ) eikx , ∀k et u ( x ) = u ( x + a ) . De telles fonctions sont
appelées fonctions de Bloch.
c) En utilisant l’équation de Schrödinger de la particule écrite pour x ≠ na et les
conditions de passage vues précédemment (continuité de la fonction d’onde et saut
fini de la dérivées première en x = na ), montrer que la condition de quantification
s’écrit
a ⎛ sin Ka ⎞
+ cos Ka ≤ 1
λ0 ⎜⎝ Ka ⎟⎠
Pour simplifier, on pourra prendre une solution de l’équation de Schrödinger sous la
forme ψ ( x ) = eiKx + Ce − iKx
d) Que peut-on en conclure quant à la répartition des états de diffusion d’un électron
dans un tel solide unidimensionnel ?
Le modèle simple de solide unidimensionnel décrit ici est connu sous le nom de
« modèle de Krönig-Penney ».
D. Marchand
6
Travaux dirigés de physique quantique
NOTATIONS ET SYNTAXE DE DIRAC
UN EXEMPLE :
I-
L'OPERATEUR PARITE
L'OPERATEUR PARITE
1-/ Considérons un système physique S dont l'espace des états est Er ; l'opérateur parité Π̂
est défini par son action sur les vecteurs de base r de Er :
ˆ r = −r
Π
(on prendra garde à ne pas confondre − r0 et − r0 ; le premier est un vecteur propre de
l'opérateur position R , de valeur propre − r0 et de fonction d'onde ξ − r0 ( r ) = δ ( r + r0 ) ; le
second est un vecteur propre de R de valeur propre r0 et de fonction d'onde
−ξ r0 ( r ) = −δ ( r − r0 ) .)
• Calculer les éléments de matrice de Π̂ en représentation
• Montrer que l'action de Π̂ en représentation
{ r }.
{ r } est de changer le vecteur r en
−r.
ˆ ψ ?
• Soit ψ le vecteur d'état du système S . Que décrit le vecteur Π
2-/ Montrer que l'opérateur Π̂ est unitaire ( Πˆ −1 = Πˆ † ) et déterminer ses valeurs propres et
leur degré de dégénérescence.
3-/ Considérons les opérateurs hermitiques (respectivement appelés symétriseur et
⎧ˆ 1 ˆ ˆ
⎪⎪ P+ = 2 I + Π
antisymétriseur) Pˆ+ et Pˆ− , tels que : ⎨
où I est l'opérateur identité.
1
⎪ Pˆ = Iˆ − Π
ˆ
⎪⎩ − 2
• Montrer que ces opérateurs sont respectivement les projecteurs sur deux sous-espaces
orthogonaux et supplémentaires E+ et E− de Er .
⎧⎪ ψ + = Pˆ+ ψ
4-/ Considérons les kets ψ + et ψ − tels que : ⎨
⎪⎩ ψ − = Pˆ− ψ
• Montrer que ψ + et ψ − sont respectivement pair et impair. En déduire que les fonctions
(
)
(
)
d'onde ψ + ( r ) et ψ − ( r ) sont respectivement paire et impaire.
II-
OPERATEURS PAIRS ET IMPAIRS
1-/ Montrer que l'opérateur B , transformé par l'opérateur unitaire Π̂ d'un opérateur B̂
ˆ Bˆ Π
ˆ.
quelconque, s'écrit : B = Π
(on rappelle que l'opérateur transformé a mêmes éléments de matrice dans la base
transformée, que l'opérateur dans la base initiale).
D. Marchand
7
Travaux dirigés de physique quantique
Par définition, si B = + Bˆ , l'opérateur B est dit pair, si B = − Bˆ , l'opérateur B̂ est dit impair.
• Montrer qu'un opérateur pair commute avec Π̂ et qu'un opérateur impair anticommute avec
Π̂ .
2-/ Montrer que les éléments de matrice d'un opérateur pair sont nuls entre vecteurs de parité
opposée. Montrer de même que les éléments de matrice d'un opérateur impair sont nuls entre
vecteurs de même parité.
• En déduire en particulier que la valeur moyenne d'un opérateur impair est nulle si l'état
dans lequel elle est prise a une parité déterminée.
• Montrer que les opérateurs position R̂ et impulsion P̂ sont impairs.
3-/ Considérons une observable quelconque B̂+ paire et un vecteur propre φb de B̂+ , de
valeur propre b . Quelle est la parité de φb dans les deux cas suivants :
b est non dégénérée. Que vaut dans ce cas la valeur moyenne d'un opérateur B̂−
prise dans cet état ?
- b est dégénérée
Pˆ 2
4-/ Soit le Hamiltonien Hˆ =
+ V R̂ , tel que la fonction V ( r ) soit paire.
2m
• En déduire que les états propres de H sont à rechercher parmi les états pairs ou impairs.
• Citer des systèmes physiques où cette simplification se rencontre dans la recherche de leurs
états propres.
-
( )
D. Marchand
8
Travaux dirigés de physique quantique
LA MESURE EN MECANIQUE QUANTIQUE
I-/ On considère le mouvement d’une particule sans spin régi par un Hamiltonien Ĥ . On
suppose connue l’équation aux valeurs propres de Ĥ :
Ĥ n1 , n2 = ( n12 + n22 ) n1 , n2 avec : n '1 , n '2 n1 , n2 = δ n1 ,n2 δ n '1 ,n '2
où n1 et n2 sont des entiers positifs.
On suppose qu’à l’instant t = 0 la particule est dans l’état normalisé à l’unité :
ψ t = 0 = a 11
, + b 1,2
où a et b sont des constantes réelles positives.
b g
1-/ Déterminer a et b sachant que la valeur moyenne de l’énergie à l’instant t = 0 est 3.
bg
2-/ Déterminer l’état ψ t
de la particule à un instant t > 0.
⎧Â n1 , n2 = n1 n1 , n2
ˆ et B
ˆ deux observables de la particule telles que : ⎪⎨
3-/ Soient A
⎪⎩B̂ n1 , n2 = n2 n1 , n2
Quelles sont, à un instant t > 0 , les valeurs possibles des résultats de mesures de A et B et
leurs probabilités respectives ?
II-/
On considère un système physique S dont une grandeur P1 est représenté dans une
base orthonormée
lψ
1
, ψ2 , ψ3
q par la matrice
F0 3
A = G 3 −2
GH 0 0
I
JJ
K
0
0
1
1-/ On mesure P1 , quelles valeurs peut-on trouver ?
2-/ Si l’on prépare le système S dans l’état ψ 1 , qu’obtient-on comme résultat de mesure et
avec quelle probabilité ?
3-/ Une seconde grandeur P2 du système S est représentée dans la même base
lψ
1
, ψ2 , ψ3
q par la matrice
F1
GG 2
3
B=G
GG 02
H
I
JJ
JJ
JK
3
0
2
1
−
0
2
0 −1
On mesure P2 , quelles valeurs peut-on obtenir ?
4-/ On mesure P1 , dans quel état se trouve le système ? On mesure ensuite P2 , qu’obtient-on
suivant le résultat de mesure de P1 ?
D. Marchand
9
Travaux dirigés de physique quantique
5-/ On mesure P2 , dans quel état se trouve le système ? On mesure ensuite P1 , qu’obtient-on
suivant le résultat de mesure de P2 ?
6-/ On considère une troisième grandeur P3 représentée dans la base
matrice
F1
C=G 0
GH −1
lψ
1
, ψ2 , ψ3
q par la
I
JJ
K
0 −1
1
3
3 1
On mesure P3 , qu’obtient-on ? Dans quels états se trouve le système ?
Puis on mesure P2 , qu’obtient-on ?
7-/ On mesure P3 puis P1 , qu’obtient-on ?
8-/ On mesure P3 , quelle est la valeur moyenne de P1 dans chacun des états possibles du
système ?
9-/ On considère une 4ème grandeur P4 représentée dans la base ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 par la
l
matrice
F1
D = G2
GH 0
q
I
JJ
K
0 0
0 0
0 1
Peut-on mesurer P4 ?
D. Marchand
10
Travaux dirigés de physique quantique
Les outils...
1-/ Description de l’état d’un système :
A un instant donné t0 fixé, l’état d’un système est défini par la donnée d’un ket ψ t0
appartenant à l’espace des états E.
bg
Remarque : E étant un espace vectoriel, ce postulat implique un principe de superposition :
une combinaison linéaire de vecteurs d’état est un vecteur d’état.
2-/ Description des grandeurs physiques :
Toute grandeur physique mesurable A est décrite par un opérateur  agissant dans E ; cet
opérateur est une observable.
3-/ Mesure des grandeurs physiques :
a) résultats possibles
La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’une des
valeurs propres de l’observable  correspondante.
Remarque : une mesure de A donnera toujours une valeur réelle puisque  est par définition
hermitique.
b) principe de décomposition spectrale
b-1) cas d’un spectre discret non dégénéré :
Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un système dans l’état
ψ normé, la probabilité P an d’obtenir comme résultat la valeur propre
b g
b g
non dégénérée an de l’observable  correspondante est : P an = un ψ
2
où
un est le vecteur propre normé de  associé à la valeur propre an .
b-2) cas où an est dégénérée : (de degré de dégénérescence gn )
b g
gn
P an = ∑ uni ψ
2
o t bi = 1… g g est un système orthonormé de vecteurs
où uni
i =1
n
formant une base dans le sous-espace propre En associé à la valeur propre an .
b-3) cas d’un spectre continu non dégénéré :
La probabilité dP α d’obtenir un résultat compris entre α et α + dα vaut :
bg
dP α = vα ψ
bg
2
dα où vα est le vecteur propre correspondant à la valeur
propre α de l’observable  associée à A .
4-/ Réduction du paquet d’ondes (ou : « théorème de projection »)
D. Marchand
11
Travaux dirigés de physique quantique
Si la mesure de la grandeur physique A sur le système dans l’état ψ donne le résultat an ,
l’état du système immédiatement après la mesure est la projection normée
P̂n ψ
de ψ sur le sous espace propre associé à an .
ψ P̂n ψ
5-/ Evolution dans le temps :
L’évolution dans le temps du vecteur d’état ψ t est régie par l’équation de Schrödinger :
d
ψ ( t ) = Ĥ ( t ) ψ ( t ) où Ĥ ( t ) est l’observable associée à l’énergie totale du système.
i
dt
bg
6-/ Règles de quantification :
Pour une particule sans spin soumise à un potentiel scalaire :
b
g
(
ˆ ˆ ˆ
* à la position r x , y , z de la particule est associée l’observable Rˆ X,Y,Z
d
)
(
i
* à l’impulsion p px , p y , pz de la particule est associée l’observable Pˆ Pˆ X ,Pˆ Y ,Pˆ Z
)
⎧ ⎡ Rˆ i ,R j ⎤ = ⎡ Pˆi ,Pˆ j ⎤ = 0
⎪⎣
⎦ ⎣
⎦
telles que : ⎨
⎪⎩ ⎣⎡ Rˆ i ,Pˆ j ⎦⎤ = i δ ij
L’observable  qui décrit une grandeur physique A définie classiquement, s’obtient en
remplaçant dans l’expression convenablement symétrisée de  , r et p par les observables
ˆ ˆ
R et P respectivement.
7-/ Principe de superposition et prévisions physiques :
a) Soient ψ 1 et ψ 2 deux états normés et orthogonaux :
R| ψ
S| ψ
T
1
ψ1 = ψ 2 ψ 2 = 1
1
ψ2 = 0
ψ 1 et ψ 2 sont par exemple deux états propres d’une même observable B̂ associés à deux
valeurs propres différentes b1 et b2 .
Considérons un état normé ψ , superposition linéaire de ψ 1 et ψ 2 : ψ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2
eλ
2
1
j
+ λ 2 = 1 ; alors la probabilité de trouver b1 lors d’une mesure de B̂ est λ1 , celle de
2
2
trouver b2 est λ 2 .
2
ˆ et B
ˆ (correspondant à deux grandeurs physiques A et B)
b) Si deux observables A
commutent
⎧ Â ψ n = α n ψ n
ˆ ˆ ⎤ = 0 alors ∃ une base commune ψ , soit : ⎪⎨
⎡ A,B
n
⎣
⎦
⎪⎩ B̂ ψ n = β n ψ n
Pour prédire les résultats de mesure de A et B , on développe l’état ψ du système sur la
ˆ et B
ˆ : ψ = ∑a ψ .
base ψ n des états propres communs à A
m r
m r
Si mesureb Ag → α
n
n
n
2
i
avec la probabilité ai , le système immédiatement après la mesure est
dans l’état ψ i , état propre de B̂ . La mesure de B donnera donc β i avec la probabilité ai et
réciproquement.
⇒ la prédiction des résultats de mesures est alors indépendante de l’ordre des mesures.
2
D. Marchand
12
Travaux dirigés de physique quantique
ˆ ˆ⎤≠0
c) Si ⎡⎣ A,B
⎦
ˆ ou B
ˆ
Il faut alors décomposer l’état ψ du système sur la base des vecteurs propres de A
selon que l’on mesure d’abord A ou B .
⎧⎪ Â ψ n = α n ψ n
et ψ = ∑ an ψ n = ∑ bn Φ n
⎨
n
n
⎪⎩ B̂ Φ n = β n Φ n
2
Si mesure A → α i avec la probabilité ai , le système immédiatement après la mesure est
bg
dans l’état ψ i . Comme ψ i n’est pas un vecteur propre de B̂ , il faut décomposer ψ i sur la
m r
base Φ n , soit : ψ i = ∑ cn Φ n . La mesure de B donnera donc β i avec la probabilité ci
2
n
et le système, immédiatement après la mesure sera dans l’état Φ i . Si on mesure de nouveau
m r
A , il faudra de nouveau décomposer Φ i sur la base ψ n .
⇒ La prédiction des résultats de mesures est donc dépendante cette fois de l’ordre des
mesures.
d) E.C.O.C.
On appelle « Ensemble Complet d’Observables qui Commutent » un ensemble minimal
d’observables qui commutent deux à deux et tel que la donnée d’un jeux de leurs valeurs
propres suffit à déterminer sans ambiguïté un vecteur propre unique de leur base commune de
vecteurs propres.
D. Marchand
13
Travaux dirigés de physique quantique
D. Marchand
14
Travaux dirigés de physique quantique
OSCILLATEUR HARMONIQUE PERTURBE
1./ Perturbation stationnaire
1
Une particule de masse m est soumise à un potentiel harmonique Vˆ ( 0) = kxˆ 2 . Une
2
1
faible perturbation Vˆ (1) = δ kxˆ 2 s’ajoute à Vˆ ( 0 ) .
2
1-/ Montrer que les corrections en énergie, au premier et au second ordre (au sens de la
théorie des perturbations) de l’état fondamental de l’oscillateur sont respectivement :
1δ k
1 ⎛δ k ⎞
ω et E ( 2) = − ⎜
E =
⎟ ω
4 k
16 ⎝ k ⎠
k
où ω est la fréquence angulaire de l’oscillateur : ω =
m
2-/ Montrer, par un calcul exact, que les expressions précédentes représentent une très bonne
approximation de l’énergie de l’oscillateur.
On donne :
L’expression de l’opérateur position X̂ en fonction des opérateurs création et annihilation
aˆ † et aˆ :
2
(1)
Xˆ =
( aˆ + aˆ )
2mω
†
dont les actions sur un état n de l’oscillateur non perturbé sont respectivement :
†
⎪⎧ aˆ n = n + 1 n + 1
⎨
⎪⎩ aˆ n = n n − 1
2./ Perturbation dépendant du temps
Oscillateur harmonique perturbé par un champ électrique créneau
On considère un oscillateur harmonique à une dimension x , de masse m et de pulsation
1⎞
⎛
ω0 , de charge q . Soient φn et En = ⎜ n + ⎟ ω0 les états propres et valeurs propres de son
2⎠
⎝
Hamiltonien Ĥ 0 . Pour t < 0 , l’oscillateur est dans l’état fondamental φ0 . A t = 0 , il est soumis
à un « créneau » de champ électrique de durée τ ; la perturbation correspondante s’écrit :
⎧−qE xˆ pour 0 ≤ t ≤ τ
Vˆ ( t ) = ⎨
pour t < 0 et t > τ
⎩0
E est l’amplitude du champ. Soit P0→n la probabilité de trouver l’oscillateur dans l’état
φn après la fin du créneau.
(a) Calculer P0→1 en utilisant la théorie des perturbation dépendant du temps au
premier ordre. Comment varie P0→1 avec τ , ω0 étant fixé.
(b) Montrer que pour obtenir P0→2 , il faut pousser le calcul de perturbation dépendant
du temps au moins jusqu’au second ordre. Calculer P0→2 à cet ordre de perturbation.
D. Marchand
15
Travaux dirigés de physique quantique
Les outils...
I-/ RAPPEL DE COURS SUR L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
Pˆ 2 1
• Hamiltonien de l’oscillateur harmonique non perturbé : Hˆ =
+ mω 2 Xˆ 2
2m 2
⎡
⎤
1 ⎢ Pˆ 2
Xˆ 2 ⎥
on pose : ε =
(sans dimension) →
= ⎢
+
⎥ et :
ω
ω 2 ⎢m ω
⎥
mω ⎦
⎣
Hˆ
E
⎧ˆ
Xˆ
⎪X =
⎪⎪
mω variables réduites
⎨
⎪
ˆ
⎪ Pˆ = P
⎪⎩
m ω
⎡ Xˆ , Pˆ ⎤ = i ⇒ ⎡ Xˆ , Pˆ ⎤ = i
⎣
⎦
⎢⎣
⎥⎦
)
(
(
1
1 ˆ
Hˆ = Pˆ 2 + Xˆ 2 =
X − iPˆ
2
2
aˆ†
)( Xˆ + iPˆ ) 12 − 2i ⎡⎣⎢ Xˆ , Pˆ ⎤⎦⎥
aˆ
i
⎛
⎞
1⎞
1
1⎞
⎛
⎛
Hˆ = ⎜ aˆ † aˆ + ⎟ → Hˆ = ω ⎜ aˆ † aˆ + ⎟ = ⎜ Nˆ + ⎟ ω
⎜
2⎠
2⎟ ⎝
2⎠
⎝
⎝ Nˆ
⎠
( Xˆ − iPˆ ) ⎪⎪⎧ Xˆ = 12 ( aˆ + aˆ ) ⎪⎪⎧ Xˆ = 2mω ( aˆ + aˆ )
⇒⎨
d'où : ⎨
i
ˆ
ˆ
ˆ
⎪
( X + iP ) ⎪⎩P = 2 ( aˆ − aˆ ) ⎪⎪⎩Pˆ = i m2ω ( aˆ − aˆ )
1
⎧ †
⎪⎪aˆ = 2
⎨
⎪ aˆ = 1
⎪⎩
2
†
†
†
†
⎡⎣ aˆ , aˆ † ⎤⎦ = 1ˆ
⎧⎪ aˆ † n = n + 1 n + 1
où aˆ † et aˆ sont les opérateurs création et annihilation.
⎨
⎪⎩ aˆ n = n n − 1
D. Marchand
16
Travaux dirigés de physique quantique
II- / Problèmes stationnaires
I-/ Théorie des perturbations stationnaires - Définition :
L’étude quantique des systèmes physiques conservatifs (c’est-à-dire dont l’hamiltonien ne
dépend pas explicitement du temps) est basée sur l’équation aux valeurs propres de
l’opérateur hamiltonien.
D. Marchand
17
Travaux dirigés de physique quantique
La théorie des perturbations stationnaires est une méthode d’approximation qui permet dans
certains cas, d’obtenir analytiquement des solutions approchées de cette équation aux valeurs
propres.
résultats de la théorie :
La théorie est applicable lorsque l’hamiltonien Ĥ du système étudié peut être mis sous la
forme
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
H=
H
+ W
W<<H
0
0
(
)
perturbation
hamiltonien
non perturbe
• Perturbation d’un niveau non dégénéré Enb 0 g :
• -Correction au premier ordre à l’énergie :
La correction au premier ordre à une énergie non dégénérée Enb 0 g est simplement égale à la
valeur moyenne du terme de perturbation Ŵ dans l’état propre non perturbé ϕ n .
En = En( 0) + ϕn Ŵ ϕn
En( )
1
• -Correction au premier ordre au vecteur propre :
ϕ p Ŵ ϕn
ψ n = ϕn + ∑ ( 0)
ϕp
( 0)
p ≠ n En − E p
correction au 1er ordre
• -Correction au second ordre à l’énergie :
En( 2) = ∑
ϕ p Ŵ ϕn
En( 0) − E (p0)
p≠n
d’où, à l’ordre 2 :
2
En = En( 0) + ϕ n Ŵ ϕ n + ∑
1
E( )
p≠n
ϕ p Ŵ ϕ n
2
En( 0) − E p( 0)
n
2
En( )
Perturbation d’un niveau dégénéré Enb 0 g :
La correction au premier au premier ordre de l’énergie est obtenue en diagonalisant la
perturbation dans le sous-espace de dégénérescence associé à Enb 0 g . Les vecteurs propres
correspondent à l’approximation d’ordre 0.
III- / Problèmes non stationnaires
le développement en perturbation
Les 3 représentations :
• Soit ψ S ( t0 )
un vecteur d’état en représentation de Schrödinger, i.e. son
évolution dans le temps est régie par l’équation de Schrödinger. La représentation de
Schrödinger emploie une transformation unitaire ACTIVE :
D. Marchand
18
Travaux dirigés de physique quantique
ψ S ( t ) = Uˆ ( t , t0 ) ψ S ( t0 ) = Uˆ † ( t0 , t ) ψ S ( t0 )
où Uˆ ( t , t0 ) est l’opérateur d’évolution.
Le vecteur est transformé mais tous les opérateurs sont constants dans le temps (à moins
qu’ils ne dépendent EXPLICITEMENT du temps). Les vecteurs de base sont inchangés. Les
opérateurs sont définis par leur action sur les vecteurs de base.
• La représentation de Heisenberg utilise une transformation unitaire équivalente
mais PASSIVE. Le vecteur d’état est constant :
ψ H = ψ S ( t0 ) = Uˆ ( t0 , t ) ψ S ( t ) = Uˆ † ( t , t0 ) ψ S ( t )
Les vecteurs de base sont modifiés et par conséquent, les opérateurs aussi. L’opérateur Aˆ H ( t )
(dans la nouvelle base) s’exprime en fonction de Aˆ S ( t ) (dans l’ancienne base) par la relation :
Aˆ H ( t ) = Uˆ ( t0 , t ) Aˆ S ( t ) Uˆ † ( t0 , t ) = Uˆ † ( t , t0 ) Aˆ S ( t ) Uˆ ( t , t0 )
Passage d’une représentation à l’autre :
La représentation de Heisenberg est obtenue par une transformation unitaire, pour tout instant
t , à partir de la représentation de Schrödinger :
ψ H = Uˆ ( t0 , t ) ψ S ( t ) = Uˆ † ( t , t0 ) ψ S ( t ) = ψ S ( t0 )
Les éléments de matrice de tout opérateur  sont indépendants de la représentation.
ψ S ( t ) Aˆ S ( t ) Φ S ( t ) = ψ S ( t ) Uˆ ( t , t0 ) Uˆ † ( t , t0 ) Aˆ S ( t ) Uˆ ( t , t0 ) Uˆ † ( t , t0 ) Φ S ( t )
= ψ H Uˆ † ( t , t0 ) Aˆ S ( t ) Uˆ ( t , t0 ) Φ H = ψ H Aˆ H ( t ) Φ H
Les prédictions de la mécanique quantique sont indépendantes de la représentation.
• La représentation d’interaction (dite : intermédiaire)
D. Marchand
19
Travaux dirigés de physique quantique
Supposons que le Hamiltonien d’un système quelconque soit Hˆ 0S ( t ) (en représentation de
i ˆ
− H 0 S ( t − t0 )
.
Schrödinger) et l’opérateur (unitaire) d’évolution correspondant, soit Uˆ 0 ( t , t0 ) = e
Nous avons :
d ˆ
i
U 0 ( t , t0 ) = Hˆ 0 S ( t ) Uˆ 0 ( t , t0 ) avec Uˆ 0 ( t0 , t0 ) = Iˆ et Uˆ 0 ( t , t0 ) Uˆ †0 ( t , t0 ) = Iˆ
(1)
dt
Supposons maintenant que le système soit perturbé de telle façon que son Hamiltonien
devienne Hˆ S ( t ) = Hˆ 0 S ( t ) + WˆS ( t ) . Pour un tel système, le vecteur d’état en représentation
d’interaction, ψ I ( t ) est défini à partir du vecteur d’état en représentation de Schrödinger
par :
ψ I ( t ) = Uˆ 0† ( t , t0 ) ψ S ( t )
Comment évolue ψ I ( t ) ?
i
d
d ˆ†
U 0 ( t , t0 ) ψ S ( t ) = i
ψ I (t ) = i
dt
dt
= −Uˆ † ( t , t ) Hˆ ( t ) ψ
0
0
0S
S
⎡⎛ d ˆ †
d
⎤
⎞
ˆ†
⎢⎜ dt U 0 ( t , t0 ) ⎟ ψ S ( t ) + U 0 ( t , t0 ) dt ψ S ( t ) ⎥
⎠
⎣⎝
⎦
†
( t ) + Uˆ ( t , t ) Hˆ ( t ) ψ ( t )
0
0
S
S
d ˆ†
U 0 ( t , t0 ) = Uˆ 0† ( t , t0 ) Hˆ 0 ( t ) )
dt
Nous pouvons maintenant écrire :
d
i
ψ I ( t ) = − Uˆ 0† Hˆ 0 S ( t ) Uˆ 0 Uˆ 0† ψ S ( t ) + Uˆ 0† Hˆ S ( t ) Uˆ 0 Uˆ 0† ψ S ( t )
dt
(où nous avons utilisé (1) = −i
†
Hˆ 0 I ( t )
ψ I (t )
Hˆ I ( t )
ψ I (t )
⎡
⎤
⎢
= − H 0 I ( t ) ψ I ( t ) + H 0 I ( t ) + WI ( t ) ⎥ ψ I ( t ) = WI ( t ) ψ I ( t )
⎢
⎥
Hˆ I ( t )
⎢⎣
⎥⎦
c’est-à-dire :
d
ψ I ( t ) = Wˆ I ( t ) ψ I ( t )
dt
qu’on peut encore écrire sous la forme d’une équation intégrale :
1
d ψ I ( t ) = Wˆ I ( t ) ψ I ( t ) dt
i
t
t
1 ˆ
'
d
ψ
t
=
∫t I ( ) i t∫ WI ( t ') ψ I ( t ') dt '
0
0
i
ψ I ( t ) = ψ I ( t0 ) +
t
1 ˆ
WI ( t ' ) ψ I ( t ') dt '
i t∫0
équation intégrale qui peut être résolue par itérations.
Le ket ψ I ( t ) peut alors être développé en série de puissances de la forme :
D. Marchand
20
Travaux dirigés de physique quantique
ψ I (t )
t
t
t'
⎧⎪
1
1
ˆ
ˆ
dt 'WI ( t ' )∫ dt "Wˆ I ( t ") +
= ⎨ I + ∫ dt 'WI ( t ' ) +
2 ∫
( i ) t0
t0
⎩⎪ i t0
⎫⎪
⎬ ψ I ( t0 )
⎭⎪
La représentation d’interaction assigne une dépendance en temps aux
vecteurs et aux opérateurs.
Quand doit-on utiliser la représentation d’interaction ?
La représentation d’interaction est souvent utilisée lorsque Hˆ 0 S est indépendant du temps et
WˆS ( t ) une petite correction par rapport à Hˆ 0 S . Supposons que le problème gouverné par
Hˆ ait déjà été résolu, soit exactement, soit de façon approchée. Supposons que
0S
WˆS ( t ) = 0 pour t ≤ 0 . Alors ψ I ( 0 ) = ψ S ( 0 ) . En négligeant les termes d’ordre supérieur, à
1, nous avons :
ψ I (t ) = ψ I ( 0) +
avec WˆI ( t ) = e
Soit
i ˆ
H 0t
−
WˆS ( t ) e
{ n } une
base
t
1 ˆ
WI ( t ') ψ I ( 0 ) dt '
i ∫0
i ˆ
H 0t
propre
de Ĥ 0 et
orthonormée
soit m l’état
du
système
à
t = 0, i.e. ψ I ( 0 ) = m . Nous avons : Hˆ 0 m = Em m .
La probabilité P ( Ek , t ) de trouver le système dans l’état propre k de Ĥ 0 à l’instant t , i.e. la
probabilité de trouver la valeur propre Ek , est
k ψ I (t )
2
(les prédictions en mécanique
quantique sont indépendantes de la représentation).
t
t
1
1 i ( Ek − Em )t '
k ψ I ( t ) = k m + ∫ k Wˆ I ( t ') m dt ' = ∫ e
k WˆS ( t ') m dt '
i 0
i 0
avec k m = 0 . Nous avons donc :
P ( Ek , t ) =
t
1
2
∫e
i
( Ek − Em )t '
2
k WˆS ( t ') m dt ' =
0
où ω km =
Ek − Em
1
2
t
2
∫e
iωkmt '
k WˆS ( t ') m dt '
0
est la pulsation de Bohr de la transition k ↔ m .
C’est le résultat au premier ordre, de la théorie des perturbations dépendant du temps.
P ( Ek , t ) est la probabilité de transition k ↔ m pour une durée t de l’interaction.
Si t est la durée de la perturbation « branchée » à l’origine t = 0 alors :
t
∫e
0
D. Marchand
iωkmt '
∞
k WˆS ( t ') m dt ' = ∫ eiωkmt ' k WˆS ( t ') m dt '
0
21
Travaux dirigés de physique quantique
Et, au facteur
1
2
près, la probabilité au premier ordre est le module au carré de la transformée
de Fourier de l’élément de matrice de la perturbation, transformée de Fourier prise pour la
E − Em
pulsation de Bohr ωkm = k
de la transition considérée.
Si WˆS ( t ) est indépendant du temps, i.e., un terme petit et constant est ajouté au temps t = 0 à
l’Hamiltonien, alors :
2
i
1
P ( Ek , t ) =
=
2
k WˆS m
2
k WˆS m
2
( Ek − Em )
2
e
i
( Ek − Em )t
−1
( Ek − Em )
2
=
1
2
k WˆS m
2
k WˆS m
Ek − Em
2sin
t =
2
2
( ωkm )
2
2
e
i
− Emt
i
−e
i
− Ek t
( Ek − Em )
⎛ω t ⎞
4sin 2 ⎜ km ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛θ −ϕ ⎞
où nous avons utilisé le fait que eiθ − eiϕ = 2sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Au second ordre :
t
t
t'
1
1
( 2)
ˆ
ˆ
ψ I ( t ) = ψ I ( t0 ) + ∫ dt 'WI ( t ') ψ I ( t0 ) +
dt 'WI ( t ')∫ dt "Wˆ I ( t ") ψ I ( t0 )
2 ∫
i t0
i
( ) t0
t0
Supposons comme précédemment que WˆS ( t ) = 0 pour t ≤ 0 . Alors ψ I ( 0 ) = ψ S ( 0 ) = m
k ψ I(
2)
(t )
t
= k m +
=0
t
t'
1
1
dt ' k Wˆ I ( t ') m +
dt '∫ dt " k Wˆ I ( t ') Wˆ I ( t ") m
2 ∫
∫
i 0
(i ) 0 0
j de la base { n } de états propres de l’Hmiltonien
En injectant la relation de fermeture ∑ j
j
non perturbé Hˆ 0 S entre Wˆ I ( t ') et WI ( t ") , on obtient :
( 2)
k ψI
(t )
t
1
= k m + ∫ dt ' k Wˆ I ( t ') m +
i 0
=0
1
t
t'
dt '∫ dt " k Wˆ I ( t ' ) j
2 ∑∫
i
j
( ) 0 0
Soit en repassant en représentation de Schrödinger :
(En se rappelant que Wˆ I ( t ) = e
i ˆ
H0 S t
U † ( t ,0 )
( 2)
k ψI
(t )
i ˆ
H0 S t
)
U ( t ,0 )
t
i
( Ek − Em )t '
1
= ∫ dt ' e
k Wˆ S ( t ') m +
i 0
1
(i )
D. Marchand
−
WˆS ( t ) e
j Wˆ I ( t ") m
2
t
t'
0
0
∑ ∫ dt '∫ dt " e
j
i
( Ek − E j )t '
k WˆS ( t ' ) j
i
( E j − Em )t "
ˆ
j WS ( t ") m e
22
Travaux dirigés de physique quantique
Au second ordre interviennent des états propres j intermédiaires entre les états k et m
susceptibles d’être couplés avec ces états.
D. Marchand
23
Travaux dirigés de physique quantique
D. Marchand
24
Travaux dirigés de physique quantique
PROBLEMES STATIONNAIRES
D⎛
Sˆ 2 ⎞ E
Soit le Hamiltonien : Hˆ = 2 ⎜⎜ Sˆz2 − ⎟⎟ + 2 Sˆ+2 + Sˆ-2 où D et E sont des constantes et où
3 ⎠ 2
⎝
le spin S est égal à 1.
- a) Quels sont les niveaux d’énergie du système dont le Hamiltonien est Ĥ .
- b) On applique un champ magnétique oscillant d’amplitude B cos ωt pour assurer des
transitions entre ces différents états.
Donner le nombre de raies susceptibles d’être observées suivant la structure du champ
magnétique.
(
D. Marchand
)
25
Travaux dirigés de physique quantique
D. Marchand
26
Travaux dirigés de physique quantique
« DYNAMIQUE EN REFERENTIEL TOURNANT »
L’EXEMPLE DE LA RESONANCE MAGNETIQUE
1.- Hamiltonien de spin
1
placée dans un champ magnétique statique B0 = B0u z et
2
un champ tournant à la vitesse angulaire constante ω , de faible amplitude b1
On considère une particule de spin
b1 ( t ) = b1 ( cos ω t u x + sin ω t u y )
• En faisant abstraction des variables spatiales, montrer que le Hamiltonien de
spin de la particule s'écrit
ω
⎡
⎤
Hˆ ( t ) = ⎢ω Lσˆ z + 1 ( e− iω tσˆ + + eiω tσˆ − ) ⎥
2⎣
2
⎦
ˆ
où σ est l’opérateur de spin de Pauli, ω L = −γ B0 (pulsation de Larmor), ω1 = −γ b1 et γ le
rapport gyromagnétique.
2.- Hamiltonien dans le référentiel tournant
ωt
−i σ z
On effectue un changement de base définit par la transformation unitaire Uˆ ( t , 0 ) = e 2 et on
note Ψ ( t )
le transformé par Û † du vecteur Ψ ( t )
ˆ
représentant l’état de spin de la
particule.
ω
• Montrer que dans cette nouvelle base le Hamiltonien s’écrit Hˆ ' = − δσˆ z + 1 σˆ x où
2
2
δ = ω − ωL .
• En déduire que dans cette nouvelle base le spin précesse autour d’un champ magnétique
efficace Beff constant dont on déterminera l’expression.
• Déterminer l’évolution temporelle de l’état de spin Ψ ( t ) = b+ ( t ) + + b− ( t ) − .
3.- Résonance magnétique
On suppose que le spin est initialement dans l’état + .
• Calculer la probabilité de basculement du spin au temps t et montrer le caractère résonnant
de cette probabilité.
D. Marchand
27
Travaux dirigés de physique quantique
D. Marchand
28
Travaux dirigés de physique quantique
PROBLEMES NON STATIONNAIRES
ˆ
ˆ
On considère deux spins 21 , S1 et S2 , couplés par une interaction scalaire de la forme
ˆ ˆ
a ( t ) S1 ⋅ S2 ; a t est une fonction du temps représentée ci-dessous :
bg
bg
at
a0
t
0
τ
(Il s'agit, par exemple, d'un modèle simple de collision entre deux spins 21 où les degrés de
liberté externes sont traités classiquement et « quantiquement» les degrés de liberté de spin.
La constante de couplage a est alors une fonction rapidement décroissante de la distance
r qui sépare les deux particules. Comme r varie au cours du temps, il en est de même de a . Le
maximum de a t correspond à l'instant où la distance entre les deux particules est minimale.
Pour simplifier les raisonnements on remplace la courbe réelle par le "créneau " représenté
ci-dessus)
bg
1-/
A t = −∞ , le système est dans l'état +,− (état propre de Sˆ1z et Sˆ2 z avec les valeurs propres
+
2
et − ).
2
Calculer sans approximation :
a) l'état du système à t = +∞ .
(On se rappellera que multiplier un vecteur d’état par un facteur de phase global est
sans importance physique)
b) la probabilité Pc + , − → − , + h de trouver à t = +∞ , le système dans l'état −,+ .
2-/
Calculer Pc + , − → − , + h en utilisant la théorie des perturbations dépendant du temps au
premier ordre.
Discuter les conditions de validité d'une telle approximation en comparant les résultats
obtenus à ceux de la question précédente.
D. Marchand
29
Travaux dirigés de physique quantique
1 1
Table de coefficients de CLEBSCH-GORDAN 2 × 2
Notation
S S ...
M M ...
m1 m2
m1 m2
.......
coefficient sans √
Note : la racine carrée s'applique à chaque coefficient dans ces tables.
1
1
Par exemple − doit être lu −
.
2
2
On démontre la propriété suivante pour ces coefficients :
S1 , m1 , S 2 , m2 S , M , S1 , S 2 = ( −1)
1 1
×
2 2
1
2
D. Marchand
1
2
1
2
1
-2
S − S1 − S2
S 2 , m2 , S1 , m1 S , M , S 2 , S1
1
+1
1
0
1
0
0
1
-2
1
2
1
2
1
-2
1
2
1
-2
1
-2
1
2
1
-1
1
30
Travaux dirigés de physique quantique
ADDITION DE DEUX MOMENTS CINETIQUES
ˆ
ˆ
Soient deux moments cinétiques J1 et J 2 de nombres quantiques respectifs j1 = j2 = 1.
ˆ
ˆ
On désigne par C1 l'espace des états de J1 et par C2 celui des états de J2 . On note
j1 , m1
cresp.
j2 , m2
h
les vecteurs propres communs à
{Jˆ , Jˆ } ⎛⎜⎝ resp.{Jˆ , Jˆ } ⎞⎟⎠
2
1
1z
2
2
2z
. On
effectue le produit tensoriel C12 = C1 ⊗ C2 et on note j1 , j2 , m1 , m2 les nouveaux vecteurs de
base. On a donc
j1 , j2 , m1 , m2 = j1 , m1 ⊗ j2 , m2
1-/ Quelles valeurs peuvent prendre m1 et m2 ? Quelle est la dimension de C12 ? Quelle est
ˆ
ˆ
l'action des opérateurs J12 , Jˆ1z , J22 , Jˆ 2z sur les nouveaux vecteurs de base j1 , j2 , m1 , m2 ?
ˆ ˆ ˆ
On introduit le moment cinétique total J=J1 + J2 et on note
ˆ ˆ ˆ
l'ECOC J12 , J 22 , J 2 , Jˆ z .
{
}
m j , j , J , M r la base commune à
1
2
2-/ Quelles sont les valeurs possibles de J ? Quelle est la dimension de la base
m j , j , J, M r
1
2
Remarque :
j1 et j2 étant fixés ( j1 = j2 = 1) on adoptera la notation simplifiée suivante :
j1 , j2 , J , M ≡ J , M et j1 , j2 , m1 , m2 ≡ m1 , m2
On désigne par P la matrice de passage de la base J , M à la base m1 , m2 . Les coefficients
de cette matrice s'appellent "coefficients de Clebsch-Gordan".
3-/ A l'aide de la relation M = m1 + m2 , déterminer les coefficients de Clebsch-Gordan non
nuls.
4-/ On adopte la convention de phase : j1 , J − j1 J , J réel > 0.
Calculer J , J en utilisant cette convention de phase.
5-/ En déduire J , J − 1 en utilisant l'action de l'opérateur Jˆ - = Jˆ1- + Jˆ -2 sur le ket J,J
(∈ C12 ) .
6-/ Obtenir J − 1, J − 1 en utilisant la structure de la matrice de passage P .
7-/ Obtenir les autres vecteurs de proche en proche à l’aide de l’opérateur Ĵ - .
8-/ Ecrire la matrice de passage P .
9-/ Retrouver directement les résultats obtenus ci-dessus à l’aide d’une table de coefficients de
Clebsch-Gordan.
D. Marchand
31
Travaux dirigés de physique quantique
Table de coefficients de Clebsch-Gordan
relative à l’addition de deux moments cinétiques 1
J, M
m1 , m2
1×1
+1
2
+2
2
1
+1
1
+1
+1
+1
0
1
2
2
1
0
0
+1
1
2
1
2
1
2
0
0
0
1
3
−
+1
-1
1
6
1
2
0
0
0
-1
+1
2
3
1
6
1
3
2
1
1
3
-1
-1
0
-1
1
2
2
-1
0
1
2
1
2
1
2
-2
−
1
2
−
-1
−
-1
1
Remarque : La table est à double entrée et permet le passage d’une base de représentation
standard à l’autre : J , M ↔ m1, m2
m
Exemple :
D. Marchand
r m r
m J, M r → m m ,m r
m J, M r ← m m , m r
1
2
1
2
m
m
1
1,0 + 0,1
2
1
1,0 =
2,1 + 11
,
2
2,1 =
r
r
32
Travaux dirigés de physique quantique
Les outils...
Moments cinétiques « orbital » noté L s’il possède un équivalent classique
« spin » noté S s’il s’agit d’un moment intrinsèque sans équivalent classique
1-/ Définition et principales propriétés :
ˆ
On appelle moment cinétique J tout ensemble de trois observables Jˆ x , Jˆ y , Jˆ z vérifiant les
⎧ ⎡ Jˆ x , Jˆ y ⎤ = i
⎦
⎪⎣
⎪⎡ ˆ ˆ ⎤
relations de commutation : ⎨ ⎣ J y , J z ⎦ = i
⎪
⎪ ⎡⎣ Jˆ z , Jˆ x ⎤⎦ = i
⎩
ˆ
Soit J 2 = Jˆ 2x + Jˆ 2y + Jˆ 2z l’opérateur carré
Jˆ z
Jˆ x
ˆ ˆ ˆ
(qu’on peut résumer par J ∧ J=i J )
Jˆ y
ˆ
scalaire du moment cinétique J . Cet opérateur est
ˆ
ˆ ˆ ˆ
hermitique (puisque Jˆ x , Jˆ y , Jˆ z le sont). J 2 commute avec les composantes de J : ⎡ J 2 , J ⎤ = 0
⎢⎣
⎥⎦
ˆ
⇒ J 2 et Jˆ admettent un système de vecteurs propres communs k , j, m , les équations aux
m
z
r
⎧ Jˆ 2 k , j , m = j ( j + 1) 2 k , j , m
⎪
valeurs propres étant les suivantes : ⎨
⎪⎩Ĵ z k , j , m = m k , j , m
ˆ
(l’indice k est nécessaire car dans le cas général, J 2 et Jˆ z ne constituent pas un ECOC)
• Les seules valeurs possibles pour j sont les nombres entiers (moments orbitaux) ou
demi-entiers positifs ou nul 0, 12 ,1, 23 ,2,… (spins).
• Pour une valeur fixée de j , les seules valeurs possibles pour m sont les 2 j + 1
nombres − j,− j + 1,…, j − 1, j ; m est donc entier si j est entier, demi-entier si j est
demi-entier.
b
b
g
g
b
g
Remarques :
1) Au lieu d’utiliser les composantes J x et J y du moment cinétique J , il est plus commode
d’introduire les combinaisons linéaires J ± = J x ± iJ y . On a alors J 2 , J ± = J 2 , J z = 0 et :
b g b g
2) En représentation m r r les
sphériquesY bθ , ϕ g .
J ± k , j, m =
j j + 1 − m m ± 1 k , j, m ± 1
fonctions propres de J 2 et J z sont les harmoniques
m
l
2-/ Composition (ou addition) des moments cinétiques :
D. Marchand
33
Travaux dirigés de physique quantique
ˆ ˆ ˆ
2-1/ Définition : J=J1 + J2 est défini comme le moment cinétique somme des moments
ˆ
ˆ
cinétiques partiels J1 et J2
2-2/ Utilité : On connaît une base de l’espace des états constituée des vecteurs propres
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
communs à J 2 , Jˆ , J 2 , Jˆ . Cependant J et J ne sont pas généralement des constantes
1
1z
2
1
2z
2
ˆ
⎛ ⎡ ˆ ˆ ⎤ ≠ 0, ⎡ H,J
ˆ ˆ ⎤ ≠ 0 ⎟⎞
J 2 et Jˆ z
alors que
le sont
⎜ ⎢ H,J
1
2
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎝
⎠
ˆ2 ⎤
⎛ ⎡ H,J
ˆ ˆ ⎤ = 0 ⎞⎟ .
⎜ ⎢ ˆ ⎥ = ⎡⎣ H,J
z⎦
⎣
⎦
⎝
⎠
On cherche donc à construire une nouvelle base formée de vecteurs propres communs
ˆ
à J 2 et Jˆ à partir de la base précédente.
du
mouvement
z
L’intérêt de cette nouvelle base se comprend aisément. Pour déterminer les états
stationnaires du système, c’est-à-dire les états propres de Ĥ , il est plus simple de
diagonaliser la matrice représentant Ĥ dans cette nouvelle base. En effet, comme
⎡ H,J
ˆ ˆ 2 ⎤ = ⎡ H,J
ˆ ˆ ⎤ = 0 , cette matrice se décompose en autant de blocs qu’il y a de sous⎣⎢
⎦⎥ ⎣ z ⎦
ˆ
espaces propres associés aux divers ensembles de valeurs propres de J 2 et Jˆ z . Sa
structure (diagonale par blocs) est beaucoup plus simple que celle de la matrice
ˆ
ˆ
représentant Ĥ dans la base des vecteurs propres communs à J 2 , Jˆ , J 2 , Jˆ puisque ni
1
1z
2
2z
Jˆ1z ni Jˆ 2z ne commutent en général avec Ĥ .
3-/ Les deux bases standards possibles :
ˆ
ˆ
a) Celle constituée des vecteurs propres communs à J12 , Jˆ1z , J 22 , Jˆ 2z : notée :
m j , j ,m ,m r ≡ m j ,m
1
2
1
2
1
1
⊗ j2 , m2
r ≡ m m , m r à j et j fixés
1
2
1
2
⎧ Jˆ 2 m , m = j ( j + 1) 2 m , m
⎪
1
1
1
2
telle que : ⎨ 1 1 2
⎪⎩Ĵ1z m1 , m2 = m1 m1 , m2
⎧ Jˆ 2 m , m = j ( j + 1) 2 m , m
⎪
2
2
1
2
et ⎨ 2 1 2
⎪⎩Ĵ 2z m1 , m2 = m2 m1 , m2
ˆ ˆ ˆ
b) Celle constituée des vecteurs propres communs à J12 , J22 , J 2 , Jˆ z : notée :
m j , j , j, m r ≡ m j, m r à j et j fixés
1
2
1
2
⎧ Jˆ 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m
⎧ Jˆ 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m
1
1
⎪
⎪ 1
et
telle que : ⎨
⎨
⎪⎩Ĵ z j , m = m j , m
⎪⎩ Jˆ 22 j , m = j2 ( j2 + 1) 2 j , m
Avec : j1 − j2 ≤ j ≤ j1 + j2 et − j ≤ m ≤ j par saut d’une unité ( 2 j + 1 valeurs)
b
g
4-/ Passage d’une base à l’autre :
Par « injection » de la relation de fermeture de l’autre base
j , m = Iˆ j , m =
+ j1
+ j2
∑ ∑
m1 =− j1 m2 =− j2
m1 , m2 = Iˆ m1 , m2 =
D. Marchand
j1 + j2
m1 , m2
m1 , m2 j , m
et réciproquement :
coefficients de Clebsch-Gordan
+j
∑ ∑
j = j1 − j2 m =− j
j, m
j , m m1 , m2
coefficients de Clebsch-Gordan
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