Nombres complexes

Cours de mathématiques
Nombres complexes
Nombres complexes
I Introduction-Premières dénitions
I.1
Historique
Cf. activité. Bombelli
en voulant résoudre x3 = 15x + 4 a utilisé des racines de nombres reels
√
negatifs, comme −1. On a peu a peu construit un ensemble plus grand que R qui contient un
nombre imaginaire note i solution de l'equation x2 = 1. La notation √ reste réservée aux réels
√
positifs. On n'écrira plus −1.
I.2
Construction de
C
Dénition 1. On appelle ens. des nombres complexes note C l'ens des a + ib où a et b sont des
reels et i une solution de x2 = −1
Dans la suite, a et b désigneront deux réels, et z un nombre complexe égal à a + ib.
Dénition 2. Si b = 0 on dit que z = a est réel, si a = 0, on dit que z = ib est un imaginaire pur.
Remarque : R ⊂ C. On a donc les inclusions d'ensembles de nombres :
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
Les règles de calcul de R se prolongent à C en tenant compte de i2 = −1 On denit l'addition et
la multiplication de deux complexes :
Addition : La somme de deux complexes est un complexe. z + z 0 = ... (L'opération + est
associative et commutative, l'élement neutre est le réel 0. Tout complexe admet un opposé.
On dit que C muni de l'addition est un groupe.
Multiplcation. . .idem.
Propriété 1. C est stable par addition et multiplication, la multiplication est distributive sur
l'addition, tout complexe non nul admet un inverse qui est un nombre complexe. On dit que C est
un corps.
Propriété 2. Tout complexe
z s'écrit de manière unique sous la forme a + ib = <(z) + i=(z)
appelée forme algebrique du complexe z
Démonstration.
• a + ib = 0 ⇐⇒ (a = 0 et b = 0). Car sinon i ∈ R
z = z 0 ⇐⇒ z − z 0 = 0 ⇐⇒ ...
Dénition 3. Lorsqu'un nombre complexe z est mis sous forme algébrique a + ib, alors a s'appelle

la partie réelle de z , notée <(z) et b sa partie imaginaire, notée : =(z).
La partie imaginaire comme la partie réelle est un nombre réel !
Exemple: <(1 + 2i) = 1 et =(1 + 2i) = 2 et pas 2i
Consequence : On peut identier partie réelle et imaginaire de deux complexes qui sont égaux
Propriété 3.
z = z 0 ⇐⇒ (<(z) = <(z 0 )
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et =(z) = =(z 0 ))
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I.3
Nombres complexes
Interprétation géométrique
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ; ~u, ~v ). À tout point M de coordonnées (x; y)
dans (O ; ~u, ~v ) on associe le nombre complexe z = x + iy , et réciproquement.
Dénition 4. On appelle axe d'un point M de coordonnées cartésiennes (x; y) le nombre complexe : z = x + iy .
D'après l'unicité des coordonnées cartésiennes d'un point dans un repère donné et de la forme
algébrique d'un complexe, tout point du plan a une unique axe et tout complexe est l'axe d'un
point du plan. On peut donc identier C au plan, on parle alors du plan complexe de la même
manière que l'on parlait de la droite réelle.
Propriété 4. Dans le plan complexe, les réels sont représentés par l'axe des abscisses et les imaginaires purs par l'axe des ordonnées.
→
Dénition 5. Soit −
w un vecteur de coordonnées
a
b
−
on appelle axe du vecteur →
w le complexe
−
z→
w = a + ib
−−→
L'axe d'un point M est donc aussi l'axe du vecteur OM de la même manière que les
−−→
coordonnées du point M sont les coordonnées du vecteur OM . Ainsi on a grace aux règles de
calcul sur les complexes :
Propriété 5. Pour deux points A et B d'axe zA et zB , on a :
−
→ = zB − zA .
z−
AB
Exemple: Placer dans le plan complexe les points A, B , et C ainsi que deux représentants de
chaque vecteurs ~u et ~v d'axes respectives :
zA = −3 + i zB = 2i zC = 2 z~u = 1 + 2i z~v = −2i
I.4
Conjugué d'un nombre complexe
Dénition 6. On appelle conjugué de z , noté z̄
I.4.1 Interprétation géométrique
Propriété 6 (Interprétation géométrique du conjugué). Soit un point
z . Alors A et A sont symétriques par rapport à (Ox) ssi z = z̄ .
0
0
0
A d'axe z et A0 d'axe
I.4.2 Propriétés
Propriété 7. Conjugué de : z + z 0 , zz 0 , z n ,
Propriété 8.
z
z0
z ∈ R ⇐⇒ z̄ = z et z ∈ iR ⇐⇒ z̄ = −z
Cela peut rappeller la notion de fonction paire et impaire.
¯ = λz̄
• Démonstration. z = z̄ ⇐⇒ · · · ⇐⇒ 2ib = 0 ⇐⇒ b = 0 ⇐⇒ z ∈ R En particulier, λz
pour λ ∈ R.
On peut exprimer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe grace au conjugué :
Propriété 9.
<(z) =
z+z̄
2
et =(z) =
z−z̄
2i
Cela peut évoquer la partie paire et la partie impaire d'une fonction (cf ch et sh)
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I.5
Nombres complexes
Module d'un nombre complexe
Propriété 10.
z z̄ ∈ R+ Et on a la formule z z̄ = a2 + b2
Démonstration. Direct.
Dénition 7. On appelle module d'un nombre complexe, noté |z| le réel positif :
√
z z̄
Remarque. Cette notation est la même que la valeur absolue d'un reel et c'est bien justie, les
deux coincident sur R.
Remarque. On a donc la formule utile en pratique : |z| =
p
a2 + b2
Propriété 11. Tout nombre complexe non nul
qui vérie zz = 1. Ce complexe est : z =
0
0
1
|z| z̄
z admet un inverse z 0 pour la multiplication i.e.
. On le notera encore 1/z .
Remarque. En pratique pour calculer sous forme algébrique l'inverse d'un nombre complexe z , on
multiplie la fraction 1/z par z̄/z̄ . Au dénominateur apparait alors le module de z .
I.5.1 Interprétation géométrique
Propriété 12 (Interprétation géométrique du module). Soit un point
xe zB .
A d'axe zA et B d'af-
−−→
−
→ | = |zB − zA |
AB = kABk = |z−
AB
Cette égalité est vraie car le repère (O ; ~u, ~v ) est orthonormé. Le cacul d'une distance dans le
plan se ramene donc au calcul du module d'un nombre complexe.
Exercice no 1
Prouver que le triangle OAB est isocèle rectangle où A et B sont les points d'axes respectives :
zA = 1 + 2i et zB = −2 + i
Exemple: (fondamental) L'ensemble des points d'axe de module 1 est le cercle de centre O et
de rayon 1.
I.5.2 Propriétés
Propriété 13. Module de zz 0 , z/z 0
Démonstration. Avec les conjugués, ca va tout seul.
Remarque : C c'est cool, mais on a perdu qqchose : l'ordre, c'est le bordel, mais il reste le
module...
II Équation du second degré
L'objectif est de résoudre dans C toutes les équations du second degré à coecients réels. i.e.
de la forme :
az 2 + bz + c = 0 où a ∈ R∗ , b ∈ R, c ∈ R
II.1
Forme canonique
On commence à la main, sans formule, en utilsant la forme canonique.
Exemple: On veut résoudre : z 2 + 2z + 5 = 0 :
z 2 + 2z + 5 = (z + 1)2 − 1 + 5 = (z + 1)2 + 4 = (z + 1)2 − (2i)2
D'où la factorisation et la résolution :
z 2 + 2z + 5 = 0 ⇐⇒ (z + 1 − 2i) · (z + 1 + 2i) = 0 ⇐⇒ z ∈ {−1 + 2i ; −1 − 2i}
Résoudre de la même manière les équations du second degré suivantes dans C :
(a) z 2 − 4z + 5 = 0
(b) z 2 + 6z + 11 = 0
(c) 2z 2 − 4z + 3 = 0
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II.2
Nombres complexes
Formules
Cette technique vue par factorisation grâce à la forme canonique est systématique et on peut
donc obtenir des formules, similaires à celles des racines réelles.
1. Mettre az 2 + bz + c sous forme canonique. On fera apparaître ∆ = b2 − 4ac
∆
comme le carré d'un nombre complexe.
4a2
En déduire une factorisation de az 2 + bz + c sous la forme :
2. On suppose que ∆ < 0. Écrire
3.
az 2 + bz + c = a(z − z1 )(z − z1 ) où z1 ∈ C
4. En déduire les formules donnant les racines complexes de
az 2 + bz + c dans le cas où le
discriminant est négatif.
Remarque : Comme dans R, si b, le coecient de z , est nul on n'applique pas ces formules comme
un âne. On procède ainsi :
Exemple: z 2 + 3 = 0
II.3
√
√
√
⇐⇒ z 2 − (i 3)2 = 0 ⇐⇒ z ∈ {i 3 ; −i 3}
Application
Exercice no 2
Résoudre dans C les équations suivantes en appliquant les formules précédentes.
1. (a) 2z 2 + 4z + 5 = 0
(b) −2z 2 + 6z − 5 = 0
(c) −5z 2 + 2z + 2 = 0
2. (a) z 2 + z + 1 = 0
(b) (z 2 +2)(z 2 −4z +4) = 0 (c) (z + 1)2 = −(2z + 1)2
3. (a)
2z 4 − 9z 2 + 4 = 0
(b)
z2 + 1
2
=1
(c)
z−1
=z+2
z+1
Exercice no 3
Équation à coecients symétriques. Soit(l'équation (E) : z 4 − 5z 3 + 6z 2 − 5z + 1 = 0
u2 − 5u + 4 = 0
1
u=z+
z
Résoudre u2 − 5u + 4 = 0, puis résoudre l'équation (E) dans C.
Prouver que (E) est équivalente au système :
Exercice no 4
Un grand classique du rire. On veut résoudre une équation de degré trois dans C. On ne vous
donnera pas de formule, mais on vous présentera toujours les choses à peu près ainsi : On exhibe
ou fait trouver une solution évidente z0 , on factorise par (z − z0 ) le polynome de départ, et on
est alors ramené à une équation de degré deux.
1. Pour tout complexe z , on pose P (z) = z 3 − 12z 2 + 48z − 128. Calculer P (8). Déterminer trois
réels a, b, c tels que pour tout complexe z :
P (z) = (z − 8)(az 2 + bz + c)
Résoudre dans C l'équation P (z) = 0.
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