serie de td n°4 - Université Kasdi Merbah Ouargla

11/01/2014
Université Kasdi Merbah, Ouargla
Faculté des Sciences Appliquées
Département de Génie Mécanique
Laboratoire. Dynamique, Interaction
et RÉactivité des Systèmes.
SERIE DE TD N°4
Présenté par: Dr. Rassim BELAKROUM
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Exercice 1:
Un champ de vitesses est donnée par l’expression:
• Est-ce que ce champ d’écoulement est permanent ou instationnaire?
• Le champ est-il bidimensionnel ou tridimensionnel?
• Au point (-1,+1,0), calculer:
a)- Le vecteur d’accélération.
b)- Trouver le vecteur unitaire normal à l’accélération.
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Solution:
-L’écoulement est instationnaire car le terme du temps « t » apparait de
manière explicite dans les composantes du vecteur vitesse.
- Le champ est tridimensionnel car les trois composantes des vitesses sont pas
nulles.
- Les composantes du vecteur accélération sont évaluées comme suit:
Au point (-1,+1,0), on obtient:
- C’est le vecteur unitaire k qui est perpendiculaire au vecteur accélération au
point (-1, +1, 0).
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Exercice 2:
Les composantes d’un champ de vitesses en coordonnées polaires sont
données par:
-Est-ce que ce champ satisfait l’équation de continuité?
- Pour des raison de consistance, quelle doit être les dimensions des constantes
K et B.
-Tracer les surfaces où Vr=0.
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Solution:
L’équation de continuité en coordonnées polaires est donnée par:
DONC VERIFIEE
La dimension de K doit être celle d’une vitesse et celle de b une surface:
[K]=[L/T] et [b]=[L2].
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Exercice 3:
Si le vecteur Z est dirigé vers le haut, qu’elles sont les conditions qu’on doit
imposées pour que le champ de vitesses
soit solution
exacte de l’équation de continuité et des équations de Navier-Stokes? Le fluide en
écoulement est incompressible.
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Solution:
L’équation de continuité est vérifié pour toutes valeurs de a et b car:
Dans ce cas, on a gx=gy=0 et w=0.
Les équations de transport de quantité de mouvement suivant x et y s’écrivent:
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Exercice 4:
On considère l’écoulement stationnaire, bidimensionnel, d’un fluide Newtonien et
incompressible, avec le champ de vitesses suivant:
et
a) Est-ce que l’écoulement est physiquement possible?
b) Trouver le champ de pression p(x,y), sachant que, la pression au point (0,0)
égale Pa.
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Solution:
L’écoulement est physiquement possible car l’équation de continuité est satisfaite:
Des équations de Navier-Stokes, on trouve:
- Suivant ox:
- Suivant oy:
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Finalement, le champ de pression est donné par:
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Exercice 5:
La valeur critique du nombre de Reynolds est prise 2300. Pour l’écoulement
d’un fluide à travers une conduite de diamètre 5cm, à quelle vitesse se
produit la transition vers la turbulence:
a) Pour de l’air (μ=1.5 10-5 kg/m.s et ρ=1.205 kg/m3)
b) Pour de l’eau (μ=10-3 kg/m.s et ρ=998 kg/m3)
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Solution:
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Exercice 6:
Une conduite horizontale d’un mètre de diamètre est utilisée pour transporter du
pétrole à une vitesse moyenne de 3m/s. Si la densité du pétrole est 0.86 et sa
viscosité μ=3.8 10-3 N.m/s-3 , calculer le coefficient de frottement f . Qu’elle sera la
chute de pression pour 1km de longueur.
Nb: La rugosité équivalente est donnée: e/D=4.10-5 .
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Solution:
Le nombre de Reynolds est:
L’écoulement est donc
turbulent
Pour le calcul du coefficient de frottement, on pourrait faire
usage de la formule (non-linéaire) de Colebrook:
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La chute de pression peut être calculée comme suit:
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Exercice 7:
Une huile de densité ρ=900 kg/m3 et ν=0.0002 m2 /s, s’écoule vers le haut à travers
une conduite inclinée (voir figure). La pression et la hauteur sont connues à la station
1 et 2. En considérant que l’écoulement est laminaire:
a) Vérifier que l’écoulement se dirige vers le haut.
b) Déterminer la chute de charge entre 1 et 2.
c) Calculer le débit volumique, la vitesse moyenne, et vérifier si l’écoulement est
réellement laminaire.
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Solution:
Nous avons:
a) L’écoulement se produit dans le sens de la chute de charge:
La hauteur de charge est inférieure à la station 2, par conséquent, sous ces
conditions l’écoulement se dirige réellement vers le haut.
La perte de charge est:
b) Calcul du débit:
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La vitesse moyenne:
<2300
On déduit que l’écoulement est laminaire.
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Exercice 8:
Une huile de densité ρ=900 kg/m3 et ν=0.00001 m2 /s, s’écoule à travers une
conduite de 200mm de diamètre et d’une longueur de 500m. Déterminer:
a) La perte de charge.
b) La chute de pression si la conduite est inclinée de 10° dans le sens de
l’écoulement.
Nb: la rugosité équivalente de la conduite est: e/d=0.0013.
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Solution:
La vitesse est donnée par:
Le nombre de Reynolds:
La chute de pression est donc:
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Exercice 10:
Une huile de viscosité μ=0.4N.S/m2 et d’une densité ρ=900 kg/m3 , S’écoule dans
une conduite de 0.002m de diamètre. Trouvez:
a) La chute de pression P1-P2, nécessaire pour produire un débit un débit
volumique Q=2 X 10-5 m3 /s dans le cas ou la conduite est horizontale avec x1=0
et x2=10m.
b) Qu’elle doit être l’angle d’inclinaison pour produire le même débit volumique
avec P1 =P2.
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Solution:
a)
La vitesse moyenne:
L’écoulement est laminaire
Donc, on calcul la chute de pression ainsi:
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b) Si la conduite est inclinée d’un angle θ, de telle sorte que P1 - P2 =0:
Donc:
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