Application du premier principe

Université Montpellier II
L2S3 GLPH312
2014-2015
DEVOIR SURVEILLE 3 (3h)
ELECTROSTATIQUE, MAGNETOSTATIQUE ET OPTIQUE
GEOMETRIQUE
Les trois parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A– Electrostatique Charges à la surface d’un métal (2012.I.A)
L’espace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct (Ox,Oy,Oz) de
base (𝑒⃗𝑥 , 𝑒⃗𝑦 , 𝑒⃗𝑧 ).
Le théorème de Gauss, appliqué à l’électrostatique, est rappelé : le flux sortant  du champ
électrostatique 𝐸⃗⃗ (𝑀) à travers une surface fermée, est égal au rapport de la charge totale intérieure
𝑄
Qint sur la permittivité 0: Φ = ∯𝑆 𝐸⃗⃗ (𝑀). ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑆 = 𝑖𝑛𝑡 .
𝜀0
La relation vectorielle locale, valable en tout point M de l’espace, entre le champ électrostatique
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉(𝑀).
𝐸⃗⃗ (𝑀) et le potentiel électrostatique V(M), est rappelée : 𝐸⃗⃗ (𝑀) = −𝑔𝑟𝑎𝑑
I. Plan infini chargé dans le vide
Dans le vide, le plan infini yOz, d’équation x=0,
porte une répartition surfacique de charge  (unité :
C.m-2), positive, uniforme et constante (figure A.1).
1. Grâce à des considérations de symétrie, déterminer la direction du champ électrostatique ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸Σ (𝑀),
créé par la distribution surfacique de charge , en tout point M de l’espace.
2. Par application du théorème de Gauss (ou de toute autre méthode choisie par le candidat),
établir, en fonction de  et de 0, l’expression vectorielle du champ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸Σ (𝑀) en tout point M de
l’espace.
3. Sachant que le potentiel électrostatique V(M) est connu à une constante près, déterminer
l’expression de V(M) créé, en tout point M de l’espace, par la distribution surfacique de charge.
Le potentiel V(x=0) peut être choisi égal à Vo, constante positive.
4. En déduire l’allure des courbes représentatives des fonctions 𝐸Σ (𝑥) et V(x), pour tout 𝑥 ∈
]−∞, +∞[.
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II. Surface métallique chargée
Un conducteur métallique parfait occupe le demiespace défini par 𝑥 ≤ 0. Le champ électrostatique à
l’intérieur du métal est rigoureusement nul. La
surface du conducteur, plan infini yOz d’équation
x=0, porte une répartition surfacique  (unité : C.m-2),
positive, uniforme et constante (figure A.2).
1. Sans démonstration, préciser la direction du champ électrostatique ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸σ (𝑀) créé par la distribution
surfacique de charge  en tout point M du demi-espace défini par x>0.
2. Par application du théorème de Gauss (méthode, cette fois, fortement conseillée), établir pour
x>0 et en fonction de  et de 0, l’expression vectorielle du champ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸σ (𝑀).
3. Déterminer l’expression de V(M) créé, en tout point M de l’espace, par la distribution surfacique
de charge. Le potentiel V(x=0) peut être choisi égal à Vo, constante positive.
4. En déduire l’allure des courbes représentatives des fonctions 𝐸σ (𝑥) et V(x), pour tout 𝑥 ∈
]−∞, +∞[.
III. Présence d’une charge d’espace supplémentaire
Parallèlement à la surface chargée positivement du
métal (le plan d’équation x=0 porte toujours la
répartition surfacique ), la portion d’espace
comprise entre les plans d’équation x=0 et x=l (avec
l >0), présente maintenant une répartition volumique
de charge ρ (charge d’espace, unité : C.m-3),
négative, uniforme et constante. La permittivité,
dans cette portion d’espace, est supposée égale à 0
(figure A.3).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1. Sans démonstration, préciser la direction du champ électrostatique 𝐸
tot (𝑀) créé par l’ensemble
des deux répartitions de charge (surfacique  et volumique ρ), en tout point M du demi-espace
défini par x>0.
2. Par application du théorème de Gauss (méthode, une nouvelle fois, fortement conseillée), établir,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
en fonction des données de l’énoncé, l’expression vectorielle du champ 𝐸
tot (𝑀) :
a) en tout point M, extérieur au métal et aux charges, tel que x> l
b) en tout point M, intérieur à la couche uniformément chargée, tel que 0<x< l.
3. Quelle relation doivent présenter  et ρ pour que le champ électrostatique résultant ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸tot (𝑀) soit
nul dans l’espace défini par x> l ? Pourquoi cette relation est-elle appelée condition d’écrantage ?
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4. Tracer, dans le cas 𝐸
tot (𝑥 > 𝑙) = 0 , l’allure de la courbe représentative de la fonction 𝐸tot (𝑥),
pour tout 𝑥 ∈ ]−∞, +∞[.
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Partie B–Magnétostatique Fils infinis
1. Un fil
On considère un fil conducteur rectiligne (F) très long, parallèle à l’axe Oz, cylindrique, de rayon a
et parcouru par un courant électrique de vecteur densité volumique j et d’intensité I . On suppose
j uniforme, parallèle à l’axe Oz et de même sens et constant dans le temps. La perméabilité des
milieux considérés est  0 . Soit un point M repéré dans l’espace par ses coordonnées cylindriques
(r ,  , z ) .
1.1. Calculer I en fonction de j et de a .
⃗⃗ (𝑀) créé par le courant en
1.2. Expliquer en 4 lignes maximum la direction du champ magnétique 𝐵
tout point M de l’espace.
1.3. Calculer en fonction de  0 , I et r , dans la base (e r , e , e z ) , le vecteur champ magnétique
B(M ) en distinguant les deux cas r  a et r  a . Que se passe-t-il pour r  a ?
1.4. Montrer que si 𝑎 → 0, le champ magnétique en tout point M hors de l’axe Oz a pour norme
⃗⃗ (𝑀)‖ = 𝜇0 𝐼 , et retrouver ce résultat par la loi de Biot et Savart.
‖𝐵
2𝜋𝑟
2. Définition légale de l’Ampère :

 
2.1. On admet le résultat qui suit : en partant de la force de Lorentz f  qv  B(M ) subie par une


particule de charge q , de vitesse v , placée en M où existe le champ magnétique B(M ) , on peut
aboutir à la loi suivante : une portion de courant rectiligne dl parcourue par un courant d’intensité

I , placée dans un champ magnétique uniforme B , est soumise à la force élémentaire


dF  I dl  B . Quel est le nom donné à cette force ?
2.2. On définit l’unité légale de l’Ampère comme l’intensité d’un courant constant qui maintenu
dans deux conducteurs rectilignes parallèles de longueurs infinies, sections circulaires négligeables
et placés à une distance de 1 m l’un de l’autre, produirait une force égale à Fa Newton par unité de
longueur sur chaque conducteur. Cette seconde partie consiste à déterminer cette force.
Soit deux fils conducteurs, parallèles et supposés infinis notés respectivement (F1) et (F2), tous
deux parcourus par le courant d’intensité I mais dans des sens opposés. On notera d la distance
entre les deux fils.

a. Exprimer la force élémentaire dF12 exercée par (F1) sur (F2). Représenter les 2 fils et cette
force sur un schéma.
b. Calculer la force par unité de longueur exercée par (F1) sur (F2).
c. Calculer Fa .
Données :
Perméabilité du vide : 0  4 .107 (SI )
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Partie C– Optique Etude d’un doubleur de focale (2004 I.C- un peu détaillé)
Un objectif d'appareil photographique peut être
modélisé par une lentille convergente de focale
f1′=50mm . Le négatif se trouve sur un écran plan
fixe, perpendiculaire à l'axe optique de l'objectif. Pour
la mise au point, on déplace l'objectif par rapport au
négatif. La distance d sur la figure C1 est donc
variable mais ne peut excéder dmax=100mm.
Dans tout le problème, l’objet considéré a pour
hauteur h = 2m et est distant de D = 50m du négatif.
La formule de conjugaison de Descartes précise la position sur l’axe optique des points conjugués A
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et A' pour une lentille (Li) de centre optique Oi et de distance focale image 𝑓𝑖′ : ̅̅̅̅̅̅ − ̅̅̅̅̅ = ′.
𝑂𝑖 𝐴′
𝑂𝑖 𝐴
𝑓𝑖
1 - Montrer que la formule de conjugaison permet d’établir une relation entre d, D et f1′, relation qui
se présente sous la forme d’une équation du second degré en d.
2 - Calculer alors la valeur numérique de d en tenant compte des contraintes pour l'objectif.
Commenter la valeur obtenue.
3 - Déterminer la taille h′ de l'image sur le négatif. Application numérique.
On place maintenant entre l'objectif et le négatif
un doubleur de focale assimilable à une lentille
divergente f2′=− 40mm à une distance d2=40mm
du négatif. La distance d′ entre l'objectif et le
négatif peut maintenant atteindre d’max=120mm
(figure C2).
4 - Soient AB l’objet à photographier, A′B′ l’image de AB formée par l’objectif seul et A′′B′′ l’image
finale (celle de A′B′ formée par le doubleur de focale), A′′B′′ étant sur le négatif.
a. Déterminer la valeur numérique de d1, distance entre A′B′ et le négatif.
b. Vérifier à l'aide d'un schéma à l’échelle.
5 - Calculer le grandissement γ2 apporté par le doubleur de focale. Application numérique.
6 - AB étant toujours à D du négatif, déterminer la distance d′ correspondante pour une mise au
point nette. Application numérique.
7 - Calculer la nouvelle hauteur h′′ de l'image. Application numérique.
8 - Déduire de tous ces résultats la signification du terme "doubleur de focale".
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