Chapitre 3

Chp3 miroirs
C3-1
Chapitre 3.
C3.1
Les miroirs
Généralités & définitions
♦ Les instruments d'optique sont des systèmes optiques : succession de milieux transparents,
généralement homogènes et isotropes, limités par des dioptres (surfaces de séparation entre2
milieux Ö surfaces réfractantes) et des miroirs (Ö surfaces réfléchissantes). Nous allons ainsi
nous intéresser à la formation d'images par des systèmes optiques en nous basant uniquement sur
la théorie géométrique (lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière telles qu'établies au
chapitre 2 sans se préoccuper de sa nature physique).
En pratique, les constructions géométriques des images restent correctes tant que les surfaces et
discontinuités, rencontrées par l'onde lumineuse au cours de sa propagation, sont de dimensions très
grandes comparées à la longueur d’onde (<λ> ≈ 0,5 µm). Sinon, la nature ondulatoire de la lumière
limitera les performances des systèmes optiques : l’instrument ne formera plus une image ponctuelle d’un
objet ponctuel mais donnera une tache de diffraction, ce que l'on appelle pouvoir de résolution ou pouvoir
séparateur de l’instrument.
♦ vocabulaire des systèmes optiques
• système dioptrique : ne comporte que des dioptres;
• système catadioptrique : comporte des dioptres & des miroirs
Sens propagation lumière
• système centré : système optique présentant une symétrie de révolution autour d’un axe appelé
axe optique du système. On oriente l’axe optique dans le sens de propagation de la lumière,
traditionnellement de la gauche vers la droite
Ö plan méridien : plan contenant l’axe optique
Ö plan transverse : plan perpendiculaire à l’axe optique.
•
Point objet A
Passent par A :
Réel
les rayons incidents
ou
ou
Virtuel
ou
leurs prolongements
¾ symbolisés en pointillés
à l’infini
Faisceau de rayons
incidents parallèles
Chp3 miroirs
C3-2
Ö L’image d’un point objet A donnée par un système optique est en général un point A’, dit
point-image.
Ö le point objet A et le point image A’ sont dits points conjugués
•
Point image A'
Réel
ou
Virtuel
ou
à l’infini
Ö images réelles : les rayons convergent vers le point image, ils passent réellement par A’
¾ une image réelle peut être projetée sur un écran
Ex : image du transparent donnée par un rétro-projecteur.
Ö
images virtuelles : les rayons sont divergents à partir du point image, ce sont les
prolongements des rayons (symbole = pointillés) qui passent par A’ Ö une image virtuelle n’est
pas projetable sur un écran; elle ne peut être observée qu’à l’œil.
Ex : un miroir plan reflète une image virtuelle d’un objet réel (vous ) placé devant lui.
♦ Propriétés des systèmes optiques
• système optique stigmatique : l'image d'un point reste effectivement un point.
Si le système n’est pas stigmatique, l’image est floue.
• système optique aplanétique : étant stigmatique pour un couple de points A et A’ situés sur
l'axe, l'image d'une petite portion de plan transverse entourant A et perpendiculaire à l’axe est
une petite portion de plan transverse entourant A’.
• système optique orthoscopique : l'image d'un objet étendu est semblable à l'objet.
Si le système n’est pas orthoscopique, l’image est distordue.
♦ Approximation de Gauss
• Travailler dans l’hypothèse dite "approximation de Gauss", c'est supposer que les rayons
lumineux qui divergent d’un objet placé sur l'axe optique forment un petit angle ∀ avec l’axe
(petit angle d'inclinaison par rapport à l’axe optique du système).
Ö rayons paraxiaux : rayons proches de l’axe optique; par opposition aux rayons marginaux.
Ö On simplifie les calculs : sin α ≈ tg α ≈ α[rad]
(angles suffisamment petits : dans les calculs, on considère souvent des angles inférieurs à 20°
car la précision avec laquelle on peut confondre sin2° / 10°/ 20° avec la valeur de l’angle en
radians est de 0,02% / 0,5% / 2%)
NB En pratique, cela dépend du système optique considéré et de la netteté requise.
Ö la loi de la réfraction s'écrit :
n1 ⋅ i1 = n 2 ⋅ r2
Ö propriété fondamentale : un système optique centré utilisé dans les conditions de
l’approximation de Gauss est approximativement stigmatique.
Chp3 miroirs
C3-3
C3.2 Miroir plan
♦ Image virtuelle et système stigmatique
Considérons une source ponctuelle
de lumière P placée à une distance p
devant un miroir plan.
Construisons
quelques
rayons
réfléchis. Si nous prolongeons les
rayons réfléchis derrière le miroir, ils
se coupent en un point P’. Le point
P’ est l'image de P.
M
Source
ponctuelle
lumière
P
P'
p
p'
Nous constatons que ce sont les prolongements des rayons réfléchis (pointillés) qui se croisent au
point P’ : l’image du point P = point P’ Ö image virtuelle & système rigoureusement
stigmatique (tous les rayons réfléchis par le miroir passent par P’ lorsqu’ils sont prolongés vers
l’arrière).
Dans le cas des miroirs plans, les images sont toujours virtuelles pour les objets réels.
N.B. Nos expériences quotidiennes nous font penser que ces images virtuelles sont "réelles" et
que leur position très précise est bien derrière le miroir, même lorsque cet espace est un mur !
♦ Position du point image par rapport au miroir
On remarque: angle APB = angle i (angles alternes internes)
angle AP'B = angle i (angles à côtés parallèles)
Ö triangles PAB et P’AB (rectangles) sont égaux
(1 côté commun (AB) et 3 angles identiques)
Ö distance PA = distance AP’
appelons p la distance PA et p’ la distance P’A
Ö
|p |= |p'|
P
A
i
P'
i
i
B
(3.1)
Selon la convention de signes que nous définirons §C3.5, p sera de signe positif tandis que p'
sera de signe négatif afin de tenir compte de ce que P et P' sont respectivement point objet réel et
point image virtuel.
NB • L'équation (3.1) n'impliquant pas l'angle i, démontre ainsi la propriété de stigmatisme.
• Si l'objet est une source plus volumineuse, telle
qu’une personne, chaque point de la source possède sa
propre image virtuelle directement derrière le miroir, à
une distance égale. Ainsi, l'image est une fidèle
reconstitution de l'objet (propriété d'orthoscopie).
♦ Note sur la symétrie gauche-droite ou symétrie miroir
Les images d’un miroir diffèrent cependant des objets pour une certaine
propriété : la droite et la gauche sont inversées. L’image d’un texte imprimé
diffère du texte lui-même. De la même manière, si une toupie tourne dans le
sens horaire, son image dans un miroir vertical semble tourner dans le sens
anti-horaire. L’image d’une main gauche semble être une main droite (cf.
figure et vérifiez !).
Chp3 miroirs
C3-4
C3.3 Miroir sphérique concave : source ponctuelle
Soit une source lumineuse ponctuelle placée au point - objet P (réel) sur l’axe optique d'un
miroir concave dont le rayon de courbure est R (Axe optique du miroir = droite qui passe par le
centre de courbure C et le sommet S).
Un rayon issu du point P et passant par le centre de courbure sera réfléchi sur lui-même puisque
il est perpendiculaire au miroir. Considérons un autre rayon issu de P et faisant un angle
quelconque α avec l’axe; après réflexion sur le miroir au point A, il coupe l'axe en P’.
Ö P’ est l'image de P, du moins pour ces deux rayons ; c'est une image réelle puisque la lumière
passe réellement par P’. Trouvons la position de P’ par rapport au miroir.
CS = R
p'
p
Considérons les triangles PAC et PAP’, on voit que (l’angle extérieur d’un triangle est égal à la
β=α+i
somme des deux angles intérieurs non adjacents):
γ = α + 2i
Eliminons i de ces équations :
Ö
α + γ = 2β
RS
T
R|α ≈ AS = AS
|| PSAS p
En radians les angles α, β et γ peuvent s'écrire : S β =
|| AS R AS
|Tγ ≈ P' S = p'
Il faut remarquer que seule l’équation de ∃ est exacte, puisque le centre de courbure de l'arc AS
se rapporte à C et non à P ou P’. Toutefois, les équations de α et de β sont approximativement
exactes si nous travaillons dans l'approximation de Gauss (sin α . tg α . α[rad]).
1
1
2
+
=
Ö en remplaçant, on obtient :
(3.2)
p
p'
R
où p est la distance miroir-objet et p’ la distance miroir-image. Ces deux distances sont mesurées
à partir du miroir, plus précisément à partir du point sommet S.
NB • L'équation (3.2) est valable pour toute position de l’objet.
• ni l’angle α, β ou γ, ou encore i n’apparaît dans l’équation (3.2) de sorte qu’elle est valable pour tous
les rayons qui frappent le miroir, pourvu qu’ils soient suffisamment paraxiaux. En pratique, on peut
obtenir des rayons paraxiaux en disposant devant le miroir un diaphragme circulaire centré sur le
sommet. A mesure que α augmente, l’image d’un objet ponctuel ne sera plus ponctuelle; l’image
s’élargira et deviendra plus floue. Il n’existe aucun critère qui permette de distinguer un rayon paraxial
d’un autre. Si la valeur maximale permise de α est réduite, les rayons deviennent plus paraxiaux et
l’image devient plus nette. Mais, l’image devient également moins intense puisque le miroir réfléchira
moins d’énergie lumineuse. Un compromis doit souvent être trouvé entre netteté et luminosité.
Chp3 miroirs
C3-5
C3.4 Miroir sphérique convexe : source ponctuelle
Dans le cas du miroir sphérique convexe, deux rayons issus du point-objet réel P divergent après
réflexion et forment une image virtuelle P’ au point d'où les rayons semblent provenir.
Ö bien faire la différence de nature de l'image dans les deux cas : miroir concave ou convexe !
C3.5
Convention de signes
Considérons le côté où la lumière incidente frappe le miroir. Puisque les miroirs sont opaques, la
lumière, après réflexion, doit demeurer de ce côté pour former une image réelle. Ainsi, le côté
éclairé du miroir peut être appelé côté R (à cause de l’image réelle). L’arrière du miroir est
appelé côté V (à cause de l’image virtuelle), puisque les images formées de ce côté sont
virtuelles par suite de l’absence effective de lumière.
Miroir
Côté réel
Image réelle
R
R, p & p' positifs
Côté virtuel
Image virtuelle
V
R, p & p' négatifs
Lumière incidente
Lumière réfléchie
ª 1. Le rayon de courbure, R, est positif si le centre de courbure du miroir est du côté R (miroir
concave); le rayon de courbure est négatif si le centre de courbure est du côté V (miroir
convexe).
ª 2. La distance de l’image p’ est positive si l’image (réelle) est du côté R du miroir ; cette
distance est négative si l’image (virtuelle) est du côté V.
N.B. : utiliser les figures comme aide-mémoire.
Chp3 miroirs
C3.6
C3-6
Foyers
Dans le cas particulier où les rayons incidents sont parallèles à l’axe optique, ce qui équivaut à
placer l'objet à une très grande distance du miroir (p =∞) (cf. figure (a)), la position de l'image
ponctuelle (qu'elle soit réelle ou virtuelle) est au point foyer du miroir noté F. La distance focale
f est la distance entre F et le sommet S du miroir. Si l’on pose p = ∞ dans l’équation (3.2), on a :
p' =
R
=f
2
Ö L'équation (3.2) peut se réécrire :
1
1
+
p
p'
=
1
f
(3.3)
où f, comme R, est considéré comme positif pour des miroirs dont les centres de courbure sont
du côté R (miroirs concaves ou convergents) et négatif pour des miroirs dont les centres de
courbure sont du côté V (miroirs convexes ou divergents).
Lorsque le faisceau incident de rayons parallèles forme un petit angle α avec l'axe du miroir, les
rayons sont focalisés en un point dans le plan focal du miroir. Ce plan transverse est ainsi
perpendiculaire à l’axe du miroir en F (cf. figure (b)).
(a) Faisceau de lumière parallèle et
parallèle à l'axe optique envoyé sur
un miroir sphérique concave
Ö sont illustrés sur la figure les
fronts d'onde et rayons
perpendiculaires à ces fronts d'onde
Ö Après réflexion sur le miroir, les
rayons convergent au point foyer F
Ö dans ce cas F réel et f > 0.
(b) Faisceau de lumière parallèle et
incliné par rapport à l'axe optique
envoyé sur un miroir sphérique
concave
Ö Après réflexion sur le miroir, les
rayons convergent en un point
situé dans le plan focal (plan
perpendiculaire à l'axe optique et
passant par le foyer F)
(c) Faisceau de lumière parallèle et
parallèle à l'axe optique envoyé sur
un miroir sphérique convexe
Ö sont illustrés sur la figure les
fronts d'onde et rayons
perpendiculaires à ces fronts d'onde
Ö Après réflexion sur le miroir, les
rayons convergent au point foyer F
Ö dans ce cas F virtuel et f < 0.
Chp3 miroirs
C3-7
C3.7 Construction de l'image d'un objet non ponctuel
Considérons des objets qui ne sont pas des sources ponctuelles, placés sur l’axe du miroir et
perpendiculaires à celui-ci Ö symbolisés par des flèches AP. L’axe du miroir passe ainsi par le
pied de la flèche (P).
Déterminons l’image du point sommet de l’objet, ici le point A de manière graphique, en
considérant quelques rayons particuliers passant par A.
1.
Un rayon incident passant, soit directement, soit via son prolongement, par le centre de
courbure C est réfléchi en suivant le même chemin (car il est perpendiculaire au miroir).
2.
Un rayon incident parallèle à l’axe optique est réfléchi en passant par le foyer (soit
directement, soit via un prolongement).
3.
Un rayon incident qui passe par le foyer (soit directement, soit via un prolongement) se
réfléchit parallèlement à l’axe.
C3.8
Grandissement linéaire (ou latéral)
&
Considérons un rayon particulier qui, issu de la pointe de l'objet est réfléchi au point sommet du
miroir. La loi de la réflexion exige que ce rayon fasse des angles égaux avec l'axe du miroir, tel
qu'indiqué sur la figure.
Y
Les triangles rectangles ASP et P'SA' sont
semblables (2 angles égaux)
p'
P' A' SP'
y'
=
⇒
=
Ö
PA
SP
y
p
Le rapport P'A'/PA = y'/y représente le
grandissement latéral (aussi appelé linéaire)
noté g du miroir. Ce grandissement se définit
pour tout système optique comme le rapport de
la grandeur de l'image à celle de l'objet.
Pour tenir compte du fait que l'image est inversée par rapport à l'objet, g sera donné par :
− p'
g=
(3.4)
p
Ö Le grandissement linéaire est positif ou négatif suivant que l’image est droite ou inversée par
rapport à l’objet. Pour un miroir plan, comme p et p’ sont de signe opposé, le grandissement vaut donc
+ 1.
Chp3 miroirs
C3.9
C3-8
Défaut des miroirs : aberration de sphéricité
&
Si l'ouverture du miroir est grande, de telle sorte qu'il reçoive des rayons fortement inclinés sur
l'axe, on ne vérifie plus l'approximation de Gauss et par conséquent la relation (3.3) n'est plus
tout à fait valable. Il n'y a plus dans ce cas d’image ponctuelle bien définie d'un point objet mais
un nombre infini d'entre elles : en conséquence, l'image d'un objet de grandes dimensions
apparaît floue.
Quand on construit exactement les rayons réfléchis en tenant
compte de l'égalité de l'angle de réflexion et de l'angle
d’incidence, pour un faisceau de rayons parallèles à l'axe
principal, on constate que les rayons éloignés de ce dernier
(rayons marginaux) convergent en un foyer plus proche du
sommet que les rayons proches de l'axe principal. Les
rayons réfléchis sont tangents à une surface conique que
l’on appelle caustique par réflexion (cf. figure).
Ce phénomène, qui porte le nom d'aberration de sphéricité, peut être partiellement corrigé par
l’utilisation d'un diaphragme qui intercepte les rayons marginaux. Sinon on a recours aux
miroirs paraboliques qui présentent la remarquable propriété de concentrer en un seul point un
faisceau de rayons incidents parallèles à l’axe optique (cf § suivant).
C3.10 Miroirs paraboliques
&
♦ Avantage des miroirs paraboliques Ö application
Comme mentionné au § précédent, on peut remplacer
avantageusement les surfaces sphériques des miroirs par des
surfaces paraboliques1 (cf Figure). Les rayons parallèles
incidents sur le miroir parabolique sont tous réfléchis et
focalisés (c-à-d réfléchis en passant par le point foyer), quelle
que soit la distance des rayons par rapport à l’axe (Ö plus
d'aberration de sphéricité). Si, inversement, on place au foyer
une source de lumière, tous les rayons sont réfléchis
parallèlement à l’axe principal. On utilise ainsi une surface
parabolique dans les projecteurs pour produire un faisceau
parallèle de lumière (ou de chaleur) à partir d’une petite source placée au foyer de la surface
(phares d’automobile, phares côtiers, radiateurs électriques, etc...). Au sommet du Pic du Midi
(Pyrénées françaises), on a réussi à produire une chaleur capable de fondre l’acier, en
concentrant la lumière solaire à l’aide de miroirs. En Inde, certaines ménagères se servent de «
fours à miroirs », peu coûteux, pour faire cuire leurs repas à la chaleur de rayons solaires
concentrés.
1
La surface du miroir est en fait un paraboloïde de révolution, réalisée par la rotation de la parabole d’équation y =
ax2 autour de l’axe optique. On peut également utiliser les miroirs elliptiques ou hyperboliques.
Chp3 miroirs
C3-9
♦ Télescopes astronomiques
Les surfaces paraboliques de réflexion sont importantes dans le cas des grands télescopes astronomiques,
où l'on a besoin d’une grande surface de réflexion pour obtenir une intensité aussi grande que possible Ö
on concentre la faible lumière qui nous arrive des étoiles lointaines et on peut ainsi capter sur plaque
photographique2 des images d’étoiles que l'œil nu ne peut percevoir. On utilise aussi des miroirs
paraboliques dans les collecteurs d'ondes électromagnétiques courtes venant de l’espace (radiotélescopes).
schémas
de
télescopes
montrant
2
arrangements
expérimentaux
possibles
combinant miroirs et oculaire (lentille cf. chp4).
AVANT
APRES
métallisation
& polissage
Le miroir parabolique est de dimension
impressionnante : il mesure 5 mètres de diamètre
(200 pouces).
.
Télescope de Hale à l’Observatoire du Mont
Palomar (Californie). La flèche indique la
position du miroir. Il est porté sur une
monture métallique articulée par un système
permettant de le diriger vers n’importe quel
point du ciel. L’immense structure est
déplacée par un mécanisme dont le
fonctionnement permet de suivre le
mouvement apparent d’une étoile donnée et
ainsi de la photographier durant sa course.
Ce télescope (Hale, du nom du fondateur de
l´observatoire George Hale) est resté le plus
grand et le plus performant télescope du
monde pendant de nombreuses années.
Cérémonie d'ouverture.
Miroir lors de sa construction.
Dôme du mont Palomar
http://www.astro.caltech.edu/observatories/
2
La photographie à l’aide de télescopes a presque complètement remplacé le visionnement direct. Les plus grands d’entre eux
recueillent assez de lumière (en allongeant le temps de pose) pour enregistrer sur pellicule l’image de galaxies à des distances de
l’ordre de 10 22 km.
Chp3 miroirs
C3-10
EXERCICES
1/ Quelle grandeur (en hauteur) doit posséder un miroir afin qu’une personne de 1,80 m puisse
s'y voir complètement ? Supposez que les yeux de cette personne sont à 0,10 m au-dessous du
sommet de sa tête. A quelle distance du sol doit-il être placé ?
Réponse : La grandeur du miroir représente la moitié de celle de l’individu ; elle est donc de 0,90
m. Cette grandeur est indépendante de la distance séparant l’individu du miroir. Quant à la
hauteur du miroir, elle est égale à la moitié de celle de la position de l'oeil par rapport au sol, soit
0,85 m.
2/ Un objet réel d’une hauteur égale à 10 cm est placé perpendiculairement à l’axe optique d’un
miroir concave, dont le rayon de courbure est R = 1,2 m, à 0,9 m du sommet.
Déterminer la position et la grandeur de l’image. Discuter la nature de celle-ci.
Réponse :
p’ = 1,8 m
g=-2
L’image est réelle, inversée, agrandie deux fois.
3/ Un objet d’une hauteur de 8 cm est disposé perpendiculairement à l’axe optique d’un miroir
convexe, dont le rayon de courbure est R = 0,4 m, à 0,3 m du sommet.
Déterminer la position et la grandeur de l’image. Discuter la nature de celle-ci.
Réponse :
p’ = - 0,12 m
L’image est virtuelle, droite, plus petite que l’objet (g = 0,4) |y’| ou h’ = 3,2cm .
4/ Un miroir convexe possède un rayon de courbure de 20 cm. Si une source ponctuelle est
placée à 14 cm de ce miroir, où est l’image ?
Réponse : p’ = - 5,8 cm
5/ Vérifier par calcul et / ou par voie graphique que pour les miroirs concaves,
lorsque l’objet réel se situe entre 4 et C : g est négatif et |g| < 1 l’image est réelle, inversée,
plus petite que l’objet ;
lorsque l’objet réel se situe en C : g est négatif et |g|= 1 l’image est réelle, inversée, de
même grandeur que l’objet ;
lorsque l’objet réel se situe entre C et F : g est négatif et |g| > 1 l’image est réelle, inversée,
plus grande que l’objet ;
lorsque l’objet réel se situe en F : g est négatif l’image est inversée à l’4 ;
lorsque l’objet réel se situe entre F et S : g est positif et |g| > 1 l’image est virtuelle, droite,
plus grande que l’objet ;
lorsque l’objet virtuel : g est toujours positif et |g| < 1 l’image est réelle, droite, plus petite
que l’objet.
Etude similaire pour les miroirs convexes : remplacer alors objet réel par objet virtuel, image
réelle par image virtuelle et vice versa.