13 - Mouvements de particules chargées

Physique
Mécanique
MOUVEMENTS DE PARTICULES CHARGEES
MOUVEMENTS DE PARTICULES CHARGEES
Plan
(Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe)
**********************
I.
Force de Lorentz. ............................................................................................................................. 1
II.
Particule (q, m) dans E permanent. ............................................................................................. 1
III.
Particule (q, m) dans B permanent. ............................................................................................. 2
IV.
V.
VI.
Particule (q, m) dans E et B permanents. ................................................................................... 4
Applications. ...................................................................................................................................... 6
Cas d’un électron dans un métal.................................................................................................... 7
**********************
I.
Force de Lorentz.
Dans un référentiel galiléen, toute particule chargée, de charge q, animée d’une vitesse v ,
placée dans un champ électromagnétique (E , B) (permanent ou non) est soumise à la force de
Lorentz :
FLorentz = q (E + v ∧ B)
Il s’agit d’un des postulats fondamental de l’électromagnétisme.
Rem. : la composante magnétique de cette force, Fm = q v ∧ B , est appelée force de Laplace.
II.
Particule (q, m) dans E permanent.
La seule force prise en compte sera la force électrique qE .
II.1.
d
E parallèle à v 0 :
On cherche à accélérer une particule
chargée de vitesse initiale v0 :
v0
•
E q
U
•
E
S
v
x
Pour q > 0, il faut orienter E dans le sens de v 0 .
On peut par exemple utiliser un condensateur plan ; U = Ed est la « ddp accélératrice ».
Par application du TEC, on obtient :
1
1
mv2 mv02 = q U (q U > 0)
2
2
En général, v0 << v, donc la vitesse de sortie de la particule est :
v≈
Page 1
2 qU
m
François MORAND
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II.2.
y
E perpendiculaire à v 0 :
v
On cherche à dévier une particule
chargée de vitesse initiale v 0 .
d
0
•
v0
•
(q > 0, U > 0)
α
x
E
U>0
l
Appliquons la RFD à la particule :
m a = qE
Soit par projection :
oo
x=0
oo
x(t) = v0t
qE
m
y=
⇒
y(t) =
oo
z=0
1 qE 2
t
2 m
z(t) = 0
La trajectoire est donc une parabole dans le plan 0xy, d’équation :
y=
1 qE
x2
2 mv 0 2
A la sortie du condensateur, la particule est en TRU à la vitesse v .
La grandeur intéressante est la déviation α telle que :
1 qE l 2
2 mv 0 2
y(l)
=
tan α =
l /2
l /2
Soit :
III.
tan α =
qE l
mv 0
2
=
qUl
dmv 0
2
Particule (q, m) dans B permanent.
L’application du TPC dans (R) galiléen donne :
dE C
= (q v ∧ B ). v = 0
dt
1
mv2
2
Donc
EC = cste =
Soit :
v = cste = v0
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Le mouvement d’une particule chargée dans un champ B est donc uniforme.
III.1. B perpendiculaire à v 0 :
•
B = Bz
dv
= + qv ∧ B
dt
dv
= - ω C ∧ v , en posant
dt
Ou encore :
y
•
x
Par application de la RFD :
m
v0
•
0
ωC =
qB
m
En projection sur z :
oo
z = - ( ω C ∧ v ). z = 0
•
o
⇒
z = cste = 0
⇒
z = cste = 0 : le mouvement est plan dans le plan 0xy.
En projection sur n , vecteur normal principal à la trajectoire :
0z
•
v2
= - (ωC z ∧ v t ). n
R
y
n
= ωC v
• B
•M
t
Comme
v = v0 = cste :
R=
v0
m v0
= cste
=
ωC
qB
La rayon de courbure est constant : la trajectoire est donc circulaire, décrite à la pulsation ωC =
qB
, appelée pulsation cyclotron.
m
Rem. : les résultats précédents ont été écrits avec q > 0. Pour q < 0, ωC =
0z
v0
C•
• B
x
m
et R =
m v0
qB
.
y
R
•q>0
R
qB
B
•
C
•
0z
•q<0
v0
y
x
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III.2. B non perpendiculaire à v 0 :
z
B = Bz
B
v 0 = (cos α y + sin α z )
v0
α
0
y
On a toujours :
x
•
m
⇒
dv
= q v∧ B
dt
dv
= - ωC ∧ v
dt
En projection sur z :
oo
z=0
o
⇒
z = cste = v0 sin α
z(t) = (v0 sin α) t
D’où :
Le mouvement selon 0z est uniforme, de vitesse v0 sin α.
o
v = z z + V
Posons alors :
•
En projection sur le plan 0xy, on a :
m
dV
=q V ∧ B
dt
, avec V0 = (v0 cos α) y
On est donc ramené au problème précédent, avec v0 → v0 cos α.
La trajectoire projetée dans le plan 0xy est donc un cercle, de rayon R =
pulsation ωC =
IV.
m v 0 cos α
, décrit à la
qB
qB
(pour q > 0). Ainsi, la trajectoire est hélicoïdale.
m
Particule (q, m) dans E et B permanents.
v0 = O
On se limite du cas où
z
E ⊥ B
B
•
0
y
On suppose que la particule est en 0 à t = 0.
E
x
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