Force de Lorentz 29.(M) Sachant que le flux du champ magnétique
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PHY 235 : T.D corrigés 2011 Force de Lorentz 29.(M) Sachant que le flux du champ magnétique est conservatif, décrire (qualitativement) la trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique non uniforme tel celui dont les lignes de champ sont représentées ci-dessous. Les rayons cosmiques sont des particules chargées de très haute énergie produites dans l’espace, qui bombardent en permanence la Terre. Le flux des particules qui frappent les pôles est plus important qu’à l’équateur. Pourquoi ? R : - On rappelle qu’une charge ponctuelle q , de masse m et de vitesse initiale est plongée dans un champ uniforme orthogonal à n’est pas orthogonale au champ lui est parallèle et d’une autre la direction de Le flux de décrit, lorsqu’elle , un cercle de rayon . Si appliqué, elle est toujours la somme d’une composante qui lui est perpendiculaire ; q progresse alors à la vitesse , en décrivant une hélice dont le rayon est orthogonal à qui selon . à travers la section S d’un tube de champ est, par définition : . En prenant pour section S une surface (gauche) orthogonale à parallèle à si en tout point, donc telle que soit en tout point , on obtient : est choisi de même sens que . Ainsi, puisque, par propriété, de champ (ce pourquoi on le dit « conservatif »), est invariant le long d’un tube sera d’autant plus faible, en moyenne, que la section S du tube sera plus large, et d’autant plus fort, en moyenne, que cette section sera plus étroite. En conséquence de quoi, l’hélice décrite par une particule soumise à un champ 41 , verra son rayon PHY 235 : T.D corrigés 2011 augmenter ou diminuer selon que le tube s’évasera ou se rétrécira, puisque proportionnel à R est inversement d’après les expressions rappelées précédemment (voir la figure ci-dessous). On arrive à cette même conclusion en remarquant, simplement, que l’hélice décrite par une charge soumise à un champ progresse à une vitesse , « s’inscrit » nécessairement dans un tube de champ puisque cette charge de même direction que (on peut encore dire que sa trajectoire est décrite sur la paroi d’un tube). - Les tubes du champ magnétique terrestre présentent une forme d’entonnoir au voisinage des pôles ; ils canalisent ainsi, vers ces derniers, les particules chargées qui les atteignent, en leur imprimant des trajectoires en hélice dont le rayon s’amenuise au fur et à mesure de leur approche du sol. 30.(D) Dans un repère cartésien attaché à un référentiel galiléen, une particule ponctuelle de charge q et de masse m , est soumise à un champ électrostatique de même direction et sens que même direction et sens que , et à un champ magnétique uniforme, , également uniforme, de . La particule étant abandonnée sans vitesse au point O , étudier son mouvement en négligeant l’action de la pesanteur ; préciser sa trajectoire selon le signe de q . Déterminer la vitesse maximum de cette particule. R : - La particule étant immobile en O à l’instant , elle ne subit que la force électrostatique qui la met en mouvement selon la direction de l’axe des y . Prenant alors une vitesse de même sens que l’unitaire magnétique plan si q est positive et de sens opposé si elle est négative, la particule subit la force qui incline sa trajectoire vers l’axe des x sans lui permettre de quitter le (voir la figure ci-dessous pour les deux cas q positive et négative). 42 PHY 235 : T.D corrigés 2011 Etablissons, maintenant, l’équation de cette trajectoire. Dans le repère supposé attaché à un référentiel galiléen, on peut écrire , pour la vitesse de la charge q , et , pour la force de Lorentz qu’elle subit. La pesanteur étant négligée, le PFD sur q se réduit à : , soit : ; d’où : . On obtient ainsi : . La dernière égalité indique que est une constante qui, d’après les conditions initiales, doit être nulle. La trajectoire est donc bien décrite dans le plan comme prévu ; pour en trouver l’équation, dérivons par rapport à t les deux premières égalités ; on obtient le second jeu d’égalités : et que l’on peut réécrire en utilisant les expressions des dérivées premières de données par les premières égalités, comme : et soit encore, en faisant le changement de variable ; : et 43 . PHY 235 : T.D corrigés 2011 Les solutions générales de ces deux équations différentielles peuvent s’écrire respectivement : et , les constantes C , D et , avec des conditions initiales. Comme vient que à , on a facilement et et dépendant , d’où il . Ainsi, la première égalité permet-elle d’écrire , dont on déduit que et, par conséquent, que : et . En intégrant par rapport à t , il est alors possible de trouver les équations paramétriques de la trajectoire, soit : , K et K’ étant ces constantes. et Comme à , on a et ; on obtient donc : et , qui sont les équations paramétriques d’une « cycloïde » (voir la figure ci-dessous). - Le module de la vitesse dont on cherche la valeur maximum est 44 , soit : PHY 235 : T.D corrigés 2011 . Ce module est donc maximum pour et vaut alors . Les abscisses des maxima et des minima de ; il est minimum et nul pour sont, d’après l’équation paramétrique de x : et ; et leurs ordonnées : et . 31.(D) Un cyclotron est constitué de deux armatures horizontales en forme de demi-cylindres creux mis face à face. Dans l’espace qui les sépare, une tension V crée un champ électrique uniforme perpendiculaire aux plans de séparation des armatures. On injecte un faisceau de protons de vitesse parallèle à , depuis le centre de l’une des armatures. On admet que le champ est nul à l’intérieur des armatures. a) Quel doit être le sens de pour que les particules soient accélérées ? Quelle est leur vitesse lorsqu’elles arrivent sur l’autre armature ? b) A l’intérieur des armatures ne règne qu’un champ magnétique vertical (perpendiculaire à ). Les particules sont déviées et reviennent vers l’autre armature. i) Donnez les caractéristiques de la trajectoire des particules. A quelle distance de son point d’entrée dans l’armature une particule en ressort-elle ? ii) Combien de temps lui aura-t-il fallu ? Montrer que cette durée est indépendante de sa vitesse initiale. 45 PHY 235 : T.D corrigés 2011 c) La tension V est en réalité sinusoïdale, de période telle que les particules soient toujours accélérées entre les armatures, et la valeur de la tension étant constante pendant la phase d’accélération. i) Décrire le mouvement ultérieur des particules. Montrer qu’à chaque traversée le carré de la vitesse augmente d’une constante que l’on déterminera. ii) Quelle est la vitesse des particules à la fin de la centième traversée ? A.N. : R : Appelées dee (« d » en anglais) en raison de leur forme - voir le dessin, les armatures sont creuses et les charges peuvent circuler à l’intérieur. Ces armatures forment ainsi des (quasi) cavités où, du point de vue électrostatique, le potentiel doit être (quasi) constant et le champ électrique (quasi) nul. a) La charge du proton est . Or, une charge positive dans un champ subit une force - et donc une accélération - de même sens que ce champ. Par conséquent, pour que la vitesse du proton croisse à partir de (donc, pour que le proton « accélère » comme il est dit dans le texte), il faut que et aient même sens. Notons qu’ainsi, le proton se déplacera dans le sens du potentiel décroissant puisque, par propriété, les potentiels décroissent dans le sens du champ. Soit un repère dont l’origine O est le centre de l’armature de départ du proton, et dont l’axe , de vecteur unitaire , possède la direction et le sens de armatures (voir la figure ci-dessous), si . Alors, si L est la distance entre les est la masse du proton et si est la vitesse acquise par ce dernier à l’entrée de l’armature d’arrivée, le théorème de l’énergie cinétique permet d’écrire : . L’intégrale, qui représente le travail fourni par la force électrostatique entre les armatures, peut se reformuler comme : , 46 PHY 235 : T.D corrigés 2011 si U est la ddp entre armatures. Ainsi a-t-on , soit . b) i) On sait qu’une charge q ponctuelle positive, de masse m et de vitesse magnétique , soumise à un champ , décrit une trajectoire circulaire uniforme de rayon rétrograde par rapport à , dans le sens (sens de rotation inverse à celui d’un tire bouchon progressant selon ). Dans le cas présent, le proton parcourt donc un arc de cercle de rayon à l’intérieur de l’armature d’arrivée, avec une vitesse de module constant égal à ; il en ressort, après y avoir décrit un demi-cercle, en un point d’ordonnée (voir la figure). ii) Le module de la vitesse se conservant sur la trajectoire, le temps mis pour parcourir le demi-cercle est ; il est bien indépendant de , et donc de (tant que ne change pas). Ainsi, le laps de temps passé à l’intérieur d’une armature reste-t-il immuablement le même. c) Pour que les charges soient toujours accélérées lorsqu’elles passent d’une armature à l’autre, il faut que U change de signe chaque fois qu’un laps de temps s’est écoulé (si l’on admet que la durée du transit linéaire du proton d’une armature à l’autre, est négligeable). i) Si tel est le cas, le proton débouchant au point d’ordonnée à la vitesse encore égal à est accéléré depuis dans son armature de départ, où il décrit un demi-cercle de rayon ; il pénètre alors , en un temps d’après ce qui précède ; et ainsi de suite… D’après la question a), la nième traversée entre armatures donne au proton une vitesse du proton s’accroît donc de telle que à chaque traversée. 47 ; le carré de la vitesse PHY 235 : T.D corrigés 2011 ii) Le carré de la vitesse du proton augmentant de s’est accrue de à chaque traversée, à la centième elle ; elle est ainsi devenue , puisqu’elle valait au départ de la première traversée. Par conséquent : Remarque : La forme dite « classique » du théorème de l’énergie cinétique (utilisée ici) n’est valable que si les vitesses mises en jeu sont très inférieures à celle de la lumière ( ). La valeur de obtenue ci-dessus - qui représente déjà 22% de c , est donc très approximative. 32.(D) Spectromètre de masse. Une source radioactive ponctuelle émet, suivant un axe Ox , un faisceau de particules passant entre les plaques horizontales d’un condensateur plan. L’action de la pesanteur est négligeable devant celle de la force de Lorentz. En l’absence de tout champ, les particules frappent en O un écran situé à la distance a de la sortie du condensateur. On soumet alors le faisceau à un champ électrique uniforme et vertical un champ magnétique , créé par le condensateur, et à , uniforme, horizontal, perpendiculaire à l’axe Ox et dirigé d’avant en arrière. a) Les particules entrent en A dans le condensateur avec une vitesse parallèle à Ox . Quelle doit être la valeur du champ pour que les particules ne soient pas déviées ? Que se passe-t-il si q change de signe ? b) Le faisceau horizontal et monocinétique sortant en A’ du condensateur, est ensuite soumis à la seule action du champ magnétique et vient frapper l’écran au point M tel que OM = d . i) Montrer que les particules de même rapport q/m décrivent des trajectoires circulaires uniformes de même rayon R . Calculer R . Quel effet a le signe de q sur la déviation ? ii) Montrer que R = (d2 + a2)/2d . En déduire la valeur de q/m . 48 PHY 235 : T.D corrigés 2011 c) A.N. : on détecte des particules pour la valeur suivante des champs et de la déviation d : vers le haut. Identifier ces particules sachant que pour l’électron, et pour le proton et le neutron. R: a) Soit le repère 3D attaché à l’instrument, et axes respectifs ; on peut alors poser , les vecteurs unitaires portés par ses trois et , les grandeurs v , E et B représentant les normes respectives de la vitesse, du champ électrique et du champ magnétique. Dès qu’elle pénètre le condensateur (donc, dès qu’elle se trouve en A), la charge q subit la force de Lorentz dont il est facile de voir qu’elle est nécessairement transversale et parallèle à ; comme cette force est la seule appliquée, la trajectoire de q demeure rectiligne (et uniforme) selon l’axe si , donc si . Ainsi, les champs , soit encore si et étant fixés, toutes les charges dont la norme v de la vitesse en A respecte l’égalité trouvée, peuvent atteindre le point A’ , quelles que soient leur valeur ou leur signe puisque cette égalité ne dépend pas de q . Il suffit donc de disposer un diaphragme de faible ouverture en A’ pour sélectionner un faisceau de charges « monocinétique », dont la vitesse est v car le mouvement de ces charges reste uniforme entre A et A’ . b) i) On sait qu’une charge q ponctuelle de masse m soumise à un champ magnétique perpendiculaire à sa vitesse orthogonal à de de rayon (de norme B) (de norme v), décrit une trajectoire circulaire uniforme dans un plan ; ce cercle est parcouru dans le sens direct par rapport au sens si q est négative, et dans le sens rétrograde si elle est positive. Ici, la trajectoire est donc décrite 49 PHY 235 : T.D corrigés 2011 ; la vitesse des charges en A’ étant selon dans le plan , le centre du cercle est sur la en A’ (car, par propriété, les rayons de courbure sont orthogonaux aux vitesses). perpendiculaire à ii) Si O’ est le centre d’un cercle, on a appliqué au triangle et . Le théorème de Pythagore permet donc d’écrire d’où , soit . Par conséquent ; et . En utilisant les résultats obtenus en a), on peut encore écrire c) Soit . la masse d’un proton ; si A est le nombre de masse de la particule et si n est son degré d’ionisation, sa masse et sa charge sont respectivement ce qui précède, et . Ainsi obtient-on, selon . La déviation étant vers le haut ( particule est un ion positif ; si cet ion est un atome ionisé une fois ( correspondant est ), la ), le nombre de masse de l’atome . La particule peut donc être un noyau de deutérium . 33.(M) Soit un ruban de cuivre d’épaisseur a , de largeur b et de longueur indéfinie, parcouru par un courant I (s’écoulant dans le sens de sa longueur). On applique un champ magnétique uniforme perpendiculaire au ruban. a) Calculer la vitesse de déplacement des électrons, sachant qu’il y a n électrons de conduction par unité de volume. b) Donner la grandeur et la direction de la force magnétique agissant sur les électrons. c) Donner la grandeur et la direction du champ électrostatique qu’il faudrait appliquer pour contrebalancer l’effet du champ magnétique. d) Quelle différence de potentiel V faut-il appliquer, et entre quelles faces, pour créer e) Si l’on n’applique pas de champ extérieur, on voit apparaître alors un champ interne , dit champ de Hall. Donner la raison de ceci et préciser f) Si . est le champ électrique responsable du courant, alors on a la relation suivante : , où est la conductivité du métal (loi d’Ohm). Montrer que et calculer ce rapport. A.N. : R : d’après l’étude de l’effet Hall faite au § 3.1.4., et selon la figure 3.1.4.c, on a : a) ? , avec ; 50 PHY 235 : T.D corrigés 2011 b) , avec c) , avec d) ; e) f) vecteur unitaire selon vecteur unitaire selon , et B tel que ; ; ; de la question c) ; avec du ruban, les vecteurs unitaires vecteur densité de courant et ; étant orthogonaux à la section ab sont équipollents ; de ce fait, en posant et, d’après e), ; d’où 51 , on obtient ; PHY 235 : T.D corrigés 2011 Biot et Savart 34.(M) Calculer le champ magnétique produit par un courant d’intensité I : a/ au centre O d’un circuit en boucle fermée (figure a) ; b/ au centre O d’un circuit en épingle infinie (figure b) ; c/ en un point M de la bissectrice d’un circuit en coin d’angle a (figure c). b R : Il a été établi dans le cours que, dans un repère c muni des coordonnées cylindriques : 1/ le champ magnétique créé en un point M à distance d’un fil conducteur rectiligne infini, et parcouru par un courant d’intensité I s’écoulant de z’ vers z , peut s’écrire : confondu avec . Dans ces égalités, est le champ créé par un élément du fil situé en un point P tel que 2/ le champ créé en un point M de l’axe . d’une spire de rayon a , située dans le plan parcourue dans le sens direct par un courant d’intensité I, est , et étant l’angle sous lequel est vu un rayon a depuis le point M . a/ Soit un axe de vecteur unitaire orthogonal en O au plan du circuit, son sens étant choisi tel que le sens du courant parcourant la partie circulaire du circuit, soit direct. Le champ par le circuit est la somme du champ circulaire. En prenant alors , créé par sa partie linéaire, et du champ , créé en O créé par sa partie , et en respectant les sens des vecteurs unitaires, les relations rappelées en préambule permettent d’écrire immédiatement : 52 PHY 235 : T.D corrigés 2011 b/ Soit un axe de vecteur unitaire orthogonal en O au plan du circuit, son sens étant choisi tel que le sens du courant parcourant la partie demi-circulaire du circuit soit direct. Le champ O par le circuit est la somme du champ et créé en créé par sa partie demi-circulaire, et des deux champs créés par chacune des deux parties linéaires demi-infinies. En se reportant au cours, il est facile de voir que le champ produit en O par la partie demi-circulaire est la moitié de celui que produirait un cercle complet. Quant aux champs produits en O par les parties linéaires demi-infinies, ils s’obtiennent immédiatement en intégrant de à 0 ou de 0 à , selon le cas, le produit qui apparaît dans les égalités rappelées en partie 1/ du préambule ; ils valent donc, chacun, la moitié de celui produit par un fil infini. En respectant les sens des vecteurs unitaires, on peut alors écrire : et ; et l’on a : . c/ On a vu, en partie 1/ du préambule, que le champ produit en un point M par un élément de courant , si a est la distance de M au fil qui porte rectiligne peut s’écrire l’élément, et si est l’angle qui définit la direction de cet élément vu de M . Il s’ensuit, d’après la figure ci-dessus, que les champs produits en M par le brin supérieur et le brin inférieur du fil sont, respectivement : et 53 PHY 235 : T.D corrigés 2011 . , le champ total en M est : Ainsi, puisque . 35.(D) Deux spires circulaires identiques de rayon R , de centres O’ et O ‘’ distants de 2a , ont même axe ; on s’intéresse au champ qu’elles créent au voisinage du point O milieu de O’O’’ , lorsqu’elles sont parcourues par des courants de même sens et de même intensité I (bobines de Helmholtz). a) Tracer B(x) module du champ produit par une spire, puis par les deux. En déduire l’ordre du développement limité nécessaire pour calculer B(x) pour x << a, R . b) Quelle valeur faut-il donner au rapport a/R pour assurer un champ aussi uniforme que possible au voisinage de O ? R : Soit et les deux spires de centres respectifs O’ et O’’ , et soit et les angles sous lesquels sont vus leurs rayons depuis un point M d’abscisse x de leur axe commun (voir figure). Le champ en M est la somme de ceux produits respectivement par et en ce point. Il est donc tel que : avec et 54 . PHY 235 : T.D corrigés 2011 Comme , on a : et , avec : et , et étant petits, puisque x << a,R . Il s’ensuit que la somme peut s’écrire : . Maintenant, comme , on a , et il vient : , soit : . Finalement, en négligeant les puissances de x supérieures à 2 , l’expression entre crochets se réduit à : , et on obtient . 55 PHY 235 : T.D corrigés 2011 est donc, en première approche, une parabole. Si l’on choisit a égal à R/2 , cette La fonction fonction se réduit à une constante ; en d’autres termes, le champ magnétique sur l’axe des deux bobines devient quasi uniforme au voisinage de O . Une telle disposition des spires et est dite « de Helmholtz ». 36.(M) Calculer le champ magnétique produit en son centre par un anneau circulaire plat et mince, de largeur 2a et rayon moyen R , quand il possède une densité surfacique de charge et qu’il tourne autour de son axe avec une vitesse angulaire constante R : Soit le plan fixe dans lequel tourne l’anneau, et soit . de vecteur unitaire son axe de rotation, O étant son centre. Comme la largeur 2a de cet anneau est petite, sa surface est peu différente de et la charge totale qu’il porte peut s’écrire Si l’anneau tourne à à la fréquence de . radians par seconde, la charge Q qu’il porte franchit l’axe (par exemple) fois par seconde, ce qui équivaut, par définition, au passage d’un courant d’intensité : . En assimilant alors l’anneau à une spire, le champ produit en son centre O est : . 56 PHY 235 : T.D corrigés 2011 37.(D) Expérience de Rowland (1876). Rowland imagine de faire tourner autour d’un axe vertical, un disque de verre horizontal portant sur sa face supérieure une couronne métallique C. Un générateur maintient une différence de potentiel V entre cette couronne et un plateau métallique P de même axe disposé horizontalement au-dessus. Une boussole placée au voisinage de la couronne, dévie quand le disque tourne. Le sens de cette déviation change avec le sens de rotation du disque ainsi qu’avec le sens de V . Les rayons intérieur et extérieur de C sont et . On admet que plateau et couronne constituent les deux armatures d’un condensateur plan entre lesquelles le champ électrique est uniforme ; ces armatures ont la surface S de la couronne et sont écartées de . La tension V étant portée à 5000 Volts , et C étant entraînée à la vitesse angulaire , calculer : a) la densité surfacique de charges sur C ; b) l’intensité I du courant électrique produit par le mouvement des charges présentes à la surface de C ; c) le champ magnétique au centre O de C . R : Soit le plan fixe dans lequel tourne C , et soit de vecteur unitaire l’axe de rotation de C . a/ Soit Q la charge portée par l’armature au potentiel V . Si S est la surface de C , on a alors, comme et que, pour un condensateur plan, 57 , on obtient ; . PHY 235 : T.D corrigés 2011 b/ C tournant à de , la charge franchit l’axe (par exemple) à la fréquence fois par seconde, ce qui équivaut au passage d’un courant d’intensité : . c/ Ainsi, en prenant , le champ en O est-il : . Applications numériques : ; ; 58 . PHY 235 : T.D corrigés 2011 Théorème d’Ampère 38.(M) On utilise une boussole à 5 m d’une ligne à haute tension parcourue par un courant de 100 A . Est-il nécessaire de corriger les indications de la boussole ? On rappelle que la composante horizontale du champ magnétique terrestre vaut en module R : Tout dépend de l’orientation de la ligne vis à vis du champ terrestre - Si la ligne a la direction est-ouest, le champ . . qu’elle produit a la direction nord-sud (voir, dans le cours, le champ produit par un courant filiforme rectiligne et infini) ; étant ainsi aligné avec le champ terrestre, ne peut modifier l’indication donnée par l’aiguille s’il est de même sens que de sens opposé, comme à la distance le champ champ terrestre ( sens de . S’il est est environ six fois plus faible que le , et ), le champ résultant a encore le , et l’indication de l’aiguille ne change pas non plus. - Si la ligne a la direction nord-sud, le champ qu’elle produit a la direction est-ouest ; l’aiguille indiquant la direction et le sens de la résultante , soit , elle fait avec un angle tel que (on rappelle que le nord magnétique se trouve dans la zone du sud géographique, et vice versa ; or, les lignes de champ vont, par propriété, du nord magnétique au sud magnétique ; les vecteurs champ pointent donc - à la déclinaison magnétique près - le nord géographique et le nord de la boussole indique bien les direction et sens du champ terrestre…). 39.(M) On considère un circuit électrique constitué de N spires enroulées sur un tore de section circulaire, de rayon intérieur (minimum) et extérieur (maximum) . En choisissant astucieusement divers contours d’Ampère, montrer que le champ extérieur est nul et que le champ intérieur au tore dépend de la distance R : Soit à son axe. Donner son expression. un repère attaché au tore, le point O en étant le centre et l’axe de symétrie axiale. Du fait de cette symétrie, le champ produit présente, aussi, une symétrie axiale d’axe ; mais, comme les lignes de courant sont « méridiennes » (c’est-à-dire, dans des plans qui contiennent ), les lignes de champ sont des cercles d’axe et de sens direct par rapport au sens des courants (voir cours). - Soit , extérieur au tore. D’après ce qui précède, un contour circulaire d’axe est confondu avec une ligne de champ, ce qui implique qu’en chacun de ses points l’élément de contour et le champ , on soient colinéaires. Par conséquent, en prenant pour sens de parcours de 59 celui de PHY 235 : T.D corrigés 2011 a sur tout , avec Ainsi, puisque aucun courant ne traverse constant du fait de la symétrie axiale autour de . , le théorème d’Ampère permet d’écrire : . D’où l’on conclut que façon arbitraire, sur tout , soit plus généralement, puisque ce contour est choisi de à l’extérieur du tore. - Considérons maintenant, à l’intérieur du tore, un contour circulaire sens direct par rapport à . Le tore comportant N spires, intensité I et de même sens (que l’on supposera être celui de d’axe , de rayon et de est traversé par N courants de même , pour simplifier). Alors, comme est aussi une ligne de champ et présente une symétrie axiale autour de , le théorème d’Ampère donne : . Il s’ensuit, qu’à l’intérieur du tore, le champ ne dépend pas de z et s’écrit (algébriquement) dans les coordonnées cylindriques : 40.(D) Une plaque conductrice plane supposée infinie et d’épaisseur a , est parcourue par un courant de densité uniforme. On admet que cette plaque et l’air dans lequel elle baigne ont une perméabilité magnétique égale à celle du vide ( ). On prend un repère dont le centre O est à mi-distance des deux plans qui limitent la plaque (et donc à l’intérieur de celle-ci) ; l’axe du repère est orthogonal à ces deux plans. a) Déterminer les symétries de la densité de courant et en déduire les direction et sens du champ magnétique qu’elle produit. b) Calculer la valeur du champ magnétique en tout point de l’espace. c) Tracer les variations du module du champ, en fonction de z . d) Que se passe-t-il si l’on fait tendre l’épaisseur de la nappe vers zéro ? R : On suppose que le courant s’écoule selon l’axe des y ; le vecteur unitaire et même sens que le vecteur densité de courant qui sera noté 60 avec a donc même direction . PHY 235 : T.D corrigés 2011 a/ Le vecteur densité de courant plan ; le champ Le plan présente une symétrie de translation selon toute droite parallèle au produit présente donc une symétrie de translation selon ces mêmes droites. ainsi que tout plan parallèle au plan sont des plans de symétrie pour ces plans sont donc plans d’anti-symétrie pour le champ créé. le champ en un point M du plan Soit, alors, composantes. Le plan (pour fixer les idées) et ses étant plan d’anti-symétrie pour ce champ, il l’est aussi pour chacune de ses composantes ; de ce fait, les composantes du champ au point M’ symétrique de M par rapport à sont, par définition de l’anti-symétrie, les opposées des symétriques de celles de doivent donc respecter, d’après la figure, les égalités peuvent exister, et le champ se réduit finalement à traversée du plan , les composantes et ne . est également plan d’anti-symétrie pour par rapport à ce plan, est ; elles . Mais, comme présente nécessairement une symétrie de translation selon Puisque ; tous , le champ au point M’’ symétrique de M . On en déduit que le champ magnétique change de sens à la et, qu’en conséquence, il est nul dans ce plan. Tous les résultats obtenus sont évidemment valables pour M intérieur ou extérieur à la nappe. b/ Considérons, dans la zone des z > 0 du plan , deux contours d’Ampère rectangulaires (A,B,C,D) de surface S , orientés dans le sens direct par rapport à nappe, est noté parallèles à , et le second, qui lui est extérieur, est noté ; le premier, qui est intérieur à la . Les côtés AB et CD sont choisis (voir figure) ; ils sont donc perpendiculaires au champ, et la circulation de de ces segments est nulle ; celles le long de BC et de DA , se réduisent respectivement à , avec BC et DA positifs, car la symétrie de translation selon 61 le long et impose que le PHY 235 : T.D corrigés 2011 champ en B soit constant sur BC , et que le champ - A l’intérieur de la nappe, le contour en D soit constant sur DA . est traversé par un courant d’intensité : , car est colinéaire à et doit être choisi de même sens que lui. Alors, en disposant que DA soit confondu avec avec de sorte où le champ est nul, et BC soit à la cote z où le champ peut s’écrire ou , le théorème d’Ampère donne : , d’où Ainsi obtient-on le champ qui est du sens de . puisque . Une démarche analogue faite dans la zone des z < 0 , donne encore du champ qui, cette fois, est de sens opposé à - A l’extérieur de la nappe et dans la zone des puisque pour expression . , le contour n’est traversé par aucun courant et l’on a, selon Ampère : , soit d’où l’on déduit que le champ est uniforme et, par continuité, tel que 62 puisque ; . PHY 235 : T.D corrigés 2011 Dans la zone des , on obtient . c/ Voir le graphe. d/ Une nappe de courant infiniment mince (c’est-à-dire telle que champ ; ce qui n’a rien d’étonnant puisque, ainsi, l’orientation de chaque côté de cette lame (dans les deux cas, en effet, est à ) produit une discontinuité du relativement à de est la même de , dans le sens direct vis-à- vis d’un vecteur unitaire normal sortant de la lame). Remarque : La question a/ peut être résolue beaucoup plus rapidement en observant que : - Le vecteur densité de courant a une symétrie de translation selon toute droite parallèle au plan ; d’où il vient que l’on peut écrire - Tout plan parallèle à . est plan de symétrie pour le vecteur densité de courant ; d’où il vient qu’en tout point de l’un de ces plans (c’est-à-dire, en définitive, en tout point de l’espace), le champ est orthogonal à - Le plan et l’on peut écrire avec ou . est plan de symétrie pour le vecteur densité de courant ; le champ en tout point de ce plan doit donc lui être orthogonal ; mais, comme d’après la proposition précédente il devrait aussi lui être parallèle (puisque orthogonal au plan ), il est nécessairement nul et l’on a 63 . PHY 235 : T.D corrigés 2011 Force de Laplace 41.(M) Une tige métallique de masse m et longueur L , est suspendue horizontalement par ses extrémités à deux ressorts verticaux identiques dont l’allongement est d . Cette tige est placée dans un champ magnétique uniforme , horizontal et perpendiculaire à l’axe de la tige. Lorsque un courant d’intensité I circule dans la tige, elle s’élève d’une hauteur x . Déterminer le champ . A.N. : du schéma, les extrémités inférieures des deux ressorts (points C et D de R : Dans le repère fixation de la tige de longueur L ) sont, selon l’énoncé : a/ à d au-dessus de l’axe des z , en l’absence de la tige ; b/ sur l’axe des z lorsque la tige est suspendue aux ressorts sans être parcourue par le courant ; c/ à x au-dessus de l’axe des z lorsque la tige est suspendue et parcourue par le courant d’intensité I . Par ailleurs, le champ appliqué peut s’écrire . Ainsi, soit k la raideur de chacun des ressorts : en admettant qu’en raison de l’homogénéité de la tige, la résultante des forces qu’elle subit s’applique en son point milieu M , l’équilibre en situation b/ permet d’écrire , avec et ; d’où il vient que est la force de Laplace sur la tige, l’équilibre en situation c/ implique que , et : 64 . De même, si , avec PHY 235 : T.D corrigés 2011 . Par conséquent : , et l’on obtient : . 42.(D) Le galvanomètre à cadre mobile sert à mesurer de très faibles intensités de courant, le plus souvent inférieures à . Il est constitué d’un cadre rectangulaire formé de N spires, parcourues par le courant d’intensité I (que l’on cherche à mesurer) et suspendu dans l’entrefer d’un aimant en U. Le cadre est mobile autour de son axe vertical par l’angle l’entrefer, , sa position étant mesurée entre la normale au plan du cadre et la direction du champ magnétique dans , que l’on supposera uniforme et orthogonal à a) Calculer le couple . exercé par le champ magnétique sur le cadre. b) Le cadre est suspendu à un fil vertical aligné sur un couple de rappel antagoniste c) Donner la relation entre , de constante de torsion C , qui exerce . Donner l’expression de . et I à l’équilibre. R : a/ Sur le schéma, a et b sont les longueurs des côtés du cadre et O en est le centre ; le sens du courant est direct par rapport à L’élément unitaire normal au cadre ; enfin, on pose avec B > 0 . qui apparaît dans la loi de Laplace peut être assimilé, ici, à un élément de branche du cadre (orienté, par définition, dans le sens du courant) ; l’intensité I doit donc y être remplacé par N I puisque chaque élément de branche est constitué de N brins parallèles, tous parcourus dans le même sens par un courant d’intensité I . Ainsi, la force de Laplace sur un élément du cadre s’écrit-elle : 65 PHY 235 : T.D corrigés 2011 avec - sur les branches BC et DA où - et sur les branches AB et CD où , et l’on a : , , , . sur BC et DA sont donc parallèles à l’axe z’z ; étant, en Les résultantes des forces élémentaires outre, appliquées directement sur cet axe par raison de symétrie, leur moment par rapport à O est nul. Les résultantes des forces élémentaires sur AB et CD s’écrivent, quant à elles : et , P et Q étant les points milieu auxquels doivent s’appliquer respectivement ces résultantes, par raison de symétrie ; leurs moments par rapport à O sont ainsi et . Le moment résultant par rapport à O des forces magnétiques sur le cadre, se résume donc à : . Etant opposé à , ce moment a tendance à diminuer , c’est-à-dire à rendre parallèle à et de même sens que lui. b/ Soit la valeur d’équilibre de en l’absence de de son fil de suspension (sur le schéma, on a pris devant servir à diminuer l’écart , doit être du sens de c/ En présence de pour fixer les idées). Le couple de rappel du fil , il s’écrit lorsque , lorsque le cadre n’est soumis qu’au couple ; en effet, pour ramener , et du sens opposé lorsque , le cadre est à l’équilibre pour , soit pour : ; d’où il vient : 66 (voir la figure). à PHY 235 : T.D corrigés 2011 43.(D) La balance de Cotton est un dispositif qui permet de déterminer le champ magnétique en mesurant la force de Laplace qui s’exerce sur un circuit filiforme parcouru par un courant d’intensité connue I . Le circuit comporte un segment de longueur 2l et deux arcs de cercle centrés sur le pivot O de la balance, qui sont plongés dans le champ magnétique à déterminer (voir la figure). La force subie par cette part du circuit est équilibrée par une masse m déposée dans le plateau. La balance est à l’équilibre à vide, et en l’absence de champ. a) Exprimer m en fonction de I , du module B du champ et de la géométrie de la balance. b) Avec quelle précision peut-on connaître B si l’équilibre de la balance n’est pas modifié par une variation de la masse dans le plateau ? On prendra : . R : a/ La partie du circuit plongée dans portions des deux arcs de cercle. Si appliqué est tel que , se limite au segment rectiligne de longueur , , et un élément sont les vecteurs unitaires du repère et à des , le champ du segment rectiligne (dont le sens est, par principe, celui de I , qui est indiqué sur le schéma) s’écrit . Les forces de Laplace sur tous les éléments dont sont constitués les deux arcs de cercle, sont radiales de centre O ; leurs moments par rapport à ce point sont donc nuls et ne peuvent avoir d’incidence sur l’équilibre de la balance. La résultante des forces de Laplace sur les éléments du segment rectiligne est, quant à elle : . Cette force s’appliquant, par raison de symétrie, au point M milieu du segment, son moment par rapport à O peut s’écrire : . 67 PHY 235 : T.D corrigés 2011 Maintenant, notons T le point du fléau de la balance auquel s’applique le poids contrebalancer la force de Laplace ; selon le schéma, on a qui doit et le moment de par rapport à O est : . Alors, puisque à l’équilibre, on obtient que ; d’où il vient : . b/ En tenant pour négligeables les incertitudes sur I , l , a , g , d et , on trouve : . Théorème de Maxwell 44.(M) Sur deux rails horizontaux, parallèles, distants de a et respectivement reliés à chacun des deux pôles d’un générateur, on pose perpendiculairement un barreau rectiligne conducteur. L’ensemble, qui constitue ainsi un circuit fermé parcouru par un courant d’intensité I , est placé dans un champ magnétique uniforme et perpendiculaire au plan des rails. a) Calculer la force de Laplace qui s’exerce sur le barreau et dire quel en est l’effet produit. b) Retrouver l’expression de cette force en utilisant le théorème de Maxwell. R: 68 PHY 235 : T.D corrigés 2011 Soit un repère tel que l’axe parallèle au barreau MN et soit parallèle aux rails, l’axe que le sens du courant dans le circuit soit direct par rapport à celui de l’axe hypothèse orthogonal au circuit, le champ est posé égal à (voir la figure). Etant par , et l’on prend . a/ Puisque le champ est uniforme, la force résultante de Laplace sur MN s’applique en son centre et s’écrit : ; par conséquent, elle a pour effet de déplacer la barre dans le sens des x croissant. b/ - Selon le théorème de Maxwell (dit du flux « embrassé »), le travail correspond à une variation des forces magnétiques qui du flux embrassé par le circuit, est tel que : . (On rappelle que le flux embrassé par un circuit est le flux à travers une surface qui s’appuie sur lui, le sens du courant étant direct par rapport aux vecteurs unitaires normaux à cette surface) Ici, la variation est due au déplacement infinitésimal de la barre de MN à M’N’ (avec ); elle est donc égale à la différence entre les flux embrassés par les surfaces planes M’N’PQ et MNPQ , soit à : . Ainsi, puisque le champ est uniforme, que le vecteur unitaire normal le sens du courant indiqué sur la figure) et que s’écrit est équipollent à (d’après en coordonnées cartésiennes, on a : . Alors, comme , il vient immédiatement . - Selon le théorème de Maxwell (dit du flux « coupé »), le travail des forces magnétiques s’écrit encore , le terme seule la barre se déplace ; représentant le flux coupé par le circuit au cours de son déplacement. Ici, est donc le flux qu’elle balaye en glissant de MN à M’N’ . Comme le flux coupé doit être calculé avec des vecteurs unitaires normaux, 69 , du sens de , on a : PHY 235 : T.D corrigés 2011 ; d’où il vient . 45.(D) Soit un fil rectiligne de longueur infinie parcouru par un courant permanent d’intensité I1 selon la direction indiquée par la figure. On place à proximité de ce fil un circuit électrique rectangulaire MNPQ dont le plan contient le fil et dont les côtés MN et PQ lui sont parallèles. Les dimensions de ce cadre qui, lui, est parcouru par un courant d’intensité I2 , sont et , la droite passant par les milieux de MQ et NP se trouvant à la distance e du fil. a) Calculer directement la résultante des forces de Laplace qui agissent sur le cadre. b) Retrouver ce résultat en appliquant le théorème de Maxwell. c) Que se passe-t-il si ce cadre est constitué de N enroulements de fil ? d) Montrer que la règle du flux maximum est bien vérifiée. R : Dans les coordonnées cylindriques, le champ produit à la distance ρ d’un fil rectiligne infini z’z parcouru de z’ vers z par un courant d’intensité I , est : . 70 PHY 235 : T.D corrigés 2011 Soit le repère ci-dessous ; dans le plan du cadre, ρ peut être remplacé par x et par . a/ Ainsi, - le long de la branche MQ le champ est et l’on a ; la force appliquée résultante est donc : ; - le long de NP le champ est encore avec , mais, du fait du sens du courant, la force résultante est : . - le long de NM le champ est et l’on a ; la force appliquée est donc : - enfin, sur PQ le champ est avec résultante est : 71 ; selon le sens de I la force PHY 235 : T.D corrigés 2011 . La force résultante sur le cadre se réduit, ainsi, à et s’écrit : . La résultante a donc la direction de l’axe des x , et est attractive. b/ D’après le théorème du flux coupé de Maxwell, le travail des forces magnétiques pour la quantité de flux balayée par le circuit est, - si le cadre se déplace de , c’est-à-dire de MNPQ à M’N’P’Q’ (voir la figure 1/), selon avec et (puisque le flux coupé doit être calculé avec des unitaires normaux du sens de ) soit, , d’où il vient : ; - si le cadre se déplace de selon sont parallèles), d’où il vient - si le cadre se déplace de flux embrassé (voir la figure 2/ ), car (puisque ; , c’est-à-dire de MNPQ à M’N’P’Q’ (voir la figure 3/), le selon ne peut varier en raison de la symétrie de translation selon z’z , et donc Il s’ensuit, selon Maxwell, que et , d’où il vient . . Ces résultats confirment le fait que la résultante des forces de Laplace sur le cadre n’a de composante que selon l’axe des x , et qu’elle est attractive. c/ Si le cadre est constitué de N enroulements, l’intensité I2 devient N I2 , et la force se trouve ainsi multipliée par N . 72 PHY 235 : T.D corrigés 2011 d/ La force de Laplace étant attractive, elle tend bien à augmenter spontanément le flux de à travers le cadre, puisque le module de ce champ est inversement proportionnel à la distance au fil. 46.(D) Soit un circuit électrique constitué d’un conducteur filiforme enroulé sur un cadre rectangulaire MNPQ de centre O . Ce cadre, qui est suspendu verticalement par un fil attaché au point O’ milieu du segment horizontal MQ , peut tourner autour de la droite qui relie O’ , O et O’’ milieu du second segment horizontal inférieur PN . On note d’origine O confondu avec la droite O’O’’ , et segment un axe vertical l’angle que fait le segment MQ , ou le PN , avec un champ magnétique uniforme horizontal . Un courant permanent d’intensité I circule dans le sens de rotation d’un tire-bouchon qui progresserait en sortant du cadre par la face d’où sort également . a) Exprimer les forces de Laplace qui s’exercent sur MN , NP , PQ et QM pour . Où sont les points d’application de ces forces et que vaut leur résultante ? b) Calculer le moment des forces de Laplace autour de l’axe c) Que devient ce moment pour d) Calculer le travail position initiale pour . quelconque ? En déduire la position d’équilibre du cadre. effectué par les forces magnétiques pour faire passer le cadre de la à la position finale . e) Comparer ce résultat avec celui fourni par le théorème de Maxwell : . f) Montrer que la règle du flux maximum est vérifiée. R : selon les données du problème, le repère dans lequel tourne le cadre peut être disposé comme sur le schéma ci-dessous. a/ Pour , on a , , 73 et ; d’où : PHY 235 : T.D corrigés 2011 , , , et , les points d’application de étant, par raison de symétrie, les milieux H et T des et branches MN et PQ respectivement. Ainsi, la résultante des forces sur le cadre est-elle . b/ Rappelons que, si le moment par rapport à un point O d’une force le vecteur unitaire appliquée en un point M , est , le moment de cette même force par rapport à un axe , est la grandeur scalaire de vecteur . On a donc , soit pour où et ne sont plus nulles, mais étant parallèles à et appliquées : . c/ Pour , les forces et respectivement en O’ et O’’ par raison de symétrie, leur moment par rapport à O est nul ; celui par rapport à l’axe des z l’est donc aussi. Les forces et et sont inchangées mais, selon la vue de dessus, , d’où : . Il y a donc équilibre pour , soit pour (cet équilibre n’étant stable que si d/ Le travail des forces de Laplace qui fait pivoter le cadre de 74 à est : ). PHY 235 : T.D corrigés 2011 . e/ D’après le théorème de Maxwell (de la variation du flux embrassé), en notant les flux qui traversent le cadre respectivement lorsque puis lorsque et , on peut écrire : , avec , car est parallèle au plan du cadre lorsque , et , car Par conséquent lorsque . . f/ L’unitaire normal à MNPQ s’écrit (du fait du sens du courant choisi) flux qui traverse le cadre pour et le quelconque, est : ; lorsque , on obtient donc qui représente bien le maximum de ce que le cadre peut embrasser. 75 PHY 235 : T.D corrigés 2011 Loi de Faraday 47.(M) Un barreau métallique de longueur a , de masse m et résistance R , glisse sans frottement le long de deux rails de résistance négligeable reliés entre eux. Ces rails sont inclinés d’un angle par rapport à l’horizontale. Ce système est placé dans un champ magnétique uniforme vertical maintenu constant. On lâche le barreau qui acquiert de la vitesse sous l’action de son poids. En négligeant le coefficient d’auto-induction du circuit, montrer qu’il ne peut dépasser la vitesse limite . R : Lorsque le barreau glisse sur les rails sous l’effet de son poids, la surface plane du circuit fermé MNPQ auquel il appartient, diminue. Le flux du champ uniforme embrassé par MNPQ variant en conséquence, il apparaît dans ce circuit, en accord avec la loi de Faraday, la fém d’induction . Le courant i dû à l’apparition de E produit, lui-même, un champ dont le flux à travers MNPQ est (« auto-flux »). Si i varie, le flux MNPQ devient le siège de la fém varie aussi et, toujours selon Faraday, qui s’ajoute algébriquement à E . Alors, puisque R est la résistance électrique du barreau (celle des rails étant négligée), la loi d’Ohm donne : , puisque, ici, L doit être négligé. , soit Pour calculer il est nécessaire d’orienter MNPQ . Compte tenu de la disposition du repère associé aux rails sur la figure ci-dessous, il est commode de donner au circuit un sens qui soit direct par rapport au vecteur unitaire . Ainsi, en prenant avec , en posant et en remarquant que , on obtient : . 76 PHY 235 : T.D corrigés 2011 Il s’ensuit que : , représentant la valeur algébrique v de la vitesse du barreau. De la relation établie au paragraphe précédent, il vient donc : . Comme le barreau glisse vers le bas, v est positif ; ce qui implique que i le soit aussi, c’est-à-dire que le courant correspondant s’écoule dans le sens de parcours choisi pour MNPQ . En plus de son poids la réaction qui l’entraîne, le barreau subit de la part des rails , qui est normale (il n’y a pas de frottements). Il est également soumis à la force de Laplace : avec , l’intégration devant se faire, par convention, dans le sens d’écoulement du courant dans le barreau, c’està-dire de N vers M. Ainsi : En projetant, alors, le PFD appliqué au barreau ( ) selon l’unitaire l’équation différentielle qui régit son mouvement le long de l’axe des x , soit : 77 , on établit PHY 235 : T.D corrigés 2011 (puisque La solution maximum ). de l’équation ci-dessus a une forme exponentielle et tend asymptotiquement vers un . Un maximum de vitesse correspondant nécessairement à une accélération nulle, on a immédiatement : . 48.(D) Un circuit est constitué de deux rails parallèles distants de a , de résistance négligeable, et situés dans un plan horizontal ; sur ces rails sont posées perpendiculairement deux barres MN et PQ parallèles, chacune de masse m et résistance R . Les barres peuvent se déplacer sans frottement le long des rails. Le circuit ainsi formé possède une auto-inductance négligeable et est placé dans un champ magnétique uniforme, vertical dirigé vers le bas et maintenu constant. a) MN est fixée et PQ est entraînée à la vitesse constante et parallèle aux rails. Calculer l’intensité I1 du courant qui traverse le circuit. Préciser son sens et déterminer la force magnétique qui s’exerce sur MN. b) On libère MN à l’instant , PQ étant toujours entraînée à la vitesse . Décrire les phénomènes qui se produisent. Calculer l’intensité I2 à un instant t en fonction de la vitesse de MN. En déduire la force magnétique agissant sur MN. c) Ecrire l’équation différentielle du mouvement de MN. Calculer et tracer son graphe. R: a) D’après l’énoncé, et en accord avec les sens des axes du repère dessus, on peut écrire et , avec B et 78 représenté sur la figure cipositifs. PHY 235 : T.D corrigés 2011 Soit embrassé par le circuit MNQP. Sachant qu’il y a deux barres de résistance R le flux de en série et que L est négligeable, la loi d’Ohm permet d’écrire (comme dans l’exercice précédent) . En choisissant alors pour vecteur unitaire normal à la surface plane qui ), on a, puisque s’appuie sur le circuit (ce qui a pour effet de l’orienter dans le sens est uniforme : . Par conséquent : ; d’où il vient Le courant induit d’intensité . étant ainsi positif, il parcourt le circuit dans son sens direct et donc MN de N vers M . Il s’ensuit que la force de Laplace sur cette barre, s’écrit en accord avec le sens de ce courant : . b) Comme est positif, la barre MN se met à suivre la barre PQ. Notons alors et les abscisses respectives de MN et PQ , à un instant t > 0 . Le flux embrassé par le circuit à ce même instant est : , et l’on a : , en posant Or, là encore, on peut écrire tant que . ; d’où il vient . Alors, en transposant les résultats du calcul de qui reste positive fait en question a), la force de Laplace sur MN est : . c) Appliquons le PFD sur MN . Puisque MN glisse sans frottement, sa projection selon 79 se réduit à PHY 235 : T.D corrigés 2011 ; soit encore, en posant La solution de cette équation est ,à , avec . . Alors, comme par hypothèse, on obtient : , dont la représentation graphique est : 49.(M) On considère un solénoïde infini d’axe z’z , constitué par un fil très fin enroulé sur une surface cylindrique de rayon a . Ce solénoïde, qui peut être assimilé à une juxtaposition de N spires identiques par unité de longueur, est parcouru par un courant d’intensité . a) Calculer le flux du champ magnétique à travers un morceau de solénoïde de longueur l . b) En déduire l’expression de la self L d’un morceau de longueur unité de ce solénoïde. c) Ecrire l’expression de l’énergie qu’a dû fournir le générateur pour faire circuler le courant dans ce morceau de solénoïde. d) Ecrire cette énergie en fonction du champ magnétique et du volume occupé par ce morceau de solénoïde. e) En déduire la valeur de la densité d’énergie magnétique emmagasinée dans le volume intérieur du solénoïde. R : a) On suppose que le courant d’intensité vecteur unitaire de l’axe z’z ; le champ magnétique à l’intérieur est donc point). Soit la surface d’une spire ; le flux étant le flux à travers est parcourt le solénoïde dans le sens direct par rapport au de (en tout à travers une longueur l du solénoïde spires, on peut écrire en remarquant que le vecteur unitaire normal à une spire : 80 PHY 235 : T.D corrigés 2011 . b) Le flux pour est donc par définition, L . Alors, comme étant ici la self par unité de longueur, on a : . c) Selon le théorème de Maxwell, l’énergie que mobilise un système isolé de conducteurs et/ou d’aimants, pour faire varier de le flux , si i représente embrassé par l’un de ses circuits, est l’intensité du courant dans le circuit en question. Pour le système constitué d’un générateur fermé sur le solénoïde, le travail par le générateur, et la variation ne peut être fourni que ne peut être que celle de l’ « auto-flux » du solénoïde (c’est-à-dire, du flux à travers ses spires, du champ créé par le courant qui le parcourt). Ainsi, lorsque l’intensité dans le solénoïde est i , la variation conséquent, l’énergie fournie est ramenée à l’unité de longueur, est-elle . Par . Lorsqu’on branche le générateur sur le solénoïde, l’intensité zéro jusqu’à une valeur finale constante I pour laquelle le flux du courant dans ce dernier croît depuis se stabilise. L’énergie par unité de longueur de solénoïde qu’a fourni, au bilan, le générateur dans cette opération, est donc : soit d) Le volume d’une unité de longueur de solénoïde étant final, . et la norme du champ magnétique , l’énergie fournie par unité de longueur peut se réécrire . e) L’énergie cédée par le générateur dans cette opération ne quitte pas le système mais reste stockée dans le solénoïde ; celui-ci contient donc, par unité de volume, l’énergie . 50.(M) Inductances mutuelles : a) Calculer l’inductance mutuelle d’un fil infini parcouru par un courant I1 et d’un cadre carré de côté 2a parcouru par un courant I2 , ces deux circuits se trouvant dans un même plan à une distance d l’un de l’autre. b) On considère un solénoïde de longueur infinie possédant N spires par unité de longueur, chaque spire étant parcourue par un courant d’intensité I , et une bobine plate coaxiale entourant ce solénoïde et possédant n spires parcourues par un courant d’intensité i . Calculer 81 PHY 235 : T.D corrigés 2011 le coefficient d’induction mutuelle M de cet ensemble. c) On considère deux solénoïdes d’auto-inductances L1 et L2 dont l’un est à l’intérieur de l’autre. En supposant que la totalité du flux d’un solénoïde traverse l’autre, exprimer leur inductance mutuelle M en fonction de L1 et L2 . R : a) Supposons le fil infini confondu avec l’axe de vecteur unitaire courant d’intensité . Le cadre, qui est orienté dans le sens direct par s’écoulant dans le sens de rapport au vecteur unitaire de l’axe , d’un repère , se trouve dans le plan (voir la figure). En tout point de ce plan, le champ produit par le fil peut s’écrire qui est, par définition, le rapport à du flux de avec , le , et l’inductance mutuelle à travers le cadre, est telle que : et ; par conséquent : . b) Orientons le courant d’intensité l’axe commun du solénoïde, dans le sens direct par rapport à l’unitaire du solénoïde et de la bobine. On sait que le champ uniformément égal à de produit par le solénoïde est à l’intérieur, et qu’il est nul à l’extérieur. Par conséquent, si R est le rayon du solénoïde, la surface de l’une de ses spires (supposées jointives) est , et le flux de à travers une seule spire de la bobine se réduit à : avec , soit à . 82 PHY 235 : T.D corrigés 2011 Le flux à travers les n spires de la bobine plate est donc , et l’inductance mutuelle : c) Notons et les deux solénoïdes, et soit, également, et et leurs rayons respectifs avec les surfaces de leurs sections droites, nombres de spires par unité de longueur, et . Ecrivons, enfin, leurs un vecteur unitaire parallèle à la direction commune de leurs axes. Supposons, en outre, que leurs courants d’intensités respectives direct par rapport à et ; et et , sont de sens les normes de leurs champs propres. D’après les propriétés des champs magnétiques des solénoïdes infinis (voir les exercices précédents), les flux que produisent et à travers eux-mêmes (auto-flux) sont respectivement, par unité de longueur, comme et et Maintenant, le flux que . Alors, , il vient et produit à travers . étant par unité de longueur, l’inductance mutuelle par unité de longueur de ces deux solénoïdes, s’écrit : . En remarquant, alors, que , cette inductance par unité de longueur peut se reformuler : . 83 PHY 235 : T.D corrigés 2011 Ondes électromagnétiques 51.(D) En analysant les quatre relations qu’il avait établies, Maxwell a pu prédire l’existence d’ « ondes électromagnétiques » se propageant dans le vide. Nous nous proposons de refaire, ici, cette même démarche. a) Dans un repère cartésien (attaché à un référentiel galiléen), reformuler les équations de Maxwell dans le vide en admettant que le champ électrique est parallèle à l’axe des y, et le champ magnétique parallèle à l’axe des z, donc que et . b) Etablir, à partir de ces équations, les deux égalités suivantes : et c) Montrer que et sont des solutions particulières possibles, respectivement de ces deux équations différentielles. Sachant alors que , expliquer ce que représentent les solutions proposées. Quelle relation a t-on entre d) Les champs sinusoïdaux et et ? sont en phase et se propagent selon à la vitesse c en conservant leur direction ; ils constituent, de ce fait, une onde électromagnétique plane (linéairement « polarisée »), tout plan orthogonal à et se propageant avec eux étant appelé plan d’onde. - Trouver la densité de flux de cette onde sur un plan fixe orthogonal à (la densité de flux d’une onde sur un plan, est l’énergie que cette onde lui apporte par unité de temps et par unité de surface ; elle s’exprime donc en ). - Le « vecteur de Poynting » défini comme , indique la direction et le sens de propagation d’une onde électromagnétique au point considéré. A partir de l’exemple précédent, montrer, qu’en outre, le flux moyen de densité de flux à travers une surface unité orthogonale à , est la de l’onde correspondante, sur cette surface. R : a) Selon l’énoncé, on a se réduit à de la relation , et , et devient à . Par conséquent, ; d’autre part, la composante selon [I] , et celle selon [II] ; 84 de donne PHY 235 : T.D corrigés 2011 b) En dérivant [I] et [II] par rapport à x , on obtient, respectivement : [I’] et [II’] . Ainsi, selon [II] , [I’] se réécrit [I’’] ; et, selon [I] , [II’] devient [II’’] . c) On a et . L’expression de proposée est donc solution de [I’’] si pour , soit si . Il en va de même (l’égalité trouvée pouvant s’établir aussi à partir de [II’’] ). C’est à cette condition, qu’il est possible d’écrire : , et de montrer, par là, que les solutions particulières proposées sont les équations d’un champ électrique et d’un champ magnétique, de forme sinusoïdale, qui se propagent à la vitesse de la lumière, c . Enfin, selon [I] : ; soit : . d) - Soit S une surface orthogonale à . L’énergie que l’onde électromagnétique lui apporte par unité de temps est celle contenue, en amont, dans le volume de section droite S et de longueur c vitesse de propagation de l’onde. Or, on sait que la densité d’énergie (électrique) en un point du vide ou règne le champ électrique est (voir l’exercice 22 a) ; de même, la densité 85 PHY 235 : T.D corrigés 2011 d’énergie (magnétique) dans le vide où règne un champ magnétique l’exercice 55 e). En nous plaçant alors à l’instant dans une tranche de d’épaisseur est (voir (pour simplifier le calcul), l’énergie contenue à l’abscisse x , s’écrit : ; soit encore, puisque et donc : , en posant . Ainsi, S étant supposé située à la distance c de O, l’énergie contenue dans tout est donnée par : , donc par, ; en effet, la valeur de la pulsation est en général très élevée, et on a . En prenant alors , on obtient la densité de flux recherchée, soit : . - Si est le vecteur unitaire de l’axe , le vecteur de Poynting peut se réécrire : . Son flux instantané à travers est alors avec , soit : ; son flux moyen entre les instants en et (calculé à travers située en O , c’est-à-dire , pour simplifier) , est donc : , soit, finalement, , pour des raisons analogues à celles de la question précédente. L’un des grands intérêts du vecteur de Poynting, est donc de permettre de faire le lien entre les champs constitutifs d’une onde électromagnétique et l’énergie que cette onde véhicule. 86
