MP – Cours de physique ÉLECTROSTATIQUE Exercices 1. Étude d’un condensateur plan « troué » 1. Rappeler l’expression du champ électrique E et du potentiel électrostatique V créé dans tout l’espace par une distribution plane idéalement infinie et homogène de densité surfacique σ. 2. On considère deux plans parallèles uniformément chargés, l’un à la cote z = + a chargé d’une densité surfacique uniforme +σ , l’autre à la cote z = −a de charge opposée −σ . En appliquant le théorème de superposition, déterminer le champ électrique E et le potentiel électrostatique V créé dans tout l’espace par une telle distribution de charge. 3. On reprend le dispositif de la question 2 et l’on perce deux trous de rayons R parfaitement en regard l’un de l’autre, l’un de centre O1 dans la plaque chargée positivement, l’autre de centre O2 dans la plaque chargée négativement. Déterminer le champ électrique E ( z ) et le potentiel électrostatique V ( z ) en tout point M de l’axe O1O2 . z R O2 O O1 4. Représenter graphiquement l’allure des variations des fonctions Ez ( z ) et V ( z ) pour différentes valeurs de R. Qu’observe-t-on lorsque R → 0 ? 2. Symétrie cylindrique de révolution Nous nous proposons d’étudier quelques problèmes d’électrostatique à symétrie cylindrique de révolution. Ces problèmes sont des « problèmes d’école » : nous introduisons dans nos modèles des situations qui ne peuvent être réelles en envisageant l’existence de charges à l’infini. Pour cette raison, il ne sera pas possible de choisir, comme c’est l’usage, le potentiel nul à l’infini. Cela ne signifie pas que ces modèles soient sans intérêt. Ils décrivent des situations qui peuvent être d’excellentes approximations de situations réelles. Simplement, les résultats ne doivent pas être extrapolés jusqu’à l’infini. Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 4 ÉLECTROSTATIQUE Exercices 1- Étude générale d’une distribution de charge présentant une symétrie cylindrique de révolution Dans un tel cas de symétrie des charges quelles sont les symétries attendues du champ et du potentiel ? 2- Fil rectiligne infini porteur d’une densité linéique de charge λ uniforme À partir de la loi de Coulomb, déterminer l’expression du champ électrique E en tout point de l’espace. Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Gauss. Retrouver ce résultat en utilisant l’équation locale de Maxwell-Gauss. En déduire la fonction potentiel V en tout point de l’espace. Représenter les fonctions Er ( r ) et V ( r ) . 3- Fil rectiligne infini de section circulaire porteur d’une densité volumique de charge ρ uniforme À partir de l’équation locale de Maxwell-Gauss, déterminer l’expression du champ électrique E en tout point de l’espace. Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Gauss. En déduire la fonction potentiel V en tout point de l’espace. Représenter les fonctions Er ( r ) et V ( r ) . 4- Fil rectiligne infini de section circulaire porteur d’une densité surfacique de charge σ uniforme En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’expression du champ électrique E en tout point de l’espace. Retrouver ce résultat en utilisant l’équation locale de Maxwell-Gauss ainsi que la relation de discontinuité du champ électrique à la traversée d’une surface chargée. En déduire la fonction potentiel V en tout point de l’espace. Représenter les fonctions Er ( r ) et V ( r ) . En coordonnées cylindriques ( ρ, ϕ, z ) : 1 ∂ 1 ∂Eϕ ∂Ez div E = ρEρ ) + + ( ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 3. Énergie d’accrétion gravitationnelle Nous considérons un planétoïde de masse M, idéalement sphérique de rayon R et homogène, et nous nous proposons d’exprimer l’énergie d’accrétion gravitationnelle d’un tel astre. Nous procèderons par analogie avec les lois de l’électrostatique et nous allons considérer trois façons différentes d’évaluer cette énergie que nous définissons comme l’opposé de l’énergie qui serait nécessaire pour disperser la matière dans l’univers de telle sorte qu’il n’y ait plus aucune interaction gravitationnelle entre les particules de matière. 1. Établir les correspondances entre grandeurs électriques et grandeurs mécaniques en partant de l’analogie entre les deux lois de force : la loi de Coulomb pour l’électrostatique et la loi de gravitation universelle pour la mécanique. En particulier, on s’attachera à définir un champ gravitationnel que l’on notera g ainsi qu’un potentiel gravitationnel que l’on notera ϕ et l’on énoncera l’équivalent du théorème de Gauss pour la gravitation. JLH 08/12/2010 Page 2 sur 4 ÉLECTROSTATIQUE Exercices 2. Par application du théorème de Gauss pour la gravitation, déterminer l’expression du champ gravitationnel g à l’intérieur, puis à l’extérieur du planétoïde. 3. En déduire l’expression du potentiel gravitationnel ϕ à l’intérieur, puis à l’extérieur du planétoïde. 4. Nous connaissons l’expression de l’énergie potentielle d’un système de n charges ponctuelles {q1 , q2 , ⋯ , qn } , V ( M i ) étant le potentiel électrostatique créé par les n − 1 autres charges au point M i où se trouve la charge qi : Ep = 1 n ∑ qiVi ( Mi ) 2 i =1 Dans le cas d’une répartition continue de charges de densité volumique ρ ( M ) à l’intérieur d’un volume τ, cette expression devient : Ep = 1 2 ∫∫∫ ρ ( M )V ( M ) d τ τ Déterminer l’expression de l’énergie potentielle d’un planétoïde de masse M, idéalement sphérique et homogène. 5. En électromagnétisme, nous considérerons que cette énergie potentielle est associée à l’existence du champ électrique dans tout l’espace, la densité volumique d’énergie ayant pour expression 1 2 u = ε0 E . 2 Quelle est l’expression équivalente en gravitation ? Déterminer les énergies E p int et E p ext associées au champ gravitationnel. Que vaut E p int + E p ext ? 6. Voici une troisième façon d’évaluer l’énergie de cohésion gravitationnelle du planétoïde : nous considérons le planétoïde sphérique de rayon r et de masse volumique µ et nous apportons à sa surface une masse supplémentaire dm, de même masse volumique µ. Le rayon du planétoïde varie alors d’une valeur élémentaire dr et son énergie potentielle gravitationnelle d’une valeur d E p que l’on déterminera. Par intégration, la masse du planétoïde variant de 0 à M par dépôt de couches homogènes successives, il nous est possible de déterminer l’expression de l’énergie gravitationnelle du planétoïde formé par accrétion. Que remarque-t-on ? 4. Condensateur sphérique Considérons le cas idéal d’un condensateur constitué de deux conducteurs sphériques concentriques. Nous noterons r1 le rayon du conducteur intérieur porté au potentiel V1 et r2 le rayon du conducteur extérieur porté au potentiel V2 . Nous choisirons V2 < V1 de telle sorte que l’armature intérieure soit porteuse d’une charge positive. 1- En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’expression du champ électrique E en tout point situé entre les armatures du condensateur. JLH 08/12/2010 Page 3 sur 4 ÉLECTROSTATIQUE Exercices On donne l’expression générale de la divergence d’un champ de vecteur en coordonnées sphériques ( r , θ, ϕ) : 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂Eϕ div E = 2 ( r 2 Er ) + ( Eθ sin θ ) + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2- Vérifier que ce champ est solution de l’équation locale de Maxwell-Gauss. 3- Déterminer la fonction potentiel V en tout point de l’espace. On donne l’expression générale du Laplacien d’une fonction scalaire en coordonnées sphériques ( r , θ, ϕ) : ∆V = 1 ∂ 2 ∂V r r 2 ∂r ∂r 1 ∂ ∂V 1 ∂ 2V + θ + sin 2 ∂θ r 2 ( sin θ )2 ∂ϕ2 r sin θ ∂θ 4- Vérifier que ce potentiel est solution de l’équation locale de Poisson. 5- Représenter les fonctions Er ( r ) et V ( r ) . 6- Déterminer l’expression de la capacité C du condensateur sphérique. 7- Le milieu matériel entre les deux armatures, tout en ayant les propriétés diélectriques du vide, se trouve être un conducteur ohmique de conductivité γ homogène. Calculer la conductance de fuite G du condensateur. 8- Démontrer que la relation simple existant entre C et G est une relation très générale, indépendante de la géométrie du condensateur. JLH 08/12/2010 Page 4 sur 4