Fiche d`exercices 1 : puissances entières et rationnelles

Document disponible à http://www.univ-montp3.fr/miap/ens/AES/XA101M/index.html.
XA101M – méthodologie mathématique
Année 2003–2004
Fiche d’exercices 1 : puissances entières et rationnelles
1
SAVOIR '
$
Puissances entières positives et négatives
Définition . — Soit n ≥ 1 un entier naturel, la puissance n e d’un réel x est le produit de n
facteurs égaux à x, on le note x n et on lit « x à la puissance n ». On a donc
x n = |x × x{z
· · · × x} .
n fois
Règles de calcul avec les puissances entières . — Pour tous réels x, y et pour tous entiers
naturels n ≥ 1 et m ≥ 1, on a :
Table 1
(1)
(2)
(3)
(4)
Propriétés
x n x m = x n+m
(x n )m = x nm
¡ ¢n
x y = xn yn
µ ¶n
x
xn
= n (où y 6= 0)
y
y
Exemples
25 27 = 25+7 = 212
(25 )7 = 25×7 = 235
610 = (2 × 3)10 = 210 · 310
µ ¶4
2
24
= 4
3
3
Identités remarquables . — (savoir au moins la première colonne)
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Extension de la définition aux exposants négatifs . — On peut généraliser la définition de x n
aux exposants négatifs ou nuls, pour cela il faut que x 6= 0, et on pose les définitions suivantes :
Définitions (x 6= 0 et n ∈ N)
x0 = 1
1
x −n = n
x
Exemples
20 = 1
1
1
3−2 = 2 =
3
9
Et les règles de calcul exposées dans la table 1 sont encore vraies. En particulier :
&
Propriétés (x 6= 0 et n, m ∈ Z)
xn
= x n−m
xm
xn
1
= m−n
m
x
x
2
Exemples
25
= 25−2 = 23 = 8
22
22
1
1
1
= 5−2 = 3 =
5
2
2
2
8
%
— E XERCICES —
I) Simplifier les expressions suivantes.
µ
¶
¡ 7 5 ¢3
a5
1 7
a 11
7 5 3
2 3
3 2 4
1) x x x 2) (x )
3) (4a b) 4) 5 5) 11 6) (2a b c) 7)
x (8x 8 ) 8) (5x 3 y 2 ) (4x 3 y 5 )
a
a
2
µ
¶
µ 5 ¶−3
(2x 4 ) (5x 6 )
1 5
a b
6 4
5 −3
−7
2
−2 3 −4
9)
10) (9y ) (3y )
11)
a (−3a ) (2a ) 12) (u v )
13)
14)
(10x 2 )4
6
2a 7 b 2
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
3
4
2
7 ¶−2
1 −3 2 ¡ −1 3 ¢
16x −4 y 2
(2x 3 y 2 )2
z2
3x 5 y 4
4 −6
3 2 5 x
(2x y ) x y 6x y 15)
16)
17)
18) (−2x y )
4
8x 3 y −6
z2
x4 y
x 0 y −3
8y 3
µ
¶3
a 4 b −4
2a 4 b 4 (c −1 )3
−2 3 4
(a −2 b 3 )−2
20) µ
19) a −1 b −2c 2
¶−2 .
3(a b c)
4(a −3 b 2 )3
ac 2
a 8 b −10
II) Utiliser les identités remarquables pour transformer les expressions suivantes. 1) x 4 + 2x 2 y 3 + y 6
2) z 6 − 2z 3 t 8 + t 16 3) 2r − 1 − r 2
SAVOIR '
$
Racines carrées, racines cubiques, racines q e
Définition . — Soit a et b deux nombres réels positifs et q un entier naturel non nul, on dit
1
p
que b est la racine q e de a si on a b q = a. On note ce nombre b par q a ou par a q .
p
p
p
Remarques . — Pour q = 1 on a 1 a = a et pour q = 2 on écrit a au lieu de 2 a. On lit alors
« racine carrée de a » au lieu de « racine deuxième de a ». Lorsque q = 3, on dit « racine cubique » plutôt que « racine troisième ».
Propriétés . — Soit p ≥ 1 et q ≥ 1 des entiers naturels et a, b des réels positifs ou nuls on a :
Propriétés
Exemples
1
q
(0)
0 =0
(1)
1q = 1
(2)
(a q )q = a
(3)
apaq =a
(4)
a q b q = (ab) p
(5)
(a q ) q = a pq
³ a ´ q1 a q1
= 1
b
bq
1
p
1
( 3)2 = 3; (5 4 )4 = 5
1
1
1
1
1
1
(6)
&
1
( p1 + q1 )
1
1
1
1
1
1
7
2 3 2 4 = 2( 3 + 4 ) = 2 12
p
p
p p
1 p
1 1
2 4 3 4 = 6 4 ; 50 = 25 × 2 = 25 2 = 5 2
³ 1 ´1
p
p
1
3
3 p
12
4
2 = 2 4 = 2 12 = 2
p
r
µ ¶1
1
3
3 3 33
3
3 3
=
= 1 =
8
8
2
83
— E XERCICES —
III) 1) La racine carrée d’un nombre peut–elle être strictement négative ? 2) Et la racine cubique d’un
nombre ? 3) Combien existe-t’il de nombres x tel que x 2 = 4 ? 4) Combien existe-t’il de nombres
x tel que x 3 = 8 ? 5) Combien existe-t’il de nombres x tel que x 2 = −4 ? 6) Combien existe-t’il de
nombres x tel que x 3 = −8 ?
3
%
p
p
p
p
p
p
p
1
1
IV) Calculer
: 1) 16
2) 16 4 3) 27 3 4) 72 5) (−7)2 6) 56 7) 32 + 52 8) (3 + 5)2 9) ( α)2
p
p
p
p
10) α2 11) ( 6 − 2)2 12) (2 + 3)2 .
1p
q
4
p
p
p
p
p
p
p
34 6
1
1
1
1
V) Simplifier : 1) 6 3 ×4 3 2) 24+ 54− 6 3) 12+2 27+3 75−9 48 4) pp 5) (4a 2 )(2a 2 )
2
qp
q
q
qp
p
p
6) ( 7 + 2)2 + ( 7 − 2)2 7) (2 + 7)2 + (2 − 7)2 .
SAVOIR '
$
Puissances rationnelles
p
Conventions d’écriture . — Soit a ∈ R, a ≥ 0. Pour tout p ∈ Z et q ∈ N∗ on écrit a q pour reprép
1
p
senter le nombre (a p ) q . Et pour tout nombre rationnel r représenté par , on écrit a r = a q .
q
Règles de calcul . — Pour tous a, b ∈ R, a ≥ 0, b ≥ 0, p ∈ Z et q ∈ N∗ , r, r 0 ∈ Q
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
&
Propriétés
³ 1 ´p
1
a = (a ) q = a q
p
q
p
0
0
a r a r = a r+r
0
0
(a r )r = a r×r
0
0
a r /a r = a r−r (avec a 6= 0)
(ab)r = a r b r
³ a ´r a r
= r (où b 6= 0)
b
b
— E XERCICES —
p
p
p
12
3
4
VI) Remplacer les points d’interrogation par des valeurs numériques adéquates : 1)p 2 × 5 = ?
p
7
6
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
aa?
a2
?
4
6
?
3
5
3
?
2) 3 × 5 = 675 3) 2 × 2 = ? 4) a 3 × b 5 = a ? b ? 5) p
= a 6)
= 3 a 7)
?
a
a
³ p p ´2
p
7
?
3
?
a2 a = a × a5.
´2
´2
p ³p
p
p ³p
3 p
5 p
3
3
2
1
5
4
4
4 8
4
27− 3 × 49 2 × 16 4
VII) Simplifier les expressions suivantes : 1)
2)
3)
4)
pp
pp
¡p
¢2
5
243
2
2
³p p ´3
³ p p ´2
³ p ´2
p
p
p p
pp p
5 3
3
4
p p
¡p
¢3
5
16
3
15
3
4
3
5
9
·
9
9
4
4
a5 a7
3· 9 9
2· 3
.
7)
8)
5)
6)
p
p
p
p
³
´
³
´
¡ ¢2 p
p
pp 2
5
2
6
5
3 p
5 p
27 · 6
a2 a3
a2
2
3
3
4
%
SAVOIR '
$
L’équation x n = a pour les nombres réels
p p
1
p
Quand on écrit a q , a q , a, n a, par définition a est un nombre positif et ces symboles représentent des nombres positifs. Néanmoins on peut, grâce aux racines rationnelles, exprimer
les solutions réelles x de l’équation x n = a, où n et a sont respectivement un entier et un
nombre réel.
On doit considérer deux cas suivant la parité de n :
1er cas : n est pair (c’est–à–dire que n divisé par 2 est un entier).
Comme on a x n ≥ 0 alors l’équation x n = a n’a de solution que si a ≥ 0. De plus si x est solution,
alors −x est aussi solution. Il suffit donc de connaître les solutions positives de cette équation
pour décrire toutes les solutions. Lorsque a ≥ 0 l’équation x n = a n’a qu’une seule solution
p
p
réelle et positive : c’est n a, et l’autre solution est − n a.
2e cas : n est impair(c’est–à–dire que n divisé par 2 n’est pas un entier).
Dans ce cas, même lorsque a est négatif, il y a des solutions.
p
Si a ≥ 0, alors x ≥ 0 et par définition on a x = n a. Cette solution est unique.
Si a ≤ 0, posons b = −a et y = −x, alors l’équation x n = a devient y n = b. Cette fois, on a b ≥ 0.
p
p
D’après ce qui prècède on a l’unique solution y = n a qui se récrit x = − n −a ce qu’on peut
p
écrire plus simplement x = − n |a|, en ayant remarqué que −a = |a| (valeur absolue de a).
On peut résumer les résultats obtenus dans le tableau ci-dessous.
n pair
n impair
a <0
pas de solution
© p
ª
− n |a|
0≤a
© p
p ª
n
− a, n a
©p
ª
n
a
Remarque . — On rappelle que la valeur absolue de x est le nombre x si x ≥ 0 et le nombre
−x
sinon.
&
— E XERCICES —
VIII) Résoudre les équations : 1) x 6 = 64 2) x 5 = 243 3) x 6 = −712 4) x 3 = −8 5) (x + 2)10 =
p
(x 4 + 2)10 = 2 7) (x 13 + 3, 1)12 = 3 8) (x 4 − 2)4 + 2 = 0 9) (x 4 − 2)5 + 2 = 0.
p
2 6)
IX) (Tiré de l’examen 2003) La masse moyenne M en kg d’une femme dont la taille en cm est h est
donnée par M = 0, 0097h 1,7 . 1) Calculer la taille d’une femme pesant 60kg. 2) Que devient la taille
lorsque la masse d’une personne de 1, 70m augmente de 10% ?
ÛUn complément sur les ensembles de nombres. — Les nombres entiers naturels sont les nombres
obtenus à partir de 0 par ajout successifs de 1. Les nombres entiers naturels sont donc les nombres 0,
1, 2, 3, . . . L’ensemble des entiers naturels est noté N. Étant donné un entier naturel n, il existe un seul
nombre x tel que x + n = 0. Ce nombre se note −n et s’appelle l’opposé de n. Un nombre qui est soit
entier naturel soit l’opposé d’un entier naturel s’appelle un nombre entier (on dit aussi parfois entier
relatif ). Les nombres entiers sont donc . . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . On note Z l’ensemble
des nombres entiers. Les nombres rationnels sont les nombres obtenus en divisant un entier par un
entier non nul (les nombres entiers sont donc des cas particuliers de nombres rationnels : si n ∈ Z, on
a n = n/1). L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. Par exemple, 4/5 et −6/71 sont des rationnels. Les nombres rationnels ont un développement décimal périodique à partir d’un certain rang ce
5
%
qui signifie qu’à partir d’une certaine décimale, une suite de chiffres se répète. Le développement de
−6/71 est
−0, 08450704225352112676056338028169014 · · ·
Pour obtenir le développement décimal entier, il faut reporter à la place de · · · la suite
08450704225352112676056338028169014
une infinité de fois. Le développement décimal de 1/30 est obtenu en remplaçant dans 0, 0333 . . . les
points par 3 répété infiniment. Les nombres qui sont rationnels ou qui ont un développement décimal qui n’est pas périodique à partir d’un certain rang sont appelés nombres réels. Contrairement à
celui des nombres rationnels, le développement décimal d’un nombre réel non rationnel ne peut pas
être décrit à l’aide d’une suite finie de chiffres. Par p
exemple, la longueur de la diagonale d’un carré
de côté 1 est le nombre réel (et non rationnel) noté 2. Le périmètre d’un cercle de diamètre 1 est le
nombre réel (et non rationnel) noté π. On note R l’ensemble des nombres réels. On a les inclusions
N⊂Z⊂Q⊂R
ce qui signifie que chaque entier naturel est aussi un entier, chaque entier est aussi un rationnel et
chaque rationnel est aussi un réel. Il est souvent difficile de savoir si un nombre est rationnel ou non,
c’est encore un sujet de recherche très actuel. Il existe d’autres nombres dont nous ne parlerons
pas ici. Ü
6