Examen de traitement du signal et automatique Traitement du signal

Institut d'Optique Graduate School
24 mars 2016
Première année
Examen de traitement du signal
Durée : 3 heures
Documents interdits - Calculatrices interdites
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ATTENTION ! Cet examen est en TROIS PARTIES.
1. Partie 1 : Questions de cours
2. Partie 2 : Signaux aléatoires
3. Partie 3 : Filtrage
Ces trois parties sont à rendre sur des COPIES SÉPARÉES.
1
Première partie
Questions de cours (6 points)
1.
Soit une source discrète X à n messages possibles de probabilités pi , i ∈ [1, n].
1. Dénissez précisément l'entropie de cette source.
2. Quelle est la valeur maximale de cette entropie. Pour quelle distribution de probabilités
cette valeur est-elle atteinte ?
3. Dénissez précisément ce qu'est un
code
de cette source.
4. Dénissez précisément la longeur moyenne de ce code.
5. Soit la source suivante :
Message
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Probabilité
0.05
0.15
0.32
0.05
0.24
0.19
Déterminez un code de Humann de cette source.
2.
Bruit de quantication
1. Dénir le bruit de quantication d'un signal numérisé.
2. Quelle est sa densité de probabilité
3. Quelle est sa variance ?
3.
Modulation QAM
1. Dénissez précisément le schéma de modulation "Modulation d'Amplitude sur porteuses
en Quadrature" (QAM).
2. Dessinez le type de "constellation" correspondant à ce schéma de modulation et expliquez
ce qu'elle représente.
3. Pour un système de communication numérique, vous avez le choix entre une modulation
QAM-16 et QAM-64. Expliquer de manière précise quels sont vos critères pour choisir ?
2
Deuxième partie
Signaux aléatoires (7 points - 1 point par
question)
ATTENTION ! Cet examen est en TROIS PARTIES.
1. Partie 1 : Questions de cours
2. Partie 2 : Signaux aléatoires
3. Partie 3 : Filtrage
Ces trois parties sont à rendre sur des COPIES SÉPARÉES.
Exercice 1
On considère une variable aléatoire Φ uniformément distribuée sur [0, 2π[ et une fonction
aléatoire X(t) stationnaire au sens large. On suppose de plus que Φ et X(t) sont indépendantes.
On pose :
Y (t) = X(t) cos(2πνo t + φ)
où νo est une constante.
1. Calculer la moyenne statistique (au sens des ensembles) de Y (t)
2. Déterminer la fonction d'autocorrélation ΓY (t, t + τ ) de Y (t) en fonction de celle de X(t),
notée ΓX (τ ).
3. En déduire une expression de la densité spectrale de puissance SY (ν) de Y (t) en fonction
de celle de X(t).
Exercice 2
On considère le circuit RC représenté ci-dessous :
R
C
v(t)
On suppose ce circuit à l'équilibre thermodynamique à la température T et on s'intéresse à la
fonction aléatoire v(t) qui représente la tension aux bornes de la capacité.
1. Donner un circuit équivalent faisant apparaître une source de bruit de
sant la densité spectrale qui lui est associée.
tension
en préci-
2. Déterminer la réponse en fréquence H(ν) du ltre passe-bas qui apparaît entre cette
source de bruit et la tension v(t).
3
3. Déterminer la bande passante équivalente de bruit ∆ν de ce ltre, dénie par :
Z +∞
1
∆ν =
|H(ν)|2 dν .
max|H(ν)|2 0
On pourra faire le changement de variable : tan θ = 2πνRC .
4. En déduire la variance de v(t).
4
Troisième partie
Filtrage (7 points)
ATTENTION ! Cet examen est en TROIS PARTIES.
1. Partie 1 : Questions de cours
2. Partie 2 : Signaux aléatoires
3. Partie 3 : Filtrage
Ces trois parties sont à rendre sur des COPIES SÉPARÉES.
Exercice
1. On considère un signal de la forme
1
|t|
r(t) = √ exp −
a
a
Représentez-le graphiquement. Quelle est son énergie ?
2. On mesure le signal translaté et bruité :
s(t) = A × r(t − t0 ) + b(t)
où A est un réel positif et b(t) est un bruit blanc de densité spectrale de puissance N0 /2.
Pour estimer la valeur de t0 , on corrèle s(t) avec un ltre de réponse impulsionnelle
1
h(t) = √ Π` (t)
`
où
Π` (t) =
1 si t ∈ [−`/2, `/2]
0 sinon
Quelle est l'énergie de la fonction h(t) ?
3. Calculez la puissance du signal utile (pour l'estimation de t0 ) après ltrage de s(t) par
h(t).
4. Calculez la puissance du bruit après ltrage (penser à l'égalité de Parseval).
5. Calculez la valeur de ` qui maximise le rapport signal sur bruit (RSB) en sortie du ltrage,
et donnez la valeur du RSB correspondante.
Pour cela, on pourra utiliser la Figure 1 (voir page suivante) qui est une représentation
graphique de la fonction suivante :
x i2
1h
f (x) =
1 − exp −
x
2
6. Quel est la réponse impulsionnelle du ltre adapté ?
7. Quelle est la valeur sur RSB qui serait obtenue avec le ltre adapté ? Comparez-la avec
celle obtenue à la question 5. Quels sont vos commentaires ?
5
Figure 1 Fonction f (x).
6