Intégration et probabilités TD 6 – Changement de variable et

Intégration et probabilités
ENS Paris, 2016-2017
TD 6 – Changement de variable et convolution
1 – Changement de variable
Exercice 1.
(Changement de variable polaire)
1. Soit f : R2 → R+ mesurable. Montrer que
Z Z
Z
2π Z ∞
f (x, y) dx dy =
R
f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ.
0
R
0
2. (Application) Utiliser la fonction f : (x, y) 7→ e−x
Exercice 2.
2
−y 2
pour calculer
R∞
0
2
e−t dt.
(Changement de variable sphérique)
1. Soit f : R2 → R+ mesurable. Montrer que
Z
R3
Z
π/2
π
Z
f dλ3 =
−π/2
−π
Z
∞
f (r cos ϕ cos θ, r cos ϕ sin θ, r sin ϕ)r 2 cos(ϕ) dr dθ dϕ.
0
On appelle θ la longitude et ϕ la latitude.
2. (Application) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur α ∈ R pour que la fonction
x ∈ R3 7→ kxkα2 soit intégrable sur B(0, 1). Et sur R3 \ B(0, 1) ?
2 – Mesure de Lebesgue sur la sphère unité
Exercice 3.
note
S d−1
On se place sur Rd muni de la mesure de Lebesgue λd et de la norme euclidienne. On
B {x ∈ Rd : kxk = 1} la sphère unité de Rd .
1. (Mesure de Lebesgue sur la sphère unité) Pour A ∈ B(S d−1 ), on pose
Γ (A) B {rx : r ∈ [0, 1] et x ∈ A} et ωd (A) B dλd (Γ (A)).
Montrer que ωd est une mesure finie sur S d−1 invariante par isométries vectorielles de Rd .
2. (Changement de variable radial) Soit f : Rd → R+ mesurable. Montrer que
Z
Z ∞Z
f (x) dλ(x) =
f (rz)r d−1 dωd (z) dr.
Rd
0
S d−1
Indication. On pourra commencer par le cas où f = 1B avec B de la forme
(
)
x
d
∈A ,
B = x ∈ R \ {0} : a < kxk ≤ b et
kxk
où A est un borélien de S d−1 et 0 < a ≤ b.
Pour toute question, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à [email protected], ou bien à venir me voir au bureau V2.
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3. (Un truc de physicien rendu rigoureux) En utilisant la fonction f : x 7→ exp(− kxk2 ), calculer le
volume de la boule unité de Rd , en l’exprimant à partir de la fonction Γ définie à l’exercice 7.
3 – Convolution
Exercice 4.
(Convolution et régularité) Soit d ≥ 1 et f , g : Rd → R des fonctions boréliennes. Pour x ∈
Rd , si la fonction y 7→ |f (x − y)g(y)| est intégrable sur (Rd , B(Rd ), λ), alors on note
Z
f ∗ g(x) B
f (x − y)g(y) dy,
Rd
qui est appelée la convolution de f et de g en x.
1. Soit f ∈ L1 (Rd , B(Rd ), λ) et ϕ : Rd → R continue bornée. Montrer que f ∗ ϕ est définie partout
et est continue bornée sur Rd .
2. Soit f ∈ L1loc (Rd , B(Rd ), λ), c’est-à-dire une fonction mesurable de Rd → R intégrable sur tout
compact. Soit ϕ : Rd → R de classe C ∞ à support compact. Montrer que f ∗ ϕ est de classe C ∞
sur Rd et que, pour tout p ∈ Nd ,
∂p (f ∗ ϕ) = f ∗ ∂p ϕ,
où, pour p = (p1 , . . . , pd ) ∈ Nd , on note
∂p B
∂|p|
p
p
∂x11 · · · ∂xdd
,
avec |p| = p1 + · · · + pd .
Exercice 5.
(Convolution de fonctions L1 )
1. Montrer que l’application
L1 (Rd , B(Rd ), λ)2 −→ L1 (Rd , B(Rd ), λ)
(f , g)
7−→
f ∗g
est bien définie et montrer que, pour f , g ∈ L1 (Rd , B(Rd ), λ),
Z
Z
Z
f ∗ g dλ =
f dλ
g dλ.
Rd
Rd
Rd
2. Montrer que le produit de convolution muni L1 (Rd , B(Rd ), λ) d’une structure de R-algèbre
associative et commutative.
3. Montrer que L1 (Rd , B(Rd ), λ) n’est pas une algèbre unitaire.
Indication. On pourra considérer la fonction indicatrice d’un pavé.
4 – À chercher pour la prochaine fois
Exercice 6.
(Formule des compléments)
1. Calculer la mesure image de la mesure
xa−1 y b−1 e−(x+y) 1{x,y≥0} dx dy,
par l’application (x, y) ∈ (R+ )2 7→ (x + y, x/(x + y)).
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2. En déduire la formule des compléments :
Γ (a)Γ (b)
=
Γ (a + b)
Z
1
t a−1 (1 − t)b−1 dt,
0
où la fonction Γ est définie dans l’exercice 7.
Remarque. L’intégrale obtenue est généralement notée B(a, b) et la fonction B est appelée la
fonction bêta.
5 – Compléments (hors TD)
Exercice 7.
(La fonction Γ ) Pour tout t > 0, on pose
Z∞
Γ (t) B
xt−1 e−x dx.
0
1. Montrer que ceci définit une fonction de classe C ∞ sur R∗+ .
2. Montrer la formule d’Euler : pour tout t > 0,
nt n!
.
n→∞ t(t + 1) . . . (t + n)
Γ (t) = lim
Indication. On pourra considérer la suite de fonctions (fn )n≥0 définies par
x n t−1
fn : x ∈]0, ∞[7→ 1]0,n[ (x) 1 −
x .
n
Exercice 8.
Soit A ∈ Rn×n une matrice symétrique définie positive. Calculer l’intégrale
Z
e−hAx,xi λn (dx),
Rn
où h·, ·i désigne le produit scalaire usuel sur Rn et λn désigne la mesure de Lebesgue sur Rn .
Exercice 9.
Soit f : (R+ , B(R+ )) → (R+ , B(R+ )) une fonction mesurable.
1. Montrer que l’on définit une fonction continue F : R+ → R en posant, pour x ≥ 0,
Z∞
arctan(xf (t))
F(x) B
dt.
1 + t2
0
2. Calculer la limite de F(x) quand x → ∞.
3. Montrer que F est dérivable sur ]0, +∞[.
4. Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que F soit dérivable en 0.
Fin
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