chap 4 triangle particulier cercle circonscrit

CHAPITRE 4
LES TRIANGLES : CONSTRUCTION AU RAPPORTEUR
TRIANGLES PARTICULIERS et CERCLE CIRCONSCRIT
I Triangle isocèle :
Rappel :
Propriété (admise) :
A
…si un triangle est isocèle alors il a deux angles de même mesure…
Propriété réciproque (admise) :
……… si un triangle a deux angles de même mesure alors c’est un
triangle isocèle …………
B
C
II Triangle équilatéral :
1) Rappel :
Propriété :
E
…si un triangle est équilatéral alors il a 3 angles de même mesure…
Propriété réciproque (admise) :
……Si un triangle a 3 angles de même mesure alors c’est un triangle
équilatéral…………………
V
I
2) Remarque :
Les trois angles mesurent tous 60 °
III Triangles rectangles :
1) Construction :
Soit GUS un triangle rectangle en U c'est à dire que GUS est un angle droit.
[GS] est l'…hypoténuse……. du
G
triangle GUS rectangle en U.
F
U
S
2) Remarque :
Il existe aussi des triangles rectangles isocèles.
Ils possèdent les propriétés des triangles rectangles et isocèles.
Construis un triangle FBI rectangle isocèle en I tel que
IF = 5 cm et code la figure correctement.
I
F
IV Construction d’autres triangles à l’aide des angles :
Exercices types : Trace les triangles ABC suivants
1er cas :
2
ème
AB = 6 cm , AC = 4 cm
cas :
BC = 7 cm ,
et
BAC = 70°
ABC = 110° et
BCA = 40°
Passer du tps sur les 2 cas pour la constr. du tri.
"BAC est aigu donc plus petit que l'angle droit."
V Utilisation du compas :
Méthode : comment reproduire un angle si on n’a pas de rapporteur ?
a) Nomme le sommet I et un point L et S sur chaque demi-droite
b) Trace une demi droite d’origine I et reporter la longueur de [IL]pour obtenir L
c) Reporte les longueurs de [IS] et [LS] au compas pour obtenir S
d) Trace [IS)
I
Cela revient à tracer un triangle de même longueur de côtés qu’ ILS
S
L
VI Médiatrice et cercle circonscrit :
1) Exercice d’introduction :
a) Kévin et Nicolas ont tous les deux leur arbre fétiche. Ils aiment faire
la course en partant chacun de leur arbre. Place deux points K et N
distants de 4 cm pour représenter leurs arbres.
b) Pour choisir le point d’arrivée de leur course, il faut construire
en bleu l’ensemble des points à égale distance des deux arbres K et N
et y placer un drapeau.
c) Comment se nomme la droite obtenue ? la médiatrice
Arrivée
K
N
2) Définition de la médiatrice d’un segment :
La médiatrice d’un segment est la droite …perpendiculaire à ce segment en son milieu……….
3) Propriété (admise) :
a) Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est situé à égale distance des extrémités de ce
segment.
b) Réciproquement: si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il est situé sur la médiatrice
de ce segment.
4) Construction de la médiatrice d’un segment [AB] :
B
B
A
A
arrivéeKN
5) Exercice d’introduction suite n°1 :
Nous retrouvons Kévin et Nicolas et le dessin de la partie 1).
d) Gabin a aussi son arbre G et il aimerait faire la course avec Nicolas.
Trace en rouge l’ensemble des points situés à égale distance de Gabin et de Nicolas.
G
arrivéeNG
e) Kévin s’ennuie, il propose d’organiser une course à trois.
Où peuvent-ils planter leur drapeau ?
Il faut un point qui soit aussi à la même distance de Kévin et de Gabin
On trace la médiatrice de [KG]
K
K
G
N
N
Les trois enfants doivent courir jusqu’au point d’intersection des trois médiatrices.
6) Propriété (admise) :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes
1) Construire un triangle BAC.
2) a) Construire D la médiatrice du segment [AB] puis ∆ la médiatrice du segment [CA]. Soit O le point d’intersection des droites D
et ∆.
b) Démontrer que OA= OB et OA= OC.
3) Démontrer que O appartient à la médiatrice du segment [BC].
4) Que peut-on en conclure?
2) c) On sait que O appartient à la médiatrice de [AB] donc OA=OB.
On sait que O " " " " " " " " [AC] donc OA=OC.
3) On a démontré que OA=OB et OA= AC donc OB=OC. Par suite O est à la même
G
distance de B et C. donc O appartient à a médiatrice de [BC].
Y
4) O est le point de concours (d'intersection) des trois médiatrices du triangle ABC
de plus OA=OB=OC donc O est le centre du cercle passant par les trois points A,B,C.
7) Exercice d’introduction suite n°2 :
Nous retrouvons Kévin, Nicolas et Gabin et le dessin de la partie 5).
f) Yann n’a pas d’arbre mais il veut courir avec ses camarades.
Nicolas est catégorique : « si tu veux jouer avec nous, ton arbre
doit être aussi loin du drapeau que les nôtres ! ».
Trace l’ensemble des points possibles pour l’arbre de Yann.
Sur un cercle de centre le drapeau et de rayon la distance
du drapeau à l’un des enfants
D
K
N
8) Définitions :
Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle est appelé cercle circonscrit
Le point d’intersection des trois médiatrices est centre du cercle circonscrit
9) Exercices types :
Sur les deux triangles tracés au IV , construis pour chacun les médiatrices des côtés du triangle, puis leur cercle
circonscrit.
Repasse AB en rouge et faire
tracer sa médiatrice. Tourner la
feuille et repasse AC en vert et
faire tracer…
10) Remarque :
Il suffit de tracer deux médiatrices pour l’obtenir.
le centre du cercle circonscrit n’est pas nécessairement à l’intérieur du triangle
le cercle circonscrit à un triangle est l’unique cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle
VII Exercice types :
1) Triangle équilatéral :
Trace un triangle équilatéral de côté 5 cm et son cercle circonscrit.
2) Triangle rectangle :
Trace un triangle rectangle de côtés de l’angle droit mesurant 6 cm et 4 cm puis son cercle circonscrit.
Que remarques tu ? Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.