Potentiel quantique constant Notes de cours - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2014/2015
Potentiel quantique constant
Notes
de cours
mardi 17 mars 2015
I-
Particule quantique
1. Généralités sur les particules quantiques
Inégalité de Heisenberg spatiale
à retenir
Une particule quantique, contrairement à la vision classique, a une position x dénie à ∆x près, et une
quantité de mouvement px (suivant l'axe Ox) dénie à ∆px près.
L'inégalité de Heisenberg spatiale stipule que
∆x ∆px ≥
où ~ =
h
2π
~
2
= 1, 05 × 10−34 J · s est la constante de Planck réduite.
1 Inégalité de Heisenberg appliquée à une particule macroscopique et une
particule microscopique
exercice
On s'intéresse à une bille de masse m = 100 g, se déplaçant à la vitesse v = 2, 0 m · s−1 suivant l'axe
Ox.
B Estimer les incertitudes ∆x sur x, la position de la bille, et ∆px sur sa quantité de mouvement px .
L'inégalité de Heisenberg spatiale est-elle vériée pour la bille ?
On s'intéresse maintenant à un électron de masse m ≈ 10−31 kg, mal localisé dans un atome (∆x ≈
10−10 m), tournant avec une pulsation ω ≈ 1017 rad · s−1 (correspondant au proche UV).
B Estimer px de l'électron, puis, grâce à l'inégalité de Heisenberg spatiale, ∆px . Montrer alors que la
quantité de mouvement de l'électron est très mal connue.
Critère pour savoir si le traitement sera quantique ou non
à retenir
Pour un phénomène physique donné, la physique classique constitue une approximation valable de la
physique quantique uniquement si toutes les grandeurs physiques du type action (en J · s) sont très
grandes par rapport à ~.
Position du problème
s'y retrouver
On s'intéressera à une particule quantique astreinte à se déplacer dans un espace unidimensionnel,
assimilé à l'axe Ox.
À cette particule est associée une fonction d'onde ψ̃ (x, t), qui va décrire le comportement de cette
particule.
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Utilisation de la fonction d'onde pour le calcul d'une moyenne
à retenir
La fonction d'onde est une densité linéique de présence de la particule à l'abscisse x et à la date t. Elle
doit donc être normée :
Z +∞ −∞
2
ψ̃ (x, t) dx = 1 ∀t
La fonction d'onde donne la moyenne d'une grandeur g associée à la particule quantique :
Z
+∞
gm =
−∞
par exemple, la position moyenne est xm =
R +∞
−∞
2
g ψ̃ (x, t) dx
2
x ψ̃ (x, t) dx.
remarque
La fonction d'onde intervenant en module, elle est xée à une phase près : ψ̃ (x, t) et ψ̃ (x, t) ei α donnent
les mêmes résultats.
lien avec la notion d'orbitale en chimie :
s'y retrouver
2. Équation de Schrödinger
Équation de Schrödinger
à retenir
La fonction d'onde ψ̃ (x, t) associée à une particule quantique de masse m évolue suivant l'équation de
Schrödinger :
i~
∂ ψ̃
−~2 ∂ 2 ψ̃
=
+ V (x, t) ψ̃
∂t
2 m ∂x2
où V (x, t) est le potentiel dans lequel évolue la particule (énergie potentielle dont dérive les forces
auxquelles est soumise la particule).
Évolution de la fonction d'onde
s'y retrouver
L'équation de Schrödinger remplace le principe fondamental de la dynamique en mécanique classique.
Connaissant la fonction d'onde à un instant initial, on peut, grâce à l'équation de Schrödinger, connaître
sa valeur à n'importe quelle autre date.
2 États stationnaires
exercice
On suppose que le potentiel n'est fonction que de l'espace : V (x).
b qui est relatif à
B Réécrire l'équation de Schrödinger en faisant apparaître l'opérateur hamiltonien H
l'espace. Vérier l'homogénéité de l'équation obtenue.
B Utiliser la méthode de séparation des variables : on cherche la fonction d'onde sous la forme ψ̃ (x, t) =
ϕ̃ (x) χ̃ (t). Écrire alors l'équation vériée par ϕ̃ (x). On fera apparaître l'énergie E de la particule.
B Montrer que χ̃ (t) = e−i ω t est une solution.
B Relier E et ω .
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États stationnaires
On appelle état stationnaire une fonction d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ̃ (x) e
Schrödinger indépendante du temps :
dénition
−i ω t
où ϕ̃ (x) vérie l'équation de
−~2 ∂ 2
b ϕ̃ (x) = E ϕ̃ (x)
+ V (x) ϕ̃ (x) = H
2 m ∂x2
où l'énergie est E = ~ ω .
remarque
Bien distinguer l'onde associée à un état stationnaire en mécanique quantique d'une onde stationnaire au
sens usuel de la physique des ondes.
Principe de superposition
s'y retrouver
L'équation de Schrödinger étant linéaire, toute combinaison d'état stationnaire est aussi solution de
cette équation :
X
cn ϕ̃n (x) e−i ωn t
ψ̃ (x, t) =
n
3. Exemples de comportements ondulatoires pour une particule quantique
Onde de DE BROGLIE
A toute particule d'énergie E et de quantité de mouvement p, on peut associer une onde
• de fréquence ν et de pulsation ω telles que E = h ν = ~ω ;
• de vecteur d'onde k et de longueur d'onde λ tels que p = ~ k = hλc .
dénition
Principe de complémentarité
schéma
Diraction par une fente
schéma
La gure 1 représente la métaphore du cylindre : si on éclaire un cylindre sur sa longueur, l'ombre projetée
sur un mur donne un rectangle. Au contraire, si on l'éclaire face à sa base, l'ombre donne un cercle. On a
deux vues diérentes d'un même objet : le cylindre.
De même, les aspects corpusculaire et ondulatoire sont deux représentations complémentaires d'une seule
et même chose. Tout dépend où, quand et comment on l'observe.
On appelle parfois quanton, un objet quantique qui présente des aspects corpusculaire et ondulatoire.
La gure 2 représente la diraction du faisceau de particules par une fente.
3 Phénomène de diraction et principe de Heisenberg
exercice
Un faisceau de particule monodirectionnel suivant Oz est incident sur une fente.
B Déterminer ∆px . Montrer que l'inégalité de Heisenberg spatiale impose au faisceau incident d'emplir
tout l'espace.
Le faisceau passe à travers une fente de dimension d.
B Montrer que l'inégalité de Heisenberg spatiale impose au faisceau d'être diracté avec un angle θ
qu'on estimera.
Interférences
schéma
La gure 3 représente le phénomène d'interférences du faisceau de particules par le dispositif des fentes
d'Young.
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Figure 1 Principe de complémentarité
x
~ki
θ
d
~kd
z
Figure 2 Diraction par une fente
x
S1
M
z
S2
D
Figure 3 Interférences
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4 Interférences et fonction d'onde
exercice
Un faisceau de particule est incident sur un dispositif de trous d'Young S1 et S2 . On note ψ̃1 (respectivement ψ̃2 ) la fonction d'onde associée à la particule lorsque S2 est bouché (respectivement S1 ).
B Quelle est la probabilité de trouver la particule en M , si S1 et S2 sont ouverts ? Comment interpréter
le résultat ?
II-
Particule quantique dans un potentiel homogène
1. États stationnaires d'une particule quantique dans un potentiel homogène
Position du problème
s'y retrouver
On s'intéressera à une particule quantique astreinte à se déplacer dans un espace unidimensionnel,
assimilé à l'axe Ox, dans un potentiel homogène V = V0 .
5 Recherche des fonctions d'onde
exercice
On s'intéresse à une particule quantique dans un potentiel homogène V0 .
B Déterminer la forme de ϕ̃ (x) à partir de l'équation de Schrödinger indépendante du temps.
B Retrouver la fonction d'onde à partir de l'équation de Schrödinger en cherchant des solutions sous la
forme traditionnelle ψ̃ (x, t) = ψ̃0 e−i(ω t−k̃ x) .
Interprétation ondulatoire des fonctions d'onde dans un potentiel homogène
à retenir
Si E > V0 , la fonction d'onde est une superposition d'OPPM :
ψ̃ (x, t) = ψ̃0 e−i(ω t±k x)
Si E < V0 , la fonction d'onde est une superposition d'ondes évanescentes :
ψ̃ (x, t) = ψ̃0 e±k x e−i ω t
2. Particule quantique libre
Position du problème
s'y retrouver
On s'intéressera à une particule quantique astreinte à se déplacer dans un espace unidimensionnel,
assimilé à l'axe Ox, dans un potentiel homogène V = V0 = 0.
On supposera aussi que son énergie est E > V0 = 0.
6 Interprétation de l'opérateur hamiltonien
On pose l'opérateur hamiltonien
exercice
2
2
b = −~ ∂ + V (x)
H
2 m ∂x2
B Donner un sens physique à cet opérateur.
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Courant de probabilité associé à un état stationnaire
La probabilité de trouver une particule étant |ψ̃ (x, t) | et sa vitesse ~v =
que le courant de probabilité est le produit
2
dénition
p
~
m
=
~~
k
m,
on peut admettre
~ ~k
J~ = |ψ̃ (x, t) |2
m
Onde associée à un état stationnaire
schéma
La gure 4 représente la fonction ϕ(x) dans le cas d'un état stationnaire.
ϕ(x)
x
∆x → ∞
Figure 4 Onde associée à un état stationnaire
7 Impossibilité physique de l'état stationnaire
exercice
8 Paquet d'onde quantique
exercice
On s'intéresse à un état stationnaire.
B Estimer ∆x et ∆px . L'inégalité de Heisenberg spatiale est-elle vériée ?
B Montrer qu'une solution de type OPPM est non physique.
On s'intéresse à un paquet d'onde pour surmonter le problème de l'OPPM non physique.
B Montrer que l'inégalité de Heisenberg spatiale impose une largeur ∆x dans laquelle se "trouve" la
particule quantique.
B Montrer que la vitesse de groupe et la vitesse de la particule s'identient.
Paquet d'ondes associé à une particule quantique
schéma
La gure 5 représente la fonction ϕ(x) dans le cas d'un paquet d'ondes.
ϕ(x)
x
∆x
Figure 5 Paquet d'ondes associé à une particule quantique
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remarque
Une particule libre, puisqu'elle n'est pas soumise à des conditions aux limites, peut voir son énergie varier
continûment (c'est ce que l'on fait avec un paquet d'onde).
On verra que le connement d'une particule quantique confère une quantication de son énergie.
3. Particule quantique dans un puits inni
Position du problème
s'y retrouver
On s'intéressera à une particule quantique astreinte à se déplacer dans un espace unidimensionnel limité
(x ∈ [0; `]).
C'est le cas par exemple pour un électron libre dans un l électrique.
On prendra un potentiel V = V0 = 0 si x ∈ [0; `] et V = ∞ sinon.
Puits quantique de semi-conducteurs
photo
Image obtenue par microscopie électronique en transmission de couches minces GaAs/GaAlAs.
Vous pouvez retrouver la photo sur le site alain.lerille.free.fr.
9 Forme des fonctions d'ondes dans le puits inni
exercice
On suppose que E > V0 = 0 dans le puits inni.
B Montrer que la fonction d'onde qui vérie les conditions aux limites est sinusoïdale.
B Faire l'analogie avec la recherche des pulsations propres d'une corde vibrante xée en ses deux extrémités.
B Établir les expressions des énergies des états stationnaires.
Caractéristiques d'une particule dans un puits de profondeur innie
à
retenir
La probabilité de sortir du puits est nulle pour la particule.
La fonction d'onde de la particule s'annule donc au bord du puits inni, et il y a quantication des
longueurs d'onde :
`=
nλ
2
comme dans le cas des modes propres d'une corde xée à ses deux extrémités.
L'énergie est quantiée, c'est l'énergie cinétique correspondant à chaque mode.
Fonctions d'onde et énergies dans le puits inni
schéma
La gure 6 représente les trois premières énergies, états stationnaires et probabilités de présence dans le
puits inni.
10 Ordre de grandeur de l'énergie dans le puits inni
exercice
B Retrouver un ordre de grandeur de l'énergie minimale d'une particule quantique dans un puits de
potentiel inni à partir de l'inégalité de Heisenberg spatiale.
11 Eet du connement sur l'énergie cinétique
théorème
le connement de la particule quantique donne lieu à une augmentation de son énergie cinétique.
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E
|ψ3 (x, t)|2
ϕ3 (x)
E3
|ψ2 (x, t)|2
ϕ2 (x)
E2
|ψ1 (x, t)|2
ϕ1 (x)
E1
x
Figure 6 Fonctions d'onde et énergies dans le puits inni
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Technique
à maîtriser
jeudi 19 mars 2015
I-
Les capacités exigibles
1. Particules quantiques libres
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Faire le lien qualitatif avec la notion d'orbitale en chimie.
Relier la superposition de fonctions d'ondes à la description d'une expérience d'interférences entre particules.
Utiliser l'équation de Schrödinger fournie.
Identier les états stationnaires aux états d'énergie xée. Établir et utiliser la relation : ψ(x, t) =
Et
ϕ(x) exp−i ~ et l'associer à la relation de Planck-Einstein. Distinguer l'onde associée à un état stationnaire en mécanique quantique d'une onde stationnaire au sens usuel de la physique des ondes.
Utiliser l'équation de Schrödinger pour la partie spatiale ϕ(x). En exploitant l'expression classique de
l'énergie de la particule, associer la relation de dispersion obtenue et la relation de de Broglie. Utiliser
~
l'expression admise J~ = |ψ̃ (x, t) |2 ~mk et l'interpréter comme produit densité × vitesse.
Identier vitesse de groupe et vitesse de la particule. Faire le lien avec l'inégalité de Heisenberg spatiale.
2. Particules dans un puits de potentiel de profondeur innie
ce qu'il faut savoir faire
capacités
Normaliser une fonction d'onde.
Établir les expressions des énergies des états stationnaires dans un puits de potentiel rectangulaire de
profondeur innie. Faire l'analogie avec la recherche des pulsations propres d'une corde vibrante xée en
ses deux extrémités. Retrouver qualitativement l'énergie minimale à partir de l'inégalité de Heisenberg
spatiale.
Associer le connement d'une particule quantique à une augmentation de l'énergie cinétique.
II-
Méthodes
1. Particules quantiques libres
A) Quantique ou non quantique ?
méthode
Pour un phénomène physique donné, créer une grandeur A du type action (en J · s) et en faire une
estimation numérique.
Si A ~, le phénomène physique ne mérite pas de traitement quantique.
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B) Recherche des solutions de l'équation de Schrödinger par la méthode de
séparation des variables
méthode
En injectant la fonction d'onde sous la forme ψ̃ (x, t) = ϕ̃ (x) χ̃ (t) dans l'équation de Schrödinger.
On vérie que χ̃ (t) = e−i ω t est bien solution avec E = ~ ω .
On appelle état stationnaire une fonction d'onde ψ̃ (x, t) = ϕ̃ (x) e−i ω t où ϕ̃ (x) vérie l'équation de
Schrödinger indépendante du temps :
−~2 ∂ 2
b ϕ̃ (x) = E ϕ̃ (x)
+
V
(x)
ϕ̃ (x) = H
2 m ∂x2
où l'énergie est E = ~ ω .
L'équation de Schrödinger étant linéaire, toute combinaison d'état stationnaire est aussi solution de
cette équation :
X
cn ϕ̃n (x) e−i ωn t
ψ̃ (x, t) =
n
C) Recherche des solutions de type OPPM de l'équation de Schrödinger
méthode
En injectant la forme ψ̃ (x, t) = ψ̃0 e−i(ω t−k̃ x) dans l'équation de Schrödinger, on trouve une relation
de dispersion, qui donne k̃.
D) Recherche des solutions de l'équation de Schrödinger sous forme de superposition d'OPPM
méthode
Une OOPPM seule présente une indétermination nulle en quantité de mouvement (∆p = 0) mais innie
en position (∆x → ∞). D'autre part, elle n'est pas normalisable.
Par conséquent, pour la localiser, on peut choisir de superposer un grand nombre d'ondes planes d'impulsions diérentes, ce qui augmente l'indétermination sur quantité de mouvement (∆p %) mais réduit
celle sur la position (∆x &), conformément à la relation d'indétermination d'Heisenberg.
La superposition peut se faire, par exemple en sommant les p :
Z
+∞
i
à (p) e− ~ (E(p) t−p x) dp
ψ̃ (x, t) =
−∞
avec E(p) =
p2
2m
pour une particule libre.
2. Particules dans un puits de potentiel de profondeur innie
E) Normaliser une fonction d'onde
On doit avoir
Z
+∞
−∞
méthode
2
ψ̃ (x, t) dx = 1 ∀t
F) Recherche des solutions sous la forme d'onde stationnaires dans un puits
de potentiel inni
méthode
On cherche la fonction d'onde sous la forme ψ̃ (x, t) = sin (k x + ϕ0 ) e−i ω t .
On trouve les k qui vérient les conditions aux limites.
En injectant la fonction d'onde dans l'équation de Schrödinger, on trouve les énergies des états stationnaires dans un puits de potentiel rectangulaire de profondeur innie.
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III-
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Exercices
1. Particules quantiques libres
1.1) Critère quantique
La mécanique classique sut pour une particule matérielle lorsque la longueur d'onde de DE BROGLIE est
négligeable devant la taille caractéristique du système étudié.
1) Montrer que c'est cohérent avec le critère donné sur l'action.
λd⇔
pd
c
h.
1.2) Une trotteuse quantique ?
La trotteuse d'une montre, d'une taille ` ≈ 1 cm, d'une masse m ≈ 1 µg, se déplace avec un temps
caractéristique τ ≈ 1 s.
1) À partir de ces grandeurs, créer une nouvelle grandeur A qui aurait la dimension d'une action.
2) La trotteuse d'une montre mérite-t-elle un traitement quantique ?
A=
m `2
τ
≈= 10−10 J · s.
1.3) Pourquoi l'atome d'hydrogène mérite-t-il un traitement quantique ?
Préciser, en utilisant le critère quantique, si l'étude de l'atome d'hydrogène nécessite la physique quantique
sachant que l'on relève expérimentalement une énergie d'ionisation E = 13, 6 eV et que son spectre présente
une longueur d'onde minimale λ = 100 nm.
A=
Eλ
c
≈ 10−33 J · s.
1.4) Diraction d'un grain de poussière
En 1925, Elsasser fait remarquer que l'on peut vérier la nature ondulatoire de particules matérielles de la
même façon qu'on a vérié en 1912 la nature ondulatoire des rayons X, c'est-à-dire en leur faisant traverser un
solide cristallin conduisant à l'obtention d'un phénomène de diraction.
1) Peut-on révéler ainsi la nature ondulatoire de grains de poussière de masse m = 10−15 kg et de vitesse
1 mm · s−1 ?
Il est impossible de trouver un solide cristallin permettant d'obtenir un phénomène de diraction observable avec de tels grains de poussière : on ne peut pas avoir de paramètre de maille de l'ordre d'une telle
longueur d'onde de de Broglie (inférieure à la taille d'un nucléon !).
1.5) Vitesses de phase et de groupe pour une particule quantique libre
1) Si l'on adopte un paquet d'ondes de de Broglie pour la matière, comment peut-on obtenir la vitesse de
son "centre" connaissant la relation de dispersion ?
2) On considère le cas d'une particule matérielle non relativiste ne ressentant aucune interaction. Obtenir la
relation de dispersion ω(k) du paquet d'ondes qui la décrit. Vérier l'accord avec le principe de correspondance
de Bohr (1923) qui dit que "les prédictions de la théorie quantique tendent vers leurs valeurs classiques dans la
limite des nombres quantiques élevés".
3) Compte tenu de la relation de dispersion précédente, que peut-on prévoir pour l'évolution du prol du
paquet d'ondes au cours de sa propagation ?
vg = v . On prévoit une modication de la largeur du paquet d'ondes de matière au cours de sa propagation
("étalement").
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1.6) Fonction d'onde d'un faisceau d'électrons
1) Donner l'expression d'une fonction d'onde ψ̃(x, t) décrivant les électrons libres d'un faisceau électronique
de direction (Ox) sachant que le nombre d'électrons par unité de longueur dans le faisceau est n = 5×106 mm−1 .
Chaque électron, sans spin et sans interaction avec les autres électrons, est non relativiste et a une énergie
cinétique Ec = 5 eV.
2) Calculer alors le courant de probabilité et discuter le résultat.
ψ̃(x, t) =
√
√
n e− ~ (Ec t−
i
2 m E c x)
.
1.7) Temps d'évolution d'une "grosse" particule
Soit une particule de masse m = 10−15 kg de taille caractéristique ` = 1 µm supposée correspondre à la
largeur caractéristique d'un paquet d'ondes de matière.
1) Montrer que l'équation de Schrödinger donne, en ordre de grandeur le temps caractéristique d'étalement
du paquet d'onde :
τ=
2 m `2
~
2) Calculer numériquement τ et conclure.
τ = 2 × 107 s soit 231 jours.
1.8) Démonstration de l'inégalité de Heisenberg spatiale
1) On suppose que < x >= 0 et < p >= 0. Exprimer ∆x et ∆p.
2) Montrer que
Z
+∞
I (λ) =
−∞
est égal à
2
∂ ψ̃ x ψ̃ + λ ~
dx
∂xt I (λ) =< x2 > −λ ~ + λ2 < p2x >
3) En utilisant le fait que I (λ) est un trinôme du second degré en λ, toujours positif ou nul, en déduire
l'inégalité de Heisenberg spatiale.
Il faut utiliser ∆ = b2 − 4 a c ≤ 0.
1.9) Paquet d'ondes
On s'intéresse à une particule libre qui se déplace suivant l'axe Ox.
1) OPPM
1.a) Rappeler les formes des ondes planes progressives monochromatiques solutions de l'équation de
Schrödinger.
1.b) Montrer qu'on peut les réécrire sous la forme
i
ψ̃ (x, t) = ψ̃0 e ~ (p x−E(p) t)
1.c) Pourquoi une telle fonction d'onde n'est-elle pas acceptable ?
2) Petit paquet d'ondes
On va supposer que plusieurs quantité de mouvement existent autour de p0 , à ∆p p0 près, et on construit
le paquet d'ondes suivant :
Z
+∞
i
A(p) e ~ (p x−E(p) t) dp
ψ̃ (x, t) =
−∞
2.a) Exprimer E(p) au premier ordre.
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2.b) Montrer que le petit paquet d'onde peut se réécrire :
i p2
0t
Z
+∞
ψ̃ (x, t) = e 2 m ~
p0
i
A(p) e ~ (x− m t) p dp
−∞
p2
0
E(p) = − 2 m
+
p0
m p.
1.10) Calcul d'un paquet d'ondes à spectre gaussien
On s'intéresse à une particule libre qui se déplace suivant l'axe Ox. On admet que le paquet d'onde peut
s'écrire :
Z +∞
i p2
0t
p0
i
A(p) e ~ (x− m t) p dp
ψ̃ (x, t) = e 2 m ~
−∞
On suppose pour calculer la précédente formule que A(p) = A0 e−
On donne
r
Z +∞
2
e−α x e−i ξ x dx =
−∞
(p−p0 )2
∆p2
avec p0 ∆p.
π − ξ2
e 4α
α
1) Calculer la fonction d'onde et montrer en particulier que
2
(x− pm0 t)
−
2
∆x
ψ̃ (x, t) = C e
où C et ∆x sont deux constantes qu'on exprimera.
2) Est-ce cohérent avec l'inégalité de Heisenberg spatiale ?
∆x =
2~
∆p
√
et C = A0 π ∆p2 .
1.11) Interprétation d'un paquet d'ondes à spectre gaussien
On s'intéresse à une particule libre qui se déplace suivant l'axe Ox.
On va supposer que plusieurs quantité de mouvement existent autour de p0 , à ∆p p0 près, et on construit
le paquet d'ondes suivant :
Z
+∞
i
A(p) e ~ (p x−E(p) t) dp
ψ̃ (x, t) =
−∞
On suppose pour calculer la précédente formule que A(p) = A0 e−
On donne
r
Z +∞
2
e−α x e−i ξ x dx =
−∞
(p−p0 )2
∆p2
avec p0 ∆p.
π − ξ2
e 4α
α
1) Tracer l'allure du spectre A(p).
2) Le calcul de la fonction d'onde montre que :
2
(x− pm0 t)
−
∆x2
ψ̃ (x, t) = C e
où C et ∆x sont deux constantes.
2.a) Qu'impose l'inégalité de Heisenberg spatiale ?
2.b) Où se trouve le maximum
de la densité de probabilité à la date t ? Interpréter sa dépendance en t.
2.c) Tracer l'allure de ψ̃ (x, t) en fonction de x à deux dates diérentes.
2.d) Montrer qu'on peut normaliser cette fonction d'onde. On donnera C .
Le maximum de la densité de probabilité à la date t se trouve en x =
1 1
C = π2 4 √∆x
.
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p0
m
t.
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1.12) Interprétation d'un paquet d'ondes à spectre plat
On s'intéresse à une particule libre qui se déplace suivant l'axe Ox.
On va supposer que plusieurs quantité de mouvement existent autour de p0 , à ∆p p0 près, et on construit
le paquet d'ondes suivant :
Z
+∞
i
A(p) e ~ (p x−E(p) t) dp
ψ̃ (x, t) =
−∞
h
On suppose pour calculer la précédente formule que A(p) = A0 si p ∈ p0 −
1) Tracer l'allure du spectre A(p).
2) Le calcul de la fonction d'onde montre en particulier que
ψ̃ (x, t) = C e
i
~
p2 t
p0 x− 20m
sinc
∆p
2 ; p0
p0 ∆p x−
t
2~
m
+
∆p
2
i
et A(p) = 0 sinon.
où C est une constante.
2
On donne l'allure de la fonction (sinc(x))2 = sin(x)
:
x
sinc2 (x)
−π
+π
x
2.a) Où se trouve le maximum de la densité de probabilité à la date t ? Interpréter sa dépendance en t.
2.b) Évaluer la largeur ∆x de la densité de probabilité. Est-ce cohérent avec l'inégalité de Heisenberg
spatiale ?
2.c) Tracer l'allure de la densité de probabilité en fonction de x à deux dates diérentes.
2.d) Montrer
qu'on peut normaliser cette fonction d'onde. On donnera C .
R
On donne
∆x =
+∞
−∞
4π ~
∆p
(sinc(x)) dx = π .
2
et C =
q
∆p
h
2. Particules dans un puits de potentiel de profondeur innie
2.13) Fonctions d'onde dans un puits de potentiel inni
1) Déterminer la forme des fonctions d'onde pour une particule dans un puits inni entre x = 0 et x = `.
2) En proposer une expression exacte après détermination du facteur de normalisation.
.ψ̃ (x, t) =
q
2
`
sin
nπ
`
x e−i ω t .
2.14) Électron et nucléon dans un puits de potentiel inni
1) Retrouver rapidement les niveaux d'énergie dans un puits de potentiel inni pour une particule de masse
m.
2) Considérons un électron dans un atome (me = 9, 1×10−31 kg) et un proton dans un noyau (mp = 1850 me )
que l'on suppose pouvoir être décrits par le modèle frustre du puits de potentiel rectangulaire inni à une
dimension.
2.a) Calculer pour l'électron et le proton leurs énergies respectives Ee et Ep à l'état fondamental,
2.b) Faire de même l'énergie ∆Ee et ∆Ep qu'il faut leur apporter pour les amener à leur premier état
excité.
2.c) Quelle conclusion peut-on en tirer ?
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physique
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Pour l'électron ∆Ee ≈ 102 eV et pour le proton ∆Ep ≈ 1 GeV.
2.15) Normalisation de la fonction d'onde dans un puits de potentiel inni grâce à un formulaire
On donne le formulaire suivant :
Z
+ n2π
sin2 (u) du =
− n2π
Z
+ n2π
cos2 (u) du =
− n2π
nπ
2
On s'intéresse à une particule quantique dans un puits inni entre x = − 2` et x = + 2` .
1) Déterminer la fonction d'onde pour le niveau d'énergie n.
ψ̃ (x, t) =
q
2
`
nπ
`
cos
x e−i ω t .
2.16) Détermination de ∆x dans un puits de potentiel inni grâce à un formulaire
On donne le formulaire suivant :
Z
+ n2π
u sin2 (u) du =
Z
− n2π
Z
+ n2π
u cos2 (u) du =
− n2π
+ n2π
+ n2π
u sin (u) du =
− n2π
+ n2π
sin (u) cos (u) du = 0
− n2π
Z
2
2
Z
u2 cos2 (u) du =
− n2π
nπ
n3 π 3
n
+
(−1)
24
4
On s'intéresse à une particule
quantique dans un puits inni entre x = − 2` et x = + 2` dont on admet que sa
q
fonction d'onde est ψ̃ (x, t) = 2` cos n`π x e−i ω t .
1) Déterminer la moyenne de la position < x >. Est-ce étonnant ?
2) Déterminer la moyenne du carré de la position < x2 >.
q
3) En déduire l'incertitude sur la position de la particule : ∆x =
q
1
∆x = ` 12
+
< x2 > − (< x >) .
2
(−1)n
2 n2 π 2 .
2.17) Détermination de ∆p dans un puits de potentiel inni grâce à un formulaire
On donne le formulaire suivant :
Z
+ n2π
u sin2 (u) du =
Z
− n2π
Z
+ n2π
u cos2 (u) du =
− n2π
+ n2π
+ n2π
u sin (u) du =
− n2π
+ n2π
sin (u) cos (u) du = 0
− n2π
Z
2
2
Z
u2 cos2 (u) du =
− n2π
n3 π 3
nπ
n
+
(−1)
24
4
On s'intéresse à une particule
quantique dans un puits inni entre x = − 2` et x = + 2` dont on admet que sa
q
fonction d'onde est ψ̃ (x, t) =
1)
2)
3)
4)
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2
`
cos
nπ
`
x e−i ω t .
Montrer que ∂∂xψ̃ = ~i p ψ̃ .
Déterminer la moyenne de la quantité de mouvement < p >. Est-ce étonnant ?
Déterminer la moyenne du carré de la quantité de mouvement < p2 >.
q
En déduire l'incertitude sur de la quantité de mouvement de la particule : ∆p = < p2 > − (< p >)2 .
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∆p =
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nπ~
` .
2.18) Détermination de ∆p dans un puits de potentiel inni sans formulaire
On s'intéresse à une particule quantique dans un puits inni entre x = − 2` et x = + 2` .
1) Déterminer l'énergie de la particule pour le niveau d'énergie n.
q
2) En déduire l'incertitude sur de la quantité de mouvement de la particule : ∆p =
∆p =
< p2 > − (< p >) .
2
nπ~
` .
2.19) Vérication de l'inégalité de Heisenberg spatiale dans un puits de potentiel inni
On s'intéresse à une particule quantique dans un puits inni entre x = − 2` et x = + 2` . On admet que
l'incertitude sur de la quantité de mouvement de la particule est
∆p =
q
nπ~
2
< p2 > − (< p >) =
`
et que l'incertitude sur la position de la particule est :
r
q
∆x =
<
x2
2
> − (< x >) = `
n
1
(−1)
+
12 2 n2 π 2
1) Vérier que l'inégalité spatiale de Heisenberg ∆px ∆x ≥ ~2 n'est pas mise en défaut pour les 3 premiers
niveaux d'énergie.
Il s'agit de vérier que
∆p
~
∆x =
q
n2 π 2
12
+
(−1)n
2
≥ 12 .
Résolution
de problème
vendredi 20 mars 2015
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
La délocalisation des électrons par mésomérie
D'après les extraits de divers articles Wikipédia
Carotène, butadiène, mésomérie
L'alternance liaison simple - doublet liant dans une molécule est une "boîte à
électron" à une dimension
En chimie, la mésomérie désigne une délocalisation d'électrons dans les molécules conjuguées, que
l'on représente par une combinaison virtuelle de
structures aux électrons localisés appelées mésomères, lorsqu'on a par exemple une alternance liaison simple - liaison double - liaison simple, comme
dans un diène conjugué.
Le diène conjugué le plus simple est le buta-1,3diène (en dessous : ses formules mésomères), un
hydrocarbure de formule C4 H6 gazeux incolore et
inammable. C'est un important réactif qui est
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utilisé dans la synthèse de nombreux polymères.
La molécule de β -carotène C40 H56 possède onze
doubles liaisons conjuguées. Elle peut absorber
une lumière bleu-indigo et donc apparaître orange
comme dans la carotte. La coloration des plumes
du amant rose est due à l'accumulation de carotène contenu dans son alimentation (à droite, photo de Aaron Logan).
Enoncé
Évaluer l'ordre de grandeur de la longueur d'onde d'absorption du buta-1,3-diène dans le proche ultra-violet.
Travaux
pratiques
vendredi 20 mars 2015
La moitié de la classe fait un TP d'optique sur la polarisation des ondes électromagnétiques.
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Approche
documentaire
vendredi 20 mars 2015
Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Santha Radjagopal et Sadio Sissoko feront un exposé.
La radioactivité α
site laradioactivite.com
laradioactivite.com.
George Gamow explique dans les années 1930 la radioactivité alpha par l'eet
tunnel.
Où comment des noyaux trop lourds perdent du poids ...
La radioactivité alpha (α) fut d'abord observée comme un rayonnement de type inconnu, dévié par des
champs électriques et magnétiques. Le sens des déviations indiquait qu'il était transporté par des particules
ayant des charges électriques positives. Ernest Rutherford identia en 1908 ces particules alpha à des noyaux
d'hélium composés de 2 protons et 2 neutrons, donc de charge électrique +2e.
Exemple de la désintégration
historique du radium-226. Ce gros noyau de
226 nucléons, dont 88 protons et 138 neutrons,
émet une particule alpha composée de deux protons et deux neutrons. Il se transforme alors en
noyau de radon-222, lui-même radioactif, contenant deux protons et deux neutrons de moins.
La désintégration libère 4,6 millions d'électronvolts d'énergie. La particule alpha en emporte les
222/226 ièmes et le radon 4/226 ièmes. Il faut attendre la désintégration 2300 ans en moyenne. (c)
IN2P3.
L'émission d'une particule alpha concerne surtout les très gros noyaux, dont le plus gros observé dans la
nature est celui de l'uranium 238 comportant 92 protons et 136 neutrons.
De tels noyaux, instables, émettent un noyau léger d'hélium an de devenir moins volumineux et ainsi de
se rapprocher de la stabilité. Il s'avère que cette manière d'expulser deux protons et deux neutrons groupés est
plus économique que d'expulser des protons et des neutrons de manière isolée.
L'énergie libérée lors d'une désintégration alpha
se retrouve sous forme d'énergie cinétique partagée entre la particule α et le noyau qui recule.
Comme dans un tir d'artillerie où l'obus emporte
pratiquement toute l'énergie de la déagration,
les particules α emportent environ 98 % de l'énergie et le noyau de recul (la culasse du canon) le
reste. L'énergie de la particule alpha est unique
pour une désintégration donnée. Elle est supérieure à celle des électrons bêta et rayons gamma,
de l'ordre de 4 millions d'électronvolts (MeV) ou
davantage.
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Un exemple de désintégration alpha est celui, historique, du radium-226 qui se transforme en un noyau de
radon-222 en éjectant une particule alpha. La réaction libère 4, 6 MeV. Le noyau résiduel de radon-222 est un
gaz rare lui-même radioactif, ce qui permit à Rutherford de le détecter en 1898 à Montréal.
Les périodes des désintégrations alpha sont souvent longues. Ainsi, certains émetteurs alpha comme le
thorium-232 et l'uranium-238 mettent des milliards d'années à se désintégrer. Le radium-226 se désintègre lui
avec une période de 1600 ans. La moitié des noyaux de radium contemporains du siège de Paris par Attila en
422 ne se sont donc pas encore désintégrés, bien que le radium soit un élément réputé très radioactif.
Contrairement à la radioactivité bêta, l'émission d'un rayon alpha n'est généralement pas accompagnée d'un
rayon gamma de désexcitation, ou quand c'est le cas l'énergie de ce rayon gamma est faible.
Energies et longs temps de vie des
alpha. Ce diagramme de l'énergie des al-
pha émis par quelques uns des principaux
émetteurs montre des énergies toujours supérieures à 4 MeV. Plus l'énergie est élevée, plus la durée de vie du noyau est
courte. La période varie de façon impressionnante de 14 milliards d'années pour le
thorium (à gauche) à une fraction de millionième de seconde pour le polonium-212
(à droite) alors que l'énergie des alpha émis
varie seulement de 4, 083 à 8, 78 MeV. La
limite en énergie à 4 MeV et les durées de
vie généralement très longues sont expliquées par l'eet "tunnel". (c) IN2P3.
Un eet de la mécanique quantique
Le très grand âge des noyaux d'uranium et de thorium qui atteignent des milliards d'années témoigne que
les désintégrations alpha se produisent dicilement, bien qu'elles libèrent des millions d'électronvolts d'énergie.
Ces noyaux seraient parfaitement stables sans un mécanisme laborieux qui vient à bout des forces nucléaires
et déclenche une désintégration. L'eet attractif de la colle nucléaire cesse brutalement hors du noyau. Si quatre
nucléons, groupés en une particule alpha, arrivent à perdre le contact avec les autres nucléons, ce groupe ne
ressent plus que la répulsion due à la charge électrique du reste du noyau. Il s'en éloigne alors de plus en plus
vite pour acquérir l'énergie cinétique de quelques millions d'électronvolts dont il a été question. Le tout est
d'arriver à perdre ce contact.
Un "puits" de potentiel. La désintégration alpha
du Polonium-212 est celle qui dégage le plus d'énergie,
8, 95 MeV. Cette désintégration est pourtant interdite par
la mécanique classique. Il est impossible pour une particule
alpha de passer de l'intérieur du noyau en A à l'extérieur en
B. Elle se retrouve prisonnière au fond d'un puits comme
le montre la courbe qui représente l'énergie potentielle d'interaction entre la particule et le reste du noyau. Pour aller de
A en B, la particule doit franchir une zone interdite où son
énergie cinétique serait négative. Les zones permises sont le
puits où l'attraction nucléaire prédomine, et l'extérieur du
puits où la répulsion due à la charge du noyau l'emporte. (c)
IN2P3.
On doit à un physicien américain d'origine russe, George Gamow, la première explication de la désintégration
alpha, une désintégration qui n'est pas autorisée par les lois de la physique classique.
Le mécanisme proposé par Gamow a été appelé "eet tunnel". Pour simplier la présentation de l'eet
tunnel, nous supposerons que la particule alpha préexiste dans le noyau, comme le t George Gamow à l'époque
L'eet tunnel est dû à ce qu'une particule se comporte à la fois comme un corpuscule et comme une onde
dans le domaine de l'inniment petit où la mécanique quantique se substitue à la mécanique classique.
La particule alpha se retrouve dans la situation d'un alpiniste, prisonnier d'un cratère, qui n'a plus de forces
pour gagner le sommet, passer sur l'autre versant et dévaler vers la vallée. La barrière à franchir gure la
compétition entre la colle nucléaire attractive et la répulsion électrostatique. La particule alpha ne peut pas
franchir la barrière car elle ne possède pas l'énergie nécessaire : elle se trouve soit à l'intérieur, soit à l'extérieur
du noyau. Du moins pour la mécanique classique.
En mécanique quantique, la situation est moins tranchée. L'onde, qui représente une particule alpha dans le
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noyau, n'est pas strictement localisée et déborde légèrement de l'autre côté de la barrière. Il existe une probabilité
d'observer la particule en dehors du noyau, là où la colle nucléaire ne se fait plus sentir. Cette probabilité est
extrêmement petite, mais c'est elle qui permet la désintégration. Pour reprendre l'image de l'alpiniste, l'astuce
dont il dispose pour gagner l'autre versant de la barrière montagneuse et trouver la liberté, est de creuser un
tunnel à travers celle-ci.
L'eet tunnel. L'onde associée à une particule
alpha prisonnière à l'intérieur d'un noyau a été
superposée à la gure précédente. On voit que
l'onde déborde légèrement à l'extérieur du noyau,
où l'amplitude des oscillations a été ampliée
pour les rendre visibles. Le carré de l'amplitude
des oscillations représente, en mécanique quantique, la probabilité d'observer la particule en
un endroit donné. Il existe donc une probabilité
d'observer la particule alpha en dehors du noyau,
c'est-à-dire une désintégration. (c) IN2P3.
Une loi empirique veut que plus la barrière de potentiel est haute, plus l'épaisseur à traverser est importante
et plus le noyau vit longtemps. Ceci explique certaines durées de vie particulièrement longues.
Enoncé
1) Energie cinétique
On suppose
- le noyau de numéro atomique Z et de nombre de nucléons A
- et le noyau α (4 nucléons et une charge q = 2e)
initialement au repos en r = 0 dans le référentiel barycentrique.
A l'état nal, la particule alpha est inniment éloignée du noyau.
1.a) Sous quelle condition peut-on appliquer la conservation de la quantité de mouvement du système ?
Ce faisant, exprimer le rapport des énergies cinétiques nales des deux corps.
1.b) Est-ce en accord avec ce que dit le texte pour la radioactivité α du radium-226 : "la particule alpha
emporte les 222/226 ièmes et le radon 4/226 ièmes" de l'énergie ou encore "les particules α emportent environ
98 % de l'énergie" ?
1.c) Pourquoi peut-on assimiler le référentiel barycentrique au référentiel du noyau ?
2) Energie potentielle
On suppose donc
- le noyau de numéro atomique Z et de nombre de nucléons A, quasi ponctuel en r = 0,
- et la particule α (4 nucléons et une charge q = 2e) à une distance r du noyau.
2.a) Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction électrostatique Epe (r) ressentie par la
particule α en fonction de r. Quelle est la forme de la courbe Epe (r) ?
2.b) D'après le texte, à quoi est dû l'écart entre le graphe de l'énergie potentielle de la particule α et
Epe (r) ? En déduire la taille du noyau du polonium 212.
3) Eet tunnel
L'énergie de la particule α est notée Em . Pour simplier le problème, on va modéliser les variations de
l'énergie potentielle de la particule α comme suit :
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3.a) Pourquoi y a-t-il une zone interdite du point de vue classique pour la particule α ? Du point de vue
quantique, à quel type d'onde peut-on assimiler la particule α dans cette "zone interdite" ?
3.b) Exprimer la vitesse vn de la particule α dans le noyau en fonction de sa masse m, de Em et de En .
La particule α fait donc des allers et retours dans le noyau. A quelle fréquence f rebondit-elle sur les bords du
noyau ?
3.c) On note p la probabilité de passage de la particule α par eet tunnel à travers la barrière de
potentiel. En déduire la période radioactive T qu'il faut attendre en moyenne avant que la particule α ne sorte
du noyau.
3.d) On admet
q que la probabilité de passage p de la particule α par eet tunnel est proportionnelle à
0
Représenter sur un graphique ln (T ) = f (ln (Em )) (en échelles logarithmiques)
les valeurs des périodes radioactives T en fonction des énergies Em des particules α données dans le document.
En déduire que le facteur exponentiel de p fait varier de façon considérable les périodes.
e−2K (R −R) où K =
spé PC
(Eb −Em )
.
~2
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