nombre des chômeurs - Page personnelle de Jean

Jean-Louis CAYATTE
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Chapitre 2
Le nombre des chômeurs
Le nombre des chômeurs augmente lorsque les entrées au chômage sont supérieures aux sorties du chômage. Cette banalité, nous
avons besoin de l’écrire avec un peu plus de rigueur que dans la vie de tous les jours. Mais, pour ce faire, nous allons préalablement
enrichir notre vocabulaire, en définissant les notions d’appariement et de séparation (section 1), puis poser des hypothèses simplificatrices (section 2). Nous serons alors en mesure de présenter un modèle élémentaire d’entrées au chômage (section 3) et de sorties du
chômage (section 4), donc de variation du nombre des chômeurs (section 5).
Section 1. — Appariements et séparations
Comme nous l’avons vu au chapitre 1 (Définitions et notations), les personnes ont trois statuts possibles par rapport au marché du
travail : inactif, actif occupé ou chômeur. Les postes de travail ont deux statuts possibles : poste vacant ou poste occupé.
Les changements de statut des personnes et des postes sont souvent deux faces d’un même évènement. Considérons, par exemple,
le cas d’un chômeur qui trouve un poste vacant qui lui convient, et que l’employeur accepte d’embaucher sur ce poste. Alors, le poste
et le chômeur changent de statut en même temps : le chômeur devient actif occupé et le poste vacant devient poste occupé. Juridiquement, un contrat de travail est conclu (on pourrait dire signé, si le contrat de travail était toujours écrit).
Cette opération s’appelle, en langage courant, embauche ou recrutement. Mais ces mots ont deux inconvénients :
– ils font de cette opération une action de l’employeur, à l’égard d’un travailleur ainsi présenté comme purement passif. On peut certes
admettre qu’il existe un rapport de force entre les employeurs et les salariés (on l’introduira explicitement au chapitre 14). Mais ce
n’est pas la même chose que de dire que l’employeur est seul à décider. D’ailleurs, le rapport de force entre l’employeur et le salarié
n’est pas nécessairement en faveur de l’employeur.
– ils mettent l’accent sur le changement de statut de la personne, sans rendre compte du changement de statut du poste.
C’est pourquoi les économistes préfèrent le terme technique appariement (match) pour désigner ce double changement de statut.
Ainsi, l’appariement entre un chômeur et un poste vacant
– diminue le nombre des chômeurs d’une unité,
– augmente l’emploi d’une unité,
– diminue le nombre des postes vacants d’une unité,
– augmente le nombre de postes occupés d’une unité.
La figure 1 est une représentation schématique de cet évènement.
Figure 1 – L’appariement entre un chômeur et un poste vacant.
Une fois conclu, le contrat de travail peut cesser pour de nombreuses raisons : commun accord de l’employeur et du salarié, licenciement, démission, départ à la retraite, accident, décès, etc. Le terme général pour désigner cet évènement est séparation (separation)
entre l’actif occupé et le poste. Lorsque la séparation se produit, la personne peut soit changer d’emploi (nouvel appariement) et rester
actif occupé, soit devenir chômeur, soit devenir inactif. Le poste peut changer de titulaire, devenir vacant ou disparaître.
Pour construire un modèle simple de ces appariements et séparations, il faut poser des hypothèses simplificatrices.
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Section 2. — Hypothèses simplificatrices
Pour simplifier, nous neutralisons provisoirement les entrées et sorties de la vie active (§1), puis nous effaçons toutes les particularités individuelles des situations concrètes, avec une hypothèse dite d’homogénéité (§2). Nous arrivons alors à un schéma très simple
(§3).
§ 1. — Hypothèse sur la population active
Limitons-nous, pour commencer, à un nombre donné d’actifs. Sous cette hypothèse, il n’y a ni entrée dans ni sortie de la vie active. Pour fixer les idées, nous supposerons une population active de 10 000 personnes, dont 500 au chômage, et donc 9 500 occupées,
à une date initiale.
§ 2. — Hypothèse d’homogénéité
L’hypothèse d’homogénéité consiste à admettre que tous les actifs sont équivalents aux yeux de toutes les entreprises et que tous
les postes de travail sont équivalents aux yeux de tous les actifs.
§ 3. — Implications
La combinaison de notre hypothèse de population active donnée et d’homogénéité a les implications suivantes.
– Un actif occupé ne démissionne pas (pourquoi démissionner si tous les postes sont équivalents ?). Par conséquent, sous nos hypothèses, seuls les chômeurs sont demandeurs d’emploi.
– Un employeur ne licencie pas un salarié pour le remplacer par un autre. Il ne le licencie que s’il supprime le poste.
– Toute séparation est à la fois un licenciement et une suppression de poste.
– Les entrées au chômage se font uniquement à la suite d’un licenciement.
– Les sorties du chômage se font uniquement à la suite d’un appariement.
Cette hypothèse réduit le nombre des flux de personnes à deux : les appariements (nécessairement entre un chômeur et un poste vacant) et les séparations. Alors, la partie droite de la figure 1 du chapitre précédent peut être précisée comme sur la figure 2.
Figure 2. – Les deux flux qui lient le stock des chômeurs et celui des actifs occupés
dans un modèle sans entrée ni sortie de la vie active.
Reste à faire des hypothèses simples sur ces séparations et de ces appariements.
Section 3. — Les entrées au chômage
Il nous faut une hypothèse sur les raisons des séparations (§1) et une sur leur rythme (§2).
§ 1. — Les chocs sur les postes occupés
Nous admettons que les entreprises maximisent leur profit (ou, plus précisément, leur espérance de profit). Alors, si à une date
donnée, un certain nombre de postes sont occupés, c’est que ces postes présentent des perspectives de profit positives. Si la situation
se modifie, certains postes peuvent cesser d’être profitables. Si tel est le cas, les firmes les supprimeront.
Pour employer le terme technique approprié, appelons choc sur les postes occupés tout évènement qui modifie la profitabilité d’un
ou plusieurs postes. On distingue les chocs globaux et les chocs spécifiques.
– Les chocs globaux affectent la profitabilité de tous les postes en même temps. Ces chocs sont à l’origine des variations de la
conjoncture.
– Les chocs spécifiques affectent un poste donné, sans affecter les autres. Ces chocs spécifiques sont dus soit à un changement des
goûts des consommateurs (qui cessent par exemple de demander le bien produit ou le demandent moins), soit à la concurrence d’autres
entreprises, qui ont trouvé un moyen de produire le même bien à meilleur marché, ou qui produisent un nouveau bien qui se substitue à
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celui qui était produit sur ce poste. En termes techniques, les chocs spécifiques sont dus à des changements dans les fonctions d’utilité
des consommateurs ou dans les fonctions de production des entreprises (innovations).
Pour avoir un modèle simple, admettons, pour commencer, les hypothèses suivantes.
– Seuls surviennent des chocs spécifiques. Les postes sont alors atteints indépendamment les uns des autres.
– Lorsqu’un choc se produit, il rend le poste qu’il atteint définitivement non profitable. Donc l’entreprise le supprime.
– Le salarié qui occupait le poste est alors licencié (et non pas reclassé).
– Puisqu’il ne sort pas de la population active, ce salarié devient chômeur.
Sous ces hypothèses,
– l’arrivée d’un choc sur un poste occupé,
– la suppression de ce poste,
– le licenciement de l’actif qui l’occupait,
– l’entrée au chômage de cet actif,
sont un seul et même évènement.
Nous supposons que ces évènements se produisent régulièrement, dans un sens à préciser.
§ 2. — La cadence des entrées au chômage
Nous n’avons pas besoin de poser une hypothèse de régularité métronomique, du genre : il entre une personne au chômage toutes
les 10 minutes. Il nous suffit d’une régularité plus générale, du genre : les entrées au chômage se font à la cadence d’une toutes les 10
minutes, ou, plus généralement, à une cadence c .
Techniquement, nous supposerons que les entrées au chômage suivent ce qu’on appelle un processus de Poisson de taux c ce qui
signifie que le nombre des entrées au chômage, au cours d’une période de durée d , est un nombre aléatoire, entier, nul ou positif.
Son espérance mathématique est proportionnelle à la longueur d de la période considérée. Précisons cela, sans excès de rigueur, sous
la forme de rappels de statistique.
Rappel 1. Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre
tière non négative avec la probabilité
Pr { X = n} = e − m
L’espérance mathématique d’une telle variable est
m > 0 si elle peut prendre n’importe quelle valeur n en-
mn
n!
n = 0,1, 2,...
E(X ) = m.
Rappel 2. Les entrées au chômage suivent un processus de Poisson de taux
cours d’une période de durée
c si le nombre X d des entrées qui se produisent au
d suit une loi de Poisson de paramètre cd :
Pr { X d = n} = e
− cd
( cd )
n
n = 0,1, 2,...
n!
Par conséquent, l’espérance mathématique du nombre des entrées au chômage pendant une période de longueur
d est
E ( X d ) = cd . Si la longueur de la période considérée est celle de l’unité de temps, d = 1 , l’espérance mathématique du nombre des
entrées au cours de cette période est c . C’est pourquoi c est appelé la cadence des entrées.
A titre d’illustration numérique, prenons le mois comme unité de temps, et supposons que, pendant un mois donné, la cadence des
entrées au chômage soit constante et égale à 200. Alors, la figure 3 vous donne les différentes valeurs possibles de X d , avec leur probabilité :
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
100
200
n
300
400
Figure 3. –Distribution du nombre mensuel des entrées au chômage selon un processus de Poisson de taux 200 par mois.
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Toutes les valeurs entières non négatives sont théoriquement possibles (aucune n’a une probabilité strictement nulle). Mais, comme
vous le voyez, seules les valeurs proches de l’espérance ont une probabilité non négligeable.
Rappel 3. Il est équivalent de dire que les entrées suivent un processus de Poisson de taux c et de dire que les durées qui séparent
deux entrées suivent une loi exponentielle de paramètre c .
Le rapport entre la loi de Poisson et la loi exponentielle dans un processus de Poisson est donc simplement le suivant : la première
s’applique au nombre d’évènements pendant une durée donnée, la seconde aux durées qui s’écoulent entre deux évènements.
Rappel 4. L’espérance mathématique d’une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre
Ainsi, si la cadence des entrées est
c est
1
.
c
c = 6 par heure, le temps qui s’écoule, en moyenne, entre deux entrées est de 10 minutes.
Quelle cadence retenir ? La plus logique des hypothèses simples est de supposer que la cadence
un moment donné est proportionnelle au nombre N des postes occupés à ce moment-là, soit
c des chocs affectant les postes à
c = sN
( s comme séparation). Ainsi, si on retient le mois comme unité de temps et si on pose s = 2% , alors, dans notre exemple numérique
où les actifs occupés sont 9 500, la cadence des chocs, donc des entrées au chômage, est :
c = 0, 02 × 9 500 = 190 (entrées au chômage par mois) à la date considérée.
Entre deux entrées au chômage, il s’écoule donc, en moyenne, un cent quatre-vingt dixième de mois (un peu moins de 4 heures, pour
un mois de 30 jours de 24 heures). Cette cadence reste constante tant que le nombre des actifs occupés reste constant.
Section 4. — Les sorties du chômage
Dans notre modèle,
– un appariement entre un chômeur et un poste vacant,
– le passage du poste en question du statut de poste vacant au statut de poste occupé,
– l’embauche du chômeur, donc son passage au statut d’actif occupé,
– la sortie du chômage de cet actif,
sont un seul et même évènement.
Comme pour les entrées au chômage, nous supposons que le nombre de ces évènements suit un processus de Poisson, dont nous
notons la cadence k . Par conséquent, l’espérance mathématique du nombre de sorties du chômage pendant n’importe quelle période
de longueur
d est kd . Le temps d’attente entre deux sorties suit une loi exponentielle de paramètre k , donc d’espérance
1
.
k
Quelle cadence retenir ? L’hypothèse la plus simple, mais pas la plus intuitive, est de supposer que la cadence des appariements est
proportionnelle au nombre des chômeurs :
k = fU
(
f comme to find). La cadence des sorties du chômage est alors constante tant que le nombre des chômeurs U est constant.
Mais, autant il était naturel d’admettre que la cadence des séparations était proportionnelle au nombre des actifs occupés, autant
supposer que la cadence des appariements est proportionnelle au nombre des chômeurs ne va pas de soi. En effet, un appariement résulte de la rencontre entre un chômeur et un employeur qui a un poste vacant. C’est donc l’aboutissement de deux activités de recherche, ou plus exactement, d’un processus de recherche mutuelle dans lequel sont impliqués un nombre U de chômeurs et un nombre
d’employeurs correspondant à V postes vacants, comme le rappelle la figure 1. On attend donc plus logiquement une cadence écrite
k = M (U , V )
M (comme matching) désigne une fonction appelée fonction d’appariement.
Ecrire que la cadence des appariements est proportionnelle au nombre des chômeurs, c’est donc apparemment oublier qu’un chômeur ne peut pas sortir du chômage, quoi qu’il fasse, s’il n’existe pas un poste vacant chez un employeur prêt à l’embaucher. Mais
nous verrons, au chapitre 12, de bonnes raisons de penser que V s’ajuste proportionnellement à U . C’est cette propriété qui permet
où
M (U ,V ) = fU . Ici, il vous est demandé de l’admettre provisoirement.
Si f = 20% , dans notre exemple numérique où les chômeurs sont 500, la cadence des sorties du chômage est
k = 0, 2 × 500 = 100 (appariements par mois) à la date considérée. Le temps qui s’écoule entre 2 appariements est, en moyenne, de
d’écrire
1 centième de mois (un peu plus de 7 heures, pour un mois de 30 jours de 24 heures).
Ayant ainsi précisé la cadence des entrées et celle des sorties du chômage, nous sommes en mesure de préciser l’évolution du nombre des chômeurs.
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Section 5. — Le nombre des chômeurs et son espérance mathématique
Le nombre des chômeurs à la date
t + d est égal à leur nombre à la date t , augmenté du nombre des entrées X d entre ces deux
dates, et diminué du nombre des sorties
Yd entre ces deux mêmes dates :
U ( t + d ) = U ( t ) + X d − Yd
X d et Yd , cette formule nous donne la loi de probabilité du nombre des chômeurs
à la date t + d (conditionnelle au nombre des chômeurs à la date t ). Voyons cela sur notre exemple numérique.
Puisque nous connaissons les lois de probabilité de
§ 1. — La variation du nombre des chômeurs
Dans notre exemple numérique, on part d’une situation initiale comptant 500 chômeurs.
a) Ce nombre va rester constant jusqu’à ce que survienne soit une séparation, soit un appariement. Quelle est la longueur de cette
période de constance ? Si on note T1 la date (aléatoire) de la première séparation après la date 0 et D1 , la date du premier appariement, la date du premier changement du nombre des chômeurs est la variable aléatoire
min (T1 , D1 ) . On démontre que, si le proces-
sus d’arrivée des chocs sur les postes occupés et le processus des appariements sont indépendants, ce qui est le cas avec nos hypothèses, cette variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre
Dans notre exemple numérique,
rée aléatoire d’espérance
( c + k ) , donc d’espérance
1
.
c+k
c = 190 et k = 100 . Par conséquent, le nombre des chômeurs reste égal à 500 pendant une du1
1
=
≃ 0, 003
c + k 290
soit environ 3 millièmes de mois (2h30 pour un mois de 30 jours de 24 h), dans notre exemple complètement théorique.
N.B. Si on considère que les séparations et les appariements ne se produisent que les jours ouvrables, alors en arrondissant grossièrement, on estime qu’en France, il y a chaque jour ouvrable environ 10 000 séparations (pas nécessairement des licenciements) et environ le même nombre d’appariements. Le nombre des chômeurs varie donc en France à une cadence de l’ordre de c + k = 20 000 ,
soit, si on se limite à 10 heures ouvrables par jour, environ toutes les 2 secondes.
b) A la fin de cette période (aléatoire) de constance, le nombre des chômeurs passera
– à 501 si le premier évènement qui se produit est une séparation,
– à 499 si le premier évènement qui se produit est un appariement.
On démontre que la probabilité que le premier évènement soit une séparation est
p=
et donc la probabilité que ce soit un appariement,
1− p =
c
c+k
k
.
c+k
Dans notre exemple numérique,
p=
190
= 0, 6552
190 + 100
et
1 − p = 0,3448
c) Considérons le premier cas. Si le nombre des chômeurs passe à 501, alors, le nombre des actifs occupés passe de 9 500 à 9 499.
La cadence des séparations se modifie donc et passe à 2% de 9 499, soit c = 189,98 . De même, la cadence des appariements se modifie et passe à
k = 100, 2 . Le nombre des chômeurs reste alors à 501 pendant une durée aléatoire, d’espérance
1
1
=
189, 98 + 100, 2 290,18
donc un peu plus faible que la précédente. Après quoi, il passe
– soit à 502 avec une probabilité
p=
– soit à 500 avec une probabilité
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189, 98
= 0, 6547
290,18
1 − p = 0,3453 . Etc.
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d) Dans le deuxième cas, le nombre des chômeurs passe de 500 à 499. Alors, le nombre des actifs occupés passe à 9 501. La cadence des séparations devient c = 190, 02 , la cadence des appariements passe à k = 99,8 . Le nombre des chômeurs reste à 499
pendant une durée aléatoire, d’espérance
1
289,82
donc supérieure aux deux durées de constance précédents. Après quoi, il passe
– soit à 500 avec une probabilité
p=
– soit à 498 avec une probabilité
190, 02
= 0, 6556
289,82
1 − p = 0, 3444 . Etc.
Ainsi, après 1 évènement (1 séparation ou 1 appariement), le nombre des chômeurs a 2 valeurs possibles : 499 ou 501. Après 2
évènements (2 séparations, ou 2 appariements, ou 1 appariement et 1 séparation), il a 3 valeurs possibles : 498, 500 et 502. Etc.
La figure 4 représente quelques débuts de trajectoires possibles pour le nombre de chômeurs de notre exemple numérique, avec les
probabilités de chaque valeur future, conditionnelles à la valeur actuelle.
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502
0,6547
501
0,3453
0,6552
500
500
500
0,3448
0,6556
499
0,3444
498
0
t1
t2
t3
Figure 4. – Quelques (débuts de) trajectoires possibles du nombre des chômeurs.
Sur la figure 4, le trait plein qui part de 500 s’arrête à la date
t1 . Il aurait pu s’arrêter plus tôt, ou plus tard. Certes, au moment de
l’arrêt, la trajectoire passe nécessairement à 501 ou à 499, avec les probabilités indiquées. Mais il y a autant de (débuts de trajectoires)
que de dates possibles pour ce premier changement, donc une infinité. Le même commentaire peut être fait pour toutes les dates suivantes.
§ 2. — L’espérance mathématique du nombre des chômeurs
Le nombre des chômeurs
U ( t ) à la date t est donc un nombre entier, qui reste constant pendant une durée dont nous connaissons
la loi de probabilité, puis passe soit à l’entier
U ( t ) + 1 soit à l’entier U ( t ) − 1 , avec des probabilités que nous savons calculer. Sa
trajectoire se présente donc comme une fonction en escalier.
Le nombre de ces trajectoires possibles est infini. Mais cela n’empêche pas de calculer celle de l’espérance mathématique de ce
nombre des chômeurs. Cette espérance mathématique, contrairement au nombre des chômeurs, n’est pas nécessairement un nombre
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entier, et elle est une fonction continue du temps. Si nous notons
U ( t ) le nombre aléatoire des chômeurs à la date t , la notation de
son espérance à la date
t devrait être :
(
E U (t ) U (0) = U 0
)
Mais, une fois bien entendu que
– le nombre des chômeurs à la date t est une variable aléatoire,
– que nous ne pouvons pas nous intéresser à des variations purement accidentelles (des déviations par rapport à l’espérance qui sont,
en moyenne, nulles),
nous négligerons systématiquement l’écart entre le nombre effectif des chômeurs et son espérance mathématique. Nous nous permettrons de dire « nombre des chômeurs » là où nous devrions, en toute rigueur, dire « espérance mathématique du nombre des chômeurs ». Et (pire !) nous noterons cette espérance comme nous notons le nombre, soit
U (t ) .
Au bout du compte, le nombre des entrées au chômage, le nombre des sorties du chômage, donc le nombre des chômeurs sont aléatoires. Il en découle que le nombre des actifs occupés (population active moins chômeurs) et le taux de chômage (nombre de chômeurs
divisé par nombre des actifs) le sont aussi. Et, pour toutes ces grandeurs aussi, nous dirons nombre et taux là où nous devrions dire espérance du nombre et espérance du taux. Les seules grandeurs qui ne sont pas aléatoires dans notre modèle sont celles que nous nous
sommes données :
– les valeurs initiales :
– les paramètres
Ls et U 0 , dont nous tirons N 0 et le taux de chômage initial u0 =
U0
;
Ls
s et f .
On démontre (pour une démonstration propre, voyez, par exemple, Sheldon M. Ross, Introduction to Probability Models, Harcourt, 7e édition, 2000) que l’espérance mathématique du nombre des chômeurs varie comme la différence entre la cadence des entrées
et la cadence des sorties. Formellement :
dU ( t )
dt
= Uɺ ( t ) = sN ( t ) − fU ( t )
Si la cadence des entrées au chômage et la cadence des sorties sont égales, le nombre des chômeurs peut certes augmenter ou diminuer
accidentellement, mais en moyenne ou en espérance, il reste stable. Si au contraire, la cadence des entrées est plus élevée que celle des
sorties, l’espérance mathématique du nombre des chômeurs augmente. Dans le cas inverse, elle diminue.
*
* *
Au terme de ce chapitre, nous acceptons donc de dire nombre et taux pour désigner ce qui est, en toute rigueur, leur espérance.
D’autre part, avec nos hypothèses, à partir d’une situation initiale quelconque, toutes les grandeurs de notre modèle évoluent en fonction de 2 paramètres, s et f .
Nous allons maintenant voir que les trajectoires de ces grandeurs ne sont pas quelconques, mais qu’elles tendent vers des grandeurs
stationnaires indépendantes de la situation initiale. En particulier, le taux de chômage tend vers une valeur d’équilibre qui mérite d’être
analysée. Tel est l’objet du chapitre suivant.
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