examen 2013 - ESPCI - Catalogue des Cours

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EXAMEN D'ELECTRONIQUE
PARTIE A
QCM sans documents ; durée : 45 mn ; barème : 8 points.
PARTIE B
Durée : 2 h 15 ; barème : 12 points.
Documents manuscrits et photocopies de transparents autorisés.
CHOIX : questions I.5.4 à I.5.6 ou partie II.
Les trois parties du problème peuvent être traitées de manière indépendante.
REMARQUES PRELIMINAIRES : rappelons quelques péchés mortels pour des ingénieurs :
• omettre de vérifier l'homogénéité des formules littérales,
• omettre de s'assurer de la vraisemblance des ordres de grandeur (et des signes) des
résultats numériques,
• omettre de faire des approximations évidentes,
• se lancer dans des calculs abracadabrants sans réfléchir ; comme les années précédentes, aucune question de ce problème ne nécessite plus de quatre ou cinq lignes
de calcul une fois que les équations sont correctement posées.
Il sera tenu le plus grand compte de la précision, de la clarté et de l'élégance de la rédaction ; les "explications" constituées d'une suite d'équations séparées par des signes
⇒ sans commentaires ne sont pas acceptables.
L’examen n’est pas une course de vitesse. Faites le maximum de ce que vous pouvez
faire bien.
______________
On étudie dans ce problème quelques circuits fondamentaux utilisés en modulation de
fréquence.
Dans tout le problème, les courants de base des transistors bipolaires seront toujours
considérés comme négligeables devant les autres courants. On négligera l’effet Early.
Conformément aux conventions utilisées dans le cours, toutes les grandeurs représentées
par des lettres majuscules sont des grandeurs indépendantes du temps, sauf indication
contraire.
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I. Multiplieur analogique
I.1.
On considère le circuit représenté sur la Figure 1.
Figure 1
On suppose que les transistors sont identiques ; ils sont polarisés afin qu'ils
fonctionnent en régime actif linéaire.
Exprimer Ic1 et Ic2 en fonction de IEE, V1 et VT = kT q (k est la constante de
Boltzmann, T la température absolue, q la valeur absolue de la charge de
l'électron).
I.2.
On note Ic1 − Ic 2 = IEE f (V1 ) . Exprimer le plus simplement possible f (V1 ) en fonction
de V1 et VT. Pour cela, on fera apparaître une fonction tangente hyperbolique.
I.3.
En déduire une expression approchée de f (V1 ) lorsque V1 << VT.
I.4.
Le circuit représenté sur la Figure 2 est appelé "Multiplieur à deux quadrants" :
on va démontrer que sa tension de sortie est de la forme
VS = K V1 V2 .
(1)
Tous les transistors sont en régime actif. T1 et T2 sont identiques, T3 et T4 sont
identiques. L’impédance de charge du circuit est supposée infinie.
I.4.1. Écrire les deux équations qui expriment IEE en fonction de V2, VBE, VT, R et du
courant de saturation IS de T3 et T4.
I.4.2. En déduire l’expression du gain K de la relation (1), en fonction de VT, R, Rc
si V2 >> VBE et V1 << VT .
I.5.
On considère à présent le circuit représenté sur la Figure 3 ("Multiplieur à quatre
quadrants"). Il permet de réaliser la même fonction que le précédent, mais les
tensions V1 et V2 ne sont pas soumises aux contraintes mentionnées à la question
I.4.2.
3
Figure 2
Figure 3
4
I.5.1. Exprimer Ic3 – Ic4 en fonction de Ic1 et f (V1 ) ; exprimer Ic5 – IC6 en fonction de
Ic2 et f (V1 ) (on ne supposera pas que V1 >> VT ou que V2 >> VT).
I.5.2. Exprimer Ic1 – Ic2 en fonction de IEE et f (V2 ) .
I.5.3. En déduire l'expression de ΔI = I1 – I2 en fonction de IEE, f (V1 ) , f (V2 ) .
Remplacer f (V1 ) et f (V2 ) par leurs expressions trouvées à la question I.2.
CHOIX : questions I.5.4 à I.5.6 ou partie II.
I.5.4. On considère le circuit représenté sur la Figure 4.
Figure 4
Le convertisseur tension/courant fournit deux courants I1 et I2 qui varient
de manière affine avec U :
I1 = I0 + K1 U
I2 = I0 − K1 U
Exprimer V en fonction de U, I0, K1, VT (on admettra que l'équation d'EbersMoll s'applique lorsque VCB = 0 ; l’impédance de charge du circuit est
supposée infinie).
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V
I.5.5. En déduire l’expression de th
en fonction de U, K1, I0 (on rappelle que
2VT
( )
a
e ax = e x ). Pour alléger l’écriture on pourra utiliser la variable intermédiaire
α=
I0 + K1U
.
I0 − K1U
I.5.6. En déduire l’expression de VS en fonction de U1 et U2 pour le circuit de la
Figure 5. L’objectif indiqué dans l’introduction à la question I.5 est-il atteint ?
Figure 5
II. Discriminateur de phase
On applique à un multiplieur analogique (tel que celui qui a été étudié en I) deux
signaux carrés de même fréquence et de déphasage Φ (Figure 6).
II.1. Exprimer le déphasage Φ (en radians) en fonction de τ et T.
II.2. La tension de sortie du multiplieur vaut VS(t) = K V1(t) V2(t) . Établir l'expression
de la valeur moyenne de VS en fonction de Y1, Y2, K et Φ.
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Figure 6
III. Boucle à verrouillage de phase (PLL, acronyme de Phase-Locked Loop)
Le circuit représenté sur la Figure 7 est une boucle à verrouillage de phase, dont
nous étudions ici la mise en œuvre pour la réception en modulation de fréquence.
Un émetteur en modulation de fréquence émet une onde électromagnétique « porteuse »
dont la pulsation ωp est modulée dans le temps par l’information « utile », c’est-àdire l’information que l’on veut transmettre pour la restituer au récepteur ; dans le
cas de la transmission par radio, l’information « utile » est le signal acoustique.
Lorsque la porteuse est modulée par un signal de pulsation ωm, le signal émis est de
la forme
s ( t ) = S sin θ ( t ) , avec θ ( t ) = ω pt + α
ωp
ωm
sin ω mt , soit ω ( t ) ≡
dθ
= ω p (1+ α cos ω mt ) .
dt
(2)
L’information utile, de pulsation ωm, est donc contenue dans la pulsation ω ( t ) du
signal émis. α est le taux de modulation.
Le récepteur (poste de radio FM par exemple) reçoit l’onde électromagnétique
modulée et doit en extraire l’information utile en effectuant une démodulation. Nous
étudions ici le circuit représenté sur la Figure 7, qui réalise cette fonction.
Le signal reçu v1 = V1 sin θ ( t ) est une onde porteuse modulée en fréquence par un
signal de pulsation ωm (relation (2)).
L'oscillateur à fréquence commandée par une tension (VCO pour Voltage-Controlled
Oscillator) fournit une tension Voscsinθosc(t) dont la pulsation varie en fonction de la
tension de commande VC(t) :
dθ
ω osc ( t ) ≡ osc = ω 0 + K0VC ( t ) , où ω 0 est la fréquence libre de l'oscillateur.
dt
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Figure 7
Le discriminateur de phase, réalisé notamment à l'aide des circuits étudiés en I et II,
fournit une tension VD proportionnelle à la différence de phase entre le signal d'entrée v1 et le signal issu du VCO :
VD ( t ) = K D ⎡⎣θ ( t ) − θ osc ( t ) ⎤⎦ .
Le filtre possède un gain A dont on suppose, en première analyse, qu’il est
indépendant de la fréquence dans le domaine de fonctionnement du circuit.
III.1. En radio à modulation de fréquence, quels sont les ordres de grandeur de ωp et
de ωm ?
III.2. Supposons tout d’abord que la porteuse n’est pas modulée : θ ( t ) = ω p .
III.2.1. Exprimer
dVC
en fonction de A, KD, ω p et ω osc ( t ) .
dt
III.2.2. En déduire la relation entre ω osc et ω p en régime permanent (c’est-à-dire
lorsque le circuit reçoit la porteuse depuis un temps « infini »). Justifier le
terme de « boucle à verrouillage de phase ».
III.3. On considère à présent que la porteuse est modulée en fréquence à la pulsation
ωm conformément à la relation (2).
III.3.1. Établir l’équation différentielle qui régit VC(t).
III.3.2. Montrer que, en régime permanent, la tension de sortie VC(t) du circuit est la
somme d'un terme constant et de termes périodiques dont on précisera la
pulsation (on ne cherchera pas à établir l'expression complète de VC(t) en
régime permanent).
III.4. La fonction de démodulation est-elle réalisée ?
III.5. Le gain du filtre dépend évidemment de la fréquence. Quel type de filtre
utiliserait-on ?