Induction électromagnétique

MP – Cours de physique
THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Chapitre 1
Induction électromagnétique
1.1. Approche historique et expérimentale
Différentes manifestations de l’induction électromagnétique.
Expériences historiques de Faraday
Michael Faraday est indubitablement l’un des pères fondateur de
l’électromagnétisme. L’une des expériences les plus importantes
qu’il réalisa en 1831 introduit la compréhension des phénomènes
d’induction électromagnétique.
Connaissant la capacité des courants électriques à produire des
champs magnétiques, Faraday se posa la question réciproque : un
champ magnétique peut-il être à l’origine de la production de
courants ?
i10
Circuit 1
inducteur
(
)
B0
galvanomètre
(ampèremètre
très sensible)
i20 = 0
Circuit 2
( induit )
i1 ( t )
impulsion
de courant
i2 ( t )
B (t )
Jean Le Hir, 9 octobre 2008
Ainsi disposa-t-il deux bobines sur un même
manchon, en position coaxiale, de telle sorte que le
champ magnétique créé par la première s’exerce au
cœur de la seconde.
La réponse ne se fit pas attendre : lorsque le
courant est établi dans le circuit 1 le champ
magnétique permanent ainsi créé ne produit pas de
courant dans le circuit 2. Faraday s’en assure en
utilisant un détecteur de courant de très grande
sensibilité.
Par contre, au moment de la fermeture du circuit 1,
dans la phase transitoire où le champ magnétique
est en train de s’établir, il apparaît une impulsion de
courant dans le circuit 2 : le phénomène électrique
est dû non pas au champ magnétique, mais à la
variation du champ magnétique.
Faraday montre qu’une inversion du sens du
courant inducteur (et donc aussi du sens du champ
d’induction magnétique) provoque une inversion
du sens de l’impulsion de courant dans le circuit 2.
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
Approche d’un aimant dans l’axe d’une bobine
Faraday fit la même expérience en utilisant un aimant permanent en guise d’inducteur et observa les
mêmes conclusions :
— Un aimant immobile n’induit aucun courant dans le circuit électrique
— L’approche d’un aimant crée un champ variable qui induit un courant dans le circuit électrique.
v =0
S
N
B0
v
i=0
S
N
observation
d ’un courant
i2 ( t )
B (t )
v
S
N
i2 ( t )
B (t )
Le changement du sens de la vitesse provoque un changement du signe du courant et le changement de la
polarité de l’aimant (i.e. le changement de sens du champ magnétique inducteur) provoque également,
toutes choses égales par ailleurs, un changement du signe du courant induit.
Loi de Lenz-Faraday
Dès 1934, bien avant la publication par Maxwell des équations locales de l’électromagnétisme, Heinrich
Lenz donne une formulation des travaux expérimentaux de Faraday. Il remarque que les effets de
l’induction dans un circuit sont liés à la variation du flux du champ magnétique à travers ce circuit : la
variation du flux du champ magnétique à travers un circuit fermé fait apparaître une force électromotrice
de boucle opposée au taux de variation temporelle du flux.
e=−
d φ B
dt
Loi de Lenz-Faraday
Les causes de la variation du flux peuvent être de différentes natures. Nous nous limiterons à l’étude de
deux cas particuliers simples.
Circuit fixe indéformable et champ magnétique variable : induction de Neumann
Un circuit fixe et indéformable est le siège de phénomènes d’induction dès lors que le champ magnétique
varie au cours du temps dans l’espace où se trouve ce circuit. Si le champ magnétique a pour seule cause
le courant qui circule dans le circuit lui-même, on parle de phénomène d’auto-induction. Dans le cas plus
général où le champ magnétique variable est créé part d’autres courants ou aimants situés dans le
voisinage du circuit, on parle de phénomènes d’induction de Neumann.
Nous limiterons notre étude au cas où les champs ne varient pas trop rapidement de telle sorte que l’on
reste dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires.
Circuit mobile et champ magnétique constant : induction de Lorentz
Une autre cause possible de variation du flux magnétique est le déplacement ou la déformation des
circuits dans un champ magnétique indépendant du temps. Nous nous limiterons au cas particulier où les
vitesses de déplacement des éléments de circuit sont très petites par rapport à la vitesse de la lumière.
Dans ce cas particulier, les champs magnétiques induits sont très petits par rapport aux champs inducteurs
et l’on peut donc négliger l’auto-induction. Ces conditions particulières définissent les phénomènes
d’induction de Lorentz non relativiste.
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
Principe de modération de Lenz
En 1934, Lenz fait remarquer le sens absolu du signe « moins » dans la
formule de l’induction. Ce signe n’est pas lié à la convention algébrique
choisie pour exprimer les forces électromotrices, il est indépendant de la
convention d’orientation du circuit. En clair, ce signe a une signification
physique fondamentale : il traduit le fait que les effets de l’induction sont
modérateurs, ils s’opposent à la cause qui les a produits.
Principe de modération de Lenz
Les effets de l’induction s’opposent à la cause qui leur a donné
naissance.
Attention ! Il ne faut pas en conclure que le champ magnétique induit est opposé au champ
magnétique inducteur. Ce n’est pas le champ qui est la cause de l’induction, mais la variation
du champ : le champ induit a un sens opposé au champ inducteur quand celui-ci est croissant,
il a au contraire le même sens que le champ inducteur quand celui-ci diminue.
1.2. Expression locale des phénomènes d’induction
Potentiel électromagnétique
Potentiel vecteur
Dans le cadre de la loi de Lenz-Faraday, nous continuons, comme en magnétostatique à parler de flux du
champ magnétique « à travers un circuit ». Nous pouvons le faire du fait que les champ magnétiques,
même en régime variable, restent des champs à flux conservatif.
En régime variable, comme en régime permanent, les champs B ( M, t ) dérivent d’un potentiel vecteur
A ( M, t ) :
∀ ( M, t ) , ∃ A ( M, t ) tel que B ( M, t ) = rot A ( M, t ) = ∇ ∧ A ( M, t )
Étant donnée une courbe fermée orientée C , le flux de B ( M, t ) à travers toute surface S s’appuyant sur
le contour C et orientée de façon conforme à l’orientation de C , est égal à la circulation du potentiel
vecteur le long du contour C et l’on peut donc bien parler du flux de B à travers le circuit C .
φB ( t ) =
B ( M, t ) ⋅ n+ dS =
A ( M, t ) ⋅ d ℓ
∫∫
∫
C
S
Potentiel scalaire
La force électromotrice de boucle est égale à la circulation du champ électrique E ( M, t ) sur un parcours
fermé :
e (t ) =
E ( M, t ) ⋅ d ℓ
C
En régime variable, le champ électrique E ( M, t ) n’est donc pas à circulation conservative : il ne dérive
donc pas d’un potentiel scalaire.
∫
La loi de Lenz-Faraday s’écrit à chaque instant :
e (t ) = −
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d φB ( t )
dt
d
=−
dt
d
B ( M, t ) ⋅ n+ dS = −
dt
S
∫∫
∫
C
A ( M, t ) ⋅ d ℓ = −
∂ A ( M, t ) ⋅ dℓ
∂t
C
∫
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
On notera la permutation possible des opérateurs d’intégration et de dérivation, cependant, sous le signe
somme, l’opérateur de dérivation est un opérateur de dérivation partielle.
La loi de Lenz-Faraday se traduit donc par une propriété reliant le champ électrique et le potentiel
vecteur :
 ∂ A ( M, t ) ∂ A ( M, t )  e (t ) =
E ( M, t ) ⋅ d ℓ = −
⋅ dℓ
soit
 E ( M, t ) +
 ⋅ dℓ = 0
∂t
∂
t
C
C
C


∂ A
, fonction a priori de l’espace et du temps, est un vecteur à circulation conservative.
Le vecteur E +
∂t
Cette fonction vectorielle dérive donc, à chaque instant, d’un potentiel scalaire lui-même fonction de
l’espace et du temps.
∂ A ( M, t )
∀ ( M, t ) , ∃V ( M, t ) tel que E ( M, t ) +
= −grad V ( M, t )
∂t
L’ensemble A ( M, t ) , V ( M, t ) constitue le potentiel électromagnétique en M à l’instant t. Les champs
∫
∫
{
}
∫
électrique et magnétique s’en déduisent par les relations :
 ∂ A ( M, t )
 E ( M, t ) = − grad V ( M, t ) −
∂t
  B ( M, t ) = rot A ( M, t )

Condition de jauge
{
}
Le potentiel électromagnétique n’est pas défini de façon unique. Si A , V est un potentiel satisfaisant,
on ne change pas la valeur de B en ajoutant à A le gradient d’une fonction scalaire quelconque
f ( M, t ) : Si B = rot A et A′ = A + grad f , alors B = rot A′ .
Le champ électrique E sera lui-même invariant si l’on change l’expression du potentiel scalaire en V ′ tel
∂f
∂A
∂ A′
∂A
∂f
que E = − grad V −
= − grad V ′ −
= − grad V ′ −
− − grad , soit : V ′ = V +
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
 A′ = A + grad f

Le changement de potentiel 
laisse les champs E et B invariants.
∂f
V′ =V +
∂t

Nous aurons donc le loisir de préciser ultérieurement la « condition de jauge » à laquelle satisfera le
potentiel électromagnétique de telle sorte qu’il soit défini de façon unique.
Champ électromoteur
Dans le cas le plus général, nous pouvons écrire le champ électrique sous la forme E = − grad V + Eem ,
∂A
où Eem = −
représente la partie du champ électrique qui n’est pas conservative ou « champ
∂t
électromoteur ».
Attention toutefois, le champ Eem n’est pas défini de façon absolue : il est lié au choix particulier de la
condition de jauge des potentiels.
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Induction électromagnétique
Expression locale de la loi de Lenz-Faraday
Le champ électrique E ( M, t ) n’étant plus à circulation conservative, son rotationnel n’est plus
identiquement nul. Nous avons alors :
  ∂ A ( M, t ) 
∂ A ( M, t ) 
∂ B ( M, t )
∂ rot E ( M, t ) = rot  − grad V ( M, t ) −
 = − rot 
 = − rot A ( M, t ) = −

∂
t
∂
t
∂t
∂t




Cette équation différentielle linéaire aux dérivées partielles du premier ordre est nommée « équation de
Maxwell-Faraday ». Elle rend compte des phénomènes d’induction dans un référentiel galiléen et se
trouve être l’une des équations générales de l’électromagnétisme.
∂ B ( M, t )
rot E ( M, t ) = −
∂t
Équation de Maxwell-Faraday
Remarque : si l’on change la convention du signe des charges électrique, les champs E et B se trouvent
tous deux transformés en leur opposé et l’équation de Maxwell-Faraday est inchangée y compris pour ce
qui est du signe « moins ». Si l’on change la convention du trièdre direct, le champ B est changé en son
opposé et le champ E est inchangé. Cependant, le rotationnel change de signe et l’équation de MaxwellFaraday est encore inchangée.
Il apparaît donc que le signe « moins » de l’équation de Maxwell-Faraday n’est pas conventionnel, il a un
sens physique fondamental : celui de la loi de modération de Lenz.
1.3. Induction de Neumann quasi stationnaire
Note historique : le physicien allemand Franz Neumann publie en 1845 un
article établissant les lois mathématiques de l’induction due à des champs
magnétiques fonctions du temps.
Auto-induction
Inductance propre
Un circuit électrique parcouru par un courant variable i ( t ) produit en tout point de l’espace et à tout
instant un champ magnétique B ( M, t ) proportionnel à i ( t ) . Le flux de ce champ magnétique à travers le
circuit lui-même, que l’on appelle « flux propre » est donc aussi proportionnel à i ( t ) .
φB ( t ) = L i ( t )
Le coefficient de proportionnalité définit l’inductance propre L du circuit, ou coefficient d’auto-induction.
L’étude des phénomènes d’auto-induction est déjà faite dans le cadre de l’enseignement général
d’électricité quasi stationnaire.
Équation caractéristique des composants inductifs
Rappelons que le flux propre est fréquemment localisé dans certaines parties du circuit, notamment dans
les bobines d’induction. On peut ainsi décomposer le coefficient d’auto-induction, qui n’est en toute
rigueur défini que pour un circuit fermé, en une somme de contributions associées à des parties de circuit.
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Induction électromagnétique
C’est le cas en particulier pour les bobines : nous définirons le flux magnétique à travers une bobine
comme la somme de des flux à travers chacune de ses spires, ce qui peut avoir un sens dans
l’approximation des spires jointives.
di ( t )

en convention générateur
u ( t ) = e ( t ) = − L
dt
La loi de Lenz-Faraday s’écrit alors 
u t = e t = + L di ( t ) en convention récepteur
()
 ( )
dt
Convention récepteur
Convention générateur
Couplage par induction mutuelle
Étant donnés deux circuits fermés C1 et C2 parcourus par des courants i1 ( t ) et i2 ( t ) , le flux du champ
magnétique à travers chaque circuit se décompose en un flux propre proportionnel au courant dans ce
circuit et un flux mutuel, proportionnel au courant dans l’autre circuit, définissant ainsi les coefficients
d’induction propre L1 et L2 ainsi que le coefficient d’induction mutuelle M.
t = L i (t ) + M i (t )
 φ
1 1
2
B1 ( )
 φ t = M i t + L i t
1( )
2 2( )
 B2 ( )
Rappelons que le coefficient d’induction mutuelle M est algébrique et que M < L1L2 .
La loi d’induction de Lenz-Faraday se traduit alors par un ensemble de deux équations différentielles
couplées :
di1 ( t )
di ( t )

+M 2
 u1 ( t ) = L1
dt
dt

di
t
di
(
)
 u2 ( t ) = M 1 + L2 2 ( t )

dt
dt
Un exemple de circuits couplés est traité dans le chapitre d’électricité relatif aux régimes transitoires
ARQS.
Exemples de phénomènes d’induction de Neumann
Aimant se déplaçant sur l’axe d’une spire
On considère une spire conductrice circulaire C
indéformable et fixe, de centre O et de rayon a,
de résistance électrique R.
Un petit aimant permanent, que l’on assimile à
un dipôle de moment magnétique m , se
déplace sur l’axe Oz de la spire, animé d’un
mouvement rectiligne uniforme de vitesse v0 .
Dans la phase d’approche de la spire, l’aimant
se présente le pôle Nord en avant, comme
indiqué sur le schéma ci-contre.
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C
O
P
Sud
Nord
v0
ρ
z
i (t )
z
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Induction électromagnétique
Il apparaît un courant i ( t ) de telle sorte que la spire présente une face Nord en direction de l’aimant et
que celui-ci soit de ce fait contrarié dans son mouvement : la loi de Lenz l’impose. Sur le schéma, la face
nord de la spire tourne le dos à l’aimant : le courant i ( t ) doit donc être négatif.
Toujours selon la loi de Lenz, l’aimant doit être soumis à une force qui s’oppose à son déplacement,
c’est-à-dire à une force répulsive dans la phase d’approche et attractive dans la phase où l’aimant, ayant
traversé la spire en son centre, s’éloigne de celle-ci. La spire est bien sûr soumise à une force opposée.
Le potentiel vecteur A ( M, t ) est donc orthoméridien :
µ
A ( M, t ) = 0
4π
(ρ
mρ
2
+ z (t )
2
)
e
32 ϕ
Dans un phénomène de Neumann, le champ électromoteur peut être défini par la relation :
∂
∂ A ( M, t )
µ
µ0 3m ρ v0 z ( t ) 1
Eem ( M, t ) = −
= − 0 m ρ eϕ v0
=
+
eϕ
2 32
2 52
∂t
4π
∂z 2
4π 2
ρ + z (t )
ρ + z (t )
(
)
(
)
La circulation du champ électromoteur a donc pour expression :
e (t ) =
2
µ 3m ρ v0 z ( t )
Eem ( M, t ) ⋅ d ℓ = + 0
2 52
2 2
C
ρ + z (t )
∫
(
)
Il reste à écrire que cette force électromotrice induit un courant i ( t ) selon la loi d’Ohm, avec z ( t ) = v0t :
i (t ) = +
µ0 3m ρ2 v02 t
2 R ρ2 + v 2 t 2 5 2
0
(
i (t )
)
Remarque : le courant i ( t ) est bien négatif
pour t < 0 , dans la phase d’approche, et
positif pour t > 0 , lorsque l’aimant s’éloigne
de la spire après l’avoir traversée en son
centre. Dans la première phase du
mouvement, l’aimant est repoussé par la spire
et dans la seconde phase il est attiré : dans
tous les cas le mouvement est freiné et cela est
conforme à la loi de modération de Lenz.
t
Le flux du champ magnétique est égal à la
circulation du potentiel vecteur :
µ0
m ρ2
φ B ( t ) = Aϕ ( t ) × 2πρ =
3
2
2 2
2
ρ + z (t )
(
)
Nous retrouvons l’expression de i ( t ) par application de la loi de Faraday :
i (t ) =
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e (t )
R
=−
µ m ρ2 dz d
1 d φB (t )
1
=− 0
R dt
2 R dt dz ρ2 + z 2
(
)
32
=
3µ 0 m ρ2
2R
(
v0 z ( t )
ρ2 + z ( t )
)
2 52
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Induction électromagnétique
Le champ créé en un point de son axe par une spire de rayon ρ parcourue par un courant i est axial et sa
µi
valeur algébrique a pour expression Bz = 0 sin 3 α , où α est l’angle sous lequel est vu le rayon de la
2ρ
spire. Le champ créé par la spire, induit par le déplacement de l’aimant, a donc pour expression en P :
µ0i ( t )
ρ2
Bz ( z , t ) =
2 32
2
ρ2 + z ( t )
L’aimant subit une force F = m ⋅ grad B , proportionnelle dans le cas présent, au gradient de ce champ :
(
Fz ( t ) = m
)
∂Bz ( M, t )
∂z
(
)
3µ 2 m ρ4
= 0
4R
(
v0 z ( t )
ρ2 + z ( t )
)
2 52
d
1
dz ρ2 + z 2
(
)
32
9µ 2 m ρ4
=− 0
4R
(
v0 z ( t )
2
ρ2 + z ( t )
)
2 5
Remarque : cette force est toujours négative, l’aimant est toujours contrarié dans son mouvement : cela
est conforme à la loi de modération de Lenz.
Chauffage inductif : courants de Foucault
Considérons un cylindre métallique de rayon R et de
hauteur h, de conductivité électrique γ, entouré par un
solénoïde coaxial constitué de N spires jointives
parcouru par un courant sinusoïdal i ( t ) = I 2 cos ωt .
Nous négligerons les effets de bord en considérant que
le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du
solénoïde, de valeur :
N
B ( t ) = µ 0 i ( t ) ez
h
z
B (t )
i (t )
h
L’étude des symétries nous conduit à affirmer que le
champ électrique est ortho radial et que sa composante
ortho radiale ne dépend que de ρ : E = Eϕ ( ρ, t ) eϕ
Le champ magnétique axial induit donc un champ
électrique ortho radial conforme à la loi de LenzFaraday :
dB ( t )
2πρEϕ ( ρ, t ) = −πρ2 z
dt
Nous en déduisons l’expression du champ électrique
dans le cylindre :
E (t )
B (t )
R
ρ N di ( t ) ρ N
E ( t ) = µ0
eϕ = − µ 0 I ω 2 sin ωt eϕ
2
h dt
2
h
Ce champ électrique va induire des courants dans la volume du cylindre assimilé à un conducteur
ohmique. Ces « courants de Foucault » seront responsables d’une puissance dissipée par effet Joule.
La puissance volumique dissipée ayant pour valeur en chaque endroit et à chaque instant
Pτ = j ⋅ E = γ E 2 , nous obtenons la puissance volumique moyenne dissipée en chaque endroit par
intégration dans le temps : Pτ = γ E 2 =
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1 2 2 N2 2 2
γ ρ µ0 2 I ω
4
h
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Induction électromagnétique
Nous obtenons enfin l’expression de la puissance totale moyenne dissipée par les courants de Foucault en
intégrant cette expression sur tout le volume du cylindre :
ρ= R
ρ= R
π
N2
π
N2 2 2
P =
Pτ d τ = 2πh
Pτ ρ d ρ = h γ µ 02 2 I 2 ω2
ρ3 d ρ = R 4 γ µ 02
I ω
2
8
h
cylindre
ρ=0
ρ=0
h
∫∫∫
∫
∫
Les courants de Foucault peuvent être utilisés efficacement pour du chauffage : sur ce principe on réalise
des plaques à induction et des fours à induction. La dissipation d’énergie par les courants de Foucault est
aussi le principe actif du freinage inductif utilisé par les poids lourds.
Cependant dans certaines circonstances les courants de Foucault apparaîtront comme tout à fait
indésirables. C’est le cas, par exemple, pour les transformateurs à noyau ferromagnétique dont les « pertes
dans le fer » diminuent le rendement. Le phénomène est inévitable, mais on essaie d’en atténuer les effets
indésirables en utilisant des noyaux de fer « feuilleté ». Les feuillets étant placés orthogonalement aux
courants de Foucault, la conductivité s’en trouve très réduite.
1.4. Phénomènes d’induction de Lorentz
Note historique : Lorentz et ses contemporains avaient remarqué que
l’électromagnétisme étudié dans le cadre de la physique newtonienne mène à
des paradoxes. Lorentz détermina vers 1900 les relations de transformation
des champs qui seraient compatibles avec l’invariance galiléenne de la force
électromagnétique agissant sur une particule chargée en mouvement. Ces
« transformations de Lorentz » trouveront un sens physique dans le cadre de
la théorie de la relativité restreinte présentée par Einstein en 1905.
Circuit en mouvement non relativiste dans un champ magnétique permanent
Loi de transformation des champs
Nous nous plaçons strictement dans le cadre de la mécanique newtonienne non relativiste. Le temps est
identique dans tous les référentiels galiléens et la loi d’addition des vitesses s’applique. Soit deux
référentiels galiléens R et R ′ de vitesse relative vR′ / R , la vitesse v d’un point matériel M dans R
s’exprime dans R ′ par la relation : v/ R′ = v/ R + vR′ / R .
En mécanique newtonienne, les forces sont invariantes et ce doit donc être le cas de la force de Lorentz
qui s’applique sur une particule chargée en mouvement dans un référentiel galiléen en présence d’un
champ électrique et d’un champ d’induction magnétique.
Dans R : f / R = q E/ R + v/ R ∧ B/ R
Dans R′ : f / R′ = q E/ R′ + v/ R′ ∧ B/ R′ = q E/ R′ + vR′ / R ∧ B/ R′ + v/ R ∧ B/ R′
(
(
f / R = f / R′ ⇒
)
) (
)
E + v ∧ B = (E + v
∧B )+v ∧B
/R
/R
/R
/ R′
R′ / R
/ R′
/R
/ R′
L’invariance de la force de Lorentz par changement de référentiel galiléen devant être vérifiée quelle que
soit la vitesse de la particule, nous en déduisons l’expression des transformations non relativistes des
champs :
 E/ R = E/ R ′ + vR ′ / R ∧ B/ R′
  B/ R = B/ R′
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Transformation
non relativiste
des champs
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
La première remarque est que le champ magnétique doit être un invariant galiléen : B/ R = B/ R′ = B .
Ceci est tout à fait contradictoire avec la définition même des charges électriques et des courants, sources
du champ électromagnétique. En effet, des charges immobiles dans un référentiel galiléen R sont
responsables dans R d’un seul champ électrique E/ R et le champ magnétique B/ R est nul.
Ces mêmes charges sont en mouvement de vitesse vR / R′ dans un référentiel R ′ en mouvement par
rapport à R et sont donc décrites comme des courants responsables dans R ′ d’un champ magnétique
B/ R′ qui n’est pas nul.
La transformation non relativiste des champs apparaît alors comme une expression simplifiée linéarisée
au premier ordre en v c , où c est la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide.
L’expression du champ électromoteur vR′ / R ∧ B , qu’il convient d’ajouter au champ électrique dans R ′
pour exprimer le champ électrique dans R , convient si et seulement si le module de la vitesse vR ′ / R est
très petit devant c.
De la même façon, la différence entre B/ R ′ et B/ R fait intervenir au premier ordre non nul des termes en
v 2 c 2 que l’on néglige dans l’approximation non relativiste.
Transformation des sources des champs
En physique newtonienne, la densité de charge ρ est invariante par changement de référentiel galiléen.
Par contre, les vitesses de déplacement des charges n’étant plus les mêmes, la densité de courant se trouve
modifiée conformément à la loi de composition galiléenne des vitesses.
 ρ / R = ρ/ R′
  j/ R = j/ R′ − ρ vR′ / R
Remarque : dans le cadre de l’ARQS, les sources du champ électromagnétique pourront être considérées
comme identiques dans tous les référentiels galiléens : ρ / R = ρ / R′ et j/ R = j/ R′ .
Deuxième interprétation de la loi de Faraday
Un élément de courant animé d’une vitesse v et soumis à un champ d’induction magnétique B dans un
référentiel galiléen verra donc, du fait de son mouvement, un champ électrique supplémentaire à
circulation non conservative Eem = v ∧ B .
Eem = v ∧ B
Champ électromoteur
de Lorentz
Si nous considérons un élément de courant i d ℓ animé d’une vitesse v , la surface élémentaire balayée
par cet élément de courant dans l’intervalle de temps [t , t + dt ] est définie par le vecteur dS = v dt ∧ d ℓ .
Le flux magnétique élémentaire « balayé » par cet élément de courant dans l’intervalle de temps [t , t + dt ]
est proportionnel au produit mixte des trois vecteurs B , v et d ℓ et donc aussi proportionnel à la
circulation élémentaire du champ électromoteur sur le segment de circuit d ℓ :
d 2 φ B = B ⋅ dS = B ⋅ v ∧ d ℓ dt = B , v , d ℓ dt = − v , B , d ℓ dt = − v ∧ B ⋅ d ℓ dt = − Eem ⋅ d ℓ dt
(
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)
(
)
(
)
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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Chapitre 1
Induction électromagnétique
Ce flux balayé, intégré sur un circuit fermé, définit la variation élémentaire du flux du champ magnétique
à travers le circuit due au déplacement du circuit dans l’intervalle de temps dt.
d φB =
d 2 φB = − Eem ⋅ d ℓ dt = −e dt
∫
C
∫
C
La circulation de ce champ électromoteur sur un parcours fermé conduit, de la même façon que pour
l’induction de Neumann, à la manifestation d’une force électromotrice de boucle e.
e=
d φB
Eem ⋅ d ℓ = −
dt
C
∫
Eem = v ∧ B
avec
Nous retrouvons la formulation de la loi de Lenz-Faraday, avec toutefois une interprétation très différente
de celle que nous pouvions faire dans le cas de l’induction de Neumann : la variation du flux magnétique
était alors due à une variation du champ magnétique inducteur, alors que dans le cas de l’induction de
Lorentz, la variation du flux magnétique est due au déplacement du circuit.
Exemples de phénomènes d’induction de Lorentz
Note : ces exemples ne constituent pas des questions de cours. Il s’agit d’exercices choisis un peu
arbitrairement. Ces exercices impliquent pour les aspects mécaniques une connaissance des lois de
rotation du solide autour d’un axe fixe et ces lois sont étudiées dans le cadre du cours de mécanique du
solide.
Le rail de Laplace
•
Impulsion de démarrage
Deux tiges cylindriques en cuivre, identiques, sont disposées dans l’entrefer d’un aimant permanent
horizontalement et parallèles entre elles Nous noterons ℓ la distance entre les deux barres. Le champ
d’induction magnétique, de direction verticale, est orthogonal au plan du rail. Une barre cylindrique
également en cuivre peut rouler librement sur le rail en établissant un contact électrique que l’on
supposera parfait en chacun des points de contact M et N.
F = iℓ ∧ B
iℓ
R
B
N
B
M
e0
ex
ey
ez
ℓ
t=0
Le circuit électrique est complété à l’extérieur par une source de tension continue en série avec une
résistance et un interrupteur.
Initialement, l’interrupteur est ouvert et la barre MN est immobile, située dans l’entrefer de
l’électroaimant. À l’instant t = 0 , on ferme l’interrupteur. Il apparaît alors un courant de M vers N
d’intensité initiale e0 R et une force de Laplace qui met le barreau MN en mouvement. Nous
assimilerons ce mouvement au mouvement de glissement d’un point matériel de masse m.
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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Chapitre 1
Induction électromagnétique
Remarque : en réalité, la barre roule sur le rail sans glisser. On démontrera en mécanique du solide que le
mouvement de translation qui en résulte est identique, pourvu que l’on substitue à la masse m le
J 3
coefficient d’inertie plus important m′ = m + 2 = m .
r
2
Dès que la barre MN est en mouvement, elle est le siège d’un champ électromoteur de Lorentz et ceci tant
qu’elle continue à se trouver dans l’entrefer de l’aimant. Nous allons considérer (c’est une approximation)
que le champ d’induction magnétique est uniforme de valeur B0 ez dans l’entrefer de l’aimant sur une
distance d à partir de sa position initiale, puis soudainement strictement nul.
Ne tenant pas compte de l’inductance propre du circuit, l’équation électrique s’écrit : e0 + e ( t ) = R i ( t )
où e ( t ) est la f.é.m. d’induction, égale à la circulation de M vers N du champ électromoteur
Eem = v ∧ B = vx ( t ) B0 ex ∧ ez = −vx ( t ) B0 e y , soit e ( t ) = Eem ⋅ MN = − B0 ℓ vx ( t )
Dans le cadre de la modélisation simplifiée adoptée ici, si l’on ne tient pas compte des frottements, la
force de Laplace F = i ( t ) ℓ ey ∧ B0 ez = i ( t ) ℓB0 ex est la seule force agissante selon Ox et l’équation
dv ( t )
mécanique s’écrit tout simplement F = m a , soit : i ( t ) B0ℓ = m x
dt
Nous avons ainsi établit une systèmes de deux équations différentielles exprimant le couplage
électromécanique par induction :
 équation électrique e0 − B0ℓ vx ( t ) = R i ( t )


dvx ( t )
 équation mécanique i ( t ) B0ℓ = m
dt

Le découplage se fait sans problème substitution et conduit à une équation différentielle linéaire du
di ( t ) B02 ℓ 2
i (t ) = 0
premier ordre. L’équation en i s’écrit :
+
dt
mR
t
e −
mR
e
Posons τ = 2 2 . La solution, compte tenu de la condition initiale i ( 0 ) = 0 , s’écrit : i ( t ) = 0 e τ .
R
R
B0 ℓ
x (t )
mouvement accéléré
par la force de Laplace
d
En dehors de l’entrefer,
le mouvement est uniforme
e0 τ
B0 ℓ
forme asymptotique t − τ
0
0
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τ
t
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
t
t
− 
− 
e0 
e0 
τ
τ
1 − e  et, par intégration x ( t ) =
 t + τ e  + K , la constante K
Nous en déduisons vx ( t ) =


B0 ℓ 
B0 ℓ 




t

− 
e0 
τ
 t − τ 1 − e  
étant déterminée de telle sorte que x ( 0 ) = 0 , soit finalement : x ( t ) =


B0ℓ 



Dès que la distance d est atteinte et que l’on sort de l’entrefer de l’aimant, la vitesse ne varie plus et la
barre continue son mouvement rectiligne uniforme avec la vitesse acquise.
•
Freinage inductif
Reprenons le dispositif du rail de Laplace en fermant le circuit simplement sur une résistance R. Cette
fois, la barre est animée initialement d’une vitesse v0 = v0 ex en avant de l’entrefer. La barre pénètre donc
dans l’entrefer à l’instant t = 0 animée de cette vitesse initiale.
v0
N
R
M
ex
ey
ez
ℓ
Nous observons alors que le mouvement se ralentit dès que la barre pénètre dans l’entrefer de l’aimant.
Seule l’équation électrique est modifiée par rapport au problème précédent :
équation électrique − B0ℓ vx ( t ) = R i ( t )


dvx ( t )
équation mécanique i ( t ) B0 ℓ = m
dt

Ce qui nous conduit à une équation à une équation différentielle du premier ordre :
de même constante de temps τ =
dvx ( t )
dt
+
vx ( t )
τ
=0
mR
.
B02 ℓ 2
Cette fois, avec les nouvelles conditions initiales, la loi de vitesse s’écrit vx ( t ) = v0 e
−
t
τ
et s’intègre en
t

− 
τ
x ( t ) = x ( 0 ) + v0 τ 1 − e 




Si la largeur de l’aimant est supérieure à v0 τ , la barre va s’arrêter dans l’entrefer. Si, au contraire,
l’impulsion initiale permet à la barre de déboucher de l’entrefer de l’aimant, alors elle poursuivra son
chemin d’un mouvement uniforme avec pour vitesse la vitesse résiduelle à la sortie de l’entrefer.
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
t
Bℓ
B ℓv −
L’intensité i ( t ) obéit donc à la loi i ( t ) = − 0 vx ( t ) = − 0 0 e τ
R
R
Calculons l’énergie électrique Wélec dissipée par effet Joule dans la résistance R dans l’intervalle [ 0, t ] :
Wélec
B 2 ℓ 2 v02
= Ri dt = 0
R
0
∫
t
2
∫
t − 2t
e τ dt
0
2t
−
1 B02 ℓ 2 v02 
=
τ 1 − e τ

2
R

 1 2 1 2
 = mv0 − mv ( t )
 2
2

L’énergie cinétique initiale est progressivement dissipée par effet Joule dans la résistance.
Galvanomètre à cadre mobile
•
Fonctionnement statique : ampère-mètre
Considérons tout d’abord le principe du galvanomètre à cadre mobile. Un bobinage rectangulaire de N
spires, de hauteur h et de largeur ℓ , est réalisé autour d’un noyau cylindrique en fer doux. L’ensemble est
porté par un axe ∆ et les contacts électriques sont assurés sur cet axe par des balais.
La rotation autour de l’axe ∆ est contrariée par un ressort spiral linéaire de constante de torsion C.
Le cadre mobile est inséré dans l’entrefer d’un aimant permanent dont la forme géométrique est
déterminée de telle sorte que le champ d’induction magnétique soit radial dans l’entrefer. Nous
admettrons cette propriété, conséquence des lois du magnétisme dans les matériaux ferromagnétiques.
Du côté du pôle Nord B = − B0 er

Du côté du pôle Sud B = + B0 er
F
Ni
B
θ
NORD
SUD
NORD
B
Ni
SUD
F
La nature radiale du champ B fait que les forces de Laplace ont un moment par rapport à l’axe ∆ de
valeur indépendante de l’angle de rotation θ du cadre depuis sa position d’équilibre. Le moment des
forces de Laplace a pour expression + NiℓhB0 = i φ0 alors que le moment de rappel dû au ressort spiral est
égal à −C θ . Le moment résultant M∆ = i φ0 − C θ est nul à l’équilibre. Nous en déduisons que la mesure
de l’angle de rotation du cadre nous donne la valeur de l’intensité électrique i dans le cadre :
C
C
i= θ=
θ
φ0
N ℓhB0
•
Fonctionnement dynamique : amortissement par les courants de
Foucault
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O F
θ
B
x
SUD
t
l
u
a
c
u
o
F
e
d
s
t
n
a
r
u
o
C
Lorsque le cylindre central est en rotation, il est nécessairement en
chaque point M le siège d’un champ électromoteur Eem = v ∧ B .
Nous pouvons considérer, en bonne approximation, que le champ
d’induction magnétique B est uniforme et constant dans le cylindre
ferromagnétique, les lignes de champ étant colinéaires à l’axe Ox
joignant le pôle Nord au pôle Sud de l’aimant permanent.
NORD
v
jF
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
d θ dθ
Avec v = r
eθ , nous en déduisons : Eem = − Br
cos θ ez .
dt
dt
γ étant la conductivité du fer, le champ électromoteur produit un courant de Foucault de densité
dθ
jF = γ Eem = −γBr
cos θ ez .
dt
Ces courants de Foucault sont à l’origine d’une force volumique de Laplace dF = jF d τ ∧ B dont le
dθ
moment selon l’axe ∆ est : d M∆ = −γB 2 r 2
( cos θ )2 d τ , avec d τ = r dr d θ dz .
dt
Intégrons ce moment volumique sur tout le volume du noyau de fer doux et nous aurons une estimation
de moment résistant dû aux courants de Foucault. Notons h la hauteur du cylindre et R son rayon :
M∆ = −
∫∫∫
τ
γB 2 r 2
h
2π
R
dθ
dθ
π
dθ
( cos θ )2 d τ = − γB 2 × dz × ( cos θ )2 d θ× r 3dr = − γB 2 R 4 h
dt
dt dt
4
0
0 0 h
π
R4 4
∫
∫
∫
Ces courants sont proportionnels à la vitesse angulaire et ils induisent un amortissement quasi linéaire du
système. Ces systèmes sont conçus de telle sorte que l’oscillateur linéaire du second ordre que constitue
ce dispositif magnéto-mécanique fonctionne dans un cas d’amortissement proche du régime critique.
Nous noterons J ∆ le moment d’inertie de l’ensemble {cadre + noyau} par rapport à l’axe ∆ et C la
constante de torsion du ressort spiral. En circuit ouvert, l’équation magnéto-mécanique du système libre
π
dθ
d 2θ
s’écrit alors M = −C θ − γB 2 R 4 h
= J ∆ 2 . Nous écrivons cette équation sous la forme canonique :
4
dt
dt
d 2θ
dθ
+ 2mω0
+ ω02 θ = 0
2
dt
dt
avec
ω0 =
C
J∆
et
m=
π γB 2 R 4 h
8 J ∆C
1
J∆
=
caractéristique
ω0
C
du retour à l’équilibre en régime critique soit de l’ordre de grandeur d’une fraction de seconde et que le
coefficient d’amortissement m soit proche de la valeur unité caractérisant le régime critique.
On arrive à ajuster ces systèmes de telle sorte que leur constante de temps τ =
•
Fonctionnement balistique : coulomb-mètre
Considérons un galvanomètre à cadre mobile concu pour avoir des oscillations libres correspondant au
régime critique ( m = 1) . Le cadre mobile étant parcouru par un courant i ( t ) , il faut ajouter dans le bilan
des actions mécaniques le moment i φ0 des forces de Laplace correspondantes. L’équation mécanique du
système s’écrit alors :
φ
d 2θ
dθ
+ 2ω0
+ ω02 θ = 0 i ( t )
2
dt
J∆
dt
i (t )
charge
totale
q
Une telle impulsion est caractérisée par son intégrale
q=
∫
∆t
0
i ( t ′ ) dt ′
qui correspond à la charge totale
transportée par le courant.
t
0
∆t
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
Nous nous plaçons dans l’hypothèse où le courant i ( t ) est une impulsion de durée ∆t très petite par
rapport à la constante de temps τ = J ∆ C du système mécanique.
Dans ce cas, dans l’intervalle de temps ∆t , le système mécanique ne bouge pas et l’intégration de
l’équation différentielle sur cet intervalle de temps nous permet d’établir la vitesse angulaire initiale Ω0
du mouvement : l’impulsion de courant se traduit par une impulsion angulaire.
∆t d θ ( t ′ )
∆t
φ0 ∆t
2
′
′
′
′
dt
+
2
ω
dt
+
ω
θ
t
dt
=
i ( t ′ ) dt ′
(
)
0
0
2
′
dt
J
′
0
0
0
0
dt
∆
dθ
0
q
0
∆t ) = Ω0
(
dt
∫
∆t
d 2θ ( t ′ )
∫
∫
∫
soit Ω0 =
L’équation différentielle critique s’intègre alors avec pour conditions initiales θ ( 0 ) = 0 et
ce qui conduit à l’équation horaire : θ ( t ) = Ω0 t e− ω0t
θ (t )
0
θmax =
0
φ0
q
J∆
dθ
( 0 ) = Ω0 ,
dt
Ω0 τ
e
τ
t
L’angle θ de rotation du cadre passe par un maximum θmax pour t = τ et cette valeur maximale est
proportionnelle à la charge q qui est passée dans le cadre :
θmax =
Ω0τ
φ0
=
q
e
e J ∆C
La mesure de θmax équivaut à une mesure de q. Nous pouvons de cette façon, par exemple, mesurer la
charge d’un condensateur en provoquant sa décharge très rapide à travers une résistance et le
galvanomètre.
Roue de Barlow
Dès 1828, le physicien anglais Peter Barlow, imagina ce dispositif qui peut être considéré comme le
premier moteur électrique à courant continu. Une roue en cuivre tourne librement autour d’un axe
horizontal. Un contact permanent est établi tangentiellement à la roue grâce à du mercure liquide et un
champ magnétique important est établi transversalement dans l’entrefer assez étroit d’un aimant
permanent. Nous allons considérer que ce champ magnétique est uniforme, de valeur B0 , dans toute la
partie de la roue où circulent des courants entre l’axe Oz et le point de contact avec le mercure.
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
Roue en cuivre
Aimant créant un champ B0
orthogonal à la roue
O
Composants
électriques
complémentaires
di
Goulotte contenant
du mercure
B0
P
Considérons un tube de courant élémentaire d’intensité di et exprimons la force de Laplace agissant sur
un élément de courant di d ℓ : d 2 f = di d ℓ ∧ B0 . Le moment en O de cette force a pour expression :
d 2 M = OM ∧ d 2 f = rer ∧ d 2 f = r di er ∧ d ℓ ∧ B0
Avec d ℓ = dr er + r d θ eθ , cela s’écrit plus simplement : d 2 M = ρ d ρ di eρ ∧ eρ ∧ B0 = − B0 ρ d ρ di
(
(
)
)
Le champ B0 étant homogène, l’intégration porte séparément sur i et sur ρ. Pour chaque tube de courant
di, le moment élémentaire résultant s’écrit :
0 a 2 d M = − B0 ρ d ρ di =
B0 di
2
a
a 2 M=
B0 i
et enfin :
2
∫
Remarque : le moment résultant est le même que si le courant allait en ligne droite du point P au point O
(ce qui n’est certainement pas le cas…).
ve = Ω ∧ r étant la vitesse d’entraînement du conducteur, le champ électromoteur a pour expression
Eem = ve ∧ B0 = Ω ∧ r ∧ B0 = Ω ⋅ B0 r et la f.é.m. élémentaire s’écrit :
(
)
(
)
(
)
de = Eem ⋅ d ℓ = Ω ⋅ B0 r ⋅ d ℓ = Ω ⋅ B0 ρ ⋅ d ρ
a 2 Ω ⋅ B0 ρ ⋅ d ρ = −
Ω ⋅ B0
2
a
De nombreuses expériences sont possibles avec la roue de Barlow, le circuit électrique pouvant être fermé
et complété de différentes manières.
Par intégration de P à O, nous obtenons : e =
∫
0 Voici l’une d’entre elles, particulièrement simple,
où le circuit électrique est simplement complété
par une résistance, un générateur de tension
continue de f.é.m. e0 et un interrupteur.
Initialement le circuit est ouvert et la roue est
immobile. Le moment d’inertie de la roue par
rapport à son axe est noté J O .
i
B0
R
t=0
e0
À l’instant t = 0 , on ferme l’interrupteur et l’on observe alors que la roue se met en mouvement. Pour
comprendre ce phénomène, écrivons les équations électrique et mécanique du système.
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Chapitre 1
Induction électromagnétique
Du point de vue mécanique, en projetant sur l’axe Oz orienté par le champ B :
Mz ( t ) =
a2
dΩz
B0 i ( t ) = J O
2
dt
a2
Ω z ( t ) B0
2
Le couplage électromécanique se traduit par une équation différentielle du premier ordre :
Du point de vue électrique, on ne peut plus simple : e0 + e ( t ) = R i ( t ) = e0 −
a 2 B0
d Ω z a 4 B0 2
+
Ω z = e0
dt
4JO R
2JOR
Une solution particulière de cette équation correspond au régime permanent de rotation uniforme de la
2e
roue vers lequel on tend : Ω z ( ∞ ) = 2 0
a B0
4J R
En posant τ = 4 O 2 , compte tenu de la condition initiale Ω z ( 0 ) = 0 , cette équation s’intègre sans
a B0
difficulté et nous donne la loi de ralentissement :
t
− 
2e 
Ω z ( t ) = 2 0 1 − e τ 

a B0 

Remarque : dans cette expérience, la roue doit avoir une très grande inertie et le champ magnétique doit
être très important afin que les frottements inévitables ne soient pas prépondérants.
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