Effet Casimir thermique entre deux plaques - Pct

ESPCI 1ère année, Tutorat de physique statistique
Effet Casimir thermique entre deux plaques
En 1948, Hendrik Casimir a montré que les fluctuations quantiques du champ électromagnétiques induisaient une attraction entre deux plaques parfaitement conductrice parallèles [1]. Cette interaction a été
observée 49 ans plus tard par Lamoreaux [2]. Cette interaction peut aussi être engendrée par des fluctuations
thermiques, un effet que nous allons calculer ici.
1
Analyse dimensionnelle
1. Par une analyse dimensionnelle, donner à un facteur numérique près la pression entre les deux plaques
séparées d’une distance L due aux fluctuations thermiques à une température T .
2. Même question pour des fluctuations quantiques (on pourra faire intervenir la vitesse c du champ
fluctuant).
2
Cas unidimensionnel
Considérons un oscillateur harmonique, dont l’espace des états est R et où l’énergie de l’état x ∈ R vaut
E(x) =
ω2 x 2
.
2
(1)
3. Donner la fonction de partition et l’énergie libre de ce système.
On veut calculer la fonction de partition d’un « champ » confiné entre deux plaques. Un champ est une
fonction φ : [0, L] → R, où 0 et L sont les positions des plaques. On impose au champ de s’annuler sur les
plaques, φ(0) = φ(L) = 0, et on donne son énergie
Z
1 L 0 2
H[φ] =
φ (x) + m2 φ(x)2 dx,
(2)
2 0
où m > 0 est la « masse » du champ. La fonction de partition de ce champ s’écrit
Z
Z = e−βH[φ] [dφ];
(3)
c’est une intégrale fonctionnelle, qui est difficile à calculer. Pour voir notre système comme une superposition
d’oscillateurs harmoniques, nous allons décomposer ce champ en série de Fourier :
φ(x) =
∞
X
an sin
n=1
1
nπx L
.
(4)
4. Montrez que l’énergie du champ peut s’écrire sous la forme
H[φ] =
∞
X
ω 2 a2
n n
n=1
2
,
(5)
et donnez ωn . Expliquer pourquoi les différents modes du champ sont indépendants.
Dans la fonction de partition, Eq. (3), onQ
veut remplacer l’intégrale fonctionnelle sur φ par un produit
d’intégrales surQles coefficients an : [dφ] = J n dan . J est le jacobien du changement de variables ; il est
donné par J = n Jn , où
"Z L 2 #1/2
∂φ ∂φ
(x) dx
.
(6)
Jn = ∂an =
∂an
0
5. Déterminer Jn et calculer la fonction de partition du système :
! ∞
Z
∞
X
ωn2 an2 Y
Z = exp −
Jn dan .
2T
n=1
(7)
n=1
En déduire l’énergie libre (en ne gardant que les termes qui dépendent de L).
6. La pression est donnée par la dérivée de l’énergie libre, P (L) = − ∂F
∂L . Déterminer la pression, en utilisant
les égalités suivantes :
∞
X
1 = ζ(0) = −1/2,
(8)
n=1
∞
X
n=1
1
x coth(x) − 1
=
.
2
2
2
x +π n
2x 2
(9)
ζ est la fonction zêta de Riemann.
7. Si on suppose que le même « champ » vit à l’extérieur de l’intervalle [0, L], la force exercée sur le point
L, qui correspond à l’effet Casimir, est donnée par P (L) − P (L = ∞) = ∆P (L). Calculer et tracer ∆P (L).
Comment dépend-elle de la masse m du champ ? Quelle est sa limite quand m → 0 ? Montrez que ce résultat
est cohérent avec une analyse dimensionnelle en dimension 1.
3
Cas tridimensionnel
Dans le cas tri-dimensionnel, le champ φ(x, y , z) doit s’annuler sur des plaques carrées de côté ` situées
en x = 0 et x = L, et son énergie est donnée par
Z
1
H[φ] =
[∇φ(x, y , z)]2 dx dy dz .
(10)
2
8. On décompose le champ en modes de Fourier dans directions transverses, y et z :
∞
∞
X
X
2π(py + qz)
φ(x) =
ψp,q (x) exp i
.
`
p=−∞ q=−∞
Comme le champ est réel, ψ−p,−q (x) = ψp,q (x)∗ . Montrer que l’énergie du champ s’écrit
X `2 Z L 0
2
H[φ] =
|ψp,q
(x)|2 + mp,q
|ψp,q (x)|2 dx,
2 0
p,q
2
(11)
(12)
que vaut mp,q ? En déduire que les modes transverses, ψp,q (x), sont des champs indépendants.
9. En remarquant que `2 peut être « absorbé » dans la température dans l’expression (12), donner la
différence de pression ∆P en utilisant le résultat unidimensionnel. Calculer la somme dans la limite ` → ∞
(il faut utiliser une somme de Riemann), avec
Z ∞
x2
dx = 2ζ(3) ' 2, 4.
(13)
ex − 1
0
Références
[1] Hendrik B. G. Casimir. On the attraction between two perfectly conducting plates. Proceedings of the
Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences, 51(7) :793–795, 1948.
[2] S. K. Lamoreaux. Demonstration of the Casimir Force in the 0.6 to 6µm Range. Phys. Rev. Lett.,
78(1) :5–8, Jan 1997. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.5. URL http://link.aps.org/doi/10.1103/
PhysRevLett.78.5.
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