1 I) Conditionnement et indépendance. 1

Probabilités conditionnelles
I) Conditionnement et indépendance.
1) Conditionnement par un événement de probabilité non nulle.
Soit P une probabilité définie sur un univers E, et soit A un événement de E
tel que P(A)  0.
Définition : pour tout événement B de E, on appelle probabilité de B
sachant A le réel noté PA (B) tel que :
PA (B) 
P(A  B)
.
P(A)
Propriété : PA est une nouvelle probabilité définie sur E, appelée probabilité
conditionnelle sachant A.
On a en particulier :
 PA (A)  1
 pour tout événement B de E, PA (B)  1  PA(B)
 si A et B sont incompatibles alors PA (B)  0 .
Conséquence : si A et B sont des événements de E tels que P(A)  0 et P(B)  0 ,
alors :
P(A  B)  P(A)  PA(B)  P(B)  PB (A)
2) Indépendance de deux événements.
Soit P une probabilité définie sur un univers E, et soit A et B deux événements
de E.
Définition : A et B sont indépendants si P(A  B)  P(A)  P(B) .
Propriété : si P(A)  0 et P(B)  0 alors on a :
A et B indépendants si et seulement si PA (B)  P(B) ou PB (A)  P(A) .
1
3) Variables aléatoires indépendantes
Définition : deux variables aléatoires réelles X et Y définies sur le même
univers E muni d’une loi de probabilité P, pouvant prendre
respectivement les valeurs ( x1, x2, …, xk) et (y1, y2, …, yr), sont
indépendantes si, pour tout couple (i,j) :
P X  xi et Y  yj  P  X  xi   P Y  yj .




II) Formule des probabilités totales.
1) Partition de l’univers
Définition : soit E un univers et n un entier tel que n  2.
Les événements A1, A2, …, An constituent une partition de E si les trois
conditions suivantes sont vérifiées :
● aucun de ces événements n’est impossible ( p( Ai )  0 );
● ces événements sont incompatibles deux à deux ;
● la réunion de ces événements est l’univers E.
2) Formule des probabilités totales
Propriété : soit E un univers muni d’une loi de probabilité P, et (A1, A2,
…, An) une
partition de E.
Pour tout événement B de E, on a :
P(B)  P(A 1 )  PA (B)  P(A 2 )  PA (B)  ...  P(A n )  PAn (B)
1
Exemple : pour n = 3
2
B  A 1  B   A 2  B   A 3  B 
B est la réunion de trois événements incompatibles deux à deux. Donc
P(B)  P(A 1  B)  P(A 2  B)  P(A 3  B)
2
Illustration par un arbre pondéré :
III) Expériences indépendantes ; expériences indépendantes et identiques.
Définitions : dire que k expériences sont indépendantes, c’est dire que la
probabilité d’obtenir une liste de k résultats est égale au produit des
probabilités de chacun d’entre eux.
Dire que des expériences sont identiques signifie que le modèle de
probabilité adopté pour chacune d’elles est le même.
Remarque : parler de k expériences identiques et indépendantes, c’est considérer
la loi de probabilité qui à tout élément (r,r
1 2, ...,rk ) associe
P(r1 )  P(r2 )  ...  P(rk ) , où
P est la loi de probabilité qui modélise chacune des expériences.
3