Etude des symétries en physique des particules

UFR de Mathématique et d’Informatique
Magistère de Mathématique de Strasbourg
Etude des symétries en physique des
particules
Rapport de stage de deuxième année de Magistère
Rédigé par Thomas Richez
Sous la direction de M. Rausch De Traubenberg
Année : 2011/2012
1
La théorie, c’est quand on sait tout et que rien ne fonctionne.
La pratique, c’est quand tout fonctionne et personne ne sait pourquoi.
Si la pratique et la théorie sont réunies, rien ne fonctionne et on ne sait pas pourquoi.
Albert einstein.
2
Table des matières
Introduction
5
Notations
6
1 Groupes, algèbres et super-algèbres de Lie
1.1 Rappels de géométrie différentielle . . . . . . . . . . .
1.2 Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définitions et premiers résultats sur les groupes
1.2.2 Exemples de groupes de Lie . . . . . . . . . . .
1.2.3 Sous-groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Groupe de Lie à un paramètre . . . . . . . . .
1.3 Algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie matriciel . .
1.3.3 Exemples d’algèbres de Lie . . . . . . . . . . .
1.3.4 Complexification d’algèbres de Lie réelles . . .
1.4 Superalgèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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de Lie
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2 Théorie des représentations : applications aux groupes
de Lie
2.1 Définitions et premières propriétés des représentations . .
2.2 Représentations réductibles, irréductibles et unitaires . . .
2.2.1 Représentations réductibles et irréductibles . . . .
2.2.2 Représentations unitaires . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Opérations sur les représentations . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Représentation duale . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Représentation conjuguée . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Somme directe de représentations . . . . . . . . . .
2.4.4 Produit tensoriel de représentations . . . . . . . .
2.5 Représentations irréductibles de SU (2) et SO(3) . . . . .
3
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et algèbres
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2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
Bijectivité entre les représentations de g et gC . .
Représentations irréductibles de sl(2, C) et su(2)
Représentations irréductibles de SU (2) . . . . . .
Représentations irréductibles de SO(3) . . . . . .
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3 Symétries en physique des particules
3.1 Introduction des symétries en mécanique quantique . . . . . . . .
3.1.1 Formalisme de la mécanique quantique et symétries . . . .
3.1.2 Théorème de Wigner et sa démonstration . . . . . . . . .
3.1.3 Représentation projective . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Vers les algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Vers la relativité restreinte : le groupe de Lorentz et de Poincaré
3.2.1 Quelques conventions et notations . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Espace-temps de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Définition et structure du groupe de Lorentz . . . . . . . .
3.2.4 Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Algèbre de Lie du groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Description explicite de l’algèbre de Lie de Poincaré . . .
3.3.2 Générateurs de l’algèbre de Lie de Poincaré . . . . . . . .
3.3.3 Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Opérateurs de Casimir : masse et spin . . . . . . . . . . .
3.3.5 Interprétation des opérateurs P 2 et W 2 . . . . . . . . . .
3.4 Représentations irréductibles du groupe de Poincaré . . . . . . .
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Remerciements
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Bibliographie
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4
Introduction
Certains disent que les mathématiques sont au service de la physique, d’autres
diront que la physique n’est qu’une application approximative des théories mathématiques. Toujours est-il que mathématiques et physique ont toujours été trés liés :
des découvertes mathématiques ont dans l’histoire permis de faire avancer les sciences
physiques, et à d’autres moment, l’incompréhension d’un phénomène physique a pu
être une motivation pour développer un domaine des mathématiques. C’est ce genre
de relations entre mathématiques et physique que j’ai souhaité découvrir au cours de
mon stage, dont je vais vous en faire le rapport.
La première partie est consacrée à l’étude des groupes et algèbres de Lie avec au
préalable quelques rappels de géométrie différentielle. On y étudiera ces différentes
notions, des exemples et nous étudierons les liens qu’il existe entre groupes et algèbres
de Lie.
Dans une seconde partie, toujours orientée mathématique, nous étudierons les
représentations de groupes et d’algèbres de Lie. On y découvrira notamment les représentations irréductibles ainsi qu’une construction détaillée des représentations irréductibles de dimension finie de l’algèbre de Lie sl(2, C). Cette partie étant achevée,
on entrera alors dans le vif du sujet puisqu’il sera question d’appliquer ces différentes
notions en physique des particules : c’est l’objet du troisième chapitre de ce rapport.
C’est en effet dans cette troisième partie qu’on abordera la théorie de la relativité restreinte où on introduira l’espace-temps de Minkowski ainsi que les groupes de
symétries de Lorentz et de Poincaré. On étudiera leurs structures et générateurs afin
de pouvoir construire les opérateurs de Casimir de la masse et du spin. Nous verrons
alors toute l’efficacité de la théorie des groupes et ses applications dans l’étude des
particules élémentaires.
5
Notations
– K désigne un corps, généralement R ou C.
– L(E, F ) l’espace des applications linéaires de E dans F . Si E = F , on note plus
simplement L(E).
– Le dual d’un espace vectoriel E est noté E ∗ .
– Si M ∈ Mn,p (K), on note t M sa transposée et T r(M ) sa trace.
– L’adjoint d’un endormorphisme A est noté A† .
– La notation δij est réservée au symbôle de Kronecker.
6
Chapitre
1
Groupes, algèbres et super-algèbres de
Lie
Ce premier chapitre a pour but d’introduire les notions de mathématiques qui
nous seront essentielles dans notre étude des symétries en physique. On commence
par quelques rappels de géométrie différentielle, principalement issus de [8], afin de
resituer les énoncés dans leur contexte et pour introduire quelques notations.
1.1
Rappels de géométrie différentielle
Définition 1.1.1 (Variété topologique et carte locale) : Une variété topologique M
est un espace topologique séparé tel que pour tout p ∈ M , il existe un ouvert U de
M contenant p et un homéomorphisme ϕ : U → W où W est un ouvert de Rn . Dans
ce cas, on dit que la variété M est de dimension n. Le couple (U, ϕ) est appelé une
carte locale de M .
Définition 1.1.2 (Atlas) : Soient M une variété topologique et {(Ui , ϕi )}i∈I un
ensemble de cartes locales. Si la famille des {Ui }i∈I constitue un recouvrement ouvert
de M , celle-ci est appelée un atlas de M .
Définition 1.1.3 (Atlas de classe C r ) : Soient M une variété topologique et {(Ui , ϕi )}i∈I
un atlas. Cet atlas est dit de classe C r si pour tous i, j tels que Ui ∩ Uj 6= ∅, l’applir
cation ϕj ◦ ϕ−1
i : ϕi (Ui ∩ Uj ) → ϕj (Ui ∩ Uj ) est de classe C .
Définition 1.1.4 (Variété différentiable) : On dit qu’une variété topologique M
est une variété différentiable de classe C r (r ∈ N∗ ) s’il existe un atlas {(Ui , ϕi )}i∈I de
M de classe C r .
Définition 1.1.5 (Coordonnées locales) : Soit (U, ϕ) une carte locale d’une variété
différentiable M . Pour p ∈ U , ϕ(p) ∈ Rn peut s’écrire ϕ(p) = (x1 (p), . . . , xn (p)). Les
n applications x1 , . . . , xn sont appelées les applications coordonnées associées à cette
carte et la famille (x1 (p), . . . , xn (p)) est la famille des coordonnées de p dans la carte
(U, ϕ).
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Définition 1.1.6 (Espce tangent) : Soit p un point d’une variété M . On note C
l’ensemble des courbes γ : [−1, 1] → M telles que γ(0) = p. Il existe ε > 0 suffisamment petit tel que γ([−ε, ε]) ⊂ U pour un ouvert U d’une carte locale (U, ϕ). Notons
γ i (t) = xi (γ(t)) sur cet intervalle, où les xi sont les applications coordonnées associées
à la carte locale (U, ϕ). On définit sur C, la relation d’équivalence suivante :
i 0i dγ (t)
dγ (t)
0
γ∼γ
⇐⇒
=
.
dt
dt
|t=0
|t=0
Par définition, l’espace tangent en p à M , noté Tp M , est l’ensemble des classes d’équivalences dans C pour cette relation.
Intuitivement, deux courbes γ, γ 0 sont identifiées si elles ont le même « vecteur
tangent » en 0 dans Rn sur n’importe quelle carte locale. Si M est la sphère dans R3 ,
l’espace tangent en un point de la sphère n’est rien d’autre que le plan tangent à la
sphère en ce point.
La partie suivante est consacrée aux groupes de Lie et plus particulièrement aux
groupes de Lie matriciels. Ce sont ces derniers qui nous intéresseront.
1.2
1.2.1
Groupes de Lie
Définitions et premiers résultats sur les groupes de Lie
On définit ici les principales notions que nous utiliserons avant de les illustrer par
des exemples.
Définition 1.2.1 (Groupe de Lie) : Un groupe de Lie réel (resp. complexe) est une
variété différentiable (resp. analytique complexe) munie d’une structure de groupe
telle que les applications produit et inverse soient lisses, c’est-à-dire de classe C ∞
(resp. analytique).
Définition 1.2.2 (Dimension d’un groupe de Lie) : La dimension d’un groupe de
Lie G est la dimension de la variété sous-jacente.
En particulier, tout groupe de Lie complexe est un groupe de Lie réel dont la
dimension est double. Ces relations entre groupes de Lie réels et complexes seront
détaillées dans la suite.
Définition 1.2.3 (Morphisme et isomorphismes de groupe de Lie) : Un morphisme
de groupes de Lie f est une application continue qui est un morphisme de groupes. On
dit de plus que f est un isomorphisme si f est bijective et si son inverse est également
une application continue.
Définition 1.2.4 (Groupe de Lie compact et connexe) : Un groupe de Lie est
dit compact (resp. connexe) si l’espace topologique sous-jacent est compact (resp.
connexe).
Définition 1.2.5 (Groupe de Lie simplement connexe) : Un grourpe de lie G est
simplement connexe s’il est connexe par arcs et si son groupe fondamental est trivial
(π1 (G) = {∗}).
8
Dans notre étude, nous aurons principalement besoin d’un type particulier de
groupes de Lie : les groupes de Lie matriciels. La définition suivante, équivalente à
la définition usuelle des groupes de Lie matriciels, permettra de les caractériser plus
facilement.
Définition 1.2.6 (Groupe de Lie matriciel) : Un groupe de Lie matriciel est un
sous-groupe fermé G de GLn (C). Autrement dit, un sous-groupe G ⊂ GLn (C) est un
groupe de Lie matriciel si la propriété suivante est vérifiée : si (An )n∈N ⊂ G est une
suite convergente vers un élément A ∈ Mn (C), alors A ∈ G ou A 6∈ GLn (C).
Dans le cadre de ce stage et dans tout ce qui suit, tous les groupes de Lie considérés
seront des groupes de Lie matriciels. Aussi, l’expression « groupe de Lie » signifiera
« groupe de Lie matriciel ». Toutefois, cette restriction n’est pas vraiment conséquente
d’après le théorème suivant.
Théorème 1.2.1 (de Ado) : Tout groupe de Lie est localement isomorphe à un
groupe de Lie matriciel.
Proposition 1.2.1 (Compacité des groupes de Lie matriciels) : Un groupe de Lie
G est compact s’il est fermé et borné dans Mn (K) (la norme utilisée importe peu car
en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes). Autrement dit, G est compact
si les deux propriétés suivantes sont vérifiées :
– Pour toute suite (gn )n∈N ⊂ G, gn → g ∈ Mn (K) ⇒ g ∈ G.
– Il existe une constante C ∈ R≥0 telle que pour tout A ∈ G et tous 1 ≤ i, j ≤ n,
|Aij | ≤ C.
Proposition 1.2.2 (Connexité des groupes de Lie matriciels) : Un groupe de Lie G
est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs, c’est-à-dire si pour toutes matrices
M, N ∈ G, il existe une application continue γ : [0, 1] → G telle que γ(0) = M et
γ(1) = N .
1.2.2
Exemples de groupes de Lie
Voyons à présent les principaux exemples de groupes de Lie (matriciels). Dans
toute cette partie, K désignera R ou C.
Le groupe GL(n, K)
Le premier exemple est le groupe linéaire GL(n, K). Il s’agit du groupe des matrices
inversibles de Mn (K) :
GL(n, K) = {M ∈ Mn (K) | det(g) 6= 0}.
Le groupe GL(n, K) est effectivement un groupe (on ne le démontre plus) pour la
multiplication des matrices. Ce groupe est ouvert dans Mn (K) en tant que préimage
2
de l’ouvert K∗ par l’application continue det. Il est isomorphe à Kn . Autrement dit,
GL(n, K) est une variété différentielle. Pour que ce soit un groupe de lie, il suffit
9
de constater que la loi de multiplication et l’opération de passage à l’inverse sont
différentiables, ce qui est clairement le cas puisque
(ab)ij =
n
X
aik bkj
et A−1 =
k=1
1 t
Com(A),
det(A)
où Com(A) désigne la comatrice de A. Une autre manière de montrer que GL(n, K) est
bien un groupe de Lie matriciel est d’utiliser notre définition précédente. Le résultat
est alors immédiat.
Proposition 1.2.3 : Le groupe de Lie GL(n, K) n’est pas compact. Si K = C, il
est connexe et si K = R, il possède deux composantes connexes.
Démonstration. Il est non compact car nIn ∈ GL(n, K) pour tout n ∈ N∗ . De plus les
affirmations de connexité découlent principalement du fait que l’application det est
continue et que R∗ n’est pas connexe mais C∗ l’est.
Le groupe SL(n, K)
Le groupe spécial linéaire SL(n, K) est un autre groupe de Lie. Celui-ci est défini
par
SL(n, K) = {M ∈ GL(n, K) | det(g) = 1}.
Toujours par continuité du déterminant, SL(n, K) = det−1 ({0}) est fermé dans GL(n, K)
et définit ainsi un groupe de Lie.
Proposition 1.2.4 : Le groupe de Lie SL(n, K) est non compact mais est connexe.
Les groupes O(n) et SO(n)
Autres groupes que nous serons ammenés à considérer : le groupe orthgonal O(n, K)
et SO(n, K). Si K = R, on notera plus simplement O(n) et SO(n). Ces groupes sont
définis de la manière suivante :
O(n, K) = {M ∈ GL(n, K) | t M M = In },
SO(n, K) = {M ∈ GL(n, K) | t M M = In et det(M ) = 1} ⊂ O(n, K).
On remarque en particulier que toute matrice de O(n, K) est de déterminant ±1. Ceci
s’appuie sur la multiplicativité du déterminant puisque
M ∈ O(n, K) =⇒ det(t M M ) = det(t M )det(M ) = det(M )2 = 1.
La multiplicativité du déterminant est également utilisée pour montrer que SO(n, K)
est un sous-groupe de GL(n, K). Ce sont également des groupes de Lie. Ceci se montre
facilement en utilisant la caractérisation séquentielle et la continuité du déterminant.
Rappelons également que O(n) est le groupe des matrices carrés réelles de tailles n×n
laissant invariant le produit scalaire (·, ·) usuel sur Rn , c’est-à-dire que pour x, y ∈ Rn
et M ∈ O(n), on a (M x, M y) = t xt M M y = t xy = (x, y).
10
Proposition 1.2.5 : Le groupe O(n) est compact mais possède deux compossantes
connexes tandis que le groupe SO(n) est compact et connexe.
Démonstration. La compacité de O(n) est claire. En effet, on a d’une part que O(n) est
fermé car si une suite (Mk )k∈N ∈ O(n) tend vers une matrice M , alors on a pour tout
k ∈ N, t Mk Mk = In et ainsi, on a encore par passage à la limite t M M = In . D’autre
P
part, pour tout M = (mij ) ∈ O(n) et tout 1 ≤ j ≤ n, ni=1 m2ij = 1 car les colonnes
de M constituent une base orthonormée de Rn . Il s’agit là d’une autre caractérisation
des matrices de O(n). En particulier, pour tous i, j, |mij | ≤ 1. Donc O(n) est borné,
donc compact. La compacité de SO(n) est alors immédiate, car SO(n) est fermé dans
O(n). En ce qui concerne la connexité, O(n) n’est pas connexe car {−1, +1} ne l’est
pas. La continuité du déterminant permet de conlure. La connexité de SO(n) est
admise.
Remarque 1.2.1 : Bien que SO(n, K) soit un groupe, ce n’est pas le cas de l’ensemble
des isométries négatives O(n, K)\SO(n, K).
Les groupes U (n) et SU (n)
On considère à présent le groupe unitaire U (n) et spécail unitaire SU (n) définis
par
U (n) = {M ∈ GL(n, C) | g † g = In }
SU (n) = {M ∈ U (n) | det(M ) = 1}.
Par analogie avec O(n), le groupe U (n) est le groupe des matrices à coefficients complexes laissant invariant la forme hermitienne usuelle sur Cn :
(x, y) =
n
X
xi yi ,
pour x, y ∈ Cn .
i=1
Là encore, il s’agit de deux groupes de Lie. Rappelons encore que si M ∈ U (n), alors
|det(M )| = 1.
Proposition 1.2.6 : Les groupes U (n) et SU (n) sont compacts et connexes.
On a également la proposition suivante.
Proposition 1.2.7 : Le groupe SU (2) est simplement connexe.
Le groupe O(p, n − p) et SO(p, n − p)
Terminons ces quelques exemples de groupes de Lie classiques par le groupe
pseudo-orthogonal O(p, n − p) et le groupe spécial pseudo-orthgonal SO(p, n − p).
Ceux-ci sont définis par
O(p, n − p) = {M ∈ GL(n, R) | t M ηM = η},
SO(p, n − p) = {M ∈ O(p, n − p) | det(M ) = 1},
11
où η = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1). Ce sont là encore deux autres groupes de Lie. Les
| {z } | {z }
p f ois
n−p f ois
matrices de O(p, n − p) sont les matrices de GL(n, R) laissant invariante la forme
bilinéaire
n
n
X
X
(x, y) =
xi ηij yj =
ηi xi yi .
i,j=1
i=1
Proposition 1.2.8 : Les groupes pseudo-orthgonal O(p, n − p) et spécial pseudoorthogonal SO(p,n-p) ne sont ni compacts, ni connexes.
Dans la troisème partie de ce rapport, nous étudierons plus en détail le groupe
de Lorentz SO(1, 3). Il s’agit d’un groupe de symétries d’espace-temps intervenant en
théorie de la relativité restreinte.
1.2.3
Sous-groupes de Lie
Définition 1.2.7 (Sous-groupe de Lie) : Soit G un groupe de Lie. Un sous-groupe
H de G est appelé sous-groupe de Lie si H, muni de la même loi héritée de G, est un
groupe de Lie.
Le théorème met en évidence une condition suffisante pour qu’un sous-groupe d’un
groupe de Lie soit un sous-groupe de Lie. Cette condition est souvent utile dans la
pratique.
Théorème 1.2.2 (de Cartan) : Tout sous-groupe fermé d’un groupe de Lie en est
une sous-variété et est canoniquement muni d’une structure de groupe de Lie. Plus
précisément, soient G un groupe de Lie et H ⊂ G un sous-groupe de G. Si pour toute
suite (hn )n∈N ⊂ H convergente dans G, on a limn→+∞ hn ∈ H, alors H est un groupe
de Lie, (donc un sous-groupe de Lie de G).
On peut alors très facilement justifier la bonne définition de la notion de « produit
direct de groupes de Lie » exposée ci-dessous.
Définition 1.2.8 (Produit direct de groupes de Lie matriciels) : Soient G ⊂
GL(m, C) et H ⊂ GL(n, C) deux groupes de Lie matriciels. On considère le produit direct G × H. Celui-ci s’identifie à un sous-groupe fermé de GL(m + n, C) de
manière canonique et induit ainsi un groupe de Lie, appelé produit direct de G et H.
1.2.4
Groupe de Lie à un paramètre
Dans cette partie (et comme dans l’ensemble de ce rapport de stage), on suppose
connus les principaux résultats concernant les exponentielles de matrices.
Définition 1.2.9 (Sous-groupe à un paramètre) : On appelle sous-groupe à un
paramètre de GL(n, C) tout homomorphisme de groupe continue f : R → GL(n, C)
tel que f (0) = In , c’est-à-dire tel que pour tous s, t ∈ R, f (t + s) = f (t)f (s).
12
Proposition 1.2.9 : Si f est un sous-groupe à un paramètre de GL(n, C), alors il
existe une unique matrice X ∈ Mn (C) telle que
∀t ∈ R,
f (t) = etX .
Démonstration. Pour la démonstration de ce résultat, le lecteur pourra se référer au
rapport de stage d’Arnaud Tomasini [13], Annexe A. On donne ici une démonstration
dans le cas où l’on suppose de plus que f est dérivable. Dans ce cas, on a
d
f (t + h) − f (t)
f (h)f (t) − f (t)
f (h) − f (0)
f (t) = Xf (t),
f (t) = lim
= lim
= lim
h→0
h→0
h→0
dt
h
h
h
d
où X = dt
f (t)|t=0 . La théorie des équations différentielles prouve alors l’existence et
l’unicité de f : t 7→ etX .
Fixons-nous à présent une matrice X ∈ Mn (R). On définit alors l’ensemble
GX = {M (t) = etX | t ∈ R}.
On vérifie rapidement que GX est un groupe (même ablien). En effet, M (0) = In ∈
GX . De plus, pour tout t ∈ R, M (t)−1 = M (−t). L’associativité de la de multiplication
dans GX découle de celle dans Mn (R). Enfin, le caractère abélien du groupe provient
de la commutativé de R :
M (t)M (s) = M (t + s) = M (s + t) = M (s)M (t).
Le groupe GX est également muni d’une structure de groupe de Lie. En effet, l’exponentielle de matrice est de classe C ∞ et il en est de même de l’addition dans R.
Définition 1.2.10 (Groupe de Lie à un paramètre engendré par une matrie) : Le
groupe GX est appelé le groupe de Lie à un paramètre engendré par X.
1.3
Algèbres de Lie
Commençons cette partie consacrée aux algèbres de Lie par quelques résultats
généraux.
1.3.1
Premières définitions
Définition 1.3.1 (Algèbre de Lie) : Soient K un corps commutatif. On appelle
K-algèbre de Lie tout K-espace vectoriel g muni d’une application bilinéaire [·, ·] :
g × g −→ g vérifiant les deux propriétés suivantes :
– pour tout x ∈ g, [x, x] = 0,
– (identité de Jacobi) : pour tous x, y, z ∈ g, [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.
L’application bilinéaire [·, ·] est appelée crochet de Lie.
Remarque 1.3.1 : Lorsque le corps de base K est de caractéristique différente de
2 (ce qui sera toujours le cas ici), le crochet de Lie étant une application bilinéaire
alternée, il est antisymétrique, c’est-à-dire pour tous x, y ∈ g, [y, x] = −[x, y].
13
Définition 1.3.2 (Dimension d’une algèbre de Lie) : On appelle dimension d’une
algèbre de Lie sa dimension en tant qu’espace vectoriel (celle-ci pouvant être finie ou
infinie). On la note dim(D).
Notation 1.3.1 : Dans tout ce qui suit, les lettres gothiques miniscules (g, sln , · · · )
seront réservées aux algèbres de Lie.
Définition 1.3.3 (Base d’une algèbre de Lie de dimension finie) : On appelle base
d’une algèbre de Lie g de dimension finie n, une base (X1 , . . . , Xn ) de l’espace vectoriel
g.
Définition 1.3.4 (Constante de structure) : Soient g une algèbre de Lie admettant
une base (X1 , . . . , Xn ). Alors, pour tous i, j ∈ J1, nK,
[Xi , Xj ] = Cijk Xk .
Les constantes Cijk , aussi notées Cij k pour des raisons qui apparaîtront plus tard,
sont appelées les constantes de structure associées à la base (X1 , . . . , Xn ).
Définition 1.3.5 (Sous-algèbre de Lie) : Soit g une algèbre de Lie. On appelle
sous-algèbre de Lie de g un sous-espace vectoriel de g stable pour le crochet de Lie.
En particulier, toute sous-algèbre de Lie de g est munie d’une structure d’algèbre de
Lie sur K.
Définition 1.3.6 (Morphisme d’algèbre de Lie) : On appelle morphisme d’algèbre
de Lie g une application linéaire ϕ : g −→ g qui respecte le crochet de Lie, c’est-à-dire
telle que
∀x, y ∈ g, ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)].
On s’intéresse maintenant plus particulièrement aux algèbres de Lie matricielles
ainsi qu’à leurs liens avec les groupes de Lie matriciels.
1.3.2
Algèbre de Lie d’un groupe de Lie matriciel
Définition 1.3.7 (Epaces tangents de groupes de Lie matriciels) : Soit G un groupe
de Lie matriciel. L’espace vectoriel tangent à G en l’élément neutre e de G est donné
par
Te (G) = {X ∈ Mn (K) | ∃M : t ∈ [−1, 1] 7→ M (t) ∈ G avec M (0) = e : X = M 0 (0)}.
Remarque 1.3.2 : On constate pour p ∈ G, on a Tp (G) = pTe (G) = Te (G)p. Ainsi,
dans la suite, on pourra se limiter à ne considérer que des espaces tangents en l’élément
neutre du groupe.
Définition 1.3.8 (Algèbre associée à un groupe de Lie matriciel) : Soit G un
groupe de Lie. On définit l’algèbre associée à G, notée g, par l’espace tangent Te (G)
en l’élément neutre e de G.
Notation 1.3.2 : Soient G, H deux groupes de Lie. On note g ⊕ h l’algèbre associé
au groupe de Lie G × H.
14
Proposition 1.3.1 : L’algèbre g associé au groupe de Lie matriciel G est une
algèbre de Lie. En effet, les propriétés suivantes sont vérifiées :
1. Si X ∈ g, alors pour tout h ∈ G, hXh−1 ∈ g.
2. Si X, Y ∈ g et λ ∈ R, alors λX + Y ∈ g.
3. Si X, Y ∈ g, alors [X, Y ] ∈ g,
4. Si X ∈ g, alors pour tout t ∈ R, etX ∈ G.
Cette proposition, dont la démonstration peut être trouvée en détail dans [13],
montre que cette « algèbre associée à G » peut effectivement être munie d’une structure d’algèbre de Lie pour le crochet de Lie de commutation usuel sur les matrices :
[X, Y ] = XY − Y X.
De plus, le dernier point de cette dernière proposition fait apparaître le lien fort
qu’il existe entre groupe de Lie et algèbre de Lie via l’application exponentielle. Cette
application sera d’ailleurs réutilisée à de nombreuses reprises et on suppose donc que
ses propriétés sont connues. Notamment la propriété suivante.
Proposition 1.3.2 (Formule de Backer-Campbell-Haussdorf) : Soient X, Y ∈
Mn (K), alors
eX eY = eZ ,
où Z
de la
X et
eX eY
1
1
[X, [X, Y ]] − 12
[Y, [X, Y ]] + · · · . Les autres termes
= X + Y + 21 [X, Y ] + 12
somme étant eux aussi des imbrications de commutateurs. En particulier, si
Y commutent, on retrouve bien une propriété de l’exponentielle de matrice :
= eX+Y .
Pour les calculs concrets, il est parfois plus pratique d’utiliser la caractérisation
suivante de l’algèbre de Lie engendrée par un groupe de Lie.
Proposition 1.3.3 : Soit G un groupe de Lie matriciel. Alors l’algèbre de Lie
associée à G est donnée par
g = {M ∈ Mn (C) | ∀t ∈ R, etM ∈ G}.
Théorème 1.3.1 : Soit G un groupe de Lie. Il existe un unique groupe de Lie (à
b qui a la même algèbre de
isomorphisme près) connexe et simplement connexe, noté G,
b est appelé le recouvrement universel
Lie associée que le groupe de Lie G. Ce groupe G
de G.
Etudions à présent quelques algèbres de Lie.
1.3.3
Exemples d’algèbres de Lie
Exemple 1.3.1 (mn (K)) : Mn (K) est muni d’une structure d’algèbre de Lie pour le
crochet [·, ·] : Mn (K) −→ Mn (K) définit de la manière suivante
∀A, B ∈ Mn (K),
[A, B] = AB − BA.
15
On appelle [A, B] le commutateur de A et B. Un calcul directe montre que le commutateur vérifie l’identité de jacobi. Dans ce cas, on note cette mn (K) cette algèbre de
Lie. Plus généralement, toute algèbre associative sur un corps peut être munie d’une
structure d’algèbre de Lie pour le commutateur [A, B] = AB − BA. Cette algèbre
est de dimension n2 et la base canonique est donnée par les matrices E ij usuelles.
Déterminons alors les constantes de structure de cette algèbre.
[E ij , E kl ] = E ij E kl − E kl E ij
= δjk E il − δ il E kj
= (δ kj δ im δ nl − δ il δ km δ nj )E mn .
Ainsi les constantes de structure de mn (K) sont données par
C ijklm n = δ kj δ im δ nl − δ il δ km δ nj .
Lemme 1.3.1 : On a la propriété suivante :
[A, BC] = [A, B]C + B[A, C],
[AB, C] = [A, C]B + A[B, C].
Démonstration. On a en effet :
[A, BC] = ABC − BAC + BAC − BCA = [A, B]C + B[A, C],
[AB, C] = −[C, AB] = −[C, A]B − A[C, B] = [A, C]B + A[B, C].
Exemple 1.3.2 : L’espace euclidien R3 est une algèbre de Lie muni du produit vectoriel.
L’algèbre gl(n, K)
Avec notre caractérisation précédente, l’algèbre de Lie associée au groupe GL(n, K)
est
gl(n, K) = {X ∈ Mn (K) | ∀t ∈ R, etX ∈ GL(n, K)} = Mn (K).
En effet, ceci est une conséquence du fait que l’exponentielle de matrice est à valeurs
dans GL(n, K) où (etX )−1 = e−tX .
L’algèbre sl(n, K)
Déterminons à présent les matrices de sl(n, K). Une telle matrice X ∈ sl(n, K) si
et seulement si pour tout t ∈ R, on a det(etX ) = 1. Or det(etX ) = eT r(tX) = etT r(X) .
Ainsi X ∈ sl(n, K) si et seulement si T r(X) = 0 :
sl(n, K) = {X ∈ Mn (K) | T r(X) = 0}.
16
Exemple 1.3.3 (L’exemple de sl(2, C)) : Introduisons la C-base de l’algèbre de Lie
sl(2, C) donnée par
!
!
!
0 1
0 0
1 1 0
H=
, X+ =
, X− =
.
2 0 −1
0 0
1 0
De sorte qu’on obtient les relations de commutation suivante :
[H, X± ] = ±2X± ,
[X+ , X− ] = H.
L’algèbre o(n, K) et so(n, K)
En ce qui concerne o(n), on obtient :
o(n) = {X ∈ Mn (R)|X + t X = 0},
t
t
En effet, t (etX ) = et X . Ainsi, la condition pour tout t ∈ R, t (etX )etX = et( X+X) = In
(car toute matrice commute avec sa transposée) montre que t X + X = 0 est une
condition suffisante pour appartenir à o(n) Celle-ci est en fait aussi nécessaire au
voisinage de l’identité (ce qui nous intéresse). Montrons-le en réutilisant la définition
initiale d’algèbre associée à un groupe de Lie avec les espaces tangents.
Déterminons alors l’espace tangent TIn (O(n)) en calculant la différentielle de l’application M 7→ t M M en l’identité. On a
t
(In + tH)(In + tH) = In + t(t H + H) + t2 t HH = In + t(t H + H) + o(tH).
On obtient ainsi une condition nécessaire (et suffisante) pour être dans l’espace tangent
en l’identité : t(t H + H) = 0 pour tout t ∈ R, à savoir, t H + H = 0. D’où le résultat :
o(n) est l’ensemble des matrices n × n réelles antisymétrique.
De même, on obtient
so(n) = o(n).
Ceci découle du fait que toute matrice antisymétrique réelle est de trace nulle. Ainsi
la condition det(etX ) = etT r(X) = 1 a déjà été prise en compte. Ces résultats se
généralisent sans difficulté à o(n, C) et so(n, C). On remarque en particulier que deux
groupes de Lie non isomorphes peuvent fournir une même et unique algèbre de Lie.
Exemple 1.3.4 (L’exemple détaillé de so(3)) :
donnée par



0 0 0
0 0



η1 = 0 0 −1 , η2 =  0 0
−1 0
0 1 0
Une base de l’algèbre de Lie so(3) est

1

0 ,
0

0 −1 0


η3 = 1 0 0 .
0 0 0

La R-algèbre de Lie so(3) est donc de dimension 3 et les relations de commutations
sont données par
[ηk , ηl ] = ηm ,
où k, l, m sont donnés par une permutation circulaire de 1, 2, 3.
17
L’algèbre u(n) et su(n)
Des raisonnements analogues montrent que
u(n) = {M ∈ Mn (C) | X † + X = 0},
su(n) = {M ∈ Mn (C) | X † + X = 0 et T r(X) = 0}.
Exemple 1.3.5 (L’exemple détaillé de su(2)) : Les trois matrices linéairement indépendantes,
!
!
!
1 0 −1
1 i 0
1 0 i
, ξ2 =
, ξ3 =
,
ξ1 =
2 i 0
2 1 0
2 0 −i
forment une R-base de su(2) et vérifient les relations de commutation suivante :
[ξk , ξl ] = ξm .
où k, l, m est une permutation circulaire de 1, 2, 3. Autrement dit, su(2) est une Ralgèbre de Lie de dimension 3. En physique, on utilisera plutôt les matrices de Pauli
données par
!
!
!
0 1
0 −i
1 0
σ1 = −2iξ1 =
, σ2 = 2iξ2 =
, σ3 = −2iξ3 =
.
1 0
i 0
0 −1
Celles-ci sont alors hermitiennes. Introduisons encore les matrices
Jk = iξk ,
vérifiant les relations de commutation
[Jk , Jl ] = iJm .
Introduisons finalement les matrices J3 , J+ et J− définies de la manière suivante
!
!
!
0 0
0 −1
1 −1 0
J3 =
, J+ = J1 + iJ2 =
, J− = J1 − iJ2 =
.
2 0 1
−1 0
0 0
Les matrices J3 , J+ et J− satisfont les relations commutation suivantes :
[J+ , J− ] = 2J3 ,
[J3 , J± ] = ±J± .
Remarquons simplement que su(2) ' so(3). Plus précisément, un isomorphisme d’algèbres de Lie est réalisé par l’appication R-linéaire définie par ξk →
7 ηk .
L’algèbre o(p, n − p) et so(p, n − p)
Notre dernier exemple concerne les algèbres de Lie déterminées par les groupes de
Lie O(p, n − p) et SO(p, n − p). On rappelle qu’on note η la matrice constante dans
Mn (R) donnée par η = diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1). Dans ce cas, un calcul d’espace
| {z } | {z }
p f ois
n−p f ois
tangent analogue a celui effecuté pour o(n) montre que
o(p, n − p) = so(p, n − p) = {X ∈ Mn (R) | t Xη + ηX = 0}.
18
1.3.4
Complexification d’algèbres de Lie réelles
Dans les exemples précédents, nous n’avons jamais ou très rarement précisé si
l’on considérait des algèbres de Lie réelles ou complexes. Bien que les constantes de
structures définissent entièrement l’algèbre de Lie en question, il faut toujours garder
à l’esprit si celle-ci est réelle ou complexe. En effet, tout R-espace vectoriel, même s’il
est à valeur dans Mn (C) n’est pas forcément un C-espace vectoriel. C’est le cas par
exemple de U (n).
Il est à noter également que toute C-algèbre de Lie de dimension n peut être
considérée comme une R-algèbre de Lie de dimension 2n. Par exemple, sl(2, C) peut
être considée comme une C-algèbre de Lie de dimension 3 mais est une R-algèbre de
Lie de dimension 6. Ces premières remarquent mettent en évidence l’importance du
corps de base.
On s’intéresse à présent au problème inverse. A partir d’une algèbre de Lie réelle,
peut-on, et de quelle manière, construire une algèbre de Lie complexe ? C’est ce qu’on
appelle la complexificcation des algèbres de Lie réelles.
Définition 1.3.9 (Groupe de Lie complexe) : Un groupe de Lie G est dit complexe
si son algèbre de Lie associée g est un C-sous-espace vectoriel de Mn (C).
Comme explicité ci-dessus, U (n) n’est pas un groupe complexe, il s’agit d’un
groupe de Lie réel. En revanche, GL(n, C) est un groupe de Lie complexe par exemple.
On définit à présent l’algèbre de Lie complexifiée d’une algèbre de Lie réelle.
Définition 1.3.10 (Complexification) : Soit g une algèbre de Lie réelle de dimension finie n dont une base est donnée par (X1 , . . . , Xn ). On définit l’algèbre de Lie
P
complexifiée de g, notée gC = { ni=1 αi Ti | αi ∈ C}.
Ainsi toute algèbre de Lie réelle permet de construire une algèbre de Lie complexe,
de même dimension, et ayant les mêmes constantes de structures.
Exemple 1.3.6 : Par exemple su(2)C = sl(2, C). En particulier, on a aussi so(3)C =
sl(2, C). De plus, les triplets (J1 , J2 , J3 ), (J3 , J+ , J− ) et (σ1 , σ2 , σ3 ) forment des C-base
de su(3)C = sl(2, C).
La dernière notion abordée dans ce chapitre est celle de superalgèbre de Lie.
1.4
Superalgèbres de Lie
Définition 1.4.1 (Algèbre graduée) : Une algèbre (E, ·) est dite graduée si E
L
s’écrit comme une somme directe de sous-espace vectoriels Ei ⊂ E (E = i∈I Ei ),
où l’indice I est muni d’une addition + et où la loi · de E vérifie
∀xi ∈ Ei , ∀xj ∈ Ej ,
xi · xj ∈ Ei+j et Ei+j ∈ {Ei , Ej }.
Un type d’algèbre graduée est particulièrement intéressant en physique : les algèbres Z2 -graduées. Il s’agit des algèbres de la forme E = E1 ⊕ E2 où pour tous
xi ∈ Ei et xj ∈ Ej , on a xi · xj ∈ Ei+j mod 2 .
On peut alors définir la notion de superalgèbre de Lie.
19
Définition 1.4.2 (Superalgèbre de Lie) : Une superalgèbre de Lie est la donnée
d’un couple (E, {·, ·}) où E = E0 ⊕ E1 est une algèbre Z2 -graduée et où les deux
propriétés suivantes sont vérifiées :
– Supersymétrisation : {xi , xj } = −(−1)ij {xj , xi } pour tous xi ∈ Ei , xj ∈ Ej .
– Identité de Jacobi généralisée : pour tous xi ∈ Ei , xj ∈ Ej et xk ∈ Ek ,
(−1)ik {xi , {xj , xk }} + (−1)ji {xj , {xk , xi }} + (−1)kj {xk , {xi , xj }}.
La loi {·, ·} est alors appelé supercrochet de Lie.
Remarque 1.4.1 : Remarquons qu’une superalgèbre de Lie n’est pas toujours une
algèbre de Lie. Ce sont deux notions bien distinctes.
Le chapitre suivant est quant à lui destiné à l’étude des représentations en mathématiques. Celles-ci seront effectivement centrales en physique des particules.
20
Chapitre
2
Théorie des représentations :
applications aux groupes et algèbres de
Lie
Ce second chapitre a pour but d’étudier certaines notions des représentations.
Nous serons alors en mesure appliquer tout ceci dans l’étude des particules dès le
chapitre suivant. Dans ce chapitre, je me suis principalement appuyé sur [16]. La
partie concernant les opérations sur les représentations est quant à elle largement
inspirée de [13]. On y trouvera pour cette partie les démonstrations manquantes.
2.1
Définitions et premières propriétés des représentations
Définition 2.1.1 (Représentation de groupe) : Soit G un groupe. On appelle représentation du groupe G la donnée d’un K-espace vectoriel V , appelé espace de
représentation et d’un morphisme de groupe D : G −→ GL(V ). On définit la dimension de la représentation (ou encore degré de la représentation) par la dimension de
l’espace de représentation.
Définition 2.1.2 (Représentation fidèle) : Une représentation est dite fidèle si elle
est injective.
Définition 2.1.3 (Représentation d’algèbre de Lie) : Soit g une algèbre de Lie.
On appelle représentation de l’algèbre de Lie g la donnée d’un K-espace vectoriel V ,
appelé espace de représentation et d’un morphisme d’algèbre de Lie D : g −→ gl(V ).
On définit de même que pour les représentations de groupes les notions de dimension
et de représentation fidèle.
Notation 2.1.1 : Une représentation sera parfois notée par le couple (V, D).
Exemple 2.1.1 (Représentation triviale) : Par exemple, tout groupe G admet une
représentation triviale donnée par g ∈ G 7→ I1 ∈ GL(1, R).
21
Définition 2.1.4 (Représentation fondamentale) : Soit G est un groupe de Lie
(matriciel comme dans tout ce rapport), G ⊂ GL(n, C). On appelle représentation
fondamentale (ou encore représentation standard ) la représentation D : G → GL(n, C)
définie par g ,→ g.
Ce type de représentation est bien sûr très simple. Nous en définirons d’autres par
la suite.
Si l’on se place maintenant dans le cas où V = Rn (ou Cn ) et que l’on fixe une
base ei , i = 1, . . . , n, on peut associer à tout g ∈ G la matrice (Dij (g))1≤i,j≤n associée
à D(g) dans cette base telle que :
D(g)ej =
n
X
Dij (g)ei .
i=1
Exemple 2.1.2 : Un des exemple le plus simple et le plus connu est certainement celui
du groupe SO(2) des rotations dans la plan (réel). Ce groupe admet une représentation
dans R2 :
!
cos ϕ − sin ϕ
.
∀ϕ ∈ R, D(ϕ) =
sin ϕ cos ϕ
Tout comme dans ce précédent exemple, les représentations considérés dans ce
mémoire seront sauf mention explicite contraire toujours de dimension finie.
Le résultat suivant montre un lien important entre représentation d’un groupe
de Lie et représentation de l’algèbre de Lie associée à ce groupe de Lie. Pour une
démonstration des deux prochains résultats, on pourra se référer à [13].
Proposition 2.1.1 : Soient G un groupe de Lie et g son algèbre de Lie. Etant
donnée une représentation D : G → GL(V ) de G, il existe une unique représentation
D0 : g → gl(V ) telle que
0
D(eX ) = eD (X) .
∀X ∈ g,
Cette représentation est donnée par
0
D (X) =
D0 (gXg −1 )
d
D(etX )
dt
D(g)D0 (X)D(g)−1
et vérifie
=
également l’égalité suivante :
∀X, Y ∈ G,
|t=0
pour tout g ∈ G et tout X ∈ g. On a
D0 ([X, Y ]) = [D0 (X), D0 (Y )].
On montre alors que la représentation D0 est irréductible si et seulement si la
représentation D l’est.
Définition 2.1.5 (Opérateur d’entrelacement et représentations équivalentes) :
Soient G un groupe et D, D0 deux représentations de G dans des espaces V et V 0
respectivement. Une application linéaire V ∈ L(V, V 0 ) telle que
∀g ∈ G,
V D(g) = D0 V (g)
est appelée un opérateur d’entrelacement. Si de plus, V est un isomorphisme, on dit
que les représentations D et D0 sont équivalentes.
22
En particulier, deux représentations équivalentes ont même dimension et donnent
lieu à des matrices conjuguées dans GL(K).
Définition 2.1.6 (Caractère d’une représentation) : On appelle caractère d’une
représentation de dimension finie D de G l’application χ définie sur G par
χ(g) = T r(D(g)).
Proposition 2.1.2 : Le caractère d’une représentation est indépendant de la base
choisie. Autrement dit, deux représentations équivalentes ont le même caractère. De
même si deux éléments g et g 0 sont dans la même classe de conjugaison dans G, alors
χ(g) = χ(g 0 ). On dit alors que le caractère est une fonction de classe.
Démonstration. Cette proposition découle du fait que T r(AB) = T r(BA) et qu’une
représentation D est un morphisme. Ainsi, deux représentations D et D0 sont équivalentes, il existe P ∈ GL(V ) tel que D0 (g) = P −1 D(g)P pour tout g ∈ G. Ainsi pour
tout g ∈ G, χ(D0 (g)) = T r(P −1 D(g)P ) = T r(IdD(g)) = χ(g). D’autre part, si deux
éléments g et g 0 sont conjugués dans G, il existe h ∈ G tel que g 0 = h−1 gh, d’où l’on
déduit χ(g 0 ) = T r(D(h−1 gh)) = T r(D(h)−1 D(g)D(h)) = T r(IdD(g)) = χ(g).
Remarque 2.1.1 : Si eG est l’élément neutre du groupe G, alors on a χ(eG ) =
dim(D).
2.2
Représentations réductibles, irréductibles et unitaires
On s’intéresse à présent à l’irréductibilité et à l’unitarité des représentations.
2.2.1
Représentations réductibles et irréductibles
Définition 2.2.1 (Espace invariant) : Soient G un groupe de Lie et D : G →
GL(V ) une représentation de G. On dit qu’un sous-espace vectoriel W ⊂ V est invariant (pour la représentation D) si
∀w ∈ W, ∀g ∈ G,
D(g)w ∈ W.
Définition 2.2.2 (Représentation réductible et irréductible) : Une reprsentation
est dite irréductible si elle n’a aucun sous-espace invariant propre (c’est-à-dire autre
que {0} et V ). Dans la cas contraire, la représentation est dite réductible.
Définition 2.2.3 (Représentation complètement réductible) : Soient G un groupe
de Lie et D : G → GL(V ) une représentation de G. Si V se décompose en une somme
directe de sous-espaces invariants pour D, alors la représentation est dite complètement
réductible.
23
2.2.2
Représentations unitaires
Définition 2.2.4 (Représentation unitaire) : Soient G un groupe et D : G →
GL(V ) (où V est un espace de Hilbert de dimension infinie ou non). La représentation
D est dite unitaire si pour tout g ∈ G, l’élément D(g) est unitaire :
∀g ∈ G,
D(g)† = D(g)−1 .
Nous verrons dans nos applications physiques des exemples de représentations
unitaires. Ce sont celles-ci qui nous intéressent.
Proposition 2.2.1 : Toute représentation d’un groupe fini (ou d’un groupe de Lie
compact) sur un espace muni d’un produit scalaire est équivalente à une représentation
unitaire. De plus, toute représentation irréductible est de dimension finie.
Théorème 2.2.1 : Toute représentation unitaire est soit irréductbile, soit complétement réductible.
Corollaire 2.2.1 : Toute représentation réductible d’un groupe fini est complètement réductible.
Démonstration. Le corollaire est une conséquence directe des deux résultats précédents mis bout à bout.
2.2.3
Lemme de Schur
Lemme 2.2.1 (de Schur) : Soient D et D0 deux représentations irréductibles d’un
groupe G à valeurs dans GL(Cn ). S’il existe un endomorphisme V ∈ End(Cn ) tel que
pour tout g ∈ G, V D(g) = D0 (g)V , alors soit V = 0, soit V est inversible et dans ce
cas, les représentations D, D0 sont équivalentes.
Démonstration. Suppons que V 6= 0. Dans ce cas, Ker(V ) est un sous-espace de E
invariant pour D. En effet, pour tout g ∈ G, V D(g)Ker(V ) = D0 (g)V Ker(V ) = {0}.
Donc D(g)Ker(V ) ⊂ Ker(V ). Or D est irréductible, et n’admet donc aucun sousespace invariant propre. Comme V n’est pas nul, on a alors Ker(V ) = {0}, c’est-àdire que V est injective. De même, on montre que Im(V ) est un sous-espace invariant
pour D0 : D0 (g)Im(V ) = V (Im(D(g)) ⊂ Im(V ). Comme V n’est pas nul et D0 est
irréductible, Im(V ) = E 0 . D’où la surjectivité de V . Ainsi V est inversible et D, D0
sont équivalentes.
Ce lemme a été énoncé ici dans le cadre des représentations de groupes de Lie mais
reste valable pour les représentations d’algèbres de Lie.
Corollaire 2.2.2 : Soit D une représentation irréductible d’un groupe G sur Cn ,
tout endomorphisme V tel que pour tout g ∈ G, V D(g) = D(g)V est une homothétie :
V = λIn .
24
Démonstration. Si V = 0, alors le résultat est trivialement vrai pour λ = 0. Dans le
cas contraire, le lemme de Schur (avec D0 = D) prouve que V est inversible. Comme
C est algébriquement clos, V admet alors au moins une valeur propre, notons-la λ. En
particulier λ 6= 0 car V est inversible (donc injectif). Posons W = V − λI ∈ End(Cn ).
Comme l’identité commute avec tout le monde, W commute encore avec D. Une
seconde application du lemme de Schur montre alors que W = 0 ou W est inversible.
Or W admet 0 pour valeur propre car λ est une valeur propre de V . Donc W n’est
pas inversible, donc W = 0, c’est-à-dire V = λI.
Corollaire 2.2.3 : Toute représentation irréductible complexe d’un groupe abélien
est nécessairement de dimension 1.
Remarque 2.2.1 : Dans les deux corollaires précédents, le corps C peut être remplacé
par tout corps algébriquement clos. Le caractère algébriquement clos est bien une
condition nécessaire comme le prouve le contre exemple de la représentation réelle du
groupe des rotations du plan SO(2) :
!
cos ϕ − sin ϕ
∀ϕ ∈ R, D(ϕ) =
.
sin ϕ cos ϕ
La représentation associée à ces matrices est irréductible car D(π/2) n’admet pas de
valeurs propres réelles par exemples. D’autre part, SO(2) est abélien. En effet, pour
tous ϕ1 , ϕ2 ∈ R, on a
D(ϕ1 )D(ϕ2 ) = D(ϕ1 + ϕ2 ) = D(ϕ2 + ϕ1 ) = D(ϕ2 )D(ϕ1 ).
Et pourtant cette représentation est de dimension 2.
Admettons enfin le théorème suivant.
Théorème 2.2.2 : Soit G un groupe non compact. La seule représentation irréductible unitaire de dimension finie de G est la représentation triviale.
Le lemme de Schur nous ammène également à définir les opérateurs de Casimir.
Définition 2.2.5 (Opérateurs de Casimir) : Soient g une algèbre de Lie et D : g →
gl(V ) une représentation. On appelle opérateur de casimir C ∈ gl(V ) un opérateur
qui commute avec D(X) pour tout X ∈ g.
En particulier, si D est une représentation irréductible, un opérateur de Casimir
est de la forme Ci = λi In . Les constantes λi vont alors caractériser les différentes
représentations irréductibles possibles. Ceci sera repris au chapitre suivant.
2.3
Représentation adjointe
Définition 2.3.1 (Application adjointe) : Soient G un groupe de Lie et g son
algèbre de Lie. On définit l’application adjointe Ad : G → GL(g) par
∀A ∈ G, ∀X ∈ g,
AdA (X) = AXA−1 .
25
Cette application est bien définie en vertu de la proposition 1.3.1.
Lemme 2.3.1 : L’application Ad : G → GL(g) est un morphisme de groupe.
Définition 2.3.2 (Représentation adjointe) : L’application Ad : G → GL(g) est
une représentation appelée représentation adjointe. On définit de manière analogue la
représentation adjointe pour g par ad : g → gl(g) par
∀X, Y ∈ g,
adX (Y ) = [X, Y ].
Proposition 2.3.1 : Soient X, Y ∈ g et g(t) ∈ G une courbe telle que g(0) = I
(où I est l’élément neutre de G) et g 0 (0) = X. Alors
d
adX Y =
Ad Y
.
dt g(t)
|t=0
Démonstration. En effet, Adg(t) Y = g(t)Y g(t)−1 . Ainsi,
d
Ad Y
dt g(t)
= g 0 (0)Y I + g(0)Y (−X) = XY − Y X = [X, Y ] = adX Y.
|t=0
Proposition 2.3.2 : Sous les hypothèses des énoncés précédents, on a la relation
suivante :
∀X ∈ g, ∀t ∈ R, AdetX = etadX .
Démonstration. Cette proposition peut se démontrer en considérant une équation
différentielle (réelle). Soient X, Y ∈ g. Posons f (t) = AdetX (Y ). Alors f (0) = Y et
f 0 (t) = [X, f (t)] = adX f (t). Or ce problème de Cauchy admet une unique solution.
L’application t 7→ etadX (Y ) en est une. D’où le résultat.
2.4
Opérations sur les représentations
Le but de cette partie est de construire de nouvelles représentations à partir d’une
ou plusieurs représentations.
2.4.1
Représentation duale
Définition 2.4.1 (Transposée d’une application linéaire) : Soient E, F deux espaces vectoriels et f : E → F une application linéaire. On définit la transposée de f ,
notée t f par l’application t f : F ∗ → E ∗ telle que pour tout u ∈ F ∗ , on a
t
f u = u ◦ f.
L’application ainsi définie est encore linéaire de F ∗ dans E ∗ .
Ceci étant dit, à partir de toute représentation D, il est possible de construire sa
représentation duale.
26
Définition 2.4.2 (Représentation duale d’un groupe de Lie) : Soient G un groupe
de Lie et D : G → GL(V ) une représentation. On définit la représentation duale D∗
de D par la représentation D∗ : G → GL(V ∗ ) définie par
∀g ∈ G,
D∗ (g) = t (D(g −1 )).
On définit de manière analogue la représentation duale d’une algèbre de Lie.
Définition 2.4.3 (Représentation duale d’un groupe de Lie) : Soient g une algèbre
de Lie et D : g → gl(V ) une représentation. On définit la représentation duale D∗ de
D par la représentation D∗ : g → gl(V ∗ ) définie par
∀X ∈ g,
2.4.2
D∗ (X) = −t D(X).
Représentation conjuguée
Définition 2.4.4 (Représentation conjuguée d’un groupe de Lie) : Soient G un
groupe de Lie et D : G → GL(V ) une représentation. On appelle représentation
conjuguée de D, notée D, la représentation D : G → GL(V ) telle que
∀g ∈ G,
D(g) = D(g).
Cette représentation est bien définie.
Il existe aussi une notion de représentation conjuguée pour les algèbres de Lie.
Celle-ci est la suivante.
Définition 2.4.5 (Représentation conjuguée d’une algèbre de Lie) : Soient g une
algèbre de Lie et D : g → gl(V ) une représentation. On appelle représentation conjuguée de D, notée D, la représentation D : g → gl(V ) donnée par
∀X ∈ g,
2.4.3
D(X) = D(X).
Somme directe de représentations
Définition 2.4.6 (Somme directe de représentations de groupes de Lie) : Soient G
un groupe de Lie et D1 , . . . , Dm des représentations de G admettant pour espace des
représentations V1 , . . . , Vm respectivement. On définit la somme directe de D1 , . . . , Dm
par la représentation D1 ⊕ · · · ⊕ Dm de G agissant sur l’espace V1 ⊕ · · · ⊕ Vm de la
manière suivante :
∀g ∈ G, ∀(v1 , . . . , vm ) ∈ V1 ⊕· · ·⊕Vm ,
[D1 ⊕· · ·⊕Dm (g)](v1 , . . . , vm ) = (D1 (g)v1 , . . . , Dm (g)vm ).
On définit de manière analogue la somme directe de représentations d’algèbres de
Lie.
Définition 2.4.7 (Somme directe de représentations d’algèbres de Lie) : Soient g
une algèbre de Lie et D1 , . . . , Dm des représentations de g admettant pour espace des
représentations V1 , . . . , Vm respectivement. On définit la somme directe de D1 , . . . , Dm
27
par la représentation D1 ⊕ · · · ⊕ Dm de g agissant sur l’espace V1 ⊕ · · · ⊕ Vm de la
manière suivante :
∀X ∈ g, ∀(v1 , . . . , vm ) ∈ V1 ⊕· · ·⊕Vm ,
[D1 ⊕· · ·⊕Dm (X)](v1 , . . . , vm ) = (D1 (X)v1 , . . . , Dm (X)vm ).
Par construction même, ces sommes directes sont réductibles (sauf dans le cas
trivial où m = 1 et D1 est irréductible) et même complètement réductibles.
2.4.4
Produit tensoriel de représentations
Rappels sur les produits tensoriel
Commençons cette section par quelques rappels sur les produits tensoriels.
Théorème 2.4.1 : Soient E et F deux espaces vectoriels. Il existe un couple (G, B)
où G est un espace vectoriel et B : E × F −→ G est une application bilinéaire vérifiant
la propriété universelle suivante : Pour tout espace vectoriel H et toute application bilinéaire ψ : E × F −→ H, il existe une unique application linéaire
ψ : G −→ H telle que ψ = ψ ◦ B. De plus, si (G1 , B1 ) est un autre tel couple, il
existe une unique application linéaire U : G −→ G1 telle que B1 = U ◦ B. De plus, U
est un isomorphisme.
Notation 2.4.1 : On note G = E ⊗F : c’est le produit tensoriel de E et F . De même,
B(x, y) = x ⊗ y : c’est le produit tensoriel de x et y.
Proposition 2.4.1 : Si E et F sont deux espaces vectoriels (de dimension finie),
alors E ⊗ F un espace vectoriel de dimension dim(E) · dim(F ). Plus précisément,
si (e1 , . . . , em ) et (f1 , . . . , fn ) sont deux bases de E et F respectivement, une base de
E ⊗ F est donnée par {ei ⊗ fj }1≤i≤m,1≤j≤n .
Définition 2.4.8 (Eléments décomposables) : Les éléments de E ⊗ F de la forme
x ⊗ y (avec x ∈ E, y ∈ F ) sont appelés éléments décomposables.
Corollaire 2.4.1 : Tout élément x ⊗ y de E ⊗ F est combinaison linéaire finie
d’éléments décomposable :
X
∃!{λij }1≤i≤m,1≤j≤n :
x⊗y =
λij ei ⊗ ej .
1≤i≤m
1≤j≤n
Proposition 2.4.2 : L’application ⊗ : E × F → E ⊗ F définie par (x, y) 7→ x ⊗ y
est bilinéaire et définit une loi de composition interne associative non commutative
sur E ⊗ F .
Proposition 2.4.3 : Soient E, F, E 0 , F 0 des espaces vectoriels, u ∈ L(E, E 0 ) et
v ∈ L(F, F 0 ). Il existe une unique application linéaire, encore notée
u ⊗ v : E ⊗ F −→ E 0 ⊗ F 0
telle que pour tous x ∈ E, y ∈ F , u ⊗ v(x ⊗ y) = u(x) ⊗ v(y).
28
Proposition 2.4.4 : Soient A et B deux K-algèbres associatives et unitaires. Il
existe une unique structure de K-algèbre sur A ⊗ B telle que
∀x1 , x2 ∈ A, ∀y1 , y2 ∈ B,
(x1 ⊗ x2 )(x2 ⊗ y2 ) = (x1 x2 ) ⊗ (y1 y2 ).
Muni de cette structure, A ⊗ B est appelé algèbre produit de A et B.
On en arrive à présent au cœur de cette section avec la définition du produit
tensoriel de représentations.
Produit tensoriel de représentations
Définition 2.4.9 (Produit tensoriel de représentations de groupes de Lie) : Soient
G et H deux groupes de Lie. On considère une représentation D1 de G sur un espace de
représentation V1 et D2 une représentation de H sur un espace V2 . On définit le produit
tensoriel de D1 et D2 par la représentation notée D1 ⊗ D2 : G × H → GL(V1 × V2 )
par
∀(g, h) ∈ G × H,
D1 ⊗ D2 (g, h) = D1 (g) ⊗ D2 (h).
Lemme 2.4.1 : Soient u(t) une application différentiable de R dans E et v(t) une
application différentiable de R dans F . On définit l’application u ⊗ v(t) : R → E ⊗ F
par u ⊗ v(t) = u(t) ⊗ v(t). Alors, l’application ainsi définie est différentiable sur R et
on a
du
dv
d
(u(t) ⊗ v(t)) =
⊗ v(t) + u(t) ⊗ .
dt
dt
dt
Cette formule ressemble très fortement à la dérivation d’un produit de fonction,
et pour cause, la démonstration de ce lemme se fait de la même manière que pour les
fonctions réelles, en utilisant en plus la bilinéarité du produit tensoriel.
Proposition 2.4.5 : Soient G et H deux groupes de Lie. On considère une représentation D1 de G sur un espace de représentation V1 et D2 une représentation de H
sur un espace V2 . On considère la représentation D1 ⊗ D2 du groupe de Lie G × H et
D10 ⊗ D20 sa représentation associée de g ⊕ h définie dans la proposition 2.1.1. Alors,
∀(X, Y ) ∈ g ⊕ h,
D10 ⊗ D20 (X, Y ) = D1 (X) ⊗ I + I ⊗ D2 (Y ).
Cette proposition justifie la définition suivante.
Définition 2.4.10 (Produit tensoriel de représentations d’algèbres de Lie) : Soient
g et h deux algèbres de Lie. On considère une représentation D1 de g sur un espace
de représentation V1 et D2 une représentation de h sur un espace V2 . On définit le
produit tensoriel de D1 et D2 par la représentation D1 ⊗ D2 de g ⊕ h agissant sur
l’espace V1 ⊗ V2 par
∀(X, Y ) ∈ g ⊕ h,
D1 ⊗ D2 (X, Y ) = D1 (X) ⊗ I + I ⊗ D2 (Y ).
Notons que le produit tensoriel de représentations n’est pas irrédutible.
29
2.5
Représentations irréductibles de SU (2) et SO(3)
Nous avions déjà fait remarquer au chapitre précédent que su(2)C = sl(2, C).
Ainsi, afin d’étudier les représentations de SU (2), on commence par déterminer les
représentations de su(2) en passant par les représenations de sl(2, C). Ceci, en vertu
de la proposition suivante. Le lecteur intéressé pourra se référer à [6] pour plus de
détails concernant cette partie.
2.5.1
Bijectivité entre les représentations de g et gC
Proposition 2.5.1 : Soit gC la complexifiée d’une algèbre de Lie g. Tout représentation D de g s’étend de manière unique en une représentation de gC . Celle-ci est
vérifie
∀X, Y ∈ g,
D(X + iY ) = D(X) + iD(Y ).
D’autre part, toute représentation de gC définit par restriction une représentation de
g.
Les représentations de g et gC sont donc en bijection.
2.5.2
Représentations irréductibles de sl(2, C) et su(2)
Les représentations Dj
On rappelle qu’une base de sl(2, C) est donnée par les matrices H, X+ , X− et que
les relations de commutation sont données par
[H, X± ] = ±2X± ,
[X+ , X− ] = H.
L’objectif de cette section est de déterminer les représentations irréductibles de dimension finie de sl(2, C). Considérons alors une telle représentation (E, R).
Lemme 2.5.1 : Il existe une valeur propre λ0 et un vecteur propre associé v0 tels que
R(H)v0 = λ0 v0
et
R(X+ )v0 = 0.
Démonstration. Comme C est algébriquement clos, l’opérateur R(H) admet au moins
une valeur propre λ et un vecteur v associé (v 6= 0) :
R(H)v = λv.
En utilisant les relations de commutation, on obtient les égalités
R(H)R(X+ )v = (R(X+ )R(H) + 2R(X+ ))v = (λ + 2)R(X+ )v,
R(H)R(X− )v = (R(X− )R(H) − 2R(X− ))v = (λ − 2)R(X− )v.
Ainsi les vecteurs R(X± )v sont des vecteurs propres de l’opérateur R(H) pour les
valeurs propres λ ± 2. Or, en dimension finie, il ne peut y avoir qu’un nombre fini de
30
valeurs propres distinctes de R(H). Il existe donc une valeur propre λ0 et un vecteur
propre associé v0 tels que
R(H)v0 = λ0 v0
et R(X+ )v0 = 0.
Posons dans ce cas, pour k ∈ N,
vk = R(X− )k v0 .
En utilisant plusieurs fois les relations de commutation comme avant, on observe que
les vk sont des vecteurs propres de R(H) pour les valeurs propres distinctes λ0 − 2k :
R(H)vk = (λ0 − 2k)vk .
Lemme 2.5.2 : Pour tout k ∈ N∗ ,
R(X+ )vk = k(λ0 − k + 1)vk−1 .
Démonstration. Pour k = 1, la relation est vérifiée car
R(X+ )v1 = R(X+ )R(X− )v0 = R(X+ )R(X− )v0 − R(X− )R(X+ )v0 = R(H)v0 = λ0 v0 .
Supposons alors la proposition vraie pour un certain k. En utilisant l’hypothèse vk+1 =
R(X− )vk et la relation [X+ , X− ] = H, on obtient
R(X+ )vk+1 = R(X+ )R(X− )vk = (R(X− )R(X+ ) + R(H))vk
= R(X− )k(λ0 − k + 1)vk−1 + (λ0 − 2k)vk
= (k(λ0 − k + 1) + λ0 − 2k)vk = (k + 1)(λ0 − k)vk .
Le principe de récurrence permet alors de conclure cette preuve.
Etant donné que les vecteurs propres vk sont linéairement indépendants (car associés à des valeurs propres distinctes), et que l’espace vectoriel E est de dimension
finie, il existe un entier n tel que
v0 6= 0, v1 6= 0, . . . , vn 6= 0, vn+1 = 0.
On en déduit en utilisant le lemme précédent que λ0 = n. En effet, on a alors
0 = R(X+ )vn+1 = (n + 1)(λ0 − n)vn
et vn 6= 0.
On vérifie alors que pour tout k ∈ N,
[R(X+ ), R(X− )]vk = R(H)vk ,
[R(H), R(X± )]vk = ±2R(X± )vk .
Par ailleurs, les vecteurs v0 , . . . , vn engendrent un sous-espace de E (non trivial) invariant par R. La représentation R étant supposée irréductible, on en déduit que ces
vecteurs engendrent E et donc dim(E) = n + 1.
31
Finalement, on a trouvé une représentation (E (n) , R(n) ) de dimension n + 1 de
l’algèbre de Lie sl(2, C) et une base (v0 , v1 , . . . , vn ) de E (n) telles que pour k ∈ J0, nK
R(n) (H)vk = (n − 2k)vk ,
R(n) (X− )vk = vk+1 ,
R(n) (X+ )vk = k(n − k + 1)vk−1 ,
et vn+1 = 0.
Proposition 2.5.2 : La représentation (E (n) , R(n) ) est irréductible.
Démonstration. Soient F un sous-espace invariant de E (n) et u ∈ F \{0}. On note
u = (u0 , u1 , . . . , un ) les coordonnées (complexes) de u dans la base des vi . Supposons
que uk0 6= 0 et uk0 +1 = . . . = un = 0 pour un certain 0 < k0 ≤ n, ce qui est toujours
possible quitte à prendre k = n. Alors, F 3 (R(n) (X+ ))k0 u est un vecteur non nul
proportionnel à v0 . Ainsi, v0 ∈ F et donc tous les vk = R(X− )k v0 ∈ F également.
Finalement F = E et la représentation (E (n) , R(n) ) est irréductible.
On a donc montré le résutlat suivant.
Théorème 2.5.1 : Les représentations irréductibles de dimension finie de sl(2, C)
sont exactement les (E (n) , R(n) ) pour n ∈ N.
Notation 2.5.1 (Représentation Dj ) : En physique, on notera plus simplement
Hvk , X− vk et X+ vk à la place de R(n) (H)vk , . . .. Autrement dit, on fait l’abus de
langage R(H) = H. De même, les physiciens posent n = 2j, où dans ce cas j ∈ 21 N et
utilisent plutôt la base J3 , J+ et J− de sl(2, C). Ils notent (E j , Dj ) la représentation
que nous avons notée par (E (2j) , R(2j) ) et considèrent la base de E j = E (2j) , indexée
par le nombre m (pour −j ≤ m ≤ j où m est un entier (resp. demi-entier) si j est un
entier (resp. demi-entier). Les éléments de cette base sont alors notés |j, mi en utilisant
la notation de Dirac. Cette base est qualifiée de base standard pour la représentation
Dj et est définie par
s
(j − m)!
|j, mi = (−1)j+m
vj+m .
(j + m)!
Dans cette représentation, on a
J3 |j, mi = m |j, mi ,
p
p
J+ |j, mi = (j − m)(j + m + 1) |j, m + 1i = j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1i ,
p
p
J− |j, mi = (j + m)(j − m + 1) |j, m − 1i = j(j + 1) − m(m − 1) |j, m − 1i .
Opérateurs de Casimir
Soit (E, R) une représentation de sl(2, C). Dans cette représentation, on peut
considérer l’opérateur (R(J1 ))2 + (R(J2 ))2 + (R(J3 ))2 qui, avec l’abus de notation, se
réécrit
J 2 = J12 + J22 + J33 .
32
Par ailleurs, comme J+ J− = (J1 + iJ2 )(J1 − iJ2 ) = J12 + J22 − i[J1 , J2 ] = J12 + J22 + J3 ,
on a
J 2 = J+ J− + J3 (J3 − I) = J− J+ + J3 (J3 + I).
Dans le cas de la représentation irréductible R = Dj , on obtient que |j, mi est un
vecteur propre de J 2 :
J 2 |j, mi = j(j + 1) |j, mi .
De sorte que J 2 = j(j+1)I est une homothétie et donc commute avec la représentation
Dj . Ceci est bien en accord avec le lemme de Schur.
Définition 2.5.1 (Opérateur de Casimir J 2 ) : L’opérateur J 2 est appelé l’opérateur
de Casimir de la représentation Dj .
Hermiticité des opérateurs J3 et J 2
Cette partie est consacrée à l’étude de l’hermiticité des opérateurs J3 et J 2 dans la
représentation (E j , Dj ). L’hermiticité est donnée à partir d’un produit scalaire rendant
orthonormale la base |j, mi. Dans ce cas, on obtient les deux résultats suivants que
nous admettrons. Les démonstrations pouvant être trouvées dans [6].
Proposition 2.5.3 :
(J+ )† = J− , (J− )† = J+ , (J3 )† = J3 et (J 2 )† = J 2 .
Remarque 2.5.1 : En physique quantique, les opérateurs hermitiens J3 et J 2 sont
des observables qui correspondent à une composante et au carré du module du moment
cinétique. Ce qui justifie notamment la notation J 2 et J3 .
En se rappelant que su(2)C = sl(2, C). On en déduit la proposition suivante.
Proposition 2.5.4 : Pour tout X ∈ su(2), la matrice de Dj (X) dans la base
|j, mi est antihermitienne. Les opérateurs de la représentation Dj de su(2) sont antihermitiens pour le produit scalaire sur E j défini par la condition que |j, mi soit une
base orthonormale. Autrement dit, en notant ce produit scalaire (·|·), on a pour tout
X ∈ su(2) et pour tous x1 , x2 ∈ E j :
(Dj (X)x1 |x2 ) = −(x1 |Dj (X)x2 ).
2.5.3
Représentations irréductibles de SU (2)
Le but de cette partie est d’étudier les représentations irréductibles de SU (2) en
les reliant à celles de son algèbre su(2).
Pour cela, on commence par considérer la représentation usuelle du groupe SL(2, C)
dans l’espace des fonctions à valeurs complexes sur C2 . Celle-ci est définie par
∀g ∈ SL(2, C), ∀f : C2 → C :
33
ρ0 (g)f = f ◦ g −1 .
Plus explicitement, si g =
a b
c d
!
∈ SL(2, C), alors
(ρ0 (g)f )(z1 , z2 ) = f (dz1 − bz2 , −cz1 + az2 ).
On définit de même la représentation conjugée de ρ0 par
∀g ∈ SL(2, C), ∀f : C2 → C :
ρ(g)f = f ◦ g −1 .
Plus explicitement, on a (ρ(g)f )(z1 , z2 ) = f (dz1 − bz2 , −cz1 + az2 ).
Lemme 2.5.3 : En restriction à SU (2), les deux représentations ρ et ρ0 sont équivalentes.
Démonstration. Etant donné qu’une représentation est en particulier un morphisme,
il suffit de constater que pour tout g ∈ SU (2), les matrices g et g sont conjuguées
dans SU (2). Or, il est aisé de montrer que
(
!
)
a b
SU (2) =
∈ GL(n, C) | a, b ∈ C, |a|2 + |b|2 = 1 .
−b a
Or on vérifie par un calcul direct que g = P gP −1 où
!
0 1
P =
.
−1 0
Dans ce cas, l’opérateur ρ0 (P ) définit bien un opérateur d’entrelacement, d’où le
résultat.
Remarque 2.5.2 : Si g ∈ SU (2), alors la représentation ρ se réécrit :
ρ(g)f = f ◦ g −1 = f ◦ t g,
ou encore,
(ρ(g)f )(z1 , z2 ) = f (az1 − bz2 , bz1 + az2 ).
On étudie alors les sous-espaces invariants de la représentation ρ restreinte à
SU (2).
Notation 2.5.2 : On note V j l’espace vectoriel des polynômes homogènes à coefficients complexe en deux variables de degré 2j où j ∈ 21 N. Pour tout j, V j est de
dimension 2j + 1 et une base de V j est donnée par les polynômes
z12j , z12j−1 z2 , . . . , z1j−m z2j+m , . . . , z22j
pour − j ≤ m ≤ j.
Définition 2.5.2 (Représentation Dj de SU (2) dans V j ) : Les espaces V j sont
stables par la représentation ρ de SU (2). On définit alors Dj comme étant cette
représentation restreinte à V j .
On montre alors :
34
Proposition 2.5.5 : La différentielle de la représentation Dj de SU (2) s’identfie
à la représentation Dj de su(2).
Démonstration. L’idée de la démonstration repose essentiellement sur la proposition
2.1.1 et la correspondance bijective entre les représentations d’une algèbre de Lie et
sa complexifiée.
Dans ce qui suit, on identifie E j et V j qui sont tous les deux des espaces vectoriels
de dimension 2j + 1. On obtient les propositions suivantes.
Proposition 2.5.6 : La représentation (V j , Dj ) de SU (2) est unitaire pour le produit scalaire sur V j défini en imposant que |j, mi soit une base orthonormale.
Proposition 2.5.7 : Pour tout j ∈ 21 N, la représentation (V j , Dj ) est une représentation irréductible de SU (2).
Corollaire 2.5.1 : Toute représentation irréductible de SU (2) est équivalente à
l’une des représentations (V j , Dj ), j ∈ 21 N.
2.5.4
Représentations irréductibles de SO(3)
On va terminer ce chapitre en déduisant les représentations irréductibles de SO(3)
à partir de celles de SU (2). Ceci s’appuie sur le résultat classique suivant.
Théorème 2.5.2 : On a un isomorphisme
SU (2)/{±1} ∼
= SO(3, R).
En particulier, on a un morphisme ψ : SU (2) −→ SO(3, R) dont le noyau est {±1}.
On est alors en mesure de caractériser les représentations irréductibles de SO(3).
Théorème 2.5.3 : Toute représentation irréductible de SO(3) est équivalente à l’une
des représentations (V j , Dj ) pour j ∈ N.
Démonstration. Les représentations irréductibles de SO(3) sont obtenues par projetion de celles de SU (2). En effet, considérons une représentation (E, ρ) de SU (2).
Alors ρ passe au quotient pour donner une représentation de SO(3) si et seulement si
ρ(Ker(ψ)) = IdE ,
c’est-à-dire si et seulement si ρ(−I) = ρ(I) = IdE . De plus, si ρ se factorise en
un morphisme σ : SO(3) → GL(E) (ρ = σ ◦ ψ), alors on montre que σ est une
représentation de SO(3) et que σ est irréductible si et seulement si ρ l’est. Il reste à
voir que la condition de passage au quotient est vérifiée si et seulement si j est entier
pour conclure.
Dans le prochain chapitre, notre étude sera plus orientée vers la physique. On créera
des liens entre les notions que nous venons d’étudier et la physique des particules.
35
Chapitre
3
Symétries en physique des particules
Dans ce chapitre, nous allons à présent faire le lien entre les mathématiques étudiées précédemment et le monde physique. On utilisera alors la convention d’Einstein
pour les indices et sommations.
3.1
3.1.1
Introduction des symétries en mécanique quantique
Formalisme de la mécanique quantique et symétries
On rappelle qu’en mécanique quantique l’état d’un système est décrit par un vecteur unitaire ψ d’un espace de Hilbert H (ψ ∈ H, hψ|ψi = 1). Les grandeurs physiques
observables A correspondent alors à des opérateurs hermitiens de H (A† = A) et les
valeurs observées sont les valeurs propres de ces opérateurs. Le complexe
hψ|Aψi = hAψ|ψi = hψ|A|ψi
est appelé la valeur moyenne de A dans l’état ψ et la probabilité de transition R12 de
passer d’un état ψ1 à un état ψ2 est donnée par | hψ1 |ψ2 i |2 .
En particulier, l’état d’un système est déterminé à une phase près. On est alors
conduit à la définition de rayon suivante.
Définition 3.1.1 (Rayon) : Soit |ψi ∈ H. On définit le rayon de |ψi par l’ensemble
des vecteurs d’état de H qui ne diffèrent de |ψi qu’à une phase près. On le note ψ :
ψ = {eiα |ψi ∈ H | α ∈ R}.
Notation 3.1.1 : Les rayons seront parfois notés R1 , R2 , . . . si l’on ne souhaite pas
mettre en avant un vecteur d’état particulier dans ce rayon.
Définition 3.1.2 (Opérateur de symétrie) : Un opérateur de symétrie S est une
correspondance entre les vecteurs d’états (définis à une phase près) qui conserve les
probabilités de transition. Autrement dit, si |ψ1 i , |ψ2 i ∈ H, on a
| hψ1 |ψ2 i |2 = | S ψ1 |S ψ2 |2 ,
où S ψi désigne le vecteur d’état ψi transformé sous l’action de S.
36
Une symétrie S est donc une application entre les rayons telle que
| hψ1 |ψ2 i |2 = |
S
ψ1 |S ψ2 |2 .
Un exemple classique de symétries est donné par les rotations R (dans l’espace). En
effet, on a d’une part,
Z
−
−
−
r )ψ2 (→
r )d3 (→
r ).
hψ1 |ψ2 i = ψ1 (→
Et d’autre part,
R
R
ψ1 | ψ2 =
Z
ψ1 (
−
R−1 →
−
R−1 →
r )ψ2 (
−
r )d (→
r)=
3
Z
−
−
−
ψ1 (→
r )ψ2 (→
r )d3 (→
r ) = hψ1 |ψ2 i .
Et donc à fortiori, | hψ1 |ψ2 i |2 = | R ψ1 |R ψ2 |2 . Si l’on note U (R) ∈ L(H), l’opérateur
représentant la rotation R, on obtient :
E
D
hψ1 |ψ2 i = R ψ1 |R ψ2 = ψ1 |U † (R)U (R)|ψ2 .
Ainsi l’opérateur U (R) est unitaire : c’est un cas particulier du théorème de Wigner
énoncé dans la partie suivante.
3.1.2
Théorème de Wigner et sa démonstration
Théorème 3.1.1 (de Wigner) : Soit S une symétrie. Alors il existe un opérateur
U (S) ∈ L(H) agissant sur H qui induit la transformation S, c’est-à-dire que si |ψi
est un représentant du rayon ψ , alors U (S) |ψi est un représentatn du rayon S ψ .
De plus cet opérateur est soit unitaire et linéaire, soit antiunitaire et antilinéaire.
Démontrons ce théorème.
Démonstration. Soit S une symétrie. Considérons une suite orthonormée complète de
vecteurs d’états ψk , c’est-à-dire une base hilbertienne, telle que ψk ∈ Rk :
(ψk , ψl ) = δkl .
(3.1)
Soit ψk0 un vecteur d’état quelconque dans le rayon SRk : ψk0 ∈ SRk . Comme S est
une symétrie, on a
|(ψk0 , ψl0 )|2 = |(ψk , ψl )|2
(3.2)
D’où
|(ψk0 , ψl0 )|2 = δkl .
(3.3)
Comme (ψk0 , ψk0 ) ∈ R≥0 , on en déduit que
(ψk0 , ψl0 ) = δkl .
De plus, le système orthonormé de vecteurs ψk0 est également complet et constitue ainsi
une base hilbertienne. En effet, s’il existe un vecteur ψ 00 ∈ R tel que (ψk0 , ψ 00 ) = 0 pour
tout k, alors n’importe quel vecteur dans le rayon S −1 R serait également orthgonal à
37
toute la base hilbertienne ψk . Adoptons la convention suivante. Pour tout k 6= 1, on
note
1
Γk = √ (ψ1 + ψk ).
2
On note Sk , k 6= 1, le rayon auquel appartient le vecteur Γk . N’importe quel vecteur
Γ0k ∈ SSk peut être développé dans la base hilbertienne ψl0 sous la forme
X
Γ0k =
ckl ψl0 .
l
La relation (3.2) montre qu’alors
1
|ckk | = |ck1 | = √ ,
2
et pour k 6= l et l 6= 1 :
ckl = 0.
Quitte à ajuster la phase des vecteurs ψ10 et ψk0 , on peut supposer que l’on a exactement
1
ckk = ck1 = √ .
2
A partir de maintenant, on notera U Γk et U ψk ces vecteurs d’états dont la phase a
été choisie. Dans ce cas, par définition de U ψk et U ψ1 et en utilisant les valeurs pour
les ckl obtenues précédemment, on obtient immédiatement
1
1
U √ (ψk + ψ1 ) = U Γk = √ (U ψk + U ψ1 ).
2
2
Il reste encore à définir U ψ pour n’importe que vecteur d’état ψ et non plus seulement
pour les vecteurs Γk . Considérons alors un veteur d’état arbitraire ψ appartenant à un
certain rayon noté R. Dans la base hilbertienne ψk , le vecteur ψ se décompose sous
la forme
X
ψ=
Ck ψ k .
k
ψ0
De manière analogue, tout vecteur
∈ SR peut aussi être développé dans la base
hilbertienne U ψk (il s’agit bien d’une base hilbertienne, car il s’agit de la base ψk
modifiée uniquement par des ajustements de phases) :
X
ψ0 =
Ck0 U ψk .
k
Comme S est une symétrie, l’égalité |(ψk , ψ)|2 = |(U ψk , ψ 0 )|2 montre pour tout k
|Ck |2 = |Ck0 |2 .
(3.4)
Par ailleurs, l’égalité |(Γk , ψ)|2 = |(U Γk , ψ 0 )|2 montre que pour tout k 6= 1 :
|Ck + C1 |2 = |Ck0 + C10 |2 .
38
(3.5)
Le quotient des relations (3.4) et (3.5) conduit aux formules
<e(Ck /C1 ) = <e(Ck0 /C10 ),
=m(Ck /C1 ) = ±=m(Ck0 /C10 ).
Par conséquent, soit
Ck /C1 = Ck0 /C10 ,
(3.6)
Ck /C1 = Ck0 /C10 .
(3.7)
soit
On montre ensuite qu’un même choix (parmi les deux précédents possibles) peut
être fait pour tout k. Pour le montrer, on est ammené à considérer le vecteur Φ =
√1 (ψ1 + ψk + ψl ). Admettons ce résultat dont la preuve est donnée dans [15]. Ainsi
3
P
pour la symétrie S appliquée au vecteur k Ck ψk , on doit avoir soit la relation (3.6)
pour tout k, soit la relation (3.7) pour tout k. Selon laquelle de ces options est réalisée,
définissons à présent U ψ par le vecteur d’état ψ 0 ∈ SR dont la phase a été choisie de
sorte que C1 = C10 ou C1 = C10 dans l’un ou l’autre cas. Les relations (3.6) et (3.7)
impliquent alors que soit
!
X
X
U
Ck ψk =
Ck U ψk ,
(3.8)
k
k
ou, dans le deuxème cas,
!
X
U
Ck ψk
=
X
k
Ck U ψk .
(3.9)
k
Il reste à prouver que pour la symétrie donnée S, on peut faire le même choix entre les
équations (3.8) et (3.9) pour tous les ψ, c’est-à-dire pour des valeurs arbitraires des
coefficients Ck . Supossons donc par l’absurde que la relation (3.8) s’applique pour un
P
certain vecteur ψA = k Ak ψk et que la relation (3.9) s’applique pour un vecteur ψB =
P
k Bk ψk . Comme S est une symétrie, l’invariance des probabilités des transitions
entre les états ψA et ψB se réécrit
2
2 X
X
B k Ak = B k Ak ,
k
k
ou de manière équivalente
X
=m(Ak Al )=m(B k Bl ) = 0.
(3.10)
kl
On ne peut pas exclure immédiatement que l’équation (3.10) puisse être vérifiée par
des vecteurs ψA , ψB appartenant à des rayons différents. On montre cependant (on
l’admettra en fait ici), que dans ce cas, on peut toujours construire un troisième
P
vecteur ψC = k Ck ψk pour lequel
X
=m(C k Cl )=m(Ak Al ) 6= 0,
(3.11)
kl
39
et
X
=m(C k Cl )=m(B k Bl ) = 0.
(3.12)
kl
Il s’en suit nécessairement de l’équation (3.11) que les équations (3.8) et (3.9) doivent
être les mêmes pour les vecteurs ψA et ψC . De même, l’équation (3.12) montre que
les équations (3.8) et (3.9) doivent être les mêmes pour les vecteurs ψC et ψB . Par
transitivité, les relations (3.8) et (3.9) doivent être les mêmes pour les vecteurs ψA et
ψB , ce que nous voulions démontrer. On a donc vu que pour une symétrie donnée S,
soit tous les vecteurs vérifient l’équation (3.8), soit ils vérifient tous l’équation (3.9).
Pour conclure, il est facile de voir que l’opérateur U ainsi défini est soit linéaire et
unitaire, soit antiliéaire et antiunitaire. Commençons par le premier cas. Supposons
P
que l’équation (3.8) est satisfaite par tous les vecteurs k Ck ψk . Soient ψ et Φ deux
vecteurs d’états :
X
X
ψ=
Ak ψk , Φ =
Bk ψk .
k
k
Ainsi, en utilisant (3.8), il vient pour tous α, β ∈ C,
X
X
U (αψ + βΦ) = U
(αAk + βBk )ψk =
(αAk + βBk )U ψk
k
=α
X
k
Ak U ψk + β
k
X
Bk U ψk = αU ψ + βU Φ.
k
D’où la linéarité de U . L’unitarité de U découle quant à elle des équations (3.1) et
(3.3). On a :
X
X
Ak Bl (U ψk , U ψl ) =
Ak Bk .
(U ψ, U Φ) =
k
kl
D’où (U ψ, U Φ) = (ψ, Φ), ce qui prouve que U est un opérateur unitaire.
Considérons à présons le cas où l’équation (3.9) est vérifée pour tous les vecteurs
d’états. On va montrer que l’opérateur U est antilinéaire antiunitaire. La démonstration est sensiblement la même que dans le cas précédent. Détaillons-la tout de même.
Soient ψ et Φ deux vecteurs d’état quelconques. En utilisant les mêmes notations
qu’avant et en se rappelant que nous nous plaçons sous l’hypothèse où l’équation
(3.9) est vérifiée, il vient :
X
X
U (αψ + βΦ) = U
(αAk + βBk )ψk =
(αAk + βB k )U ψk
k
=α
X
k
Ak U ψk + β
k
X
B k U ψk = αU ψ + βU Φ.
k
D’où l’antilinéarité de l’opérateur U . De même, en utilisant les relations (3.1) et (3.3),
on obtient
X
X
(U ψ, U Φ) =
Ak B l (U ψk , U ψl ) =
Ak B k = (ψ, Φ).
kl
k
D’où l’antiunitarité de U , ce qui achève la démonstration du théorème de Wigner.
40
Notons en particulier que la symétrie triviale (qui fixe tous les rayons) est représentatée par l’opérateur identité U = Id. Ainsi, toute symétrie dans la composante
connexe (par arcs) de l’identité est nécessairement représentée par un opérateur linéaire unitaire. Ceci justifie que les représentations que nous étudierons soient principalement linéaire et unitaire.
Remarque 3.1.1 : Les autres symétries, représentées par un opérateur antilinéaire
et antiunitaire, renversent le temps.
Ce théorème nous permet de faire le lien entre la théorie des représentations étudiée
précédemment et la physique. Explicitons davantage ce lien dans la partie suivante.
3.1.3
Représentation projective
Considérons un groupe de symétrie G agissant sur un système dans l’état |ψ0 i ∈ H
et g1 , g2 ∈ G. D’après le théorème de Wigner, les symétries g1 , g2 sont représentées
par des opérateurs unitaire (ou antiunitaire) de H : U (g1 ) et U (g2 ). On en déduit que
∃ϕ0 (g1 , g2 ) ∈ R,
U (g1 )U (g2 ) |φi = eiϕ0 (g1 ,g2 ) U (g1 g2 ) |φi .
En effet, U (g1 g2 ) |φi et U (g1 )U (g2 ) |ψi sont deux représentants du rayon g1 g2 φ et ne
diffèrent donc que par une phase.
Proposition 3.1.1 : La phase ϕ0 (g1 , g2 ) = ϕ(g1 , g2 ) ne dépend que de g1 , g2 .
Démonstration. Soient |ψa i , |ψb i deux états linéairement indépendants dans H et
notons |ψab i = |ψa i + |ψb i. Supposons, pour fixer les idées, que U (g1 , g2 ) est unitaire.
Un raisonnement analogue pourrait être mené dans le cas antiunitaire. Alors, on a
eiϕab (g1 ,g2 ) U (g1 g2 )(|ψa i + |ψb i) = U (g1 )U (g2 )(|ψa i + |ψb i)
= U (g1 )U (g2 ) |φa i + U (g1 )U (g2 ) |ψb i
= eiϕa (g1 ,g2 ) U (g1 g2 ) |ψa i + eiϕb (g1 ,g2 ) U (g1 , g2 ) |ψb i .
En composant alors par U −1 (g1 , g2 ) = U † (g1 , g2 ) , on obtient
eiϕab (g1 ,g2 ) (|ψa i + |ψb i) = eiϕa (g1 ,g2 ) |ψa i + eiϕb (g1 ,g2 ) |ψb i .
Par indépendance de |ψa i , |ψb i, on conclut que eiϕab (g1 ,g2 ) = eiϕa (g1 ,g2 ) = eiϕb (g1 ,g2 ) .
D’où le résultat.
Dans ce cas, on obtient
U (g1 )U (g2 ) = eiϕ(g1 ,g2 ) U (g1 g2 ).
Si ϕ ∼
= 0, l’application U : g 7→ U (g) définit une représentation du groupe de symétrie
G. Dans le cas général, U définit une représentation à une phase près. On parle alors
de représentation projective.
On admet que l’on peut toujours se ramener à ne considérer que des représentations non projectives. C’est l’hypothèse que nous effectuons dans la suite. Le théorème
de Wigner fait alors apparaître un premier lien avec notre étude mathématique précédente.
41
3.1.4
Vers les algèbres de Lie
Montrons à présent de quelle manière la structure d’algèbre de Lie émerge naturellement dans notre étude physique. Pour se faire, considérons un groupe dont les
transformations T dépendent continûement d’un ensemble fini de paramètres réels θa .
On s’intéresse, comme précisé précédemment, aux transformations T (θ) dans la composante connexe (par arcs) de l’identité. Convenons pour des raisons pratiques que
l’identité est obtenue pour les valeurs nulles des paramètres θa = 0. Ainsi, la loi du
groupe de transformation est de la forme
T (θ)T (θ) = T (f (θ, θ)),
a
pour une certaine fonction f des paramètres θa et θ . Les différentes composantes de f
seront encore notées f a (θ, θ). En particulier, la définition même de la transformation
identité montre que l’on doit avoir
f a (θ, 0) = f a (0, θ) = θa .
Développons alors les applications f a au second ordre au voisinage de (0, 0). Cette
dernière équation montre que
a
b
f a (θ, θ) = θa + θ + f abc θ θc + . . . ,
pour certains coefficients réels f abc .
De plus, d’après le théorème de Wigner, ces transformations sont représentées par
des opérateurs U (T (θ)) unitaires linéaires (car au voisinage de l’identité) agissant sur
un espace de Hilbert.
Développons également de tels opérateurs au second ordre en l’identité. On obtient
1
U (T (θ)) = I + iθa ta + θb θc tbc + · · · .
2
La condition d’unitarité de U (T (θ)) permet de s’assurer de l’hermiticité des opérateurs ta , tbc = tcb . Remarquons rapidement que cette dernière condition portant sur
la symétrie des opérateurs tbc est assurée dès que l’application θ 7→ U (T (θ)) est deux
fois différentiable. D’autre part, la représentation U étant supposée non projective, on
a l’égalité
U (T (θ))U (T (θ)) = U (T (f (θ, θ))).
(3.13)
Ainsi, on doit avoir au second ordre
1 b c
1 b c
a
a
I + iθ ta + θ θ tbc + · · · × I + iθ ta + θ θ tbc + · · ·
2
2
1
a
b
b
c
= I + i θa + θ + f abc θ θc + . . . ta +
θb + θ + . . . θc + θ + . . . tbc + · · ·
2
2
On est alors ammené à identifier les coefficients des termes d’ordre 1, θ, θ, θ2 , θ et
θθ des deux membres de l’égalité. On constate que les coefficients des termes d’ordre
2
1, θ, θ, θ2 et θ coïncident. La condition sur les termes en θθ donne quant à elle :
1
−tb tc = if abc ta + (tbc + tcb ).
2
42
D’où
tbc = −tb tc − if abc ta .
(3.14)
Ainsi, en notant C abc = −f abc + f acb , on obtient
[tb , tc ] = tb tc − tc tb = −tbc − if abc ta + tcb + if acb ta = iC abc ta .
On obtient ainsi les relations de commutation de l’algèbre de lie du groupe de transformations considéré. En fait, on montre que des relations analogues à (3.14) peuvent
être obtenues pour les termes d’ordres supérieurs (tdef , . . .). Finalement, les opérateurs
ta déterminent complètement les opérateurs U (T (θ)) au moins dans un voisinage de
l’identité : ils générent l’algèbre de Lie associée au groupe de transformation.
a
Exemple 3.1.1 : Dans le cas des rotations, on obtient f a (θ, θ) = θa + θ . Auquel cas
le groupe de transformations est abélien et f abc = 0. Il s’en suit que les générateurs
de l’algèbre de Lie commutent :
[tb , tc ] = 0.
Par conséquent, la relation (3.13) montre qu’une telle transformation peut être obtenue
par itération de transformations plus « petite », infinitésimale :
U (T (θ)) =
lim
N →+∞
i
I + θ a ta
N
N
.
Finalement,
a
U (T (θ)) = eita θ .
3.2
3.2.1
Vers la relativité restreinte : le groupe de Lorentz et
de Poincaré
Quelques conventions et notations
Commençons cette courte partie par effectuer quelques rappels quant à la notation
introduite par Einstein.
Convention d’Einstein
Avec cette convention, les sommes ne sont plus écrites explicitement mais sont
signalées par des indices répétés une fois en haut et une fois en bas. Par exemple,
avec des notations usuelles, le terme général du produit C = (cij ) de deux matrices
A = (aij ) et B = (bij ) est donné par
cij =
n
X
aik bkj .
k=1
Avec les notations d’Einstein, ceci devient
ci j = ai k bkj .
43
De même, la trace de A est donnée par ai i .
Plus généralement, les indices en haut correspondent aux coordonnées de l’éléments, tandis que les indices en bas représentent des formes linéaires. Ceci justifie
d’ailleurs la notation pour les éléments des matrices. L’espace Mn (K) étant interprété comme le produit tensoriel Kn ⊗ (Kn )∗ .
Tenseur de Levi-Civita
Définition 3.2.1 (Tenseur de Levi-Civita) : On définit le tenseur de Levi-Civita
sur Rn par l’unique tenseur totalement antisymétrique, c’est-à-dire tel que 12...n = 1
et
∀i1 , . . . , in ∈ J1, nK, ∀σ ∈ Sn , iσ(1) iσ(2) ···iσ(n) = (σ)i1 i2 ···in ,
où (σ) désigne la signature de la permutation σ. Ce tenseur est nul si un indice est
répété.
Nous rencontrerons ce tenseur lorsque nous étudierons les relations de commutation entre les générateurs de l’algèbre de Lie de Poincaré.
3.2.2
Espace-temps de Minkowski
En relativité restreinte, le temps n’est plus considéré comme absolu. Il est considéré comme un paramètre au même titre que les coordonnées d’espace. Cette théorie
s’appuie sur deux postulats formulés par Einstein en 1905 dans son article « L’électrodynamique des corps en mouvement ». Les voicis :
1. Toutes les lois de la physique sont les mêmes dans tout référentiel inertiel.
2. Dans le vide, la lumière se propage toujours avec la même vitesse, indépendamment de la vitesse de la source.
On est alors amené à considérer l’espace-temps de Minkowski.
Définition 3.2.2 (Espace-temps de Minkowski) : On définit l’espace-temps de Minkowski, noté R1,3 , par R4 muni de la forme bilinéaire, appelée métrique de Lorentz,
suivante :
3
X
0 0
x·y =x y −
xi y i .
i=1
En particulier, la norme d’un vecteur v = (ct, x, y, z) est donnée par v 2 = c2 t2 − x2 −
y2 − z2.
En introduisant la matrice η = diag(1, −1, −1, −1) que nous avons déjà rencontré
précédemment, cette forme bilinéaire peut se réécrire avec la convention d’Einstein,
x · y = ηµν xµ y ν ,
ou encore matriciellement, x · y = t xηy.
Remarque 3.2.1 : Dans ce qui suit, on choisit la convention où c = 1.
44
Définition 3.2.3 (Quadri-vecteurs de genre temps) : Un quadri-vecteur x ∈ R1,3
P
est dit de genre temps si (x0 )2 − 3i=1 (xi )2 > 0.
Cette qualification se justifie par le fait que dans le cas des vecteurs de genre
temps, laqcomposante temporelle du quadri-vecteur domine les composantes spatiales :
P3
i 2
|x0 | >
i=1 (x ) . On définit de manière analogue les quadri-vecteurs de genre
espace.
Définition 3.2.4 (Quadri-vecteurs de genre espace) : Un vecteur x ∈ R1,3 est dit
P
de genre espace si (x0 )2 − 3i=1 (xi )2 < 0.
Dans le cas des quadri-vecteurs q
de genre espace, ce sont les coordonnées d’espace
P3
0
i 2
qui dominent celle de temps : |x | <
i=1 (x ) . On définit encore les quadri-vecteurs
de genre lumière de la manière suivante.
Définition 3.2.5 (Quadri-vecteurs de genre lumière) : Un vecteur x ∈ R1,3 est dit
P
de genre lumière si (x0 )2 − 3i=1 (xi )2 = 0.
Dans ce qui suit, nous allons étudier l’ensemble des transformations préservant la
métrique de Lorentz.
3.2.3
Définition et structure du groupe de Lorentz
Définition et théorèmes de structure
Définition 3.2.6 (Groupe de Lorentz) : Les transformations isométriques linéaires
qui préservent la métriquent de Minkowski forment un groupe appelé le groupe de
Lorentz. On le note L.
Matriciellement, une transformation linéaire Λ ∈ L si on a la relation suivante :
∀(x, y) ∈ R4 ,
t
(Λx)η(Λy) = t xηy.
Autrement dit, les transformations de Lorentz sont caractérisées par
η = t ΛηΛ.
(3.15)
Ainsi, le groupe de Lorentz est le groupe de Lie pseudo-orthogonal O(1, 3). On tire
également de cette dernière propriété qu’une telle transformation vérifie (detΛ)2 = 1,
c’est-à-dire detΛ = ±1. De même, on obtient l’égalité
1 = η00 =
ηµν Λµ0 Λν0
=
(Λ00 )2
−
3
X
i=1
D’où (Λ00 )2 ≥ 1, ou encore :
Λ00 ≥ 1 ou Λ00 ≤ −1.
On est alors amené à poser les définitions suivantes.
45
(Λi 0 )2 .
Définition 3.2.7 (Transformation de Lorentz propre et impropre) : On qualifie de
transformation de Lorentz propre (resp. impropre) toute transformation Λ ∈ L telle
que detΛ = 1 (resp. detΛ = −1). L’ensemble des transformations propres forme un
sous-groupe de L, noté L+ (resp. L− ). Autrement dit, L+ = SO(1, 3).
Définition 3.2.8 (Transformation de Lorentz orthochrone et antiorthochrone) :
On qualifie de transformation de Lorentz orthochrone (resp. antiorthochrone) toute
transformation Λ ∈ L telle que Λ00 ≥ 1 (resp. Λ00 ≤ −1). L’ensemble des transformations orthochrone forme un groupe noté L↑ . L’ensemble des transformations
antiorthochrone est noté L↓ .
Les transformations antiorthochrones inversent l’orientation du temps. Aussi, nous
n’en parlerons presque pas. De même, les transformations impropres « retournent » l’espacetemps. Nous n’en parlerons pas non plus. En fait, nous ne considérerons que l’ensemble
des transformations propres orthochrones. Celui forme un sous-groupe de L+ , noté
SO↑ (1, 3). Celui-ci contient entre autres l’identité ainsi que toute transformation dans
la même composante connexe (par arcs).
Définition 3.2.9 (Groupe de Lorentz propre) : On appellera groupe de Lorentz
propre le groupe SO↑ (1, 3), aussi noté L↑+ .
Définition 3.2.10 (Opérateur de parité et renversement du temps) : On définit
l’opérateur de parité par l’opérateur P dont la matrice est donnée par
P = diag(1, −1, −1, −1)
et l’opérateur de renversement du temps par la matrice T = diag(−1, 1, 1, 1).
Proposition 3.2.1 : Tout opérateur Λ1 ∈ L↑− et Λ2 ∈ L↓+ se décompose de manière
e 2 où Λ
e 1, Λ
e 2 ∈ L↑ = SO↑ (1, 3).
e 1 et Λ2 = T Λ
unique sous la forme Λ1 = P Λ
+
En particulier, comme P et T commutent et P 2 = T 2 = I (où I est l’opérateur
identité), le groupe qu’ils engendrent est isomorphe à {I, P } × {I, T }. On en déduit
le résultat suivant :
Proposition 3.2.2 : Le groupe de Lorentz s’obtient à partir du groupe de Lorentz
propre, de la parité et du renversement du temps par un produit semi-direct :
L = ({I, P } × {I, T }) n SO↑ (1, 3).
Nous allons étudier plus en détail la structure de ce groupe.
Lemme 3.2.1 : Soit Λ ∈ SO↑ (1, 3). Il existe deux rotations R, R0 de R3 et une
transformation spéciale de Lorentz L (aussi appelée boost) telle que Λ = RLR0 .
On en déduit immédiatement la proposition suivante :
Proposition 3.2.3 : Le groupe de Lorentz propre SO↑ (1, 3) est connexe.
Corollaire 3.2.1 : Le groupe de Lorentz O(1, 3) possède quatre composantes connexes
(par arcs), à savoir SO↑ (1, 3), P · SO↑ (1, 3), T · SO↑ (1, 3) et P T · SO↑ (1, 3).
46
Démonstration. La proposition 3.2.1 montre que
L = SO↑ (1, 3) ∪ P · SO↑ (1, 3) ∪ T · SO↑ (1, 3) ∪ P T · SO↑ (1, 3).
D’autre part, la continuité du déterminant montre que ces quatre parties n’appartiennent pas à la même composante connexe. Il y a donc au moins quatre composantes connexes. Or ces quatres partie sont connexes (car isomorphes à SO↑ (1, 3) qui
est connexe). D’où le résultat.
Proposition 3.2.4 : Le groupe de Lorentz propre n’est pas compact. A fortiori, le
groupe de Lorent L n’est pas compact.
Démonstration. En effet, le groupe de Lorentz propre admet un sous-groupe non compact à un paramètre qui est, par exemple, donné par l’ensemble des opérateurs de la
forme


cosh α sinh α 0 0
 sinh α cosh α 0 0


Λ(α) = 
.
 0
0
1 0
0
0
0 1
Corollaire 3.2.2 : La seule représentation irréductible unitaire de dimension finie
du groupe de Lorentz (propre ou non) est la représentation triviale.
Démonstration. Il s’agit d’une conséquence directe de la proposition précédente et du
théorème 2.2.2.
Algèbre de Lie du groupe de Lorentz
Donnons simplement ici les générateurs de l’algèbre de Lie du groupe de Lorentz
SO(1, 3).
Proposition 3.2.5 (Générateurs de so(1, 3)) : Une base de so(1, 3) est donnée par
les matrices J µν dont les termes généraux sont (pour µ, ν ∈ {0, 1, 2})
(J µν )αβ = η µα δ νβ − η να δ µβ .
Notation 3.2.1 : On note alors Ji = 12 ijk J jk et Ki = J 0i pour i = 0, 1, 2.
Un calcul fournit alors les relations de commutation suivantes :
Proposition 3.2.6 (Relations de commutation) :
[Ji , Jj ] = Jk ,
[Ji , Kj ] = Kk ,
[Ki , Kj ] = −Jk ,
où les indices i, j, k peuvent être obtenus à partir de permutations circulaires des indices 1, 2, 3.
47
3.2.4
Groupe de Poincaré
Nous venons d’étudier dans le paragraphe précédent quelques propriétés du groupe
de Lorentz qui consiste en les transformations linéaires de l’espace temps préservant la
métrique de Minkowski. Le groupe de Poincaré tient en plus compte de l’homogénéité
de l’espace-temps : les lois de la physique doivent être invariantes par translation dans
l’espace-temps. On obtient ainsi la définition suivante.
Définition 3.2.11 (Groupe de Poincaré) : Le groupe de Poincaré est le groupe
des transformations affines de l’espace-temps dont la partie linéaire laisse invariante
la métrique de Minkowski. On le note P.
Etant donné que le groupe de Lorentz agit (de manière naturelle) sur R1,3 , on
obtient la proposition suivante.
Proposition 3.2.7 : Le groupe de Poincaré P est le produit semi-direct du groupe
de Lorentz et des quadri-vecteurs de l’espace-temps :
P = L n R1,3 .
Définition 3.2.12 (Groupe de Poincaré propre) : On définit de manière analogue
le groupe de Poincaré propre par
↑
P+
= L↑+ n R1,3 = SO↑ (1, 3) n R1,3 .
Notation 3.2.2 : Les éléments du groupe de Poincaré seront alors notés (Λ, a) où
Λ ∈ L et a ∈ R1,3 . Dans ce cas, la loi de composition dans L n R1,3 est donnée par
(Λ, a) · (Λ0 , a0 ) = (ΛΛ0 , a + Λa0 ).
(3.16)
Cette formule explicite la loi du produit semi-direct.
La proposition suivante, bien que simple, est essentielle pour faire le lien avec
l’étude mathématique précédente.
Proposition 3.2.8 : Le groupe de Poincaré est un groupe de Lie.
Démonstration. Pour montrer ce résultat, on constate simplement que le groupe de
Poincaré s’injecte dans GL(5, R) de la manière suivante :
!
Λ a
(Λ, a) 7→
.
0 1
Ainsi le groupe de Poincaré s’identifie à son image par ce morphisme. Cette image est
nécessairement fermée dans GL(5, R) (car GL(5, R) est de dimension finie et Im(P)
est un sous-espace vectoriel, donc fermé). Comme GL(5, R) est un groupe de Lie
matriciel. Il en est donc de même de P.
Le groupe de Lorentz étant non compact, il en est de même du groupe de Poincaré :
Proposition 3.2.9 : Le groupe de Poincaré (propre ou non) n’est pas compact.
48
3.3
Algèbre de Lie du groupe de Poincaré
Les particules élémentaires sont identifiées à des représentations irréductibles unitaires de groupes de symétries (et le cas échéant de l’algèbre de Lie associée à ces
groupes de symétries). L’objectif de cette partie est alors d’étudier l’algèbre de Lie
du groupes de Poincaré dans l’idée d’en construire des représentations irréductibles.
C’est vraiment dans cette partie que les notations d’Einstein vont êtres régulièrement
utilisées.
3.3.1
Description explicite de l’algèbre de Lie de Poincaré
Tout d’abord, on donne une description explicite des générateurs de l’algèbre de
Lie de Poincaré ainsi que leurs relations de commutation. On verra dans les partie
suivantes comment retrouver ces résultats en adoptant un autre point de vue.
On rappelle que
(
!
)
Λ a
P=
. ∈ M5 (R) | Λ ∈ SO(1, 3), a ∈ R1,3 .
0 1
Dans ce cas, l’algèbre de Le de Poincaré est donnée par
p = {X ∈ M5 (C) | ∀t ∈ R, etX ∈ P}.
On montre dans ce cas,
donnés par

0 0 0

0 0 0

P0 = 
0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 0

0 0 0

P2 = 
0 0 0

0 0 0
0 0 0
que les générateurs de l’algèbre de Lie de Poincaré sont
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

1

0

0
,

0
0

0

0

1
,

0
0

0

0

P1 = 
0

0
0

0

0

P3 = 
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0

1

0
,

0
0

0

0

0
.

1
0
A ces matrices, il faut encore rajouter les 6 générateurs correspondant au sous-groupe
de Lorentz (propre). On les appelle encore Ki et Ji :
!
!
Ki 0
Ji 0
Ki =
et Ji =
.
0 0
0 0
Finalement, l’algèbre de Lie de Poincaré est de dimension 6 + 4 = 10 et les relations
de commutation peuvent être obtenues par un calcul matriciel explicite. Selon [13],
49
ces relations sont données par :
[Ji , Jj ] = Jk ,
[Ji , Kj ] = Kk ,
[Ki , Kj ] = −Jk ,
[Pµ , Pν ] = 0,
[Pµ , Ji ] = ηµj Pk − ηµk Pj ,
[Pµ , Ki ] = −ηµ0 Pi + ηµi P0 .
Nous allons à présent déterminer des générateurs de l’algèbre de Lie de Poincaré
avec leurs relations de commutation par une autre méthode.
3.3.2
Générateurs de l’algèbre de Lie de Poincaré
La démarche utilisée ici est celle de S. Weinberg dans le premier volume de son
ouvrage « The quantum theory of fields » [15]. On pourra également se référer à [2].
Nous allons donc introduire (cela sera suffisant pour notre étude) les générateurs de
l’algèbre de Lie du groupe de Poincaré de manière implicite. Pour se faire, commençons
par considérer une transformation de Poincaré infinitésimale au voisinage de l’identité,
c’est-à-dire une transformation de la forme
(Λ, a) = (I + ω, ε),
où ω, ε sont des éléments infinitésimaux.
Remarquons déjà le résultat ci-dessous.
Lemme 3.3.1 : La matrice infinitésimale ω est antisymétrique.
Démonstration. Ceci découle de la caractérisation (3.15) du groupe de Lorentz.
Définition 3.3.1 (Générateurs de l’algèbre de Lie du groupe de Poincaré) : Les
éléments de l’algèbre de Lie du groupe de Poincaré (J µν )0≤µ,ν≤3 et (P µ )0≤µ≤3 sont
tels que pour toute transformation infinitésimale (I + ω, ε), on ait
i
(I + ω, ε) = I + ωµν J µν − iεµ P µ .
2
Les éléments (J µν )0≤µ,ν≤3 et (P µ )0≤µ≤3 sont appelés générateurs de l’algèbre de Lie
du groupe de Poincaré.
Remarque 3.3.1 : Le coefficient i n’est qu’une convention afin de s’assurer de l’hermiticité des opérateurs J µν et P µ . Ceci fera l’objet d’un résultat à venir. De plus,
cette définition « abstraite » des générateurs n’est pas génante étant donné que ce
qui nous intéressera dans la suite n’est pas tellement l’algèbre de Lie en elle-même
mais bien ses représentations. Il nous faudra alors simplement connaître les relations
de commutation entre générateurs. Ceci sera fait dans la partie suivante.
Proposition 3.3.1 : Les éléments J µν peuvent être choisis antisymétrique, c’està-dire tels que J µν = −J νµ .
50
Démonstration. Cette démonstration s’appuie sur le lemme précédent. En effet, on a
ωµν − ωνµ = 2ωµν par antisymétrie et alors,
1
ωµν J µν = (ωµν − ωνµ )J µν
2
1
1
= ωµν J µν − ωνµ J µν
2
2
1
= ωµν (J µν − J νµ ) par un changement d’indice
2
= ωµν J 0µν
si l’on pose J 0µν = 12 (J µν −J νµ ). Ce dernier opérateur étant antisymétrique de manière
évidente, on a le résultat voulu.
On considère alors dans ce qui suit que les J µν sont antisymétriques. Dans le cadre
des représentations unitaires, les éléments du groupe de Poincaré vérifient alors la
relation d’unitarité (Λ, a)† (Λ, a) = I. Ceci se traduit par l’hermiticité des générateurs
et on retrouve le résultat annoncé :
Proposition 3.3.2 : Les opérateurs (J µν ) et (P µ ), agissant sur un espace vectoriel
via une représentation unitaire du groupe de Poincaré, sont hermitiens.
Démonstration. Pour cette démonstration, on effectue un développement à l’ordre 1
des opérateurs (I + ω, ε)† et (I + ω, ε). On obtient alors
I = (I + ω, ε)† (I + ω, ε)
i
i
= (I + ωµν J µν − iεµ P µ )† (I + ωµν J µν − iεµ P µ )
2
2
i
i
µν†
µ†
+ iεµ P )(I + ωµν J µν − iεµ P µ )
= (I − ωµν J
2
2
i
= I + ωµν (J µν − J µν† ) − iεµ (P µ − P µ† ) + o(ω, ε).
2
D’où l’on en déduit que J µν† = J µν et P µ† = P µ puisque ω et ε ont été choisis
quelconques. Ce qu’il fallait démontrer.
De tout ceci, on en déduit la dimension de l’algèbre de Lie du groupe de Poincaré.
Proposition 3.3.3 : L’algèbre de Lie du groupe de Poincaré est de dimension 10.
En effet, les opérateurs ω correspondent à des matrices antisymétriques de tailles
4 × 4 quelconques. On obtient donc 4×3
2 = 6 premiers degrés de libertés auquels il faut
ajouter 4 dimensions provenant des translations dans l’espace-temps R1,3 .
3.3.3
Relations de commutation
Pour obtenir des détails techniques et calculatoires quant à l’obtention des relations
de commutation de l’algèbre de Lie de Poincaré, on pourra se référer à [15]. Donnons
ici le résultat qui nous intéresse.
51
Proposition 3.3.4 : Les relations de commutation des éléments de l’algèbre de Lie
du groupe de Poincaré sont données par
i[J µν , J ρσ ] = η νρ J µσ − η µρ J νσ − η σµ J ρν + η σν J ρµ ,
i[P µ , J ρσ ] = η µρ P σ − η µσ P ρ ,
[P µ , P ν ] = 0.
3.3.4
Opérateurs de Casimir : masse et spin
Nous allons à présent mettre en évidence deux opérateurs de Casimir de l’algèbre
de Lie de Poincaré.
L’opérateur de masse P 2
Proposition 3.3.5 (Opérateur de Casimir de la masse) : L’opérateur
P 2 = P µ Pµ = ηµν P µ P ν
est un opérateur de Casimir de l’algèbre de Lie de Poincaré.
Démonstration. Il est clair que P 2 commute avec P µ . Dans ce cas, [P 2 , P µ ] = 0.
Montrons qu’on a également [P 2 , J µν ] = 0, auquel cas, P 2 commutera avec tous les
générateurs de l’algèbre de Lie de Poincaré et en sera donc un opérateur de Casimir.
On a
[P 2 , J µν ] = [ηρσ P ρ P σ , J µν ]
= [P ρ , J µν ]ηρσ P σ + ηρσ P ρ [P σ , J µν ]
= −iηρσ (η ρµ P ν − η ρν P µ )P σ − iηρσ P ρ (η σµ P ν − η σν P ν )
= −i(η ρµ P ν − η ρν P µ )Pρ − iPσ (η σµ P ν − η σν P ν )
= −i(P ν P µ − P µ P ν ) − i(P µ P ν − P ν P µ )
=0
D’où le résultat.
Ceci met en évidence un premier opérateur de Casimir. Décrivons-en un deuxième :
l’opérateur de Casimir du spin.
L’opérateur de spin W 2
Définition 3.3.2 (Vecteur de Pauli-Lubanski) : On définit le vecteur de PauliLubanski par l’opérateur
1
Wµ = µνρσ P ν J ρσ
2
où µνρσ est le tenseur de Levi-Civita complètement antisymétrique (avec 0123 = 1).
52
Proposition 3.3.6 : Le quadri-vecteur de Pauli-Lubanski vérifie les propriétés de
commutation suivante :
[Wµ , P ρ ] = 0,
i[Wµ , Jρσ ] = ηµρ Wσ − ηνσ Wρ ,
i[Wµ , Wν ] = µνρσ P ρ Wσ .
On peut alors mettre en évidence un autre opérateur de Casimir.
Proposition 3.3.7 (Opérateur de Casimir du spin) : L’opérateur W 2 = W µ Wµ
est un opérateur de Casimir de l’algèbre de Lie de Poincaré.
Démonstration. La démonstration de cette dernière proposition repose sur les relations de commutation tout comme nous l’avons fait pour l’opérateur P 2 .
3.3.5
Interprétation des opérateurs P 2 et W 2
L’opérateur P 2 étant un opérateur de Casimir, on en déduit que dans une représentation irréductible D, il est un multiple de l’identité :
∃λD ∈ R,
P 2 = λD I.
Physiquement, la constante λD s’interprète comme le carré de la masse de la particule
élémentaire décrite par la représentation D. Ceci justifie la définition suivante.
Définition 3.3.3 (Masse d’une particule) : Pour une particule élémentaire, décrite
par une représentation irréductible du groupe de Poincaré, la masse m de la particule
est définie par la relation
P 2 = m2 I.
Définition 3.3.4 (Tachyon) : Une particule donc la masse m2 < 0 est qualifiée de
tachyon.
Pour de telles particules, leur masse serait imaginaire pure. Aussi, nous n’en parlerons pas.
Définition 3.3.5 (Particules massives et non massives) : Une particule de masse
m > 0 (resp. m = 0) est dite massive (resp. non massive).
Dans le cas des particules massives, une deuxième grandeur est utilisée pour caractériser les particules : le spin (décrit par l’opérateur W 2 ). On montre en fait que
les représentations irréductibles massives du groupes de Poincaré peuvent être obtenues à partir des représentations irréductibles Dj de SU (2) et Dj de SO(3). Ceci sera
explicité davantage dans la suite. On obtient alors que le spin d’une particule massive
prend les valeurs j ∈ 12 N.
Définition 3.3.6 (Particules bosoniques et fermioniques) : Une particule massique
de spin entier (resp. demi-eniter) est qualifiée de particule bosonique (resp. particule
fermionique).
53
Dans le cas d’une particule non massive, on montre que les représentations irréductibles du groupe de Poincaré peuvent être obtenues à partir du groupe ISO(2) des
isométries du plan euclidien. Auquel cas, on parle non plus de spin mais d’hélicité,
parfois notée s. Celle-ci prend ses valeurs dans 12 Z.
3.4
Représentations irréductibles du groupe de Poincaré
Nous allons à présent détailler quelque peu le lien qu’il existe entre les représentations irréductibles du groupe de Poincaré (ou plutôt de son algèbre de Lie) et les
représentations de sl(2, C) et so(3).
Dans cette partie, nous adoptons la démarche de [13] mais il est interessant d’inscrire cette démarche dans un cadre plus général. On pourra alors se référer à [12],
ouvrage rédigé par S. Sternberg intitulé « Group theory and physics » pour plus de
détails. On pourra y trouver dans les parties 3.8 et 3.9 principalement une construction plus générale des représentations irréductibles d’un produit semi-direct et une
application au groupe de Poincaré. On pourra également se référer à [2] qui reprend
la démarche de S. Sternberg.
On considère dans ce qui suit une représentation U , unitaire et continue du groupe
de poincaré P dont on note V l’espace de représentation.
Notation 3.4.1 : Une transformation du type (I4 , a), appelée translation pure, sera
notée U (a) tandis que les transformations de Lorentz pures (sans translation) seront
notées plus simplement U (Λ, 0) = U (Λ).
A partir de cette représentation U du groupe de Poincaré, on construit sa représentation irréductible unitaire de l’algèbre de Poincaré p. Cette construction est celle
donnée par la proposition 2.1.1. On note DU cette représentation donnée par
d
tX
U (e )
.
DU (X) =
dt
|t=0
En particulier, comme U est supposée unitaire, on obtient que pour tout X ∈ p,
l’endomorphisme DU (X) est antihermitien :
∀v1 , v2 ∈ V,
hDU (X)v1 , v2 i = − hv1 , DU (X)v2 i .
Notation 3.4.2 : On note Pbµ = DU (Pµ ) et Pba = DU (Pa ) où Pa est la matrice aµ Pµ
pour a ∈ R1,3 . On note encore Pb le quadri-opérateur défini par Pb = (Pb0 , Pb1 , Pb2 , Pb3 ).
Définition 3.4.1 (Espace propre Vp ) : Pour p ∈ K4 donné, on définit le sous-espace
propre Vp de V par
Vp = {x ∈ V | Pbx = px},
C’est-à-dire, il s’agit des vecteurs x ∈ V tels que pour tout i, Pbi x = pi x. On dit alors
que p est une quadri-valeur propre associée aux (quadri)-vecteurs propres x ∈ Vp si
Vp 6= {0}.
On obtient le résultat suivant.
54
Théorème 3.4.1 : Soient x ∈ Vp et Λ ∈ L une transformation de Lorentz. Alors
U (Λ−1 )x ∈ VΛp .
Démonstration. Pour cette démonstration, on utilise la relation (3.16). On obtient
dans ce cas pour tout t ∈ R et tout a ∈ R1,3 ,
U (ta)U (Λ−1 ) = U (I4 Λ−1 , ta + 0) = U (Λ−1 , ta).
et par ailleurs,
U (Λ−1 )U (tΛa) = U (Λ−1 I4 , 0 + Λ−1 tΛa) = U (Λ−1 ), ta).
Ainsi, U (ta)U (λ−1 ) = U (Λ−1 )U (tΛa). En passant aux opérateurs de l’algèbre, cette
relation correspond à
Pba U (Λ−1 ) = U (Λ−1 )PbΛa .
Finalement, si x ∈ Vp , c’est-à-dire Pbx = px, alors
PbU (Λ−1 )x = U (Λ−1 )ΛPbx = ΛpU (Λ−1 )x.
Donc, on a bien U (Λ−1 )x ∈ VΛp .
On en déduit le corollaire suivant :
Corollaire 3.4.1 : Soit p ∈ Spec(Pb) une valeur propre de Pb. Alors pour toute
transformation de Lorentz Λ ∈ L, on a
Vp ' VΛp .
Démonstration. Ceci découle directement du théorème précédent. L’isomorphisme
étant donné par U (Λ−1 ) : x ∈ Vp 7→ U (Λ−1 )x ∈ VΛp .
Proposition 3.4.1 : L’action des transformations de Lorentz sur les quadri-valeurs
propres de Pb est transitive.
Démonstration. Cette démonstration peut s’effectuer par l’absurde. L’hypothèse d’irrédutibilité de la représentation va jouer ici un rôle fondamental comme nous allons
le voir. Supposons qu’il existe deux quadri-valeurs propres p1 , p2 de Pb qui ne sont pas
dans la même orbite. On considère dans ce cas les sous-espaces V1 (resp. V2 ) de V
engendrés par les sous-espaces propres VΛp1 (resp. VΛp2 ) :
V1 = Vect(VΛp1 ,
Λ ∈ SO(1, 3)),
V2 = Vect(VΛp2 ,
Λ ∈ SO(1, 3)).
Comme Vp1 et Vp2 ne sont pas réduit à {0}, il en est de même des espaces V1 , V2 . De
plus, ces deux sous-espaces sont disjoints car les espaces VΛp1 et VΛp2 sont disjoints
associés à des valeurs propres distinctes. Ainsi, V1 , V2 sont deux sous-espaces propres
de V (ici « propres » est à prendre dans le sens non trivial : V1 , V2 6= {0} et V ). De
part le théorème précédent, on obtient (immédiatement) par construction même des
espaces V1 , V2 que ceux-ci sont invariants. Or, la représentation U est par hypothèse
irréductible. D’où la contradiction.
55
Définition 3.4.2 (Petit groupe) : On définit le petit groupe associé à la valeur
propre p par
Gp = {Λ ∈ SO(1, 3) | U (Λ)Vp ⊂ Vp }.
Ceci permet de définir par restriction (et co-restriction) de U ce qu’on appelle la
petite représentation associée à la valeur propre p.
Définition 3.4.3 (Petite représentation) : Soit p un quadri-vecteur propre de Pb.
On définit la petite représentation associée à p par la représentation Up : Gp → Vp
telle que Λ 7→ U (Λ).
Proposition 3.4.2 : Le petit groupe Gp est le sous-groupe d’isotropie
Gp = {Λ ∈ SO(1, 3) | Λp = p}.
Démonstration. Montrons ce résultat par double inclusion. Si Λp = p, alors
U (Λ)Vp = VΛ−1 p = Vp .
Donc Λ ∈ Gp . Réciproquement, si Λ ∈ Gp , il découle du théorème 3.4.1 que
U (Λ)Vp = VΛ−1 p ⊂ Vp .
(3.17)
Or, on a déjà vu que si p1 6= p2 , les sous espaces propres associés sont disjoints. Donc
ici, Λ−1 p = p ou encore Λp = p. D’où le résultat.
Théorème 3.4.2 : Les petits groupes et petites représentations ont les propriétés
suivantes :
1. Les petits groupes sont tous conjugués.
2. Les petites représentations sont toutes équivalentes.
3. Une petite représentation est irréductible.
Démontrons ce théorème.
Démonstration. Démontrons la première assertion. Soient p et p0 deux quadri-valeurs
propres (distinctes ou non). Comme l’action de L est transitive sur l’ensemble des
quadri-vecteurs propres de Pb, on en déduit qu’il existe une transformation de Lorentz
Λ telle que p0 = Λp. Considérons alors une transformation Λ0 ∈ L. Dans ce cas,
Λ0 ∈ Gp ⇐⇒ Λ0 p = p ⇐⇒ (ΛΛ0 Λ−1 )Λp = Λp ⇐⇒ ΛΛ0 Λ−1 ∈ GΛp .
Ainsi, Gp0 = GΛp = ΛGp Λ−1 . D’où la première assertion.
Considérons à nouveau deux quadri-valeurs propres p, p0 . Comme avant, il existe
une transformation de Lorentz telle que p0 = Λp. Dans ce cas, l’opérateur U (Λ) est
un opérateur d’entrelacement des petites représentations Up et Up0 = UΛp :
Up U (Λ) = U (Λ)UΛp .
56
(3.18)
Montrons enfin que la petite représentation Up est irréductible. Considérons Wp (
Vp un sous-espace invariant de Vp et montrons que Wp est réduit à {0}. Pour une
transformation de Lorentz Λ, on note
WΛp = U (Λ−1 )Wp ⊂ VΛp .
Définissons encore
W = Vect(WΛp , Λ ∈ SO(1, 3)) ( V.
Notons qu’en particulier, W contient Wp . Alors, pour tous Λ ∈ L, Λ0 ∈ P,
U (Λ0 )WΛp = U (Λ0 )U (Λ−1 )Wp
= U (Λ0 Λ−1 )Wp
= WΛΛ−1 ⊂ W.
0
Par linéairité de U (Λ0 ), on obtient U (Λ0 )W ⊂ W . Finalement, comme U est irréductible, Wp ⊂ W = {0}. Ceci montre l’irréductibilité de la petite représentation
Up .
On peut alors démontrer le théorème suivant.
Théorème 3.4.3 : Soient U et U 0 deux représentations irréductibles unitaires du
groupe de Poincaré. On suppose que les deux conditions suivantes sont vérifiées :
– Pb et Pb0 ont une valeur propre commune p,
– les petites représentations Up et Up0 sont équivalentes.
Alors U et U 0 sont équivalentes.
Démonstration. D’après la deuxième condition, il existe un opérateur d’entrelacement
Qp : Vp → Vp0 :
(3.19)
Up0 Qp = Qp Up .
Définissons alors pour tout Λ ∈ SO(1, 3),
QΛp = U 0 (Λ−1 )Qp U (Λ).
(3.20)
Dans ce cas, en utilisant successivement les relations (3.20), (3.18), (3.19) et enfin
l’égalité (3.17), on obtient
QΛp UΛp = U 0 (Λ−1 )Qp U (Λ)UΛp
= U 0 (Λ−1 )Qp Up U (Λ)
= U 0 (Λ−1 )Up0 Qp U (Λ)
0
= UΛp
QΛp .
Comme V est la somme directe des sous-espaces propres VΛp , on peut alors définir
0 un opérateur d’entrelacement de U et U 0 .
par restriction à VΛp et VΛp
Autrement dit, une représentation irréductible unitaire du groupe de Poincaré peut
être caractérisée par deux éléments :
57
– une valeur propre de l’opérateur Pb (qui détermine son orbite sous l’action du
groupe de Lorentz),
– les petites représentations.
Par exemple, plaçons-nous dans le cas où les valeurs propres de l’opérateur Pb sont dans
l’orbite de p = (p0 , 0, 0, 0) où p0 ∈ R∗ , c’est-à-dire dans le cas d’une représentation
massive. Alors, la condition Λp = p montre que
Gp = {Λ ∈ SO(1, 3) | Λp = p} ' SO(3).
Ainsi, on retrouve le lien déjà indiqué entre les représentations du groupe de Poincaré
et les représentations de SO(3). Une particule est alors déterminée par le réel
||p||2 = ||(p0 , p1 , p2 , p3 )||2 = p20 − p21 − p22 − p23 = p20 = m2 ,
(avec m = |p0 |), qui peut être interprété dans notre exemple comme étant le carré de
la masse de la particule, et par la valeur j de « spin » classifiant les représentations
irréductibles de SO(3) étudiées au chapitre précédent. Dans le cas d’un problème non
massif, par exemple si p = (1, 0, 0, 1) (auquel cas ||p||2 = 1 − 0 − 0 − 1 = 0), on montre
que le petit groupe Gp est isomorphe à ISO(2), le groupe des isométries euclidiennes
du plan. Ces représentations sont alors caractérisées par un entier s ∈ 21 Z comme nous
l’avons déjà signalé.
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Remerciements
Je tiens à remercier particulièrement M. Rausch De Traubenberg pour m’avoir
dirigé tout au long de ce stage, pour sa disponibilité et ses multiples précisions apportées à mes questions. Il m’aura permis de redécouvrir la physique et de comprendre l’importance des symétires dans ce domaine. Je remercie également Marie
Kray, Lauriane Schneider ainsi que Arnaud Tomasini et Simon Schatz. Leurs rapports
de stage [7], [10], [13], [9] effectués les années précédentes m’ont été d’une aide précieuse et m’ont permis de découvrir plus rapidement et avec clarté certaines notions
abordées. C’est au cours de ce stage j’ai pu découvrir une nouvelle manière de faire
des « mathématiques » dans un environnement plus professionnel et aujourd’hui, plus
que jamais, je suis conforté dans l’idée que la science des mathématiques est un art
util.
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Bibliographie
[1] X. Bekaert and N. Boulanger. The unitary representations of the Poincaré group
in any spacetime dimension. 2006.
[2] V. Demery. Groupe de Poincaré et théorie relativiste des champs. 2007.
[3] A. Dobay. Supersymétrie en physique des particules élémentaires. Université de
Lausanne, 1997.
[4] H. Georgi. Lie algebras in particules physics. Westview Press, 1999.
[5] W. Greiner and B. Müller. Mécanique quantique : symétries. Springer, 1999.
[6] Y. Kosmann-Schwarzbach. Groupes et symétries : groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations. 2003.
[7] M. Kray. Algèbres de Lie - Applications aux particules élémentaires. 2008.
[8] T. Masson. Géométrie différentielle, groupes et algèbres de Lie, fibrés et
connexions. Laboratoire de Physique Théorique - Université Paris XI, 2001.
[9] S. Schatz. Supersymétrie et compagnie. 2010.
[10] L. Schneider. Supersymétrie. 2010.
[11] C. Scrucca. Physique mathématique. Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne.
[12] S. Sternberg. Group theory and physis. Cambridge University Press, 1995.
[13] A. Tomasini. Les représentations : les enjeux physiques d’un outil mathématique.
2009.
[14] S. Wallon. Structure fondamentale de la matière. 2005.
[15] S. Weinberg. The quantum theory of fields, Vol. 1. 1995.
[16] J. B. Zubber. Symétries en physique. UPMC, 2011.
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