Feuille d`exerices 5 : Produits scalaires

Licence Math. Appliquées 2004-05
Géométrie
Feuille 5
Exercice 1. Produits scalaires.
1) Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. Dans chacun des cas suivants,
justifier que la formule proposée définit un produit scalaire sur E.
a) E = R2 et hu1 , u2 i = x1 x2 − 2x1 y2 − 2x2 y1 + 5y1 y2 (avec ui = (xi , yi )).
b) E est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré ≤ 2 et hP, Qi =
P (0)Q(0) + P (1)Q(1) + P (2)Q(2). Montrer que pour tout polynôme P de degré ≤ 2
on a :
√ p
|P (2) − P (0)| ≤ 2. P (0)2 + P (1)2 + P (2)2
Rc)1 E est l’espace vectoriel de fonctions continues de [−1, 1] dans R et hf, gi =
f (t)g(t)dt. Montrer que pour toute fonction continue f : [0, 1] → R on a
−1
Z
1
−1
2
Z
f (t)dt ≤ 2
1
f 2 (t)dt.
−1
2) Soit maintenant E un espace vectoriel de dimension n et B = (e1 , · · · , en ) une
base quelconque de E. Construire un produit scalaire h, i sur E pour lequel B est
une base orthonormée.
Exercice 2. Orthogonalité.
Pour toute partie A ⊂ E on note A⊥ l’ensemble des vecteurs u de E tels que pour
tout a ∈ A, on a hu, ai = 0.
1) Montrer que si A ⊂ B alors B ⊥ ⊂ A⊥ . Déterminer {0}⊥ et E ⊥ . Montrer que
pour toute partie A ⊂ E, la partie A⊥ est un sous-espace vectoriel de E et que
⊥
A⊥ = Vect(A) .
2.a) Soit (e1 , · · · , en ) une base orthonormée de E: donner une base orthonormée de
l’orthogonal de F =Vect(e1 , · · · , ek ). Pour tout sous-espace F de E de dimension k
montrer que F ⊥ est de dimension n − k et est un supplémentaire de F dans E.
b) La projection sur un sous-espace F dans la direction de F ⊥ s’appelle la projection
orthogonale sur F ; on la notera πF⊥ . La symétrie par rapport à F dans la direction
de F ⊥ s’appelle la symétrie orthogonale par rapport à F ; on la notera σF⊥ .
Vérifier que toute symétrie orthogonale est une isométrie. Que dire de l’opposé
d’une symétrie orthogonale ? Lorsque E est de dimension 3, décrire des symétries
orthogonales par rapport à des sous-espaces de dimension 0, 1, 2.
3) Montrer que pour tout sous-espace vectoriel F on a (F ⊥ )⊥ = F puis que pour
toute partie A ⊂ E, (A⊥ )⊥ =Vect(A).
4) Montrer que (A ∪ B)⊥ = A⊥ ∩ B ⊥ . Montrer que pour F, G deux sous-espaces
vectoriels de E on a (F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ et (F ∩ G)⊥ = F ⊥ + G⊥ .
Exercice 3.
1) On munit R3 du produit scalaire usuel.
a) Soit F le plan d’équation : 3x + 2y − z = 0.
i) Déterminer une base de l’orthogonal G de F .
ii) Déterminer les matrices, dans la base canonique, des projections orthogonales
sur F et G. Quelle est la somme de ces matrices ?
iii) Reprendre les questions ci-dessus avec F = Vect (1, 0, −1), (1, 1, 1) .
b) Soit G la droite engendrée par u = (1, 0, 1). Montrer que la projection orthogonale
hu,vi
p sur G est définie par p(v) = hu,ui
u. En déduire q(x, y, z), où q est la projection
orthogonale sur le plan F d’équation x + z = 0. Quelle est la distance de (1, 1, 1) à
F ?
2) Soit F le sous-espace vectoriel de R4 engendré par (1, 0, −1, 1) et (1, 0, 1, 0).
Trouver simultanément une base de F ⊥ et un système d’équations cartésiennes de
F . Donner une méthode analogue pour obtenir un système d’équations cartésiennes
d’un sous-espace F ⊂ Rn engendré par une suite (u1 , · · · , uk ).
3) Soit F un sous-espace de dimension k d’un espace vectoriel euclidien E. On
suppose que (e1 , · · · , en ) est une base orthonormée de E telle que (e1 , · · · , ek ) est
une base de F . Montrer que l’application u 7→ hu, e1 ie1 + · · · + hu, ek iek est la
projection orthogonale de E sur F . Montrer que la distance d’un vecteur u à F est
la norme de hu, ek+1 iek+1 + · · · + hu, en ien
Exercice 4. Le corps C comme plan réel euclidien.
Soit C l’ensemble des nombres complexes x+iy, considéré comme R-espace vectoriel.
Pour deux complexes u, v, on pose ϕ(u, v) = Re(ūv) et a(u, v) = Im(ūv).
1) Montrer que ϕ définit un produit scalaire sur le plan C. Quelle est la norme
associée ? Montrer que (1, i) est une base orthonormée.
2) Montrer que a est le déterminant dans la base (1, i). Calculer ϕ2 (u, v) + a2 (u, v).
3) Montrer que les applications suivantes conservent la distance euclidienne sur C:
ta : z 7→ z + a (pour a ∈ C quelconque);
ru : z 7→ u.z (pour u ∈ C de module 1);
σ : z 7→ z̄ .
Vérifier que ru et σ sont des endomorphismes du plan vectoriel réel C ; l’application
ta est-elle linéaire ?
Comparer ru ◦ rv et rv ◦ ru , puis ru ◦ σ et σ ◦ ru . Soit v un vecteur unitaire: montrer
que la symétrie orthogonale s par rapport à la droite D = R.v de C se décompose
d’une unique façon s = ru ◦ σ et exprimer u en fonction de v.
4) Soit α, β deux nombres complexes. On considère l’application fα,β : z 7→ αz +β z̄.
Montrer que fα,β est une application linéaire du plan vectoriel réel C dans lui-même.
Montrer que fα,β est une isométrie ⇐⇒ |α| = 1 et β = 0, ou alors α = 0 et |β| = 1.
Que retrouve t-on dans le premier cas ? Montrer que dans le second cas fα,β est une
symétrie orthogonale par rapport à une droite qu’on précisera.
Exercice 5. Représentation des formes linéaires sur Rn .
On note (e1 , e2 ) la base canonique de R2 . On rappelle qu’une forme linéaire sur R2
est une application linéaire f : R2 → R.
1) On note `1 l’application (x1 , x2 ) 7→ x1 de R2 dans R. On définit de même `2 .
Vérifier que les `i sont des formes linéaires (formes linéaires coordonnées, parfois
notées dxi ).
2) Pour tout ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ R2 on considère l’application fξ : (x1 , x2 ) 7→ ξ1 x1 + ξ2 x2 .
Vérifier que les fξ sont des formes linéaires sur R2 . Reconnaitre les application fe1
et fe2 . Pour tout ξ ∈ R2 , exprimer l’application fξ d’abord en fonction du produit
scalaire usuel sur R2 , puis en fonction de fe1 et fe2 .
3) Montrer que toute forme linéaire sur R2 est un fξ pour ξ convenablement choisi.
4) Montrer que l’application f : R2 → L(R2 , R) qui envoie ξ sur fξ est un isomorphisme.
Ainsi toute forme linéaire sur R2 peut être représentée par un (unique)
vecteur ξ de R2 .
5) Reprendre les questions précédentes dans Rn , avec n ≥ 1 entier quelconque.
Exercice 6. Produit vectoriel, isométries de l’espace.
1) On fixe deux vecteurs u, v dans R3 . Montrer qu’il existe un et un seul vecteur p
tel que pour tout w on a hp, wi = det(u, v, w) (le déterminant est pris dans la base
canonique; on pourra considèrer l’application w 7→ det(u, v, w) et utiliser l’exercice
précédent). On note p = u ∧ v.
2) Vérifier que v∧u = −u∧v. Calculer explicitement les coordonnées de u∧v dans la
base canonique (en fonction des coordonnées de u, v). Reprendre ce calcul dans une
autre base orthonormée directe de R3 . Montrer que (u∧v)∧w = −hv, wiu+hu, wiv.
3-a) Montrer que pour tout vecteur unitaire a, l’application qa : x 7→ hx, aia + x ∧ a
est une isométrie directe de R3 fixant a. On note sa le carré de qa : montrer que sa
est une symétrie orthogonale par rapport à une droite.
Soient a, b deux vecteurs unitaires de E. On définit une application ra,b : E → E
par ra,b (x) = x − 2hx, aia + 2(2hx, aiha, bi − hx, bi)b.
b) Montrer que ra,b est une isométrie directe de E (on pourra considérer l’image
d’une base orthonormée bien choisie). Déterminer E1 (ra,b ). Montrer que ra,b = sb ◦
sa . Montrer que deux symétries orthogonales par rapport à des droites orthogonales
commutent.
c) Soit r une isométrie directe de E, r 6=idE .
i) Montrer que Ker(r−idE ) est une droite D. Soit P = D⊥ .
ii) Soit a ∈ P un vecteur unitaire. Montrer que r0 = r ◦ sa est une isométrie
directe dont 1 et -1 sont valeurs propres. En déduire que r0 = sb pour un certain
vecteur unitaire b ∈ P .
iii) Montrer que pour toute isométrie directe r, il existe deux vecteurs unitaires
a, b tels que r = ra,b . Y a t-il unicité de cette écriture ?
Exercice 7.
Soit


2 0 −1
A =  2 −1 0 
1 −1 1
1) Calculer det A. En déduire que la suite (c1 , c2 , c3 ) des vecteurs colonnes de A est
une base B de R3 .
2) Appliquer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à B ; soit B 0 la base
ainsi obtenue.
3) Calculer la matrice de passage O de la base canonique à B 0 . Montrer que O est
orthogonale indirecte, et que c’est la matrice d’une symétrie. Diagonaliser O dans
une base orthonormée.
4) Calculer la matrice de passage P de B 0 à B. Quelle particularité possède-t-elle ?
5) Montrer que A est le produit d’une matrice orthogonale et d’une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont positifs. Montrer l’unicité
d’une telle décomposition.
Exercice 8. Pour trouver l’axe d’une rotation.
1) Soit A une matrice de M3 (R). On pose a21 = a, a31 = b, a32 = c. Montrer que
(a, −b, c) est dans le noyau de A − t A.
2) Soit R une matrice de SO(3, R) qui n’est d’ordre 2 (ce n’est pas la matrice d’une
symétrie orthogonale). Montrer que l’axe de R est dirigé par (r21 , −r31 , r32 ).
Exercice 9.
Soit E un plan vectoriel euclidien, r une isométrie directe de
E et u1 , u2 , v1 , v2 quatre vecteurs tels que r(u1 ) = v1 , hui , uj i = hvi , vj i pour tout
(i, j) ∈ {1, 2}2 et (u1 , u2 ), (v1 , v2 ) sont deux bases de même sens. Montrer qu’alors
r(u2 ) = v2 .
Exercice 10. Angle géométrique de deux vecteurs non nuls.
Pour u, v deux vecteurs non nuls de E, on pose
hu, vi
u, v = arccos
∈ [0, π]
kuk.kvk
1) Vérifier que u, v = λu, µv pour λ, µ deux réels non nuls de même signe. Vérifier
que u, v = f (u), f (v) si f est une isométrie ou une homothétie. Montrer que u, v = 0
si et seulement si R+ u = R+ v, et que u, v = π si et seulement si R+ u = R− v.
2) Soit u, v, w trois vecteurs unitaires. On dit que w est entre u et v si v = −u ou
bien s’il existe λ, µ ≥ 0 tels que w = λu + µv.
a) Montrer que si w est entre u et v alors on a toujours u, v = u, w + w, v. Que se
passe t-il si w est dans le sous-espace engendré par u, v mais pas entre u et v ?
b) Montrer qu’on a l’inégalité u, v < u, w + w, v si w n’est pas entre u et v (on
pourra considérer le projeté orthogonal w1 de w sur le sous-espace engendré par u
et v, et montrer qu’il suffit de raisonner sur w1 ).
Exercice 11. Angle orienté de vecteurs.
Soit E un plan vectoriel euclidien orienté et (i, j) une base orthonormée directe de
E. Déterminer les angles orientés de vecteurs suivants :
\
α1 = i,cj, α2 = i,\
i + j, α3 = i,\
i − j, α4 = i\
− j, i, α5 = i +\
j, i − j, α6 = −i,
j−i
\
\
α7 = −i − j, −j, α8 = f (i − j), f (i) (pour f une isométrie de E).
Exercice 12. Composées d’isométries.
Soit E un plan vectoriel euclidien orienté.
1) Soit f une isométrie de E et σ la réflexion orthogonale par rapport à une droite
D. Montrer que f σf −1 est la réflexion orthogonale par rapport à f (D).
2) Montrer que tout produit de trois réflexions est une réflexion. Montrer que l’axe
⊥
⊥
⊥
de la réflexion σ = σD
◦ σD
◦ σD
est dirigé par un vecteur u tel que u,
d
u3 = u
\
1 , u2 .
3
2
1
3) Montrer que pour tout f, g isométries on a f gf −1 g −1 dans SO(E). Réciproquement montrer que pour tout r ∈ SO(E) il existe f, g telles que f gf −1 g −1 = r.
Exercice 13. Classification des isométries en dimension 3.
On se propose d’utiliser la classification des isométries du plan vectoriel euclidien
pour obtenir celle des isométries de l’espace vectoriel euclidien de dimension 3.
1) Soit f une isométrie d’un espace vectoriel euclidien E de dimension quelconque
et soit u un vecteur propre de f . Montrer qu’alors f (u) = ±u et que f préserve
l’hyperplan orthogonal à la droite R.u.
Dans la suite, E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et f une isométrie
de E.
2) Montrer que f admet toujours 1 ou -1 comme valeur propre.
3) Soit u un vecteur propre unitaire de f , ε la valeur propre associée et soit P le
plan orthogonal à la droite R.u.
a) Suivant la nature de f|P , montrer qu’il existe une base orthonormée (v, w) de P
telle que la matrice de f dans B = (u, v, w) soit de l’une des formes ci-dessous:

1
0

0 cos θ
R(θ) =
0 sin θ

1

0
Σ=
0

0
− sin θ 
cos θ

0 0
1 0 
0 −1


−1
0
0
A(θ) =  0 cos θ − sin θ 
0 sin θ cos θ


−1 0 0
ρ= 0 1 0 
0 0 −1
b) Réciproquement, montrer que toute application linéaire de E dans lui-même dont
la matrice dans une base orthonormée est du type précédent est une isométrie de E.
c) Soit f une isométrie dont la matrice dans une base orthonormée est Σ ou ρ.
Montrer que sa matrice dans une autre base orthonormée convenablement choisie
est A(0) ou R(π).
d) Soit f une isométrie et B une base orthonormée telle que Mat(f, B) = R(θ) (ou
A(θ)). Montrer qu’on peut choisir une autre base orthonormée B 0 de même sens que
B telle que la matrice de f dans B 0 est R(−θ) (ou A(−θ)).
4) Déduire de ce qui précède que pour toute isométrie f , il existe θ ∈ [0, π] et une
base orthonormée B telle que Mat(f, B) = R(θ) ou A(θ). Dans les deux cas, calculer
le déterminant de f et exprimer cos θ en fonction de Tr(f ).
Montrer que si f a une matrice de type R dans une certaine base orthonormée,
elle ne peut avoir une matrice de type A dans une autre base orthonormée. Enfin,
montrer que θ ∈ [0, π] est complètement déterminé par f (on l’appelle l’angle de f ).
Une isométrie f admettant une matrice de type R (resp: A) dans une base orthonormée convenable s’appelle une rotation (resp: antirotation); si θ = 0 alors f
est l’identité (resp: une symétrie orthogonale par rapport à un plan), si θ = π on
dit que f est un retournement - c’est une symétrie orthogonale par rapport à une
droite.
5) Montrer que si f est une rotation d’angle θ alors f −1 est une rotation d’angle θ
et −f est une antirotation d’angle π − θ. Que peut-on dire de deux rotations f, g
de même angle telles que Fix(f ) =Fix(g) est une droite ?