Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536

Note de cours de MAT009
Mise à niveau pour Mathématiques 536
Éric Brunelle
et
Dominique Goyette
Table des matières
Introduction
1
Chapitre 1. Quelques rappels
1. Les ensembles
2. Arithmétique sur les nombres réels
3. Les polynômes
3
3
10
14
Chapitre 2. Équations et inéquations
1. Les équations
2. Les fractions algébriques
3. Intervalles et inéquations
23
23
29
34
Chapitre 3. Étude graphique de fonctions
Introduction
1. Éléments de l’étude des fonctions
2. Opérations sur les fonctions
3. Rôle des paramètres a, b, h et k
39
39
39
50
54
Chapitre 4. La droite
1. La fonction constante
2. La fonction linéaire
3. Relations entre deux droites
4. Modélisation
5. Les distances
63
63
64
68
72
74
Chapitre 5. La parabole
1. La parabole de base
2. La fonction transformée
3. Recherche de la règle
4. Résolution d’équations ayant une fonction du second degré
5. Résolution d’inéquations ayant une parabole
6. Modélisation et mises en situation
79
79
80
87
89
91
93
Chapitre 6. Fonctions particulières
1. Fonction rationnelle
2. Fonction racine carrée
3. Fonctions définies par parties
4. Fonction valeur absolue
95
95
100
108
110
3
4
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
1. Les exponentielles
2. Les logarithmes
3. Modélisation
121
121
130
142
Chapitre 8. Les fonctions trigonométriques
1. Le cercle trigonométrique
2. Les fonctions trigonométriques
3. Les fonctions sécante, cosécante et cotangente
4. Identités trigonométriques
145
145
156
171
174
Solutions
179
Introduction
Le cours de mise à niveau 536 porte sur l’analyse graphique et algébrique de certaines fonctions communes. Le but de ce cours est d’acquérir
une base solide dans les manipulations algébriques ainsi qu’à visualiser certaines fonctions. Ces notions sont fondamentales pour des études supérieures
notamment au niveau collégial.
Le premier chapitre se veut une révision de la notion d’ensemble et des
manipulations algébriques. Ce dernier aspect est très important pour le reste
du cours.
Le chapitre 2 est également un rappel sur la résolution d’équations et
d’inéquations.
Le chapitre 3 se veut un chapitre de définitions où l’on apprend à analyser une fonction en huit points. Pour ce faire, on s’arrête sur l’étude des
fonctions qui sont représentées graphiquement.
Les autres chapitres portes sur l’études de fonctions particulières : la
droite, la parabole, les fonctions définies par parties, les fonctions racines
carrées, valeurs absolue, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques.
Dans chaque cas, on voit comment résoudre certains types d’équations et
d’inéquations.
À la fin de chaque partie importante, il y a une série d’exercices permettant de maîtriser les différentes notions. Les solutions sont fournies à la
fin, mais non la démarche (qui est la partie la plus importante). Certains
exercices possèdent le symbole ♠ qui indique que l’exercice est un peu plus
difficile.
1
CHAPITRE 1
Quelques rappels
1. Les ensembles
1.1. Introduction. Les ensembles sont des éléments importants des
mathématiques. La compréhension de ceux-ci est essentielle pour faire l’étude
des différentes notions de ce cours. Regardons tout d’abord ce qu’est un
ensemble.
Définition 1.1. Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments ayant ou non une relation entre eux.
Notation
Habituellement, on identifie les ensembles par une lettre majuscule et
les éléments d’un ensemble par une minuscule. Par exemple, un élément
a est dans l’ensemble A. Cette phrase peut être écrit en mathématique
comme suit :
a ∈ A, où le symbole ∈ signifie élément de.
Exemple 1.1. Les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, maison} et
C = {3, 4}. Ici, 1 ∈ A, maison ∈ B, mais 1 ∈
/ C, c’est-à-dire que l’élément
1 n’appartient pas à l’ensemble C.
Remarque 1.1. Pour rassembler les éléments d’un ensemble, on les met
entre accolades { }. Cependant si le nombre d’éléments d’un ensemble est
trop grand, cette notation est très peu utile.
Exemple 1.2. Soit l’ensemble G, l’ensemble des garçons d’une classe et
F l’ensemble des filles de cette classe. On les écrit comme suit :
G = {x | x est un garçon de la classe} et
F = {x | x est une fille de la classe}.
Notation
La barre verticale, |, signifie tel que. Ainsi, l’ensemble G se lit comme
suit :
"G est l’ensemble des x tel que x est un garçon de la classe."
Définition 1.2. On dit que deux ensembles sont égaux si tous les éléments du premier sont dans le deuxième et vice-versa.
3
4
1. Quelques rappels
Définition 1.3. Soit un ensemble E. On dit qu’un ensemble S est un
sous-ensemble de E si tous les éléments de S sont dans l’ensemble E.
Notation
À ce moment, on écrit S ⊆ E.
Exemple 1.3. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, maison} et
C = {3, 4}. On a que C ⊂ A, mais B * A car maison ∈
/ A.
1.2. Diagramme de Venn. Le diagramme de Venn est une manière
visuelle de représenter les ensembles. Afin d’illustrer cette méthode, revenons
à l’exemple précédent.
Exemple 1.4. Soit les ensembles A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, maison}
et C = {3, 4}. Le diagramme de Venn de ces ensembles est représenté à la
figure 1. On voit bien que l’ensemble C est inclus dans l’ensemble A.
b
maison
2
b
1
b
b
3
b
4
Figure 1. Diagramme de Venn.
Ce diagramme sera très utile pour étudier les opérations sur les ensembles
que l’on abordera dans la prochaine section.
Définition 1.4. L’ensemble vide, noté ∅ ou {}, est l’ensemble qui ne
contient aucun élément. Il est à noter que l’ensemble vide est un sousensemble de tous les ensembles.
Notation
∅ ⊆ A, ∀ ensembles A. Le symbole ∀ est un quantificateur universel et
signifie "pour tout".
1.3. Opérations sur les ensembles. Tout comme pour les nombres,
il existe des opérations entre les ensembles. Le résultat de ces opérations est
un ensemble.
1.1. Les ensembles
5
Définition 1.5. Soit A et B, deux ensembles. L’union ou réunion de
A et B est l’ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent dans A
et/ou B. On note cette opération A ∪ B. En mathématique, on écrit
A ∪ B := {x|x ∈ A et/ou x ∈ B}.
Exemple 1.5. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
L’union de deux ensembles se visualise avec le diagramme de Venn. La
partie ombragée de la figure 2 montre la réunion des ensembles A et B. Une
A
B
Figure 2. Diagramme de Venn pour l’union de A et B : A ∪ B.
autre opération importante est l’intersection de deux ensembles.
Définition 1.6. Soit A et B, deux ensembles. L’intersection de A et B
est l’ensemble formé de tous les éléments qui se retrouvent à la fois dans A
et dans B. On note cette opération A ∩ B. En mathématique, on écrit
A ∩ B := {x|x ∈ A et x ∈ B}.
Exemple 1.6. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors
A ∩ B = {3}.
La partie ombragée de la figure 3 montre l’intersection entre l’ensemble
A et l’ensemble B. La dernière opération de cette section est la différence
entre deux ensembles.
Définition 1.7. Soit A et B, deux ensembles. La différence, notée A−B
ou A \ B, est l’ensemble des éléments qui sont dans A, mais qui ne sont pas
d’en B. En mathématique, on écrit
A − B := {x|x ∈ A et x ∈
/ B}.
Exemple 1.7. Si A = {1, 2, 3} et B = {3, 4, 5}, alors
A − B = {1, 2} et B − A = {4, 5}.
Il est à noter que A − B 6= B − A. On dit alors que cette opération n’est pas
commutative. Par contre, l’intersection et la réunion le sont, c’est-à-dire
A ∪ B = B ∪ A et A ∩ B = B ∩ A.
6
1. Quelques rappels
A
B
Figure 3. Diagramme de Venn pour l’intersection de A et
B : A ∩ B.
L’ensemble résultant de la différence A − B est illustré à la figure 4.
11111111
00000000
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
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11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
A
B
Figure 4. Diagramme de Venn pour A − B.
1.4. L’ensemble universel ou référentiel. L’étude des ensembles est
souvent reliée à certaines situations de la vie. À ce moment, les valeurs
possibles pour les éléments d’un ensemble sont soumises à des contraintes
qui forment ce que l’on nomme l’ensemble universel ou référentiel. On note
cet ensemble U . Pour bien comprendre ceci, regardons un exemple.
Exemple 1.8. Un jeu de dés à six faces consiste à lancer simultanément
deux dés. On gagne si on obtient deux chiffres identiques. Trouvez l’ensemble
référentiel et l’ensemble des possibilités gagnantes.
Ici, l’ensemble U est constitué de tous les couples (x, y) où x et y sont
des nombres de 1 à 6 obtenus respectivement par le premier et deuxième dé.
Ainsi, on peut écrire
U = {(x, y)|x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} et y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.
Pour ce qui est de l’ensemble des possibilités gagnantes G, on a
G = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
Il est à noter que G ⊂ U .
Définition 1.8. Soit un ensemble A dans un ensemble universel U . On
appelle complément de A, l’ensemble de tous les éléments de U qui ne sont
1.1. Les ensembles
7
pas dans A. On note cet ensemble A0 ou Ac . En mathématique, cet ensemble
est décrit par
A0 := {x|x ∈ U et x ∈
/ A}.
Exemple 1.9. Soit U = {1, 2, 3, 4, ..., 9, 10} et A = {2, 4, 6, 8}. Alors,
A0 = {1, 3, 5, 7, 9, 10}.
A0 est représenté à la figure 5.
A0
U
11111111111111
00000000000000
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
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00000000000000
11111111111111
00000000000000
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00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
A
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
Figure 5. Diagramme de Venn pour A0 .
1.5. Les ensembles de nombres réels. Dans cette section, regardons cinq ensembles très importants en mathématiques et dans la vie quotidienne. Ces ensembles ont tous la particularité d’être infinis, c’est-à-dire
qu’ils contiennent un nombre infini d’éléments. Ceci n’était pas le cas des
ensembles qu’on a vu jusqu’ici. Le premier ensemble est celui des nombres
dits naturels.
Définition 1.9. L’ensemble des nombres naturels, noté
semble suivant :
N,
est l’en-
N := {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Notation
L’expression A := B signifie que A vaut B par définition. Il ne faut pas
confondre := avec = qui signifie seulement égalité entre deux expressions,
égalité qui est justifiable.
N.
Remarque 1.2. Dans certains livres, 0 n’est pas inclus dans l’ensemble
Définition 1.10. L’ensemble des nombres entiers est l’ensemble
Z := {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
On peut facilement remarquer que l’ensemble des nombres naturels est
un sous-ensemble des nombres entiers,
⊂ . Le prochain ensemble est
l’ensemble de toutes les fractions. C’est l’ensemble des nombres rationnels.
N
Z
8
1. Quelques rappels
Q
Définition 1.11. L’ensemble des nombres rationnels,
est l’ensemble
p
de tous les nombres de la forme où p est un nombre entier et q, un nombre
q
naturel sauf 0. En mathématique, on écrit
p :=
p ∈ , q ∈ \ {0} .
q
Q
Z
N
Malgré ces trois ensembles, on ne peut pas décrire la vie réelle. Par
exemple, le nombre π, qui est nécessaire dans l’étude des cercles, n’est dans
aucun des ensembles. Pourtant, il s’agit bel et bien d’un nombre de la vie
puisqu’il est le rapport entre la circonférence et le diamètre d’un cercle. Il
faut donc ajouter un ensemble qui est l’ensemble des nombres irrationnels,
c’est-à-dire les nombres qui ne s’écrivent pas comme une fraction. On note
cet ensemble 0 .
Q
R
Q
Définition 1.12. L’ensemble des nombres réels, est l’ensemble de tous
les nombres de la vie. En réalité,
est l’union de
et de 0 ,
R
R := Q ∪ Q0 .
Q
La relation entre ces ensembles peut être visualisé à l’aide du diagramme
de Venn à la figure 6. On remarque que ⊂ ⊂ ⊂ .
N Z Q R
00000000000000000R
11111111111111111
11111111111111111
00000000000000000
0000000000
1111111111
0000000
1111111
00000000000000000
11111111111111111
0000000000
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0000000
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00000000000000000
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0000000000
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00000000000000000
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00000000000000000
11111111111111111
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0000000
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0000000
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00000000000000000
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0000000000
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0000000
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00000000000000000
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0000000000
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00000000000000000
11111111111111111
00
11
00000000000000000
11111111111111111
Q
N
00 Q
11
0
1
0Z
1
1 0
0
Figure 6. Diagramme de Venn des ensembles de nombres réels.
Exemple 1.10. Regardons dans quels ensembles sont les nombres suivants :
• 1.3 : ce nombre est un nombre rationnel, car 1.3 = 13/10. Ainsi, 1.3 ∈
√.
• 2 : ce nombre est irrationnel. Dans un cours plus avancé, on peut le
montrer. Il est très rare qu’une racine soit rationnelle.
• 1.2̄ est un nombre avec un développement décimal infini, mais il est
tout de même rationnel, car 1.2̄ = 11/9.
Q
1.6. Exercices.
Exercice 1.1. Soit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 7} et
C = {2, 4, 5}.
1.1. Les ensembles
9
a) Trouvez A ∪ B, A ∪ C, (C ∪ B) ∩ A et (A ∩ B)/C.
b) Supposons que ces ensembles sont dans l’ensemble univers U , l’ensemble
des dix premiers nombres naturels non nuls. Trouvez A0 , B 0 et C 0 ∩ A.
c) Dessinez le diagramme de Venn de cette situation.
Exercice 1.2. Écrire tous les éléments des ensembles suivants :
a) {x|x ∈
N et x < 4}
b) {x|x est une couleur de l’arc en ciel}
c) {x|x est une journée de la semaine contenant un a}.
Exercice 1.3. Dites si les nombres sont rationnels ou irrationnels.
√
√
a) 1
b) π
c) 5
d) 4
e) 15.3̄
Exercice 1.4. Écrire, avec l’aide des opérations sur les ensembles (∩, ∪, /, ..),
les ensembles suivants :
a) {x|x ∈ A et x ∈
/ B}
b) A ou x ∈
/ B}
c) {x|x ∈ A ou x ∈ B et x ∈ C}
Exercice 1.5. Écrire en extension, c’est-à-dire sous la forme
{x|x ∈ ...}, les ensembles suivants :
a) (A − B) ∪ (B − A)
b) (A ∩ C) ∩ (A ∪ B)
c) A0 ∩ A
d) A0 ∪ A
e) A0 ∩ B 0
f) ♠ Montrez que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∪ C).
10
1. Quelques rappels
2. Arithmétique sur les nombres réels
La base de l’arithmétique sur les nombres réels est connue depuis le
primaire. Il s’agit d’une opération faite entre deux ou plusieurs nombres
réels. Il y a quatre opérations de base :
• l’addition ou somme de deux nombres réels : x + y,
• la soustraction ou différence : x − y,
• la multiplication ou produit : x × y et
• la division ou le quotient : x ÷ y.
Ici, il faut bien prendre en note que pour la division, y 6= 0.
Notation
La multiplication entre x et y est écrite à l’aide du symbole ×. Ce symbole peut être confondu avec la lettre x qui est souvent utilisée. C’est
pourquoi, on notera le produit entre x et y comme x · y ou simplement
xy lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïtés.
2.1. Les exposants entiers.
R
N
Définition 2.1. Soit un nombre a ∈ \ {0} et n ∈ \ {0}. On note
a
×
a×
... × a} par an . Ici, n est dit l’exposant de a ou puissance de a.
|
{z
n
fois
On définit a0 = 1. Par contre, 00 n’est pas défini. Cela signifie que 00 est
indéterminé.
R
Proposition 1.1. Soit un nombre a ∈ \ {0} et n ∈
• si n est pair, alors an > 0, ∀a ∈ \ {0},
• si n est impair, alors an a le même signe que a.
R
N. On a que
Exemple 2.1. Trouvons les valeurs de (−5)2 et (−5)3 .
(−5)2 = −5 × −5 = 25 et (−5)3 = −5 × −5 × −5 = −125.
Il faut bien noter que −52 signifie que c’est 5 qui est au carré et non −5,
d’où l’importance des parenthèses.
Proposition 1.2 (Lois des exposants). Soit n, m ∈
égalités suivantes :
1) am × an = am+n ,
1
2) a−n = n si a 6= 0,
a
am
3) n = am × a−n = am−n ,
a
N. Alors, on a les
4) (am )n = anm ,
5) (ab)m = am bm ,
6)
 ‹n
a
b
=
an
, avec b 6= 0.
bn
1.2. Arithmétique sur les nombres réels
11
Démonstration. Regardons la preuve de quelques-uns de ces résultats.
Pour la première loi :
×a×
... × a}
am × an = a
×a×
... × a} × a
|
{z
|
{z
m fois
n fois
= |a × a ×
...
×
a
{z
}
(n+m)
= an+m
fois
(par la définition de l’exposant)
Pour la troisième loi :
am
1
= am n
n
a
a
= am · a−n (par la deuxième loi)
= am−n
(par la loi 1)
Le principe pour démontrer les autres lois est le même.
Nous reviendrons plus loin à ces lois lors de l’étude des exposants qui ne
sont pas nécessairement naturels.
2.2. Les priorités d’opérations. Lorsque nous avons une grande expression, il faut savoir comment la simplifier. C’est pourquoi, il existe ce que
l’on appelle la priorité d’opération. Voici les étapes :
Étape 1: On résout l’intérieur des parenthèses en suivant la priorité d’opérations.
Étape 2: On simplifie les exposants.
Étape 3: On effectue les multiplications et divisions.
Étape 4: On fait les additions et les soustractions.
Exemple 2.2.
3 + 4 × (5 + 2)2 − 36 ÷ (32 − 3) = 3 + 4 × (7)2 − 36 ÷ (9 − 3) les parenthèses
= 3 + 4 × (7)2 − 36 ÷ (6)
= 3 + 4 × 49 − 36 ÷ 6
les exposants
= 3 + 196 − 6
les × et ÷
= 193
les + et −
2.3. Les fractions. Rappelons qu’une fraction est un nombre réel de
la forme
a
, où a ∈ et b ∈ \ {0}.
b
c
a
et
sont équivalentes si
Définition 2.2. On dit que deux fractions
b
d
ad = bc.
Z
N
Exemple 2.3. Regardons quelques exemples :
2
8
•
est équivalente à
.
4
16
13
1
est équivalente à
, car 13 × 13 = 169 × 1.
•
13
169
12
1. Quelques rappels
3
2
n’est pas équivalente à
, car 2 × 14 6= 3 × 7.
7
14
2.3.1. Addition et soustraction de fractions.
• Par contre,
IMPORTANT
Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu’elles aient le
même dénominateur. À ce moment, on additionne les numérateurs et le
dénominateur reste le même.
En mathématique,
a+c
a c
+ =
b b
b
a c
a−c
− =
.
b b
b
Par contre, si les deux fractions n’ont pas le même dénominateur, il faut
effectuer une opération supplémentaire. On doit mettre les deux fractions
sur le même dénominateur. La façon la plus simple est la suivante :
ad cb
ad + cb
a c
+ =
+
=
b d
bd bd
bd
a c
ad cb
ad − cb
− =
−
=
.
b d
bd bd
bd
Par la suite, on simplifie le résultat.
Exemple 2.4.
1·2 1·3
5
1 1
+ =
+
=
3 2
3·2 3·2
6
5
est irréductible, c’est-à-dire qu’on ne peu plus simplifier cette fraction.
6
2.3.2. Multiplication et division de fractions. La multiplication de deux
fractions est définie comme suit :
ac
a c
× = .
b d
bd
En d’autres mots, la multiplication de deux fractions consiste à multiplier
es numérateurs ensembles et les dénominateurs ensembles. Par contre, la
division demande un peu plus de travail.
a
 ‹  ‹−1
c
b = a
loi des exposants
c
b
d
d
 ‹
 ‹
a −1 1 −1
=
c
lois des exposants
b‹ d
a
d
=
lois des exposants
b
c
ad
multiplication de fractions.
=
bc
Ici,
1.2. Arithmétique sur les nombres réels
13
Ce revient à dire que la division de deux fractions est le produit du numérateur par l’inverse du dénominateur.
1
1 6
6
Exemple 2.5. 3 = × = = 2.
1
3 1
3
6
2.4. Les racines ou exposants fractionnaires. Nous avons vu plus
tôt les lois des exposants dans le cas où ces derniers sont des nombres naturels. Regardons maintenant le cas où les exposants sont des nombres fractionnaires.
Définition 2.3. Soit n un nombre naturel impair et a un nombre réel.
On écrit alors que
√
1
a n = n a.
√
n
a est la ne racine de a. Une forme équivalente à cette formulation est :
√
b = n a ⇐⇒ bn = a
Il est très important de noter qu’ici n est impair. Le cas où n est pair est
vu dans quelques instants.
√
Exemple 2.6. Trouvons la valeur de b si b = 3 125. Une forme équivalente
est de chercher b tel que b3 = 125. On sait que 53 = 125. Donc,
√
3
125 = 5.
Définition 2.4. Si n est pair, alors la racine ne de a est définie seulement si a ≥ 0.
Cette contrainte provient
du fait que bn ≥ 0 pour tout nombre n pair.
√
Ainsi, si a = bn , alors b = n a existe seulement si a ≥ 0. De plus, si a = bn
avec a > 0 et
√ il existe deux valeurs de b qui satisfont cette
√ n pair, alors
égalité : b = n a ou b = − n a.
Exemple 2.7. Si x2 = 4. On a que x = 2 satisfait l’équation et que
x = −2 la satisfait aussi.
Puisque la racine d’un nombre est en réalité un exposant, elle est sousmise
aux mêmes lois que les exposants.
Proposition 1.3. Voici les règles pour manipuler les racines :
√
√ √
1
1
1
c) n ab = n a n b et
a) a− n = 1 = √
,
n
√
É
a
n
an
a
a
n
√
√
m
√
=
d)
.
m
n m
n
n
b) a n = ( a) = a ,
b
b
IMPORTANT
√
n
a + b 6=
√
n
a+
√
n
b
14
1. Quelques rappels
Exercices.
Exercice 1.6. Simplifier les expressions suivantes :
a) (2 + 3 × 4)3 − 20 ÷ 2 + 3
 ‹3
1
3
b)
+
√4 √ 16
2 3
c) √
6
1
d) 4
3
7
e)
240 × 4200
220
3
f)
g)
h)
1
y 4 y 2 y3
9
y4
((−3)2 )4 (x2 )3
(92 )4 (x4 )2
È
3
64x6 y 12 ×
È
3
125x3 y 15
Exercice 1.7. Évaluer avec une calculatrice les nombres suivants :
√
√
b) 5 321
c) 4.568
a) 2
Exercice 1.8. Trouver deux fractions équivalentes à chacune des fractions suivantes :
a)
7
6
b)
3
16
c)
−15
32
3. Les polynômes
Définition 3.1. Une variable est une quantité qui peut prendre n’importe
quelle valeur dans un ensemble donné.
Une constante est une quantité fixe.
Un monôme est une expression formée d’un produit d’une constante et de
variables ayant des exposants naturels.
Exemple 3.1. Voici quelques exemples :
1) 3x2 est un monôme ayant pour constante 3 et la variable x.
2) 14x4 y 3 z est un monôme ayant comme variables x, y et z.
3) 4x3 y 7 z −3 n’est pas un monôme, car l’exposant de z n’est pas un
nombre naturel.
4) 3 est un monôme dit monôme constant.
Définition 3.2. allo le monde
Un polynôme est une somme ou différence de monômes.
• Si le polynôme est la somme de deux monômes, on l’appelle binôme.
• Si le polynôme est la somme de trois monômes, on l’appelle trinôme.
Exemple 3.2. Voici quelques exemples :
1) 3x2 + y est un binôme. On dit que 3 est le coefficient de x2 et 1 le
coefficient de y.
1.3. Les polynômes
15
2) 3xy 9 z + 8ab + 4 est un trinôme. On appelle 4 le terme constant.
3) 2x + 4y − 6z est un polynôme.
4) 2x − 4xy −10 n’est pas un polynôme, car −4xy −10 n’est pas un monôme.
Définition 3.3. allo le monde
• Le degré d’un monôme est la somme des exposants de ses variables.
• Le degré d’un monôme constant est 0.
• Le degré d’un polynôme est le plus grand degré de ses monômes.
Exemple 3.3. allo le monde
1) 3x2 + y est de degré 2.
2) 3xy 9 z + 8ab + 4 est de degré 1 + 9 + 1 = 11.
3) 2x + 4y − 6z est de degré 1.
4) 8 est de degré 0.
3.1. Somme et différence de polynômes. Pour additionner deux
polynômes, P1 et P2 , il faut additionner les coefficients des termes identiques,
c’est-à-dire ceux qui ont les mêmes variables et mêmes exposants.
Exemple 3.4. Soit P1 = 3x + 4xy et P2 = 6xy 2 − 4x. Alors,
P1 + P2 = 3x + 4xy + 6xy 2 − 4x = (3x − 4x) + 4xy + 6xy 2
= −x + 4xy + 6xy 2
Exemple 3.5. Soit P1 = 3x2 y − 4xy 2 + 6xy − 7x + 15 et
P2 = x3 − 5xy 2 + xy + 3y + 4x − 2. Alors,
P1 + P2 = x3 + 3x2 y − 9xy 2 + 7xy − 3x + 3y + 13.
Pour ce qui est de la soustraction de deux polynômes, P1 − P2 , revient
à multiplier tous les coefficients de P2 par −1 et à additionner ce résultat à
P1 .
Exemple 3.6. Soit P1 = 3x + 4yz 2 et P2 = 3yz 2 + x. Alors
P1 − P2 = (3x + 4yz 2 ) − (3yz 2 + x) = (3x + 4yz 2 ) + (−3yz 2 − x)
= 2x + yz 2 .
3.2. La multiplication de polynômes.
16
1. Quelques rappels
3.2.1. Multiplication monôme-monôme. Avant de passer à la multiplication de polynômes, regardons la multiplication de deux monômes à l’aide
d’un exemple.
Exemple 3.7. Soit P1 = 3x2 y et P2 = 5x8 y 3 z. Alors,
P1 · P2 = (3x2 y) · (5x8 y 3 z)
= (3 · 5)(x2 · x8 )(y · y 3 )z
= 15x10 y 4 z.
3.2.2. Multiplication monôme-polynôme. La multiplication d’un monôme
et d’un polynôme consiste à multiplier chaque terme du polynôme par le monôme et faire la somme du résultat.
Exemple 3.8.
x · (x + 3y − 3xy) = x · y + x · 3y − x · 3xy
= xy + 3xy − 3x2 y
= 4xy − 3x2 y.
Le principe de distribuer la multiplication du monôme sur chaque terme
du polynôme se nomme la distributivité.
3.2.3. Multiplication polynôme-polynôme. La multiplication de deux polynômes, P1 · P2 , est très similaires. Elle consiste à multiplier P2 par chacun
des monômes de P1 et à additionner ces produits. Ceci revient à effectuer
une double distributivité.
Exemple 3.9. Soit P1 = x + y et P2 = 3xz + 4y 3 − 4. Alors,
P1 · P2 = (x + y) · (3xz + 4y 3 − 4)
= x(3xz + 4y 3 − 4) + y(3xz + 4y 3 − 4)
(1ère disbritubivitée)
= (x · 3xz + x · 4y 3 − 4x) + (y · 3xz + y · 4y 3 − 4y) (2e distributivité)
= 3x2 z + 4xy 3 − 4x + 3xyz + 4y 4 − 4y
3.3. Le quotient de polynômes.
3.3.1. Quotient monôme-monôme. Le quotient de deux monômes est très
simple si l’on se souvient de l’égalité suivante :
an
= an a−m = an−m .
am
Ainsi, pour trouver le quotient, il suffit de diviser les coefficients ensemble
et de soustraire les exposants des mêmes variables du dénominateur de ceux
du numérateur.
Exemple 3.10.
12x8 y 2 z 3 w
8x5 yz 5
12 x8 y 2 z 3
·
·
w étape intermédiaire
8 x5 y z 5
3
= x8−5 y 2−1 z 3−5 w par la loi des exposants
2
3 3 −2
= x yz w.
2
=
1.3. Les polynômes
17
IMPORTANT
Le quotient de deux monômes, ou plus généralement de deux
polynômes, n’est pas toujours un monôme ou un polynôme, comme le
montre l’exemple précédent.
On peut effectuer la division directement en faisant les étapes dans notre
tête.
Exemple 3.11.
12x8 y 2 z 3
= 6x3 y.
2x5 yz 3
Dans ce cas, on obtient un monôme.
3.3.2. Quotient polynôme par un monôme. On sait que la fraction
a c
a+c
= + .
b
b b
La même règle s’applique si le numérateur est un polynôme et le dénominateur un monôme. On peut diviser chaque terme du polynôme par le monôme.
Exemple 3.12.
6x4 3x3 2x2
6x4 − 3x3 + 2x2
=
−
+
2x2
2x2 2x2 2x2
3
= 3x2 − x + 1.
2
3.3.3. Quotient polynôme-polynôme. La méthode pour diviser un polynôme par un polynôme est un peu plus complexe. On va expliciter la façon
de faire à l’aide d’un exemple. Cet algorithme est le même que celui utilisé
pour la division des grands nombres réels.
Exemple 3.13. On veut diviser 2x2 + 8x − 8 par x + 3.
Étape 1: Écrire les termes des polynômes en ordre décroissant de degré. Ici,
c’est déjà le cas.
Étape 2: Écrire la division à l’aide du crochet, | .
2x2 + 8x − 8 | x + 3
Étape 3: On regarde combien de fois le premier terme du polynôme de droite
entre dans le premier terme du polynôme de gauche. Ici, x entre 2x
fois dans 2x2 . On écrit ce résultat sous le crochet. Par la suite, on
multiplie x + 3 par 2x et on écrit se produit sous 2x2 + 8x − 8.
2x2 + 8x − 8 | x + 3
2x2 + 6x
2x
18
1. Quelques rappels
Étape 4: On effectue la soustraction entre le polynôme de gauche et celui
en dessous de lui.
2x2 + 8x − 8 | x + 3
−(2x2 + 6x)
2x
2x − 8
Étape 5: On répète les deux dernières étapes jusqu’à ce que le degré du
polynôme gauche soit plus petit que le degré du polynôme diviseur.
2x2 + 8x − 8 | x + 3
−(2x2 + 6x)
2x + 2
2x − 8
−(2x + 6)
− 14
Étape 6: Puisque −14 est de degré 0 et x + 3 de degré 1, on ne peut plus
diviser. Alors, la réponse est
14
2x2 + 8x − 8
= 2x + 2 −
.
x+3
x+3
On appelle −14 le reste de la division.
3.4. Les priorités d’opérations. Les priorités des opérations sont les
mêmes que pour les expressions contenant seulement des nombres réels.
Exemple 3.14. Simplifions 3(x + 2)2 − (2x − 5)(3x + 1) + (x3 − x) ÷ x.
3(x + 2)2 − (2x − 5)(3x + 1) + (x3 − x) ÷ x
= 3(x + 2)(x + 2) − (2x − 5)(3x + 1) + (x3 − x) ÷ x
= 3(x2 + 2x + 2x + 4) − (6x2 + 2x − 15x − 5) + (x2 − 1)
= 3x2 + 12x + 12 − 6x2 + 13x + 5 + x2 − 1
= −2x2 + 25x + 16
On
On
On
On
fait les exposants.
multiplie les () ensembles.
simplifie les parenthèses.
effectue les + et -.
3.5. Mise en évidence simple. La mise en évidence simple est l’opération inverse de la distributivité. Pour ce faire, on trouve le monôme qui
est en commun à chacun des termes du polynôme. Par la suite, on place ce
monôme en avant de la parenthèse qui contient le quotient de chaque terme
du polynôme par le monôme.
Exemple 3.15. Faire la mise en évidence simple de
3x2 y + 6xy 2 z − 9x4 y 3 z 2 .
On remarque que chaque coefficient est un multiple de 3 et que chaque terme
possède au moins un x et un y. Ainsi, on mettra 3xy en évidence.
3x2 y + 6xy 2 z − 9x4 y 3 z 2 = 3xy(x + 2yz − 3x3 y 2 z 2 )
Exemple 3.16. On peut faire une mise en évidence simple pour ax + ay.
Ainsi,
ax + ay = a(x + y).
1.3. Les polynômes
19
3.6. Mise en évidence double. La mise en évidence double est un
peu l’inverse de la multiplication de deux polynômes.
Exemple 3.17. Soit l’expression ax+bx+ay +by. On remarque qu’il n’y
a rien en commun dans chacun des termes. Par contre, il y a x qui est dans
les deux premiers et y dans le deuxième. Mettons ces termes en évidence.
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
À ce moment, il y a a + b en commun dans les deux termes. Effectuons une
autre mise en évidence.
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
= (a + b)(x + y)
Nous venons donc de faire une double mise en évidence.
Exemple 3.18. Effectuons une double mise en évidence de l’expression
2x2 + 4x − 5ax − 10a.
2x2 + 4x − 5ax − 10a = 2x(x + 2) − 5a(x + 2)
= (x + 2)(2x − 5a).
3.7. Les expressions spéciales.
3.7.1. Trinôme carré parfait. Un trinôme carré parfait est le résultat du
développement de (x + y)2 . Ainsi, le membre de droite de
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
est un trinôme carré parfait. Le but est donc de repérer les expressions qui
proviennent d’un carré parfait. Pour y arriver, on vérifie si deux des termes
sont des carrés et si c’est le cas, on regarde si le dernier terme vaut le double
du produit des racines des deux autres termes. À ce moment, le trinôme est
un carré parfait et on peut l’écrire comme le carré de la somme des racines
des deux carrés
Exemple 3.19. Soit l’expression 4x2 + 20xy + 25y 2 . On a que 4x2 est le
carré de 2x et 25y 2 est celui de 5y. On vérifie maintenant que le double du
produit entre 2x et 5y vaut le troisième terme qui est 20xy.
2(2x)(5y) = 20xy
Ainsi, 4x2 + 20xy + 25y 2 = (2x + 5y)2 .
Il est à noter que si le terme du centre est négatif, x2 − 2xy + y 2 , alors
on place un signe négatif entre x et y, x2 − 2xy + y 2 = (x − y)2 .
20
1. Quelques rappels
3.7.2. Trinôme de la forme x2 + bx + c. Ici, on aimerait écrire
+ bx + c, où b, c ∈ , comme un produit (x + u)(x + v) toujours avec
u, v ∈ . Mais comment trouver u et v ? On sait que
x2
R
R
x2 + bx + c = (x + u)(x + v)
= x2 + (u + v)x + uv.
On a donc deux conditions sur u et sur v. Il faut que u + v = b et uv = c.
Ainsi, si l’on trouve u et v qui satisfont ces conditions, on peut facilement
factoriser le trinôme.
Exemple 3.20. Soit le trinôme x2 + 40x + 300. On cherche u et v tels
que u + v = 40 et uv = 300. Si u = 10 et v = 30, on respecte les conditions.
Alors, on a que
x2 + 40x + 300 = (x + 10)(x + 30).
3.7.3. Trinôme de la forme ax2 +bx+c. Encore une fois, on veut factoriser, c’est-à-dire de mettre sous la forme d’un produit, le trinôme ax2 + bx+ c,
où a, b, c sont des constantes réelles. La différence avec le cas précédent est la
présence du coefficient a. Pour y parvenir, on veut séparer le terme central,
bx, en une somme de deux termes pour pouvoir faire une mise en évidence
double. Mais comment séparer ce terme ? Voici comment. Faire une mise en
évidence double revient à écrire ax2 + bx + c sous la forme (ux + v)(kx + l).
En développant ce terme, on obtient
ax2 + bx + c = ukx2 + (ul + vk)x + vl.
En posant λ = ul et γ = vk, on obtient que λ + γ = b et λγ = ac. Ainsi, en
trouvant deux nombre dont la somme est b et dont le produit est ac, on peut
séparer le terme central en somme de λx + γx et faire une mise en évidence
double.
Exemple 3.21. Factorisons 6x2 + 7x − 3. On cherche deux nombres λ et
γ tels que λ + γ = b = 7 et λγ = ac = −18. Si λ = 9 et γ = −2, on respecte
les conditions. Ainsi,
6x2 + 7x − 3 = 6x2 + 9x − 2x − 3
(séparation du terme central)
= 3x(2x + 3) − 1(2x + 3) (première mise en évidence)
= (3x − 1)(2x + 3)
(deuxième mise en évidence).
3.7.4. Différence de carré. Si une expression est une différence de carrés, c’est-à-dire de la forme x2 − a2 , on peut factoriser facilement. Cette
factorisation est x2 − a2 = (x + a)(x − a).
Exemple 3.22. Soit l’expression 25x2 − 144y 2 . Ici, 25x2 est le carré de
5x et 144y 2 est celui de 12y. Puisqu’il y a un signe négatif entre les deux, on
obtient que 25x2 − 144y 2 = (5x + 12y)(5x − 12y).
1.3. Les polynômes
21
IMPORTANT
La somme de deux carrés n’a pas de factorisation, c’està-dire que l’on
ne peut pas factoriser les expressions de la forme x2 + a2 .
Exercices.
Exercice 1.9. Dites si les expressions suivantes sont de polynômes. Si
oui, trouvez son degré et son terme constant s’il existe.
a) xyz 2 + 4x − 8 + 15x10
b) 2x−1 + 4
c) x2 + bx + c où b, c ∈
R
Exercice 1.10. Soit P1 = x2 + 3 et P2 = x4 + 3x3 + 7x2 + 9x + 12.
Trouvez
a) P1 + P2
b) P2 − P1
c) P1 · P2
d) P2 ÷ P1
Exercice 1.11. Effectuez les multiplications suivantes :
a) (x + y)(xy 2 + 2x − 4x4 y)
d) (x − 1)(x + 1)
c) (3x − 1)(x + 5)
f) (x + y)3
b)
(x2
+ 3x + 5)(x + 1)
e) (x + y)2
Exercice 1.12. Effectuez les divisions suivantes :
a) (x2 + 2x + 4) ÷ (x + 3)
b) (x3 + a3 ) ÷ (x + a)
c) (x4 + x3 + x2 + x + 1) ÷ (x + 1)
d) (x3 + 4x + 2) ÷ (x + 1)
e)
27x6 yz 2 + 3xz − 6x4 z 15
3x2 z
Exercice 1.13. Factorisez au maximum les expressions suivantes :
a)
b)
c)
d)
e)
ax2 + ay 2
7x + 14y − x − 2y
x2 − 5x + 6
9x2 − 81y 2
9x4 − 81y 4
f) x2 − x + 6
g) 3x2 + 13x + 12
h) 8x4 y 6 + 4xy 4 − 12x3 y 5
i) 14x − 2x2 − 20
CHAPITRE 2
Équations et inéquations
Dans ce chapitre, nous ferons l’étude de la manipulation des équations
et des inéquations. On abordera également la résolution de celles-ci ainsi
que la notion de domaine d’une équation et d’une inéquation. Nous nous
restreindrons au cas d’une seule variable. Finalement, on verra comment
résoudre certaines situations.
1. Les équations
1.1. Introduction aux équations.
Définition 1.1. allo le monde
• Une équation est une égalité entre deux expressions contenant une ou
plusieurs variables.
• Le domaine d’une équation est l’ensemble des valeurs qu’on peut attribuer à sa ou ses variables.
• La ou les solutions d’une équations sont la ou les valeurs des variables
qui rendent l’égalité vraie.
• L’ensemble solution d’une équation, noté ES, est l’ensemble constitué
de toutes les solutions de cette équation.
Exemple 1.1. Regardons quelques exemples que nous expliquerons par
la suites.
1) x + 5 = 7. Le domaine est
et la solution est x = 2.
√
2) x − 1 = 4. Le domaine est x ≥ 1 et la solution est x = 17.
x+7
3)
= 0. Le domaine est \ {4} et la solution est x = −7.
x−4
Comment avons-nous trouvé le domaine et la solution des équations de
l’exemple ? Nous reviendrons au domaine plus loin. Pour l’instant concentronsnous sur la manipulation des équations.
R
R
1.1.1. Propriétés des équations. Pour résoudre une équation, il faut isoler
la variable d’un côté et avoir une constante de l’autre. Pour ce faire, on peut
faire cinq opérations.
Supposons que l’on débute avec une équation A = B et soit C une
expression. Alors,
1) la somme de l’expression C des deux côtés de l’équation ne change
pas l’égalité (A + C = B + C),
23
24
2. Équations et inéquations
2) la soustraction de l’expression C des deux côtés de l’équation ne
change pas l’égalité (A − C = B − C),
3) le produit par l’expression C des deux côtés de l’équation ne change
pas l’égalité (AC = BC),
4) la même puissance des deux côtés de l’équation ne change pas l’égalité (An = B n ) et
5) la division par
C des deux côtés de l’équation ne change
l’expression
B
A
, à la condition que C ne soit jamais nul.
=
pas l’égalité
C
C
Ces propriétés nous permettent de résoudre les équations de ce chapitre.
Exemple 1.2. Trouvons l’ensemble solution des équations de l’exemple
précédent.
1)
x+5 =7
x = 7 − 5 = 2 en soustrayant 5 des deux côtés
2)
3)
Ainsi, ES = {2}.
√
x−1
€√
Š2
x−1
x−1
x
=4
= 42 on élève au carré les deux côtés.
= 16
= 17 en additionnant 1 de chaque côté.
L’ensemble solution est donc ES = {17}.
x+7
=0
x−4
x+7 =0
en multipliant les deux côtés par x − 4.
x = −7 en soustrayant 7 de chaque côté.
D’où, ES = {−7}.
Le prochain exemple montre que l’on peut arriver à des résultats ridicules
si l’on ne fait pas attention lors de la division.
Exemple 1.3.
a =b
a2 = ab
a2 − b2 = ab − b2
(a + b)(a − b) = b(a − b)
a+b =b
hypothèse de départ
en multipliant les deux côtés par a.
en soustrayant b2 de chaque côté.
différence de carrés à gauche et mise en évidence à droite
en divisant les deux côtés par a − b.
Maintenant, si l’on pose a = 1, on a aussi b = 1 par l’hypothèse de départ.
En reportant ces valeurs de a et b dans la dernière équation, on obtient 2 = 1.
Ceci est vraiment une absurdité. Elle provient du fait que l’on a divisé par 0
2.1. Les équations
25
au moment de la division par a − b, car a = b. Il faut donc être très vigilant
avec la division.
1.1.2. Le domaine d’une équation. Jusqu’ici, nous avons trouver l’ensemble solution de diverses équations sans tenir compte du domaine de définition de ces équations. Le domaine sera spécifié lors de l’étude des différentes
fonctions. La seule chose que nous dirons pour l’instant sur le domaine est
que l’ensemble solution ES doit être un sous-ensemble du domaine. Ainsi,
si certaines valeurs de la variable rendent l’équation vraie, il se peut qu’elles
soient rejettées si elles ne sont pas dans le domaine.
1.2. Les équations linéaires d’une seule variable.
Définition 1.2. Une équation linéaire d’une seule variable est une équation entre deux polynômes de degré 1.
Exemple 1.4. allo le monde
1) 3x + 4 = 2x − 4 est une équation linéaire.
√
2) 3x − 2 = 4 n’est pas linéaire, car il y a la présence d’une racine.
Proposition 2.1. Le domaine d’une équation linéaire est
R.
Cette proposition signifie donc qu’il n’y a jamais de problèmes de domaine avec les équations linéaires sauf dans le cas où l’équation décrit une
situation. Nous y reviendrons plus tard.
Pour résoudre une équation linéaire, il faut manipuler l’équation pour la
mettre sous la forme x = c où c est une constante.
Exemple 1.5.
3x + 4 =2x − 4
3x − 2x = − 4 − 4
x=−8
Donc, ES = {−8}.
Il arrive parfois qu’une équation ne possède aucune solution comme le
montre l’exemple suivant :
Exemple 1.6.
3x + 1 =3x − 5
3x − 3x = − 5 − 1
0=−6
Ceci ne se peut pas et donc il n’y a pas de valeurs de x qui rendent l’équation
vraie. On écrit alors ES = ∅.
26
2. Équations et inéquations
1.3. Mises en situation ou modélisation. La modélisation mathématique consiste à mettre en équations des phénomènes de la vie courante.
Regardons deux situations qui peuvent être décrites par des équations linéaires.
Exemple 1.7. Un vendeur téléphonique reçoit un salaire de base de 20$
par jour plus 4$ par vente effectuée. Combien de ventes doit-il faire par jour
s’il veut obtenir un salaire quotidien de 100$ ?
Étape 1: Identifier la variable de cette situation.
Soit x le nombre de vente par jour.
Étape 2: Déterminer le domaine de cette variable.
Ici, on est dans une situation où x est le nombre de vente. Donc,
x doit être un nombre naturel. On écrit dom = .
N
Étape 3: Écrire l’équation à résoudre.
20 + 4x = 100.
Le membre de gauche correspond au salaire quotidien du vendeur
selon le nombre de vente et le membre de droite est le salaire désiré.
Étape 4: Résoudre l’équation.
20 + 4x = 100
4x = 80
x = 20.
Étape 5: Vérifier si la solution est dans le domaine. Ici, 20 ∈
réponse est 20 ventes par jour.
N. Donc, la
Exemple 1.8. Un père a 24 ans de plus que son fils. Dans 13 ans, il aura
le double de l’âge de son fils. Quel est l’âge du père et du fils présentement ?
Étape 1: Posons x : l’âge du fils présentement.
Étape 2: Le domaine est dom =
naturel.
N, car un âge est toujours un nombre
Étape 3: L’âge du père est de x + 24. Dans 13 ans, il aura le double de l’âge
de son fils. En mathématique, on a
âge fils
âge père +
+13
13
z }| {
z }| {
x + 37 =2 (x + 13) .
Étape 4: La résolution de l’équation :
x + 37 =2(x + 13)
x + 37 =2x + 26
11 =x
2.1. Les équations
27
Étape 5: On a que 11 est effectivement un nombre naturel. Ainsi, la réponse
est que l’âge du fils est de 11 ans et celui du père est de 35 ans.
1.4. La règle du produit nul.
Proposition 2.2. Soit A et B deux expressions. Si AB = 0, alors soit
A = 0 ou B = 0. Cette proposition se généralise pour le produit de plusieurs
facteurs. À ce moment, l’un ou l’autre de ces facteurs est nul.
Exemple 1.9. On veut résoudre (x − 6)(x + π) = 0.
x−6=0
x=6
Ainsi, ES = {−π, 6}.
(x − 6)(x + π) = 0
OU
x+π =0
OU
x = −π
Cependant, il est très rare d’avoir une équation déjà sous cette forme. Il
faut parfois travailler un peu pour y arriver.
Exemple 1.10. Trouvez l’ensemble solution de a3 + 3a2 = 4a + 12.
a3 + 3a2 = 4a + 12
3
2
a + 3a − 4a − 12 = 0
2
a (a + 3) − 4(a + 3) = 0
(a + 3)(a2 − 4) = 0
(a + 3)(a + 2)(a − 2) = 0
On a trois possibilités.
a+3 =0
a+2 =0
a−2 =0
a = −3
a = −2
a =2
Donc, ES = {−3, −2, 2}
1.5. Exercices.
Exercice 2.1. Résoudre les équations linéaires suivantes :
a) 3x − 4 = 2x + 6
d) πx − 4 = πx + 6
c) −x − 7 = −9 + 5x
f) x = 4x − 6
b) −9x − 6 = 0
e) 10x = 3x
Exercice 2.2. Trouver l’ensemble solution des équations suivantes :
a) (3x − 6)(4x + 8) = 0
b) x2 − 81 = 0
c)
x2
−x−6= 0
d) (x + 1)(x − 1)(x2 − 4) = 0
e) 6x − 4 = x
f) x4 − 16 = 0
Exercice 2.3. Deux restaurants possèdent un bar à salade où l’on paie
au poid. Au premier restaurant, il en coûte 3$ de base et 0.50$ par kilogramme
de salade. Au deuxième, le prix de base est de 2$ et c’est 0.75$ le kilogramme.
28
2. Équations et inéquations
a) Combien coûte 1kg de salade dans les deux restaurants ?
b) Combien a-t-on de salade dans les deux restaurants s’il en coûte 4$ ?
c) Quel quantité de salade revient au même prix dans les deux restaurants ?
Exercice 2.4. Gaston achète des actions à la bourse. Le coût initial est
de 30$. La valeur de cette action augmente de 0.05$ par jour. Après combien
de jour l’action vaudra 40.10$ ?
Exercice 2.5. Roger roule 100km/h vers Québec à partir de Montréal.
Il doit faire 332km. Dans combien de temps arrivera-t-il à destination s’il a
déjà parcouru 112km ?
Exercice 2.6. Deux F18 de l’armé sont en plein vol. Il reste le tier de
carburant pour le premier F18 et 120L pour le second. Un avion ravitailleur
vient remplir leur réservoir. Il prend 5 minutes pour remplir le premier et 6
minutes pour le second. Si le débit de transfert d’essence est le même pour
les deux F18,
a) écrivez une équation qui permet de trouver ce débit (identifier bien la
variable),
b) trouver le débit du transfert d’essence (en L/min),
c) quelle quantité d’essence peut contenir le réservoir d’un F18 ?
Exercice 2.7. ♠ À quelle heure précise, entre 3h et 4h, les aiguilles
d’une horloge sont-elles superposées ?
2.2. Les fractions algébriques
29
2. Les fractions algébriques
2.1. Introduction.
Définition 2.1. Une fraction algébrique est une expression de la forme
P
où P et Q sont des polynômes avec Q 6= 0.
Q
Exemple 2.1. Voici deux exemples :
x+4
est une fraction algébrique.
1)
2x2 + 4
√
x+4
2)
n’est pas une fraction algébrique, car le numérateur n’est
2x2 + 4
pas un polynôme.
Proposition 2.3. Le domaine d’une fraction algébrique est l’ensemble
sauf les valeurs qui rendent le dénominateur nul.
de toutes les valeurs de
R
Exemple 2.2.
x+8
+ 3x2 − 4x − 12
On sait par l’exemple 1.10 que le dénominateur s’annule pour x = −3, x =
−2 et x = 2. Ainsi, le domaine est \ {−3, −2, 2}.
x3
R
Jusqu’ici, pour trouver le domaine d’une équation, on a deux étapes à
faire.
Étape 1: Vérifier le contexte de l’équation.
Étape 2: Enlever les valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur
s’annule.
On ajoutera des étapes lorsqu’on étudiera d’autres notions.
Définition 2.2. Deux fractions algébriques
P S = RQ.
P
R
et
sont équivalentes si
Q
S
IMPORTANT
Deux fractions équivalentes ne le sont pas nécessairement pour toutes
les valeurs de la variable.
Définition 2.3. Le domaine d’équivalence, dom E, de deux fractions
R
P
et , est l’intersection du domaine de chacune des fractions.
algébriques,
Q
S
En mathématique,
dom E = dom
P
R
∩ dom .
Q
S
30
2. Équations et inéquations
x−1
1
et
. Ces deux fractions sont
x+2
(x + 2)(x − 1)
équivalentes, car 1(x+2)(x−1) = (x+2)(x−1). Trouvons le domaine d’équi1
x−1
valence. Le domaine de
est \ {−2} et le domaine de
x+2
(x + 2)(x − 1)
est \ {−2, 1}. Ainsi, l’intersection des deux nous donne
Exemple 2.3. Soit
R
R
dom E =
R \ {−2, 1}.
2.2. Simplification de fractions algébriques. La simplification de
fractions algébriques est une opération très importante, mais elle peut être
dangereuse. En effet, lors de la simplification, on perd de l’information qui
est cachée dans la fraction. Regardons la façon de procéder afin de ne pas
faire d’erreurs.
Exemple 2.4. Simplifiez la fraction algébrique
6x3 − 10x2 − 4x
.
18x4 + 78x3 + 24x2
Étape 1: Factorisation du dénominateur et du numérateur.
6x3 − 10x2 − 4x
2x(3x2 − 5x − 2)
=
18x4 + 78x3 + 24x2
6x2 (3x2 + 13x + 4)
2x(x − 2)(3x + 1)
.
= 2
6x (x + 4)(3x + 1)
Étape 2: Trouver le domaine. Ici, on veut que le dénominateur soit différent
de 0. Donc, dom = \ {−4, − 31 , 0}.
R
Étape 3: Déterminer les facteurs du numérateur et du dénominateur qui
sont en commun. Ici, les facteurs en commun sont 2, x, 3x + 1.
Étape 4: Simplifier les facteurs en commun.
x−2
2x(x − 2)(3x + 1)
=
si x 6= 0 et x 6= −1/3.
2
6x (x + 4)(3x + 1)
3x(x + 4)
IMPORTANT
Le domaine de cette fraction reste le même que celui de la fraction de
départ.
2.3. Addition de fraction. L’addition de fractions algébriques se fait
de la même façon que la somme de fractions de nombres réels. On additionne
les numérateurs lorsque nous avons le même dénominateur. Si le dénominateur est différent, il faut trouver le dénominateur commun.
Exemple 2.5. On veut simplifier
3
x+4
+ 2
.
2
2x + 5x + 2 4x + x − 14
2.2. Les fractions algébriques
31
Étape 1: On factorise les dénominateurs afin de trouver le domaine
3
x+4
+
.
(2x + 1)(x + 2) (4x − 7)(x + 2)
Ainsi, le domaine est
R \ {−2, − 12 , 74 }.
Étape 2: On cherche le dénominateur commun. Il manque 4x − 7 à la première fraction et 2x + 1 à la deuxième. On multiplie donc chaque
fraction par ce qui manque comme suit :
x+4
4x − 7
3
2x + 1
·
+
·
.
(2x + 1)(x + 2) 4x − 7 (4x − 7)(x + 2) 2x + 1
Étape 3: On peut maintenant additionner les fractions et simplifier.
4x2 + 15x − 25
(x + 4)(4x − 7) + 3(2x + 1)
=
.
(2x + 1)(x + 2)(4x − 7)
(2x + 1)(x + 2)(4x − 7)
2.4. Multiplication et division de fractions algébriques. La multiplication et la division se fait exactement comme pour les fractions de
nombres réels. Soit P, Q, R et S des polynômes. Alors,
P
R
PR
× =
Q S
QS
R
PS
P
÷ =
Q S
QR
2.5. Les fractions algébriques complexes. Une fraction algébrique
complexe est une expression qui contient plusieurs étages. Il n’existe pas de
recette pour les simplifier. Il faut seulement respecter l’ordre des opérations
et les étages.
Exemple 2.6.
1 1
b+a
+
a b = ab
1 1
b−a
−
a b
ab
a+b
ab
=
·
ab
b−a
a+b
=
b−a
32
2. Équations et inéquations
Exemple 2.7.
1
1
p+m
+
m p
mp
= 2
1
1
p
− m2
−
m2 p 2
m2 p 2
p+m
m2 p 2
=
· 2
mp
p − m2
(p + m)mp
=
p 2 − m2
(p + m)mp
=
(p − m)(p + m)
mp
.
=
p+m
2.6. Équations contenant des fractions algébriques. La résolution
des équations contenant des fractions algébriques nécessite les mêmes étapes
que pour résoudre une équation linéaire. Cependant, le domaine devient un
aspect important.
Exemple 2.8. Trouvons l’ensemble solution de
4
x
+
= 1.
x+2 x+6
Étape 1: On trouve le domaine de l’équation. Ici, on ne veut pas de division
par 0. Donc, dom = \ {−6, −2}.
R
Étape 2: On résoud en manipulant l’équation.
x
4
+
=1
x+2 x+6
x(x + 6) + 4(x + 2)
=1
addition de fractions
(x + 2)(x + 6)
x(x + 6) + 4(x + 2) = (x + 2)(x + 6) multiplication par (x + 2)(x + 6)
x2 + 10x + 8 = x2 + 8x + 12
développement
2x − 4 = 0
x =2
Étape 3: On vérifie si les solutions sont dans le domaine. Ici, c’est le cas,
c’est-à-dire que 2 ∈ dom. Ainsi ES = {2}.
2.7. Exercices.
Exercice 2.8. Trouver le domaine des fractions algébriques suivantes :
a)
x+3
x2 − 1
b)
x2
x+4
−x−6
c)
x+4
x4 − 16
Exercice 2.9. Simplifier les expressions suivantes en n’oubliant pas de
spécifier le domaine de validité :
2.2. Les fractions algébriques
x+4
x2
+
x2 − 1 x + 1
x + 1 x2 − 9
×
b)
x − 3 x2 − 1
4x2 − 24x + 36
c)
x3 − x2 − 6x
x2 − x
d) 2
x + 2x
a)
33
(x2 − 18x + 80)(x2 − 6x − 7)
(x2 − 5x − 50)(x2 − 15x + 56)
2
x+3
2x + 1
f) 2 − 2
+ 3
x
x − x x − x2
x+7
x3 − 6x2 + 36x
÷ 2
g)
x2 − 49
x − x − 42
e)
Exercice 2.10. Simplifier les fractions complexes suivantes :
1
1
−
a) x + 2 4
2
1−
x
1
b)
1+x
1−
1
x−
x
1
1
−
c) 3x − 2 3x + 2
1
4
9− 2
x
x
d) 1 +
2x2
1+x+
1−x
Exercice 2.11. Résoudre les équations suivantes :
−4
x
+ 2
=0
x−3 x −9
x2 − x − 6
b)
=x
x
a)
2
2−x
− =4
3x + 1 3
1 1
1 1
d) − = − où a et b des constantes
a x
x b
c)
34
2. Équations et inéquations
3. Intervalles et inéquations
3.1. Les intervalles. Tous les nombres réels peuvent être mis sur une
droite, dite la droite réelle. Cette dernière est représentée à la figure 1.
−2 −1 0 1 2 3
Figure 1. La droite réelle.
Définition 3.1. Un intervalle est un sous ensemble de la droite réelle,
c’est-à-dire une partie de la droite.
Notation
La façon d’écrire un intervalle allant du nombre a au nombre b dépend
si ces nombres sont compris ou non dans l’intervalle. Trois cas sont possibles :
Cas 1: Si a et b sont inclus dans l’intervalle, on écrit cet intervalle [a, b].
On représente graphiquement cet intervalle comme illustré à la
figure 2. On note que les points aux extrémités sont pleins ce qui
signifie qu’ils sont inclus. C’est un intervalle fermé.
Cas 2: Si a et b sont exclus de l’intervalle, on écrit cet intervalle ]a, b[. La
figure 3 montre comment le dessiner. Ici, les extrémités sont des
cercles vides, ce qui signifie qu’ils ne sont pas dans l’intervalle.
On dit alors que ces un intervalle ouvert.
Cas 3: Si a est inclus et b exclus ou l’inverse, on note les respectivement
[a, b[ et ]a, b]. Les figures 4 et 5 montrent ces intervalles.
Si a ou b valent ±∞, le crochet est ouvert par définition. Par exemple,
[a, ∞[ où le crochet de droite est ouvert. Pour s’en rappeler, on peut se
dire que l’infini ne fait pas partie des nombres réels.
a
b
Figure 2. Un intervalle fermé à gauche et à droite.
a
b
Figure 3. Un intervalle ouvert à gauche et à droite.
2.3. Intervalles et inéquations
a
35
b
Figure 4. Un intervalle fermé à gauche et ouvert à droite.
a
b
Figure 5. Un intervalle ouvert à gauche et fermé à droite.
3.2. Les inéquations.
Définition 3.2. Une inéquation est une inégalité, identifiée par un des
symboles ≤, ≥, < ou >, entre deux expressions.
Exemple 3.1. Voici quelques exemples d’inéquations :
1) x > 3,
2) 3x − 3 < 2x2 ,
x+8
3)
≥ 1.
x−4
Résoudre une inéquation consiste à déterminer toutes les valeurs de la
variable pour lesquelles l’inégalité reste vérifiée. Pour ce faire, on isole la variable d’un côté de l’inégalité, tout comme pour une équation. Par contre, la
manipulation se fait avec un peu plus de difficulté.
Soit une inégalité de départ entre deux expressions A et B. Prenons par
exemple A < B. Ce sont les mêmes propriétés qui s’appliquent pour les
autres inégalités. Soit C une autre expression. Alors,
1) A ± C < B ± C, c’est-à-dire que l’addition ou la soustraction d’une
expression des deux côtés ne change pas l’inégalité.
2) AC < BC si C est positif et AC > BC si C est négatif. Ainsi, si
on multiplie les deux côtés par une expression qui est négative, on
change l’inégalité de côté. Si C est positif, rien ne change.
3) A/C < B/C si C est positive et on change le signe de l’inéquation
si C est négatif.
Exemple 3.2. Voici quelques exemples pour illustrer ces propriétés.
1) On veut résoudre 3x − 1 < 4.
3x − 1 < 4
3x < 5
3
x <
5
addition de 1 de chaque côté.
division par 5 qui ne change pas l’inégalité.
36
2. Équations et inéquations
Ainsi, l’ensemble solution est noté ES =] − ∞, 35 [. Ici, 35 n’est pas
inclus dans l’intervalle, x est strictement plus petit que 35 . On représente cet ensemble solution comme suit :
3
5
Figure 6. Représentation graphique de x < 53 .
Trouvons l’ensemble solution de 3x − 4 ≥ 5x + 6.
3x − 4 ≥ 5x + 6
−2x ≥ 10
addition de 4 et de −5x de chaque côté.
x ≤ −5
division par −2 qui change l’inégalité de côté.
Ainsi, ES =] − ∞, −5].
IMPORTANT
Il est à noter que si A < B alors A2 ≮ B 2 . Par exemple, si −2 < 1, on
a alors 4 ≮ 1. Par contre, parfois l’inégalité persiste comme dans le cas
1 < 2 alors 1 < 4. Il faut donc faire attention et étudier ceci cas par cas.
3.2.1. Étape pour la résolution d’inéquations. Tout comme pour la résolution des équations, la première étape à effectuer lors de la résolution
d’inéquations est de trouver le domaine. Rappelons que pour le trouver, on
vérifie les points suivants :
Étape 1: Vérifier le contexte de l’équation.
Étape 2: Enlever les valeurs de la variable pour lesquelles les dénominateurs
s’annulent.
Par la suite, on isole la variable à l’aide des propriétés. Finalement, l’ensemble solution est l’intersection du domaine et de l’intervalle trouvé pour
la variable.
Exemple 3.3. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation
(x − 2)(2x + 5)
< 3x + 8.
2x + 5
Tout d’abord, il faut déterminer le domaine. On ne doit pas diviser par zéro,
donc x 6= − 52 . D’où dom = \ {− 25 }.
R
(x − 2)(2x + 5)
2x + 5
x−2
−10
−5
< 3x + 8
< 3x + 8
< 2x
<x
en simplifiant le terme de gauche
2.3. Intervalles et inéquations
37
Ainsi, ES =] − 5, ∞[\{− 52 }. Ici, on enlève le point qui n’est pas dans le domaine. On peut représenter cet ensemble solution sur la droite réelle comme
suit :
−5
− 52
Figure 7. Représentation graphique de l’ensemble solution
ES =] − 5, ∞[\{− 52 }.
3.3. Exercices.
Exercice 2.12. Représentez graphiquement les intervalles suivants :
a) {x ∈
R|x < −1}
b) ] − 3.4, −1] ∪ [3, 4[∪[5, ∞[
Exercice 2.13. Déterminez I1 ∩ I2 si
a) I1 = [−3, 4] et I2 =]0, 9[\ {π}
b) I1 = [−8, 2]∪]4, 12] et I2 =] − 2, −1[∪]0, 9[
Exercice 2.14. Trouvez l’ensemble solution des inéquations suivantes :
a) 3t − 7 < −2t + 3
3y
7
b)
+2 ≤1− y
−2
4
x2 − 1
c)
> 2x − 3
x−1
d) −7x − 9 > 2
e)
2x2 − 5x + 3
+ 7x − 4 > 0
2x − 3
f) x − 4 < x − 9
Exercice 2.15. Deux compagnies de déménagement se font la lutte dans
une certaine région. La compagnie "Les gros bras" charge un tarif de 205$
de base et 115$ de l’heure. Le tarif chez "Le frères Clin-Clin" est de 121$ de
l’heure avec 175$ de l’heure. À partir de quelle durée de déménagement est-il
préférable de prendre "Les gros bras" ? (Identifiez bien la variable utilisée.)
CHAPITRE 3
Étude graphique de fonctions
Introduction
Ce chapitre se veut une introduction aux différents points de l’étude des
fonctions. Nous aborderons aussi la notion de paramètres influençant l’allure
d’un graphique. Ceux-ci seront très utiles pour tracer les fonctions des autres
chapitres.
L’étude d’une fonction comporte huit éléments :
1) Le domaine
2) L’image
3) L’ordonnée à l’origine
4) Le(s) zéro(s)
5) Le signe des images
6) Les extremums
7) Les intervalles de croissance et décroissance
8) L’axe de symétrie
Chacun de ces points sera vu séparément, mais avant de commencer il serait
bien de savoir ce qu’est une fonction.
1. Éléments de l’étude des fonctions
Définition 1.1. Une fonction d’une seule variable est une relation qui
associe à chaque élément d’un ensemble A UN SEUL élément d’un ensemble
B. On note cette fonction
f : A −→ B
x → y = f (x).
Cette notation se lie comme suit :”Pour chaque valeur de x ∈ A, on associe
une valeur y ∈ B à l’aide de la règle y = f (x). ” On dit que x est la variable
indépendante et y est la variable dépendante.
On peut visualiser une fonction grâce au graphique sagittal.
Deux points importants sont illustrés sur cette figure. Le premier est que
deux éléments de A peuvent être envoyés sur le même y. Le deuxième point
est que ce ne sont pas tous les éléments de B qui sont le résultat de la fonction, i.e. que certains points de B ne sont pas reliés par une flèche.
39
40
3. Étude graphique de fonctions
f (x)
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
A
B
Figure 1. Graphique sagittal représentant une fonction.
Puisque nous travaillons avec des fonctions qui partent d’un sous-ensemble
de , il est difficile de les représenter à l’aide du graphique sagittal. C’est
la raison pour laquelle on utilise une représentation cartésienne. Lorsqu’une
R
f (a)
b
a
Figure 2. Graphique cartésien.
fonction est donnée par une règle f (x), cela signifie que f est une fonction
de la variable x. Lorsque l’on veut évaluer cette fonction en un point précis
x = a, on note f (a).
Exemple 1.1. Soit f (x) = x2 + 1. Trouvez f (2), f (b) et f (x + h).
• f (2) = 22 + 1 = 5
• f (b) = b2 + 1
• f (x + h) = (x + h)2 + 1 = x2 + 2hx + h2 + 1
allo le monde
3.1. Éléments de l’étude des fonctions
41
1.1. Le domaine d’une fonction.
Définition 1.2. Le domaine d’une fonction f , noté dom(f ), est l’ensemble de départ de la fonction, c’est-à-dire l’ensemble A dans notre notation.
La grande question ici est de savoir quel est cet ensemble A. Puisque le
cours consiste à étudier les fonctions réelles, on part de l’idée que A = .
Par contre, f est une règle qui utilise des valeurs de x. Il faut donc s’assurer
que les valeurs de x fassent que la règle soit bien définie. Ainsi, x ne doit pas
rendre un dénominateur égale à 0. La prochaine définition du domaine est
plus applicable pour la suite de ce cours.
R
Définition 1.3. Le domaine d’une fonction f (x) est l’ensemble des valeurs possibles de x dans .
R
Pour l’instant, on a trois points à vérifier afin de trouver le domaine.
D’autres points s’ajouteront par la suite.
1) Le contexte
2) Les racines paires (intérieur ≥ 0)
3) Les dénominateurs
Exemple 1.2. Soit la fonction A(r) = πr 2 qui calcule l’aire d’un cercle
de rayon r. Ici, dom(A) = [0, ∞[, car le rayon d’un cercle est toujours positif.
Exemple 1.3. Trouvons le domaine de la fonction
√
9−x
f (x) =
.
(x + 3)(x + π)
Le contexte: Ici, il n’y a pas de contexte, donc aucune restriction.
Les racines: On a la présence d’une racine carrée. Son intérieur doit être
positif. D’où
9−x ≥ 0
9 ≥ x.
Cette condition donne que x ∈] − ∞, 9].
Le dénominateur: Le dénominateur doit être différent de 0. Cherchons les
valeurs de x pour lesquelles le dénominateur s’annule. Ces valeurs
seront rejetées du domaine.
(x + 3)(x + π) = 0
x+3 =0
x+π =0
x = −3
x = −π
D’où les valeurs à rejeter sont −π et −3.
Pour trouver le domaine de f , on prend l’intersection de toutes ces conditions
et on obtient
dom(f ) =] − ∞, 9] \ {−π, −3}.
42
3. Étude graphique de fonctions
Pour trouver le domaine d’une fonction sur un graphique cartésien, il faut
regarder pour quelles valeurs de x, il existe une valeur de y. Le graphique à
la figure 3 nous servira d’exemple tout au long de ce chapitre.
f (x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1
−5 −4 −3 −2 −1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
b
−11
−12
−13
−14
b
bc
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Figure 3. Exemple de représentation graphique d’une fonction f (x).
Pour déterminer le domaine, il faut vérifier pour quelles valeurs de x, il
existe une valeur de y. Dans cet exemple, on remarque que la fonction est
arrêtée à gauche (il y a un point noir). Ainsi, le domaine commence à −5.
Par la suite, on a une valeur de y pour tous les x plus grand que −5. Ainsi,
dom f =] − 5, ∞[.
Fait à noter, en x = 0, la fonction est définie et elle vaut 8. On aurait pu
croire que ce n’était pas le cas, car il y a un point ouvert, mais il y a également
un point fermé plus haut.
1.2. L’image d’une fonction.
Définition 1.4. Le codomaine d’une fonction f , noté codom(f ) est l’ensemble d’arrivée de celle-ci. Ainsi, si f : A −→ B, alors B est le codomaine
de f .
Définition 1.5. L’image d’une fonction f , notée ima(f ) est l’ensemble
de toutes les valeurs prises par y. Il est à noter que ima(f ) ⊆ codom(f ).
La distinction entre l’image et le codomaine est bien établie dans la
figure 1. Le codomaine est l’ensemble B tandis que l’image est l’ensemble de
3.1. Éléments de l’étude des fonctions
43
tous les éléments de B qui sont reliés à un ou plusieurs éléments de A par la
fonction (ici la flèche).
Exemple 1.4. Soit la fonction
f:
R
R −→ R
x → y = x2 .
Ici, codom(f ) = , mais les valeurs possibles de y sont les nombres réels
positifs, d’où ima(f ) = [0, ∞[.
Pour la suite de ce cours, on supposera toujours que le codom(f ) =
Ainsi, on représentera les fonctions seulement avec l’aide de leur règle.
R.
Exemple 1.5. Trouvons l’image de la fonction représentée à la figure
3. Pour ce faire, il faut identifier toutes les valeurs possibles de y. En balayant l’axe des y de bas en haut, on cherche les valeurs de y qui sont sur la
fonction. La première valeur rencontrée est −12 et ça monte jusqu’à 4. Par
contre, 4 n’est pas une valeur prise par la fonction à cause du cercle vide. En
continuant le balayage, on voit que 8 est une valeur possible. Ainsi,
ima(f ) = [−12, 4[∪{8}.
Le calcul algébrique de l’ensemble image sera abordé à chaque fonction
que nous étudierons.
1.3. L’ordonnée à l’origine.
y
Définition 1.6. L’ordonnée à
l’origine est la valeur de la fonction
lorsque x vaut 0. En d’autres termes,
l’ordonnée à l’origine est f (0). Graphiquement, elle correspond à la valeur de y lorsque la fonction croise
l’axe y.
f (0)
x
Trouver l’ordonnée à l’origine algébriquement est assez simple. Il suffit
de remplacer x par 0 dans la règle de la fonction.
Exemple 1.6. Soit f (x) = 3x+1. Alors, l’ordonnée à l’origine est f (0) =
3 · 0 + 1 = 1.
Exemple 1.7. L’ordonnée à l’origine de la fonction sur la figure 3 est
8, car c’est la valeur de y lorsque x = 0. Il faut faire attention le cercle vide
en y = 4 signifie que ce point n’est pas sur la fonction.
IMPORTANT
Il existe seulement une seule valeur de l’ordonnée à l’origine d’une
fonction. Sinon, ce n’est pas une fonction !
44
3. Étude graphique de fonctions
allo le monde
1.4. Les zéros.
y
zéros
Définition 1.7. Les zéros d’une
fonction (aussi appelés racines ou
abscisses à l’origine) sont les valeurs de x dans le domaine de f qui
rendent la fonction nulle. Graphiquement, ce sont les endroits où la fonction croise l’axe des x.
x
Trouver algébriquement les zéros d’une fonction f (x) consiste à résoudre
l’équation f (x) = 0. Cependant, il n’est pas toujours facile et même parfois possible de résoudre cette équation selon la fonction. Nous regarderons
comment faire pour chaque fonction que l’on étudiera.
Exemple 1.8. Trouvons les zéros de f (x) = x2 + x − 6. On doit résoudre
x2 + x − 6 = 0
(x + 3)(x − 2) = 0
x+3=0
ou
x−2=0
x = −3
x=2
Puisque le domaine est
R, alors les zéros sont −3 et 2.
Exemple 1.9. Soit la fonction de la figure 3. Elle possède deux zéros en
x = −0.5 et x = 4.
1.5. Le signe des images. Ici, on recherche les valeurs de x pour lesquelles f (x) ≤ 0 ou f (x) ≥ 0. En d’autres mots, on cherche quand f (x) est
positive et quand elle est négative. Il y a deux manières de procéder : graphiquement ou algébriquement. Dans les deux cas cependant, il faut trouver
les zéros de la fonction.
Graphiquement: allo le monde
La première étape, on trouve
les zéros de la fonction. Sur
le graphique ci-contre, on a
trois zéros : en x1 , x2 et
x3 . Par la suite, on recherche
à quels endroits la fonction
est positive, c’est-à-dire pour
quelles valeurs de x,
y
x1
x2
x3
x
on a y au dessus de l’axe des x. Dans ce cas, c’est lorsque x est entre x1
et x2 et lorsqu’il est plus grand que x3 . On écrit alors
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ] ∪ [x3 , ∞[.
3.1. Éléments de l’étude des fonctions
45
D’une manière similaire, on trouve que
f (x) ≤ 0, ∀x ∈] − ∞, x1 ] ∪ [x2 , x3 [.
Exemple 1.10. Trouvons le signe des images de la fonction sur la figure
3.
On sait que les zéros sont −0.5 et 4. On remarque que la fonction est négative
si x < −0.5 et si x > 4 et est positive le reste du temps. D’où,
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [−5, −0.5] ∪ [4, ∞[,
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [−0.5, 4].
Il est à noter que la fonction n’est pas définie pour des x plus petits que −5,
d’où la raison pur laquelle l’intervalle pour f (x) négatif débute à −5 et non
à −∞.
Algébriquement: Plusieurs façons sont possibles afin de trouver algébriquement le signe des images. Nous utiliserons ici un tableau de signes.
Cette méthode fonctionne dans tous les cas. Voici la marche à suivre
pour faire ce tableau.
1) Trouvez le domaine de la fonction.
2) Trouvez les zéros et les valeurs qui annulent le dénominateur.
3) Mettre les zéros et les valeurs qui annulent le dénominateur dans
le tableau (voir exemple).
4) Évaluer la fonction dans chaque intervalle. Cela vous donne le
signe de la fonction dans chaque intervalle.
Exemple 1.11. Trouvons le signe des images de
f (x) =
(x + 3)(x − 2)
.
(x + 1)
Le domaine: ici dom(f ) =
R \ {−1}.
Les zéros: Les zéros sont −3 et 2. De plus −1 annule le dénominateur.
Construction du tableau: La ligne où se trouve la fonction correspond aux signes de la fonction dans l’intervalle des x. Pour
les trouver, on évalue la fonction en un point de cet intervalle.
x
f (x)
−3
0
−
+
−1
6∃
−
On a donc que
f (x) ≥ 0,∀x ∈ [−3, −1[∪[2, ∞[
f (x) ≤ 0,∀x ∈] − ∞, −3]∪] − 1, 2].
2
0
+
46
3. Étude graphique de fonctions
1.6. Les extremums d’une fonction.
Définition 1.8. Le maximum absolu (ou global) d’une fonction f (x),
noté max(f ), est la plus grande valeur qu’atteint f (x) et ce, pout tout x ∈
dom(f ). D’une manière similaire, le minimum absolu (ou global) de f (x) est
la plus petite valeur atteinte. On note le minimum min(f ).
Dans ce chapitre, nous n’étudierons que les cas graphiques.
Exemple 1.12. Le graphique de la figure 3 montre que la plus grande
valeur de f (x) ou de y est de 8. Ainsi, max(f ) = 8. Pour le minimum,
min(f ) = −12.
Exemple 1.13. Trouvons les extremums de cette fonction.
y
x1
x2
x3
x
Cette fonction ne possède ni maximum ni minimum, car elle monte tout le
temps à droite, et diminue lorsque x décroît.
Définition 1.9. (x0 , f (x0 )) est un point de maximum relatif (ou local)
s’il est un maximum de la fonction restreinte à un petit intervalle autour
de x0 . De même, (x0 , f (x0 )) est un point de minimum relatif s’il est un
minimum de la fonction restreinte à un petit intervalle autour de x0 .
La figure 4 montre une fonction ayant un maximum relatif et un minimum
relatif, mais qui ne possède pas de maximum et de minimum.
y
max. relatif
x1
x2
x3
x
min. relatif
Figure 4. Fonction possèdant un maximun et un minimum
relatif, mais n’ayant aucun maximun et minimum absolus.
3.1. Éléments de l’étude des fonctions
47
Exemple 1.14. Revenons à l’exemple de la figure 3. Cette fonction possède un minimum relatif en x = −4. Ce minimum vaut −12 et il correspond
également à un minimum absolu. La fonction a aussi un maximum relatif au
point (0, 8). Lui aussi est un maximum absolu.
1.7. Les intervalles de croissance et de décroissance.
Définition 1.10. On dit qu’une fonction f (x) est strictement croissante
sur un intervalle [a, b] si ∀x1 < x2 ∈ [a, b], alors f (x1 ) < f (x2 ). D’une manière similaire, on dit que f (x) est strictement décroissante sur l’intervalle
[a, b] si ∀x1 < x2 ∈ [a, b], alors f (x1 ) > f (x2 ).
Ce que ces définitions signifient, c’est que la fonction est croissante si la
valeur de y augmente lorsque la valeur de x augmente et que la fonction est
décroissante si sa valeur diminue lorsque la valeur de x augmente.
Exemple 1.15. Voici les intervalles de croissance et de décroissance pour
la fonction présentée sur la figure 3. Cet exemple montre également la notation.
f (x) % ∀x ∈ [−4, 0],
f (x) & ∀x ∈ [−5, −4] ∪ [0, 6].
La première ligne se lit :” f (x) est croissante pour tout x dans l’intervalle
[−4, 0]”. La deuxième ligne se lit de la même façon. Il est à noter que pour
x > 6, la fonction n’est pas croissante ni décroissante. On dit alors qu’elle
est constante.
Tout comme pour les extremums, nous n’entrerons pas dans les détails
de la façon de les trouver algébriquement. Il faut savoir les retrouver graphiquement.
1.8. L’axe de symétrie.
Définition 1.11. L’équation de l’axe de symétrie est une droite de la
forme x = a où a est une constante qui correspond à un axe de réflexion qui
réfléchit la fonction sur elle-même.
Pour bien comprendre, regardons quelques exemples.
y
x=a
Exemple 1.16. Ici, la fonction est symétrique
par rapport à l’axe x = a. Cela signifie que si
l’on effectue une réflexion par rapport à cet axe,
on obtient exactement le même graphique.
a
x
48
3. Étude graphique de fonctions
y
x=a
Exemple 1.17. La fonction n’est pas symétrique, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’axe de symétrie. La droite pointillée montre le résultat de
la réflexion par rapport à l’axe x = a.
x
1.9. Exercices.
€
Š2
Exercice 3.1. Soit la fonction définie par f (x) = x2 − 1 . Déterminez
a) f (0)
c) f (k)
√
e) f ( x)
b) f (−3)
d) f (♥)
f) f (x + h)
Exercice 3.2. Trouvez le domaine des fonctions suivantes :
Ê
a) f (x) = x2 + 4
√
b) g(z) = 4 z − 4
8 − y2 √
c) h(y) = 2
+ y+8
y −4
d) i(t) =
t2 − 4t + 4
t−2
Exercice 3.3. Déterminez le domaine, l’image, l’ordonnée à l’origine,
le(s) zéro(s) et le signe des images de f (x) = 2 − 4x.
Exercice 3.4. Faites l’étude complète en huit points de la fonction g(t)
définie par le graphique suivant :
g(t)
5
b
4
3
2
bc
1
b
−5
bc
−4
−3
−2
−1
−1
b
1
2
3
4
5
6 t
Exercice 3.5. Faites l’étude complète en huit points de la fonction h(y)
définie par le graphique suivant :
3.1. Éléments de l’étude des fonctions
h(y)
49
1
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
y
4
−2
−3
−4
−5
(La ligne pointillée signifie que la fonction s’approche de cette ligne sans la
traverser.)
Exercice 3.6. Soit la fonction
(x − 1) (x + 2) (5 − 10x)
f (x) =
.
2x − 6
À l’aide d’un tableau de signes pour déterminez le signe des images de f (x).
Exercice 3.7. Déterminez le domaine de la fonction
Ê
f (r) =
(r − 1) (r + 2) (5 − 10r)
.
2r − 6
Exercice 3.8. Trouvez le domaine, l’ordonnée à l’origine, les zéros et
le signe des images de la fonction
g(x) = −x2 + 3x − 2.
Exercice 3.9. Esquissez une fonction qui
a) possède un axe de symétrie en x = 3
b) est croissante sur [−3, 1]
c) possède des zéros en x = 1, x = 2, une ordonnée à l’origine de 3 et dont
dom f = [−1, 2]
ima f =] − 4, 4]
d) ♠ possède des axes de symétrie en x = 0 et x = 2π.
50
3. Étude graphique de fonctions
2. Opérations sur les fonctions
2.1. La composition de fonction.
Définition 2.1. Soient deux fonctions f (x) et g(x). La composition de
f (x) et g(x) est notée f ◦ g(x) et vaut f (g(x)).
√
Exemple 2.1. Soient f (x) = 3x2 − 4 et g(x) = x + 1. Alors,
f ◦ g(x) = f (g(x))
= 3(g(x))2 − 4
√
= 3( x + 1)2 + 4
= 3(x + 1) − 4
= 3x − 1.
Il est à noter que que f ◦ g(x) 6= g ◦ f (x).
y en fonction de x
10
8
6
4
2
0
y
Exemple 2.2. Soit la fonction f (x) représentée à la figure ci-contre. Trouvons f ◦
f (8). On a f ◦ f (8) =
f (f (8)) = f (−2) = −8.
−2
−4
−6
−8
−10
−12
−14
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
Il est important maintenant de savoir quel est le domaine d’une fonction
composée, c’est-à-dire une fonction h(x) = f ◦ g(x). Pour ce faire, étudions
un exemple.
√
Exemple 2.3. Soient f (x) = 3x2 − 4 et g(x) = x + 1. Posons h(x) =
f ◦ g(x) et cherchons le domaine de cette fonction.
Condition 1: Puisque la première étape est de calculer g(x), il faut que
cette fonction soit bien définie. Ainsi, x ∈ dom(g). Dans notre cas
ici, dom(g) = [−1, ∞[.
Condition 2: Il faut que les valeurs de g(x) soient dans le domaine de f (x).
Ce qui revient à dire que l’on veut les x ∈ dom(g) tels que g(x) ∈
dom(f ). Dans l’exemple, puisque dom(f ) = alors ça fonction pour
tous les x dans le domaine de g(x).
R
En conclusion, dom(h) = {x|x ∈ dom(g) et g(x) ∈ dom(f )}.
10
3.2. Opérations sur les fonctions
51
Exemple 2.4. Trouvons
le domaine de h(x) = f ◦ g(x) et de k(x) =
√
g ◦ f (x), où f (x) = x + 1 et g(x) = x2 .
Pour h(x), on a que dom(h) = {x|x ∈ dom(g) et g(x) ∈ dom(f )}. Puisque
dom(f ) =] − 1, ∞[, dom(g) = et ima(g) = [0, ∞[, on a que dom(h) = .
Cependant, dom(k) = [−1, ∞[, car la fonction f est définie seulement pour
ces valeurs et g(x) est toujours bien définie.
R
R
2.2. La réciproque.
Définition 2.2. Soit f : dom(f ) → ima(f ). On appelle réciproque de
f , notée f −1 (x) la relation f −1 : ima(f ) → dom(f ).
f
dom(f )
codom(f )
f −1
Pour trouver f −1 (x) à partir de f (x), on isole y dans l’expression x =
f (y). On a alors y = f −1 (x).
Exemple 2.5. Trouvons la réciproque de f (x) = 3x + 4. Pour ce faire,
isolons y dans l’équation x = f (y).
x =f (y)
x = 3y + 4
x−4
y=
= f −1 (x).
3
Graphiquement, la réciproque est obtenue par la réflexion du graphique
de f (x) par rapport à l’axe y = x.
Exemple 2.6. La figure montre la réciproque de la fonction y = x2 . La
droite en pointillés est y = x. On voit bien que f −1 (x) n’est pas une fonction,
52
3. Étude graphique de fonctions
9
8
7
y=x
6
5
y
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
4
5
6
7
8
9
car deux valeurs de y sont possibles pour une seule valeur de x. On obtient
le même résultat algébriquement.
x = f (y)
x = y2
√
y=± x
Exemple 2.7. Soit f (x) = x2 − x. Trouvez f −1 (6).
Ici, on pourrait trouver f −1 (x), mais ce serait une perte de temps, car si
x = f −1 (6), alors f (x) = 6. On n’a qu’à résoudre cette équation.
x2 − x = 6
x2 − x − 6 = 0
(x − 3)(x + 2) = 0
x = 3 ou x = −2
2.3. Exercices.
Exercice 3.10. Soit la fonction f (x) définie par le graphique suivant :
3.2. Opérations sur les fonctions
f (x)
5
53
b
4
3
bc
2
1
b
bc
−5
−4
−3
−2
b
−1
−1
1
2
3
4
5
Déterminez
a) f (2)
c) f −1 (5)
b) f ◦ f (1)
d) f −1 (0)
Exercice 3.11. Trouvez f −1 (x) f (x) = 2x − 9.
e) f −1 ◦ f (2)
f) f ◦ f ◦ f (2)
Exercice 3.12. Trouvez f −1 (−3) si f (x) = x2 − 4x + 1.
6
x
54
3. Étude graphique de fonctions
3. Rôle des paramètres a, b, h et k
Dans cette section, nous étudierons le rôle de certains paramètres qui
permettent de transformer une fonction déjà connue, nommée fonction de
base.
Il y a quatre paramètres : a, b, h et k. Chacun joue un rôle distinct dans
la transformation d’une fonction. Supposons que nous ayons une fonction de
base f (x). Alors, sa transformation par les paramètres a, b, h et k est une
nouvelle fonction g(x) où
(3.1)
g(x) = af (b(x − h)) + k.
Regardons ce que fait chacun de ces paramètres.
3.1. Rôle de a. Comme on peut le voir dans l’équation de la fonction
transformée, a multiplie la fonction de base, c’est-à-dire y. Cela a pour effet
d’étirer verticalement la fonction de base lorsque a > 1 et de la compresser si
0 < a < 1. Dans le cas où a est négatif, il y aura une réflexion de la fonction
de base par rapport à l’axe des x suivi d’une contraction ou d’un étirement
selon la grandeur de a.
Exemple 3.1. Cet exemple illustre bien l’effet de a sur la fonction de
base montrée au premier graphique.
a=2
32
14
28
12
24
10
20
f(x)
f(x)
fonction de base
16
8
16
6
12
4
8
2
0
−4
4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
0
−4
4
−3
−2
−1
16
14
12
12
8
10
4
8
6
2
3
4
1
2
3
4
0
−4
4
−8
2
−12
0
−4
1
a=−1
16
f(x)
f(x)
a=0.5
0
x
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
−16
−4
−3
−2
−1
0
x
Figure 5. Illustration du rôle de a. Ici, a = 2, a = 0.5 et a = −1.
Le deuxième graphique montre la fonction transformée avec a = 2. La
fonction de base est en pointillés. L’effet de a est apparent en regardant le
3.3. Rôle des paramètres a, b, h et k
55
point (2, 4) sur la fonction de base représenté par le cercle. Le résultat de la
transformation est le point (2, 8) (le carré), car on a multiplié y par 2.
Dans le cas où a = 0.5, on contracte verticalement le graphique. Le point
(2, 4) devient alors (2, 2).
Finalement lorsque a est négatif, ici −1, il y a une réflexion de la fonction
de base par rapport à l’axe des x. Ainsi, le point (2, 4) devient (2, −4).
3.2. Rôle de b. Puisque le paramètre b est à l’intérieur de la fonction, il
agit sur la variable x. Un peu comme a, il sert à étirer, contracter et réfléchir
la fonction de base, mais d’une manière horizontale.
• Si b > 1, il y a contraction horizontale de la fonction de base.
• Si 0 < b < 1, il y a un étirement horizontal.
• Si b est négatif, il y a une réflexion par rapport à l’axe des y suivi d’une
contraction ou d’un étirement selon la grandeur de b.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−3
f(x)
−1
0
x
b=0.5
1
2
f(x)
f(x)
f(x)
fonction de base
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−2
−2
−1
0
x
1
2
3
b=2
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
b=−1
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−2
−1
0
1
2
x
Figure 6. Illustration du rôle de b. Ici, b = 2, b = 0.5 et b = −1.
Exemple 3.2. Encore une fois, la fonction de base est dessinée en pointillés. On voit bien l’effet des différentes valeurs de b, mais le plus important
est de porter notre attention sur les points en cercle et en carré. Puisque
le paramètre b influence x, on remarque que la valeur de y ne change pas
après la transformation par le paramètre b. Ainsi, le point (1, 1) devient le
56
3. Étude graphique de fonctions
point (0.5, 1) lorsque b = 2, ce même point devient (2, 1) si b = 0.5. Lorsque
b = −1, on voit que le point (1, 1) se transforme en (−1, 1).
Il est à noter que l’on peut parfois confondre le rôle de b et de a. On verra
plus loin que dans certains cas, on peut fusionner a et b. Ainsi, le changement
d’échelle horizontale sera compris dans le changement d’échelle verticale.
3.3. Rôle de h. Tout comme le paramètre b, h agit sur la variable x.
Il correspond à une translation horizontale de la fonction de base. S’il est
positif, la translation se fait vers la droite et s’il est négatif, c’est vers la
gauche.
IMPORTANT
fonction de base
16
14
12
10
8
6
4
2
0
−4 −3 −2 −1 0 1 2
x
h=−1
25
h=1
25
20
f(x)
f(x)
Il est important de voir que la forme de la fonction transformée c’est
x − h qui apparaît et non pas x + h. Ainsi, si h est positif, on soustrait
quelque chose à x et on lui additionne une quantité si h est négatif.
15
10
5
3
4
3
4
0
−4 −3 −2 −1
0
x
1
2
3
4
f(x)
20
15
10
5
0
−4 −3 −2 −1
0
x
1
2
Figure 7. Illustration du rôle de h. Ici, h = 1et h = −1.
La figure 7 montre la translation de la fonction de base causée par le paramètre h.
3.4. Rôle de k. Le paramètre k cause une translation verticale de la
fonction de base. S’il est positif, c’est vers le haut et vers le bas s’il est négatif.
Le tout est montré à la figure 8.
f(x)
fonction de base
16
14
12
10
8
6
4
2
0
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
x
h=−1
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−3 −2 −1
0
1
2
x
57
k=1
f(x)
f(x)
3.3. Rôle des paramètres a, b, h et k
4
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
3
Figure 8. Illustration du rôle de k. Ici, k = 1et k = −1.
58
3. Étude graphique de fonctions
3.5. Résumé. Ce que nous devons retenir au sujet des paramètres a,
b, h et k :
• a est un changement d’échelle verticale : étirement si a > 1, contraction si 0 < a < 1 et réflexion par rapport à l’axe des x suivi d’une
contraction ou d’un étirement si a < 0.
• b est un changement d’échelle horizontale : étirement si 0 < b < 1,
contraction si b > 1 et réflexion par rapport à l’axe des y suivi d’une
contraction ou d’un étirement si b < 0.
• h est une translation horizontale de la fonction de base : vers la droite
si h > 0 et vers la gauche si h < 0.
• k est une translation verticale de la fonction de base : vers le haut si
k > 0 et vers le bas si k < 0.
Pour tracer une fonction transformée à partir du graphique de la fonction de
base, il suffit d’appliquer ce qui suit. Un point (x, y) de la fonction de base
devient le point ( xb + h, ay + k). On écrit

‹
x
+ h, ay + k .
(x, y) →
b
Exemple 3.3. Tracer la fonction g(x) obtenue par la transformation de
la fonction f (x) représentée à la figure 9 avec a = −3, b = 1, h = 2 et k = 4.
f (x)
6
5
4
3
2
b
1
bc
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
x
−2
Figure 9. Graphique de f (x).
Pour répondre à cette question, regardons ce qui arrive avec certains
points remarquables (points où la fonction change brusquement) du graphique
et appliquons la transformation. Par la suite, on les relie en gardant la même
allure de courbe entre chaque point. Cela signifie que si entre deux points on
3.3. Rôle des paramètres a, b, h et k
59
Points remarquables 
Points‹transformés

‹
x
x
+ h, ay + k =
+ 2, −3y + 4
(x, y)
b
1
(−5, −2)
(−5 + 2, −3 × −2 + 4) = (−3, 10)
(−3, 0)
(−3 + 2, −3 × 0 + 4) = (−1, 4)
(−0.5, 6)
(−0.5 + 2, −3 × 6 + 4) = (1.5, −14)
(2, 0)
(2 + 2, −3 × 0 + 4) = (4, 4)
(2, 1)
(2 + 2, −3 × 1 + 4) = (4, 1)
(6, 1)
(6 + 2, −3 × 1 + 4) = (8, 1)
avait une droite, la courbe reste une droite, car la transformation ne change
pas la nature de la courbe. Nous avons donc la solution présentée à la figure 10.
g(x)
10
8
6
bc
4
2
−3
−2
b
−1−2
1
2
3
4
5
6
x
−4
−6
−8
−10
−12
−14
Figure 10. Graphique de −3f (x − 2) + 4.
3.6. Exercices.
Exercice 3.13. Trouvez la fonction g(x) obtenue par la transformation
de f (x) avec a = 2, b = 4, h = 1 et k = −2 si
a) f (x) = x2
b) f (x) =
√
x
c) f (x) =
1
x
d) f (x) =
1
x2
Simplifiez au maximum l’expression.
Exercice 3.14. Soit la fonction définie par le graphique de la figure 11 :
60
3. Étude graphique de fonctions
f (x)
5
bc
4
bc
b
3
2
bc
b
b
bc
1
b
b
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
−2
bc
Figure 11. f (x)
a) Faites l’étude en huit points de f (x).
b) Tracez la fonction g(x) correspondante à la fonction f (x) transformée
par les paramètres a = −1, b = 1, h = −1 et k = 2.
c) Déterminez le domaine, l’image et l’ordonnée à l’origine de g(x).
Exercice 3.15. La fonction f (x) est définie par le graphique suivant :
f (x)
1
1
−1
2
3
4
x
x
3.3. Rôle des paramètres a, b, h et k
61
Associez les fonctions transformées ci-dessous à un des jeux de paramètres
plus bas.
f (x)
1
f (x)
1
1
−1
a)
2
3
4
x
f (x)
1
1
−1
2
3
b)
Jeu 1: a = 1.5, b = 1, h = 0 et k = 0
Jeu 2: a = 1, b = 2, h = 0 et k = 0
Jeu 3: a = 1, b = 0.5, h = 0 et k = 0
Jeu 4: a = 0.5, b = 1, h = 1 et k = 0
Jeu 5: a = 0.5, b = 1, h = −1 et k = 0
Jeu 6: a = 0.5, b = 1, h = 0 et k = 0.5
4
x
1
−1
c)
2
3
4
x
CHAPITRE 4
La droite
Dans ce chapitre, nous étudierons tous les dessous de la droite. Celle-ci
est très utile dans tous les domaines, car elle est très simple à manipuler, ce
qui en fait un outil idéal dans plusieurs aspects des mathématiques.
1. La fonction constante
Définition 1.1. La fonction constante est de la forme
f (x) = c,
où c ∈
R.
Le graphique de cette fonction est
f (x)
c
x
Étudions cette fonction à l’aide des huit éléments d’étude :
Le domaine: dom f =
R
L’image: ima f = {c}
L’ordonnée à l’origine: f (0) = c
Les zéros: Deux cas :
• Si c 6= 0, il n’y a aucun zéro.
• Si c = 0, il y a une infinité de zéros et ce, ∀x ∈ dom f .
Le signe des images: Deux cas :
• Si c > 0, f (x) > 0 ∀x ∈ dom f .
• Si c < 0, f (x) < 0 ∀x ∈ dom f .
Extremums: max(f ) = min(f ) = c.
Croissance et décroissance: Aucune.
Équation de l’axe de symétrie: x = a et ce ∀a ∈
63
R.
64
4. La droite
2. La fonction linéaire
Définition 2.1. Une fonction linéaire est une fonction de la forme
où a, b ∈
f (x) = ax + b,
R et a 6= 0.
Pour tracer une fonction linéaire, il suffit de trouver deux points de la
fonction, ici (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ), et de dessiner la droite qui passe par ces deux
points. Il existe deux allures générales d’une fonction linéaire selon la valeur
de a
f (x)
f (x)
a<0
a>0
y2
b
y1
b
b
y1
b
b
y2
x1
x2
x
b
x1
x2
x
Étudions cette fonction :
Le domaine: dom f =
L’image: ima f =
R
R
L’ordonnée à l’origine: f (0) = a · 0 + b = b. C’est pourquoi on dit que b
est l’ordonnée à l’origine.
Les zéros: Cette fonction possède un seul zéro qui est obtenu comme suit :
ax + b = 0
ax = −b
b
x=−
a
Le signe des images: Deux cas, selon la valeur de a :
• Si a > 0,
f (x) ≥ 0,∀x ∈ [−b/a, +∞[ et
• Si a < 0,
f (x) ≤ 0,∀x ∈] − ∞, −b/a].
f (x) ≤ 0,∀x ∈ [−b/a, +∞[ et
f (x) ≥ 0,∀x ∈] − ∞, −b/a].
Extremums: La fonction ne possède pas de minimum ni de maximum.
4.2. La fonction linéaire
65
Croissance et décroissance: Deux cas selon la valeur de a.
• Si a > 0, la fonction est croissante partout.
• Si a < 0, la fonction est décroissante partout.
Équation de l’axe de symétrie: La fonction ne possède pas d’axe de symétrie.
2.1. Recherche de la règle d’une droite. La constante a dans la
règle de la fonction linéaire est ce que l’on nomme la pente ou le taux de
variation de la droite. On peut facilement retrouver ce taux de variation à
l’aide de la formule suivante :
y2 − y1
∆y
=
,
a=
∆x
x2 − x1
où (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) sont deux points de la droite. Le symbole ∆ signifie
”variation de”. Ainsi, ∆y = y2 − y1 signifie variation de y et dans le cas d’une
droite, le taux de variation est toujours le même.
La recherche de la règle d’une fonction linéaire est assez simple. Il y a deux
façons de procéder selon les informations que nous possédons.
2.1.1. Cas où l’on connaît la pente et un point de la droite. Supposons
que l’on connaît la pente a et un point (x1 , y1 ) de la droite. Pour écrire sa
règle, il faut trouver la constante b en se servant les informations que l’on
détient. Ici, on sait que la droite passe par le point (x1 , y1 ), d’où l’équation
à résoudre :
y1 = ax1 + b.
Ainsi, on peut trouver la valeur de b en l’isolant, ce qui nous donne b =
y1 − ax1 .
Exemple 2.1. Trouvons l’équation de la droite qui a une pente de 4 et
qui passe par le point (1, 2).
Puisque la pente est de 4, alors on a que y = 4x + b. Ainsi,
D’où la réponse, y = 4x − 2.
2 =4 · 1 + b
b = − 2.
2.1.2. Cas où l’on connaît deux points de la droite. Dans le cas où l’on
connaît deux points de la droite, (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ), il suffit de trouver la
pente à l’aide de la formule
y2 − y1
∆y
=
∆x
x2 − x1
et de faire les étapes du cas précédent en choisissant un des deux points.
a=
Exemple 2.2. Trouvez l’équation de la droite qui passe par les points
(1, 8) et (2, 6).
66
4. La droite
Premièrement, calculons la pente
a=
∆y y2 − y1
=
∆x x2 − x1
6−8
=
2−1
=−2
Maintenant que nous avons la pente de la droite, il faut choisir un des points
afin de trouver b. Si l’on prend le point (1, 8), on obtient
8 =−2·1+b
b =10.
D’où l’équation de la droite : y = −2x + 10.
IMPORTANT
On peut s’assurer de la réponse à l’aide de l’autre point.
2.2. Taux de variation moyen. Regardons ici la notion de taux de
variation moyen. Celle-ci est à la base du calcul différentiel qui sera abordé
dans les cours de mathématiques plus avancés.
Définition 2.2. Soit une fonction f (x). Le taux de variation moyen de
f (x) sur l’intervalle [a, b] est donné par
T V M[a,b] f (x) :=
f (b) − f (a)
.
b−a
Exemple 2.3. Trouvons le T V M de f (x) = x2 sur l’intervalle [1, 2].
T V M[1,2] f (x) =
f (2) − f (1)
22 − 12
=
=3
2−1
1
Géométriquement, le T V M[a,b] f (x) correspond à la pente de la droite
sécante à f (x) qui passe par les points (a, f (a)) et (b, f (b)).
Exemple 2.4. Trouvez l’équation de la droite sécante à la fonction f (x) =
qui passe par (1, f (1)) et par (2, f (2)).
Calculons d’abord la pente de cette droite sécante qui est donnée par le
T V M[1,2] f (x).
x2
22 − 12
f (2) − f (1)
=
=3
2−1
1
Ainsi, on a la pente de la droite et on sait que celle-ci passe par (1, 1). D’où,
T V M[1,2] f (x) =
1 =3 · 1 + b
b = − 2.
Ainsi, l’équation de la droite sécante est y = 3x − 2.
4.2. La fonction linéaire
67
f (x)
f (b)
b
f (a)
b
a
b
x
Figure 1. Droite sécante
2.3. Exercices.
Exercice 4.1. Après avoir esquissé les fonctions, faites l’étude en huit
points de ces dernières.
a) f (x) = 2x − 1
b) g(t) = 6 − 3t
c) h(i) = 2
Exercice 4.2. Trouvez l’équation de la droite
a) passant par (1, 2) et (3, −9)
b) passant par (−3, 1) et (3, 2)
c) passant par (1, 1) et ayant une pente de 4
π
d) passant par (2, π) et ayant une pente de
2
√
Exercice 4.3. Soit f (x) = x. Déterminez l’équation de la droite sécante à f (x) en x = 0 et x = 16.
Exercice 4.4. La valeur d’une action au cours des 12 derniers mois est
donnée par
V (t) =
x3
− x2 + 2,
4
où V est la valeur de l’action en $ et t est le nombre de mois depuis l’achat
de l’action.
a) Quelle était la valeur de l’action au début ?
b) Déterminez la variation de la valeur de l’action au cours des 12 mois.
c) Trouvez le taux de variation moyen de la valeur de l’action au cours des
12 mois.
d) Interprétez le taux de variation moyen dans cette situation.
68
4. La droite
3. Relations entre deux droites
Avant de décrire les relations entre deux droites dans le plan, regardons
quelques définitions.
Définition 3.1. Voici quelques termes utilisés pour parler d’une droite :
• y = ax + b est la forme canonique d’une droite oblique.
• y = b est la forme canonique d’une droite horizontale.
• x = c est la forme canonique d’une droite verticale.
• Ax + By + c = 0 est la forme générale d’une droite.
On peut maintenant aborder le sujet de la relation entre deux droites du
plan. Considérons les droites D1 et D2 écrites sous leurs formes canoniques :
D1 : y = a1 x + b1 ,
D2 : y = a2 x + b2 .
Il y a quatre relations possibles pour ces deux droites selon les valeurs de
leurs pentes et de leurs ordonnées à l’origine. On dit que
D1 et D2
D1 D2
D1 et D2 sont parallèles si
a1 = a2 et b1 6= b2 .
D1
D1 et D2 sont parallèles
confondues si a1 = a2 et b1 =
b2 .
D1
D2
D1 et D2 sont sécantes ou
concourantes si a1 6= a2 .
D2
D1 et D2 sont perpendiculaires si a1 · a2 = −1.
3.1. Systèmes de deux équations linéaires à deux variables. Un
système de deux équations linéaires à deux variables consiste à étudier la
relation entre deux droites. La forme générale de ce système S est
S=
Ax + By + C = 0
Dx + Ey + F = 0,
4.3. Relations entre deux droites
69
avec A, B, C, D, E et F des constantes.
On veut résoudre ce système ce qui consiste à trouver les valeurs de x et
de y qui font que les équations sont vraies en même temps. Géométriquement, cela revient à trouver les points du plan où se croisent les deux droites.
L’ensemble des points d’intersection des droites est l’ensemble solution du
système d’équations et il est noté ES. Il y a trois possibilités pour l’ensemble
solution :
Cas 1, aucune solution: C’est le cas où les deux droites sont parallèles,
c’est-à-dire qu’elles ne se croisent jamais. Alors, on a ES = ∅.
Exemple 3.1. Soit le système
2x + y − 8 = 0
2x + y + 4 = 0
S=
Ici, on peut le réécrire
S=
y = −2x + 8
y = −2x − 4
et on remarque que les deux droites sont parallèles, car elles ont
la même pente et n’ont pas la même ordonnée à l’origine. Ainsi,
ES = ∅.
Cas 2, une seule solution: Ici, ES possède un seul élément qui est un
points (x0 , y0 ). Ce cas survient lorsque les deux droites sont sécantes
ou perpendiculaires. Nous verrons comment trouver ce points un peu
plus loin.
Cas 3, une infinité de solutions: Ce cas arrive lorsque les deux droites
sont des droites parallèles confondues. À ce moment, ES est l’ensemble de tous les points sur la droite. On n’entrera pas dans les
détails de ce cas. Ceux-ci seront vus dans un cours d’algèbre linéaire
plus avancé.
Exemple 3.2. Soit le système
S=
2x + y + 4 = 0
4x + 2y + 8 = 0.
On peut réécrire le système comme suit :
S=
y = −2x − 4
y = −2x − 4.
On a donc deux fois la même droite. Ainsi, ES est l’ensemble des
points sur la droite y = −2x − 4.
Dans deux des trois cas, il suffit de manipuler légèrement le système afin
d’arriver à l’ensemble solution. Cependant, dans le cas où non possédons
une seule solution, il faut travailler un peu plus. Il existe trois méthodes
pour y parvenir.
70
4. La droite
3.1.1. Méthode de réduction ou d’addition. Explicitons cette méthode
par un exemple.
Exemple 3.3. Trouvons l’ES du système
2y + 3x = 10
y + 5 = x.
La première étape consiste à placer toutes les variables à gauche de l’égalité
et les termes constants à droite.
3x + 2y = 10
−x + y = −5.
Il est à noter que l’on met les variables l’une vis-à-vis l’autre. Pour la deuxième
étape, on multiplie la deuxième équation afin que le coefficient devant le x
soit le même que celui de la première équation, mais de signe opposé. Dans
cet exemple, on multiplie la deuxième équation par 3 afin d’obtenir −3 devant
le x. Ainsi,
3x + 2y = 10
−3x + 3y = −15.
Il est à noter que cette opération ne change pas l’ensemble solution. Finalement, on additionne les deux lignes.
3x + 2y = 10
+ −3x + 3y = −15
5y = −5
Ainsi, on trouve que y = −1. Il faut maintenant trouver la valeur de x. On
prend la première équation, on remplace y par sa valeur et on isole x.
3x + 2y = 10
3x + 2 · −1 = 10
x=4
D’où, ES = {(4, 1)}.
3.1.2. Méthode de substitution. La méthode de substitution consiste à
isoler une variable de l’une des équations et à la remplacer dans l’autre équation afin de trouver la valeur de l’autre variable. L’exemple suivant montre
bien la méthode.
Exemple 3.4. Trouvons la solution du même système qu’à l’exemple
précédent :
2y + 3x = 10
y + 5 = x.
4.3. Relations entre deux droites
71
Ici, x est déjà isolé dans la deuxième équation. On va donc remplacer x par
y + 5 dans la première équation et isoler y :
2y + 3(y + 5) = 10
5y + 15 = 10
5y = −5
y = −1
On reprend la deuxième équation pour trouver x,
x = y + 5 = −1 + 5 = 4.
L’ensemble solution est donc {(4, −1)}.
3.1.3. Méthode de comparaison. L’idée de cette méthode est d’isoler la
même variable dans chacune des équations. Ensuite, on égalise les deux équations et on isole la deuxième variable.
Exemple 3.5. Trouvons l’ensemble solution du système
2y + 3x = 10
y + 5 = x.
Isolons x dans les deux équations.
2y + 3x = 10
x =y+5
10 − 2y
x =
3
Maintenant, on égalise les deux équations
10 − 2y
=y+5
3
10 − 2y = 3y + 15
−5 = 5y
y = −1
On peut retrouver la valeur de x avec l’une des équations,
Ainsi, ES = {(4, −1)}.
x = y + 5 = −1 + 5 = 4.
3.2. Exercices.
Exercice 4.5. Trouvez l’ensemble solution des systèmes suivants :
a)
b)
c)
x=y
y = x + 1.
d)
x + y = 10
x − y = 4.
e)
x − 3 = 4y
3x − 12y = 9.
x = 4y
x − 12y = 4.
3x − 7y = 21
x + y = 7.
f)
πx − 2πy = π
3 + x − 2y = 4.
72
4. La droite
Exercice 4.6. Trouvez l’équation de la droite perpendiculaire à la droite
y = 2x − 1
et qui passe par le point (2, 3).
Exercice 4.7. Trouvez l’équation de la droite qui est parallèle à la droite
y = 2x + 1
et dont le zéro est 2.
Exercice 4.8. Trouvez l’équation de la droite qui passe par (1, 2) et qui
est perpendiculaire à la droite passant par les points (−1, 8) et (4, −2).
4. Modélisation
Les systèmes d’équations linéaires nous permettent de résoudre des problèmes de la vie de tous les jours. Dans le chapitre 2, nous avons vu les
étapes pour résoudre une situation lorsque celle-ci pouvait être décrite par
une équation linéaire. Ici, nous verrons comment résoudre ces problèmes avec
un système d’équations. Cela simplifiera énormément la procédure.
Exemple 4.1. Deux F18 de l’armé sont en plein vol. Il reste le tiers de
carburant pour le premier F18 et 120L pour le second. Un avion ravitailleur
vient remplir leur réservoir. Il prend 5 minutes pour remplir le premier et 6
minutes pour le second. Si le débit de transfert d’essence est le même pour
les deux F18,
a) écrivez une équation qui permet de trouver ce débit (identifier bien la variable),
b) trouvez le débit du transfert d’essence (en L/min),
c) quelle quantité d’essence peut contenir le réservoir d’un F18 ?
Pour répondre à cette question, on doit tout d’abord identifier les variables :
x : quantité d’essence d’un F18 (en litre)
y : taux d’arrivée du carburant (en litre par minute).
On trouve maintenant le système d’équations.
Pour le premier F18 :
x = 13 x + 5y. Ceci provient du fait que ce F18 avait le tiers de sa capacité
d’essence et on lui ajoute de l’essence à un débit y pendant 5 minutes.
Pour le deuxième F18 :
x = 120+ 6y, car il lui restait 120 litres d’essence et on lui en ajoute pendant
6 minutes.
4.4. Modélisation
73
On a maintenant deux équations et deux variables. Pour résoudre ce système, isolons x dans les deux équations.
1
x = x + 5y et x = 120 + 6y
3
15
x= y
2
Maintenant, on peut résoudre
15
y =120 + 6y
2
15y =240 + 12y
3y =240 ⇒ y = 80
⇒ x =120 + 6 · 80 = 600.
Ainsi, les réponses sont :
a) déjà répondu
b) le débit est y et il vaut 80L/min.
c) c’est la valeur de x et elle vaut 600L.
Exemple 4.2. Pour construire un garage, on a utilisé 2500 planches de
bois de deux essences différentes. Les planches de la première essence valent
2$ l’unité et celles de la deuxième 3$ l’unité. Si la facture s’élève à 6500 $,
combien de planches de chaque essence a-t-on achetées ?
Posons x le nombre de planches de la première essence et y le nombre de
planches de la deuxième. Nous obtenons alors le système
x + y = 2500
2x + 3y = 6500
La solution de ce système est x = 1000 et y = 1500. Ainsi, il faut 1000
planches de la première essence et 1500 de la deuxième.
4.1. Exercices.
Exercice 4.9. Un canot se dirige vers une plage en suivant la trajectoire
y = 2x − 6.
Sachant que la frontière entre l’eau et la plage est donnée par
3x − 4y + 7 = 0,
déterminez l’endroit où le canot touchera la plage.
Exercice 4.10. Jean possède au total 300 actions de deux compagnies
différentes A et B. Il estime sa richesse à 1722$. Sachant que les actions
de la compagnie A valent 12$ chacune et 21$ pour la compagnie B, combien
d’actions de chaque compagnie possède-t-il ?
74
4. La droite
Exercice 4.11. ♠ Une plante A pousse à un rythme de 1cm par jour.
Un autre type de plante B (qui pousse 2 fois plus vite) est planté 5jour après
l’autre. Après combien de jour après avoir été planté, les deux plantes auront
la même hauteur et quelle est cette hauteur ?
Exercice 4.12. Les "Mardis Rabais" dans un cinéma offre un film à 5$
pour les adultes et 3$ pour les enfants. La salle qui compte 75 places était
comble pour un certain mardi. À ce moment, le cinéma a eu un revenu de
315$. Combien y avait-il d’enfants et d’adultes ?
5. Les distances
Dans cette section, nous étudierons la distance entre différents objets
mathématiques. Avant d’entrer dans les détails, rappelons un théorème bien
connu, celui de Pythagore.
Théorème 4.1 (Pythagore). Soit un triangle rectangle ayant une hypoténuse de longueur c et des cathètes de longueur a et b. Alors, c2 = a2 + b2 .
Démonstration. Pour démontrer ce théorème, nous devons construire
la figure suivante :
a
b
c
Calculons maintenant l’aire A du grand carré de deux façons différentes.
Méthode 1: A = c2 , car le grand carré a des côtés de longueur c.
Méthode 2: Le grand carré est constitué de quatre triangles rectangles et
d’un carré de côtés b − a. Ainsi,
ab
+ (b − a)2 = 2ab + b2 − 2ab + a2
A =4·
2
= a2 + b2
Ainsi, nous avons calculé la même aire de deux manières, d’où c2 = a2 +
b2 .
4.5. Les distances
75
5.1. Distance entre deux points.
Définition 5.1. Soient P1 : (x1 , y1 ) et P2 : (x2 , y2 ), deux points dans le
plan. La distance entre ces deux points, notée d (P1 , P2 ), est la longueur du
segment de droite qui relie ces points. Grâce au théorème de Pythagore, on a
que
È
d (P1 , P2 ) =
(∆x)2 + (∆y)2 =
È
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
y2
b
∆y
y1
b
∆x
x1
x2
Exemple 5.1. Trouvons la distance entre les points P1 : (2, −3) et P2 :
(−5, −4).
Pour ce faire, utilisons la formule
È
d (P1 , P2 ) =
=
=
(∆x)2 + (∆y)2
È
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
È
(−5 − 2)2 + (−4 − −3)2
È
(−7)2 + (−1)2
√
√
= 49 + 1 = 5 2.
=
5.2. Point milieu.
Définition 5.2. Le point milieu est le point qui est à égale distance entre
deux points.
Pour trouver les coordonnées du point milieu PM entre P1 : (x1 , y1 ) et
P2 : (x2 , y2 ) sont données par la formule

PM =
‹
x1 + x2 y1 + y2
,
.
2
2
76
4. La droite
Il est très simple de démontrer cette formule. Il suffit de construire deux
triangles rectangles comme le montre la figure suivante :
On se retrouve avec deux triangles
qui sont congrus par ACA. Ainsi, les
cathètes des triangles doivent avoir
la même longueur, ce qui correspond
à la moitié de x2 − x1 et de y2 − y1 .
D’où, on obtient la formule.
y2
b
PM
y1
P1
P2
b
b
x1
x2
Exemple 5.2. Trouvons le point milieu entre les points A : (5, −2) et
B : (5, 11).

‹
x1 + x2 y1 + y2
,
2
2

‹
5 + 5 −2 + 11
,
=
2
2

‹
9
= 5,
.
2
5.3. Distance entre un point et une droite.
PM =
Définition 5.3. La distance entre une droite d et un point P correspond
à la plus courte distance entre les points de la droite et P .
Pour trouver cette distance, on doit suivre les étapes suivantes :
Étape 1: On trouve l’équation de la droite d0 qui est perpendiculaire à la
droite d et qui passe par P .
Étape 2: On trouve le point P 0 qui est le point d’intersection de d et d0 .
Étape 3: On calcule la distance entre P et P 0 . Cette distance correspond à
la distance entre le point et la droite.
La figure suivante illustre la méthode.
Exemple 5.3. Trouvons la distance entre le point (1, 5) et la droite
3
y = x − 2.
4
Étape 1: On cherche la droite y = ax + b qui est perpendiculaire à
3
x − 2. et qui passe par (1, 5). On sait que si deux droites sont
4
4.5. Les distances
d0
b
P
77
d
b
P0
perpendiculaires, alors le produit de leurs pentes est −1. Ainsi,
4
3
a · = −1 ⇒ a = − .
4
3
Maintenant, on a
4
4
y =− x+b⇒5=− +b
3
3
19
⇒b= .
3
4
19
D’où la droite d0 est y = − x + .
3
3
Étape 2: Il faut maintenant déterminer le point d’intersection entre d et d0 .
19
3
4
= x−2
y =− x+
3
3
4
25x = 100
x=4
y = 3/4 · 4 − 2 = 3 − 2 = 1. Donc, P 0 : (4, 1).
Étape 3: Calculons d(P, P 0 ).
€
Š
d P, P 0 =
=
=
=
È
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
È
(4 − 1)2 + (1 − 5)2
È
√
(3)2 + (−4)2
25 = 5.
La distance est donc de 25.
5.4. Exercices.
Exercice 4.13. Déterminez la distance entre les points A : (2, 9) et
B : (4, −10).
Exercice 4.14. Quelle est la distance entre le point (3, 2) et la droite
y = x.
Exercice 4.15. ♠ Une ville A est située au point (−3, 4) et une ville B
est au point (2, 6). Un ville C se trouve au quart de la distance total entre A
et B de A. Déterminez l’endroit où se trouve C.
78
4. La droite
Exercice 4.16. ♠ Une ville A est située au point (−3, 4) et une ville
B est au point (2, 6). Une route rectiligne relie les deux villes. On désire
construire une route perpendiculaire à celle-ci à mi-chemin entre les villes A
et B. Déterminer l’équation de la droite représentant cette route.
Exercice 4.17. La position d’un bateau en fonction du temps t est donnée par
x1 (t) = 2t − 1
y1 (t) = 1 − t.
La position d’un deuxième bateau est donnée par
x2 (t) = t
y2 (t) = 3t − 1.
Quelle est la distance entre les deux bateau au temps t = 0 ?
CHAPITRE 5
La parabole
La parabole est une autre fonction très importante en mathématique.
Elle est présente dans plusieurs modélisations : la trajectoire d’un projectile,
miroir de télescope etc... Son étude est primordiale et tous les aspects étudiés
ici seront d’un grand secours en ingénierie, physique, biologie....
1. La parabole de base
Définition 1.1. L’équation de la parabole de base est f (x) = x2 et son
graphique est
f (x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
Analysons cette fonction.
Le domaine: dom f = .
L’image: ima f = [0, +∞[.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 0.
Les zéros: Un seul zéro en x = 0.
Le signe des images: f (x) ≥ 0 ∀x ∈ dom f .
Extremums: aucun maximum et un minimum au point (0, 0).
Croissance et décroissance:
R
f (x) % ∀x ∈ [0, +∞[
f (x) & ∀x ∈] − ∞, 0].
Équation de l’axe de symétrie: x = 0.
79
80
5. La parabole
2. La fonction transformée
Nous allons ici transformer la fonction de base grâce aux paramètres a,
b, h et k. Rappelons le rôle que chacun joue dans la transformation.
• a est un changement d’échelle verticale : étirement si a > 1, contraction si 0 < a < 1 et réflexion par rapport à l’axe des x suivi d’une
contraction ou d’un étirement si a < 0.
• b est un changement d’échelle horizontale : étirement si 0 < b < 1,
contraction si b > 1 et réflexion par rapport à l’axe des y suivi d’une
contraction ou d’un étirement si b < 0.
• h est une translation horizontale de la fonction de base : vers la droite
si h > 0 et vers la gauche si h < 0.
• k est une translation verticale de la fonction de base : vers le haut si
k > 0 et vers le bas si k < 0.
L’équation de la fonction transformée g(x) est donnée par la transformation
g(x) = af (b(x − h)) + k.
Dans notre cas, nous obtenons en simplifiant
y = a(b(x − h))2 + k
= ab2 (x − h)2 + k
= ã(x − h)2 + k
Ici, ã = ab2 . Ainsi, on remarque que le paramètre b peut être fusionné avec le
paramètre a. D’où, la forme transformée de la parabole dépend de seulement
trois paramètres a, h et k. Le changement d’échelle horizontale revient à
un changement d’échelle verticale. On a donc que la forme transformée de
f (x) = x2 est
g(x) = a(x − h)2 + k.
Cette forme est dite la forme canonique de la parabole. Il existe aussi la
forme générale de la parabole qui est
y = ax2 + bx + c
IMPORTANT
Ici, le b de la forme générale n’est pas le paramètre b, mais seulement
une constante.
2.1. Comment passer de la forme canonique à la forme générale ? Pour passer de la forme canonique à la forme générale, il suffit de
5.2. La fonction transformée
81
développer le carré.
y = a(x − h)2 + k
= a(x2 − 2hx + h2 ) + k
= ax2 − 2ahx + (k + ah2 )
Ainsi, le b de la forme générale vaut −2ah et le c vaut k + ah2 . Pour ce qui
est du a, c’est le même dans les deux formes.
Exemple 2.1. Soit y = 2(x + 3)2 + 1. Trouver la forme générale de cette
parabole.
y = 2(x + 3)2 + 1
= 2(x2 + 6x + 9) + 1
= 2x2 + 12x + 19
2.2. Comment passer de la forme générale à la forme canonique ? Il existe deux façons de passer de la forme générale à la forme canonique. La première façon consiste à utiliser le résultat obtenu précédemment.
On sait que
y = ax2 + bx + c = a(x − h)2 + k
= ax2 − 2ahx + (k + ah2 ).
On est à la recherche de a, h et k. Puisque l’on connaît la forme générale,
on connaît a, b et c. On a donc deux équations
b = −2ah
c = k + ah2 .
−b
. Pour ce qui est de
Ainsi, en isolant h de la première équation, on a h =
2a
k, voici comment le trouver :
c = k + ah2
k = c − ah2
−b
k =c−a
2a
2
b
k =c−
4a
4ac − b2
.
k=
4a
2
Maintenant, nous avons des formules pour trouver h et k en fonction de a, b
et c.
82
5. La parabole
Exemple 2.2. Écrivons, sous sa forme canonique, la parabole
y = 2x2 + 12x + 19.
12
b
=−
= −3
2a
2·2
−b2 + 4ac
−122 + 4 · 2 · 19
k=
=
=1
4a
4·2
h=−
Ainsi, y = a(x − h)2 + k = 2(x + 3)2 + 1.
L’autre façon d’y parvenir est à l’aide de la complétion de carré. Cette
technique consiste à écrire les deux premiers termes du polynômes, i.e.
ax2 + bx,
comme un carré parfait a(x + d)2 . Il suffit de déterminer la valeur de d. Le
prochain exemple montre comment faire.
Exemple 2.3. Trouvons la forme canonique de y = 2x2 + 12x + 19 avec
la complétion de carré.
Laissons tomber le terme constant et écrivons les deux premiers termes sous
la forme a(x + d)2 . Si l’on développe cette expression, on obtient
€
Š
a(x + d)2 = a x2 + 2dx + d2 = 2x2 + 12x
€
Š
= 2 x2 + 6x
Ainsi, il faut que 2d = 6 ⇒ d = 3. Par contre, il manque le terme en d2 = 9.
Ajoutons-le et enlevons-le en même temps.
€
Š
€
Š
2 x2 + 6x = 2 x2 + 6x + 9 − 9
€
Š
= 2 (x + 3)2 − 9
= 2(x + 3)2 − 18
Maintenant, on a
y = 2x2 + 12x + 19 = 2(x + 3)2 − 18 + 19 = 2(x + 3)2 + 1.
2.3. Étude de la fonction transformée. Étudions maintenant les
caractéristiques de la parabole transformée. Pour ce faire, esquissons son
graphique d’une manière générale. Deux aspects importants permettent d’esquisser une parabole facilement : le signe de a et le sommet. Puisque nous savons qu’un point (x, y) de la fonction de base devient le point (x + h, ay + k),
alors le sommet de la parabole de base (0, 0) → (h, k). Ainsi, l’allure générale
5.2. La fonction transformée
83
d’une parabole est
a>0
a<0
k
k
h
x
h
x
Maintenant, nous sommes en mesure d’étudier d’une manière intuitive
la fonction transformée. Dans tous les cas, une esquisse de la fonction nous
aide énormément à répondre.
Le domaine: dom f =
R.
L’image: Deux cas :
• Si a > 0, ima f = [k, +∞[.
• Si a < 0, ima f =] − ∞, k].
L’ordonnée à l’origine: f (0) = a(−h)2 + k = ah2 + k ou f (0) = c, selon
la forme de la règle.
Les zéros: Pour trouver les zéros, il faut résoudre l’équation y = 0. Avant
d’entrer dans les détails, révisons un principe important.
IMPORTANT
√
Si x2 = a et a ≥ 0, alors x = ± a.
Servons-nous de la forme canonique pour résoudre cette équation
l’équation f (x) = 0.
a(x − h)2 + k = 0
(x − h)2 = −
k
a
k
À partir d’ici, il y a trois possibilités selon le signe de − .
a
k
1) Si − < 0, c’est impossible, car un carré, ici (x − h)2 , ne peut
a
pas être négatif. Il n’y a donc pas de zéro.
k
2) Si − = 0, il y a un seul zéro en x = h. Pour trouver cette
a
réponse, on résout (x − h)2 = 0.
84
5. La parabole
3) Si −
k
> 0, on a
a
(x − h)2 = −
k
a
Ê
(x − h) = ± −
k
a
Ê
k
− .
a
Il y a donc deux zéros qui sont obtenus plus haut.
x=h±
Lorsque l’on est en présence de la forme générale, il y a deux façons
de trouver les zéros. La première est de faire une mise en évidence
double et d’utiliser la règle du produit nul. Par contre, cette méthode
peut s’avérer difficile, voir impossible si la fonction n’a pas de zéros.
La deuxième méthode revient à utiliser la formule quadratique.
Cette dernière est obtenue à l’aide des résultats de la forme cano−b2 + 4ac
b
et k =
et on a vu que
nique. Nous savons que h = −
2a
4a
k
ce qui influençait le nombre de racines est le signe de − . Si l’on
a
l’écrit en terme de a, b et c, il devient
k
−b2 + 4ac 1
=−
·
a
4a
a
2
b − 4ac
=
4a2
Puisque le dénominateur est toujours positif, on a que le nombre
de zéros est déterminé par b2 − 4ac. Cette expression se nomme
discriminant et on le note ∆. Ainsi, les trois cas peuvent se réécrire
−
1) Si ∆ < 0, il n’y a aucun zéro.
2) Si ∆ = 0, il y a un seul zéro en x = h = −
b
.
2a
3) Si ∆ > 0, il y a deux zéros, notés x1 et x2 .
Ê
x=h±
−
k
a
Ê
b
b2 − 4ac
=− ±
2a
4a2
√
−b ± b2 − 4ac
=
√2a
−b ± ∆
.
=
2a
Cette dernière formule se nomme la formule quadratique.
L’allure de chacun de ces cas est montrée dans la figure suivante :
5.2. La fonction transformée
aucun zéro,
a>0
aucun zéro
a<0
1 zéro
a>0
1 zéro
a<0
85
2 zéros
a>0
2 zéros
a<0
Le signe des images: En esquissant les possibilités, on remarque qu’il y a
quatre cas :
1) Si a > 0 et ∆ ≤ 0, alors
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ dom(f )
2) Si a > 0 et ∆ > 0, alors
f (x) ≥ 0, ∀x ∈] − ∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞[
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ]
3) Si a < 0 et ∆ ≤ 0, alors
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ dom(f )
4) Si a < 0 et ∆ > 0, alors
f (x) ≤ 0, ∀x ∈] − ∞, x1 ] ∪ [x2 , +∞[
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ]
Extremums: Deux cas :
• Si a > 0, aucun maximum et un minimum au point (h, k).
• Si a < 0, un maximum au point (h, k) et aucun maximum.
Croissance et décroissance: Deux cas :
• Si a > 0,
f (x) % ∀x ∈ [h, +∞[
• Si a < 0,
f (x) & ∀x ∈] − ∞, h].
f (x) % ∀x ∈] − ∞, h]
f (x) & ∀x ∈ [h, +∞[.
86
5. La parabole
Équation de l’axe de symétrie: x = h.
Exemple 2.4. Analysez la fonction f (x) = x2 − 4x − 5.
La première étape est d’esquisser la fonction. Pour ce faire, nous avons besoin de la forme canonique. Obtenons-la à l’aide de la complétion de carrés
f (x) = x2 − 4x − 5
= x2 − 4x + 4 − 4 − 5
= (x − 2)2 − 9.
Ainsi, on a que a = 1, h = 2 et k = −9. D’où, l’allure générale de f (x) est
2
x
−9
Maintenant, l’étude est plus simple.
Le domaine: dom f =
R.
L’image: ima f = [−9, +∞[.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 02 − 4 · 0 − 5 = −5.
Les zéros: Pour les trouver, on utilise la formule quadratique
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
È
4 ± (−4)2 − 4 · −5
=
√ 2·1
4±6
4 ± 36
=
=
2
2
x1 = −1 et x2 = 5.
Le signe des images: On a que
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [−1, 5]
f (x) ≥ 0, ∀x ∈] − ∞, −1] ∪ [5, +∞[.
Extremums: aucun maximum et un minimum au point (2, −9).
5.3. Recherche de la règle
87
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ [2, +∞[
f (x) & ∀x ∈] − ∞, 2].
Équation de l’axe de symétrie: x = 2.
2.4. Exercices.
Exercice 5.1. Faites une complétion de carrés pour déterminez la forme
canonique, déterminez le maximum ou le minimum des fonctions et donnez
le nombre de zéros :
a) y = x2 − 8x + 4
b) y = 3 − 2x − x2
c) y = 4x2 + 16x + 16
Exercice 5.2. Écrire les paraboles suivantes sous l’autre forme, soit
générale ou canonique et donnez les paramètres a, h et k.
a) y = 2(x − 2)2 + 10
c) d(s) = −(4 − s)2 − 3
b) f (t) = 4t2 − 24t + 1
d) g(y) = y 2 − 2y + 1
Exercice 5.3. Esquissez et faites l’analyse en huit points des fonctions
suivantes :
a) g(y) = −2(y + 1)2 + 1
b) f (x) = x2 − 4x + 2
c) h(z) = −z 2 + 16
Exercice 5.4. Trouvez les zéros des fonctions suivantes :
a) y = x2 − x + 1
b) y = 3x − 9
c) y = (2 − x)2 − 9
d) z = x2 − 5x + 6
3. Recherche de la règle
Afin de retrouver l’équation d’une parabole, il faut habituellement trois
points. Par contre, il arrive que deux points suffisent. Dans ce cours, nous
étudierons deux cas.
3.1. On connaît le sommet et un point de la parabole. Si l’on
connaît le sommet et un point de la parabole, on peut retrouver sa règle.
Pour ce faire, on utilise la forme canonique de la parabole :
y = a(x − h)2 + k.
Ici, h et k sont connus, car le sommet d’une parabole est au point (h, k). Il
reste à déterminer la valeur de a en utilisant l’autre point.
88
5. La parabole
Exemple 3.1. Trouvons l’équation de la parabole dont le sommet est au
point (−2, 1) et qui passe par le point (1, 2).
On sait que h = −2 et k = 1. D’où
y = a(x − h)2 + k
= a(x − −2)2 + 1
= a(x + 2)2 + 1.
Puisque la parabole passe par le point (1, 2), on a
2 = a(1 + 2)2 + 1
1 = 9a
1
a= .
9
1
Ainsi, y = (x + 2)2 + 1.
9
3.2. On connaît les deux zéros et un point de la parabole. Dans
le cas où l’on connaît les deux zéros et un point de la parabole, il faut
utiliser le principe du produit nul pour obtenir la règle. Si les deux zéros
d’une parabole f (x) sont x1 et x2 , alors on peut écrire
f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
De plus, si l’on connaît un point (x0 , y0 ) de la parabole, on peut trouver a
en isolant a dans la formule
y0 = a(x0 − x1 )(x0 − x2 ).
Exemple 3.2. Trouvons la règle de la parabole qui passe par (−2, 4) et
dont les zéros sont 1 et 3.
On a
y0 = a(x0 − x1 )(x0 − x2 )
4 = a(−2 − 1)(−2 − 3)
4 = a(−3)(−5)
4
a=
15
Ainsi, la règle est
4
(x − 1)(x − 3)
15
Š
4 € 2
=
x − 4x + 3
15
16
4
4
= x2 − x +
15
15
5
y=
5.4. Résolution d’équations ayant une fonction du second degré
89
3.3. Exercices.
Exercice 5.5. Trouver la règle sous la forme générale de la parabole
qui :
a) a des zéros en 1 et 11 et qui passe par (3, 4)
b) passe par (1, 1) et dont le sommet est (−2, −8)
c) passe par les points (−3, 0), (0, 1), (12, 0)
d) ♠ possède un maximum de 4 et dont les zéros sont −2 et 6
e) ♠ possède un seul zéro en x = 3 et passe par (0, −9)
Exercice 5.6. Trouvez la règle de la parabole représentée à la figure
suivante :
f (x)
5
4
3
2
1
−3
−2
−1−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
5
6
x
Exercice 5.7. Trouvez les zéros de la parabole dont le sommet est au
point (2, 3) et passant par (0, 1).
4. Résolution d’équations ayant une fonction du second degré
Résoudre des équations qui contiennent une fonction du second degré
nécessite de connaître la formule des zéros, c’est-à-dire
√
−b ± b2 − 4ac
.
x1,2 =
2a
Regardons quelques exemples pour expliciter la méthode.
Exemple 4.1. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
1
4
+
= 1.
2x + 4 x − 1
Les étapes à suivre sont les mêmes que lors de la résolution d’équations linéaires.
Étape 1: On trouve le domaine de l’équation. Ici, on ne veut pas qu’il y ait
de division par zéro, d’où dom = \ {−2, 1}.
R
90
5. La parabole
Étape 2: On résout l’équation. Premièrement, on additionne les deux fractions
(x − 1) + (8x + 16)
= 1.
(2x + 1)(x − 1)
On multiplie les deux côtés de l’équation par le dénominateur.
9x + 15 = 2x2 + 2x − 4.
On met tous les termes du même côté.
2x2 − 7x − 19 = 0.
On utilise la formule des zéros pour obtenir les solutions de l’équation
précédente.
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
√ 2a
7 ± 49 + 152
=
4
x1 ≈ −1.7944 ou x2 ≈ 5.2944
Étape 3: On vérifie si les solutions sont dans le domaine. Ici, c’est le cas.
Ainsi,
ES = {−1.7944, 5.2944}.
Exemple 4.2. Trouvez l’ensemble solution de l’équation
Étape 1: dom =
Étape 2:
R \ {2}.
x2 − 4
= 3x − 2.
x−2
x2 − 4
= 3x − 2
x−2
x2 − 4 = (3x − 2)(x − 2)
0 = 2x2 − 8x + 8
= 2(x2 − 4x + 2)
= 2(x − 2)2
⇒x = 2
Étape 3: Puisque 2 6∈ dom, alors
4.1. Exercices.
ES = ∅.
Exercice 5.8. Trouvez l’ensemble solution des équations suivantes :
5.5. Résolution d’inéquations ayant une parabole
a) 2x2 − 4x + 8 = x2 + 3x + 9
3
2
b)
+
=0
x−1 x+1
91
c) 3x2 − 2x + 1 = x + 3
d)
√
x+1=x
Exercice 5.9. Trouvez les points d’intersection entre la droite y =
−2x + 1 et la parabole y = (x − 1)2 − 1.
Exercice 5.10. Trouvez les de rencontre de la droite et de la parabole
du graphique suivant :
y
5
4
3
2
1
−2
−1−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
x
5. Résolution d’inéquations ayant une parabole
Regardons la technique afin de résoudre une inéquation contenant une
parabole.
Exemple 5.1. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation 2x2 −5x < 3.
Étape 1: Comme dans toutes résolutions d’équations ou d’inéquations, on
trouve le domaine. Ici, dom = .
Étape 2: On met un côté de l’inéquation à zéro en envoyant tous les termes
du même côté. Ici, on obtient
R
2x2 − 5x − 3 < 0.
Étape 3: On cherche les zéros de la parabole à l’aide de la formule quadratique.
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
√ 2a
5 ± 25 − 4 · 2 · −3
=
2·2
5±7
=
4
x1 = −0.5 et x2 = 3.
Étape 4: On esquisse le graphique de la parabole. Ici, il y a deux zéros et le
paramètre a est positif. Ainsi, l’allure générale de la parabole sera
92
5. La parabole
y
−0.5
3
x
Étape 5: On identifie les valeurs de x où la parabole est positive ou négative
selon le signe. Ici, la parabole est positive pour
x ∈] − ∞, −0.5[∪]3, +∞[.
Étape 6: On trouve l’ensemble solution en enlevant les valeurs de x qui ne
sont pas dans le domaine. Ici, on a donc que
ES =] − ∞, −0.5[∪]3, +∞[.
Une des utilisés des inéquations est de déterminer le domaine d’une fonction. Regardons un exemple.
Exemple 5.2. Trouvons le domaine de la fonction
√
9 − x2
f (x) = 2
.
x −1
On se souvient que pour déterminer le domaine d’une fonction, il faut partir
de l’idée que le domaine est . Par la suite, on enlève les valeurs de x qui
rendent le dénominateur nul et qui font que la valeur sous les racines paires
est négative. Ainsi, ici, on a
R
x2 − 1 6= 0
De plus, il faut que
(x − 1)(x + 1) 6= 0
⇒ x 6= −1 et x 6= 1.
9 − x2 ≥ 0.
Pour résoudre ceci, il faut trouver les zéros de 9 − x2 . Ceux-ci sont −3 et
3. Puisque, le paramètre a est négatif (il vaut −1), on a que la parabole est
ouverte vers le bas. Ainsi, 9 − x2 ≥ 0 si x ∈ [−3, 3]. D’où
5.1. Exercices.
dom f = [−3, 3] \ {−1, 1}.
Exercice 5.11. Trouvez l’ensemble solution des inéquations suivantes :
5.6. Modélisation et mises en situation
a) x2 + 1 > 5
b)
−2x2
+x+6<0
93
c) x(3x − 3) ≤ 2x(x − 3)
d) x2 − 2x + 1 > 1
Exercice 5.12. Trouvez le domaine des fonctions suivantes :
√
−x2 + 81
a) f (x) = 2
x − 4x + 4
√
12x − 6
b) g(x) = √
−6x2 + 5x + 4
√
√
c) h(x) = x2 − x − 30 + 156 81 − x2
6. Modélisation et mises en situation
Exemple 6.1. Trouvez deux nombres entiers positifs consécutifs dont la
somme des carrés est 85.
Posons x le premier nombre et x + 1 le deuxième. Ainsi, on a l’équation
x2 + (x + 1)2 = 85
2x2 + 2x − 84 = 0.
En utilisant la formule des zéros, on obtient les deux zéros −7 et 6. Puisque
l’on cherche deux entiers positifs, alors la valeur à retenir est 6. Ainsi, 6 et
7 sont les réponses à la question.
Exemple 6.2. Une salle de cinéma compte 768 sièges. Si chaque rangée
compte 8 sièges de plus que le nombre de rangées, trouver le nombre de rangées et le nombre de sièges dans une rangée.
Posons x le nombre de rangées. On a donc que le nombre total de siège est
donné par x(x + 8). Ainsi, il faut résoudre
x(x + 8) =768
x2 + 8x − 768 =0
À la de la formule des zéros, on obtient −32 et 24. Puisqu’un nombre de
rangées ne peut pas être négatif, on retient que x = 24. Ainsi, il y a 24
rangées de 32 sièges dans ce cinéma.
6.1. Exercices.
Exercice 5.13. On lance une balle à partir d’un balcon. La hauteur par
rapport au sol en fonction du temps est donnée par
h(t) = −4.9t2 + 10t + 4,
où h est en mètres et t en secondes.
a) Quelle est la hauteur du balcon ?
b) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?
c) Après combien de temps la balle touchera le sol ?
94
5. La parabole
d) Pendant combien de temps la balle sera plus haute que le balcon ?
Exercice 5.14. Trouvez deux nombres naturels consécutifs dont le produit est 182.
Exercice 5.15. Trouvez les dimensions du carré dont le périmètre est
égal à son aire.
Exercice 5.16. Quelles sont les dimensions d’un rectangle de 16cm de
périmètre afin que sont aire soit le plus possible.
Exercice 5.17. Trouvez deux nombres positifs paires consécutifs dont la
somme de leur carré vaut 580.
Exercice 5.18. Une arche parabolique a une hauteur de 10m. Sachant
que sa base est de 20m, déterminez l’équation de la parabole décrivant la
hauteur de cette arche.
Exercice 5.19. ♠♠ La vitesse d’écoulement d’un liquide au travers d’un
tube cylindrique de petit rayon R est donné par l’équation de Poiseuille 1
‚
Œ
r2
V (r) = vmax 1 − 2 ,
R
avec vmax une constante et −R < r < R qui correspond à la distance par
rapport au centre du tube.
a) À quel endroit la vitesse est-elle maximale ?
b) À quel endroit la vitesse vaut la moitié de la vitesse maximale ?
Exercice 5.20. ♠ Le directeur d’un restaurant observe que si le tarif
du comptoir de salades est de 2, 50$, 200 clients s’y approvisionnent le midi.
Mais cette clientèle diminue de 100 personnes par augmentation de 1, 00$ de
ce prix et elle augment de 100 personnes par diminution de 1, 00$. Trouvez
le prix qui maximisera le revenu du comptoir de salades.
1. Jean-Louis-Marie Poiseuille (1797-1879) était un médecin français qui s’intéressait
au système circulatoire.
CHAPITRE 6
Fonctions particulières
Dans ce chapitre, on étudiera plusieurs fonctions qui sont très utiles
dans la vie de tous les jours. Celles-ci sont les fonctions rationnelles, racines
carrées, définies par parties et valeurs absolues.
1. Fonction rationnelle
1.1. Fonction de base.
Définition 1.1. La fonction rationnelle ou fonction inverse de base est
de la forme
f (x) =
1
.
x
Le graphique de cette fonction est
f (x)
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1−1
1
2
3
4
x
−2
−3
−4
−5
Analysons cette fonction.
Le domaine: dom f =
L’image: ima f =
toucher.
R \ {0}, car on ne veut pas de division par 0.
R \ {0}. Ici, la fonction se rapproche de 0 sans jamais lui
L’ordonnée à l’origine: f (0) n’existe pas, car 0 6∈ dom f .
Les zéros: Aucun zéro.
95
96
6. Fonctions particulières
Le signe des images: Ici,
f (x) < 0, ∀x ∈] − ∞, 0[
f (x) > 0, ∀x ∈]0, +∞[
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) &, ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
On ajoutera un autre point d’étude de la fonction. Cette caractéristique se
nomme les asymptotes d’une fonction.
Définition 1.2. allo le monde
• Une asymptote horizontale est une droite horizontale telle que sa distance avec la fonction diminue toujours sans jamais atteindre 0.
• Une asymptote verticale est une droite verticale telle que sa distance
avec la fonction diminue toujours sans jamais atteindre 0.
1
Ainsi, f (x) =
possède une asymptote horizontale en y = 0 et une
x
asymptote verticale en x = 0. La convention veut que l’on trace les asymptotes en pointillés.
1.2. La fonction rationnelle transformée. Lorsque l’on applique les
paramètres a, b, h et k sur la fonction de base, on obtient
f (x) =
a
+ k.
b(x − h)
Encore une fois, on peut fusionner a et b, d’où la forme canonique de la
fonction rationnelle dépend seulement de trois paramètres
f (x) =
a
+ k.
x−h
L’allure de cette fonction dépend du signe de a. De plus, il y a une translation
des asymptotes. L’asymptote verticale x = 0 devient x = h et l’asymptote
horizontale y = 0 devient y = k. Ainsi, l’allure générale est
6.1. Fonction rationnelle
f (x)
97
f (x)
k
k
h
a>0
Étudions la fonction transformée.
Le domaine: dom f =
L’image: ima f =
h
x
x
a<0
R \ {h}, car on ne veut pas de division par 0.
R \ {k}. C’est l’endroit où il y a l’asymptote.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −
a
+ k si h 6= 0.
h
Les zéros: Un seul zéro
a
+k = 0
x−h
a
= −k
x−h
a = −k(x − h)
a
− + h = x si k 6= 0.
k
Le signe des images: Le meilleur moyen pour déterminez le signe des images
est d’esquisser la fonction. Ainsi, on peut se convaincre qu’il y a
quatre cas distincts :
1) a > 0 et k > 0
f (x) < 0∀x ∈]h − a/k, h[
f (x) > 0∀x ∈] − ∞, h − a/k[∪]h, +∞[
2) a > 0 et k < 0
f (x) < 0∀x ∈] − ∞, h[∪]h − a/k, +∞[
f (x) > 0∀x ∈]h, h − a/k[
3) a < 0 et k > 0
f (x) < 0∀x ∈]h, h − a/k[
f (x) > 0∀x ∈] − ∞, h[∪]h − a/k, +∞[
98
6. Fonctions particulières
4) a < 0 et k < 0
f (x) < 0∀x ∈] − ∞, h − a/k[∪]h, +∞[
f (x) > 0∀x ∈]h − a/k, h[
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance: Deux cas :
• Si a > 0, f (x) &, ∀x ∈ dom f .
• Si a < 0, f (x) %, ∀x ∈ dom f .
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Horizontale en y = k et verticale en x = h.
Exemple 1.1. Étudions en huit points la fonction f (x) =
x−5
.
x−4
La première étape consiste écrire la fonction sous sa forme canonique afin
que l’on puisse identifier a, h et k pour esquisser la fonction. Pour ce faire,
on fait une division à l’aide du crochet. On obtient alors que
f (x) =
−1
+ 1.
x−4
Ainsi, a = −1, h = 4 et k = 1. Par la suite, on esquisse le graphique de la
fonction afin de nous aider à l’analyser. On trace d’abord les asymptotes en
x = h = 4 et en y = k = 1. Par la suite, on examine le signe de a. Il est
négatif donc la fonction sera dans le 2e et 4e quadrant.
f (x)
1
4
x
Nous sommes maintenant en mesure de faire l’analyse de la fonction.
Le domaine: dom f =
L’image: ima f =
R \ {4}, car on ne veut pas de division par 0.
R \ {1}.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −
1
+ 1 = 5/4.
0−4
6.1. Fonction rationnelle
99
Les zéros: Un seul zéro
−
1
+1=0
x−4
1
=1
x−4
1 = (x − 4)
x = 5.
Le signe des images:
f (x) < 0∀x ∈]4, 5[
f (x) > 0∀x ∈] − ∞, 4[∪]5, +∞[
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: En x = 4 et y = 1.
1.3. Exercices.
Exercice 6.1. Déterminez les paramètres a,h et k, le domaine, l’image
ainsi que l’équation des asymptotes dans les fonctions suivantes :
10
−4
3−x
2
b) g(x) = + 1
x
a) f (x) =
c) h(x) =
3−x
2x − 9
Exercice 6.2. Écrire les fonctions suivantes sous leur forme canonique :
a) f (x) = x2 − x − 30
b) g(y) =
y−1
y−4
9
+7
4 − 2z
3t
d) i(t) =
t+2
c) h(z) =
Exercice 6.3. Esquissez et analysez en huit points les fonctions suivantes :
0.5
−2
x+1
9
b) g(x) =
6 − 3x
a) f (x) =
c) h(x) =
2x
x−2
100
6. Fonctions particulières
Exercice 6.4. L’énergie potentielle Ep d’un satellite en orbite autour
de la terre est donnée par
G × Mt × m
,
Ep (r) = −
r
où G est une constante universelle positive, Mt est la masse de la terre, m
la masse du satellite et r est la distance entre le satellite et le centre de la
terre.
a) Donnez le domaine de cette fonction.
b) Qu’arrive-t-il à l’énergie potentielle lorsque le satellite s’éloigne de la
terre ?
c) Esquissez Ep en fonction de r.
Exercice 6.5. Un triangle rectangle possède une base de longueur x et
une hauteur y. Sachant que son aire est de 4cm2 ,
a) déterminez une règle qui relie x et y,
b) exprimez y en fonction de x et esquissez cette fonction.
Exercice 6.6. Trouvez l’ensemble solution des inéquations suivantes :
a)
1
+2<0
x−3
6x − 2
<2
9 − 3x
b)
2. Fonction racine carrée
Étudions la fonction racine carrée.
2.1. La fonction de base.
Définition 2.1. La fonction racine carrée de base est de la forme
√
f (x) = x.
Son graphique est
f (x)
2
1
1
2
3
4
x
Analysons cette fonction.
Le domaine: dom f = [0, +∞[, car on veut que l’intérieur de la racine soit
positif.
6.2. Fonction racine carrée
101
L’image: ima f = [0, +∞[, car la racine carrée d’un nombre est toujours
positive.
√
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 0 = 0.
Les zéros: Cette fonction a un seul zéro en x = 0.
Le signe des images:
f (x) ≥ 0∀x ∈ dom f
Extremums: aucun maximum et un minimum au point (0, 0).
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Aucune.
2.2. La fonction transformée. Encore une fois,√appliquons les paramètres a, b, h et k à la fonction de base, ici f (x) = x. Ainsi, si g(x) =
af (b(x − h)) + k, on obtient
È
g(x) = a b(x − h) + k.
Malheureusement, on ne peut pas fusionner les paramètres a et b. Il faudra
donc prendre en considération quatre paramètres pour dessiner et analyser la
fonction racine carrée. Pour esquisser cette fonction, nous devons connaître
son point de départ. Dans la fonction de base, c’est le point (0, 0). En appliquant les paramètres sur ce point, il devient le point (h, k). Ainsi, le point
de départ de la fonction transformée est le point (h, k). Pour déterminer la
direction dans laquelle on trace la fonction, il faut regarder le signe de a et
de b.
• Si a > 0, on dessine la fonction vers le haut si a < 0 c’est vers le bas.
• Si b > 0, on dessine la fonction vers la droite, si b < 0 c’est vers la
gauche.
La figure suivante montre l’allure de chacun des cas.
102
6. Fonctions particulières
f (x)
f (x)
k
k
x
h
a > 0 et b > 0
x
h
a < 0 et b > 0
f (x)
f (x)
k
h
x
h
x
k
a > 0 et b < 0
a < 0 et b < 0
L’analyse de la fonction transformée est un peu lourde lorsque l’on regarde
tous les cas, c’est-à-dire selon si les paramètres sont positifs ou négatifs. C’est
pourquoi nous étudierons seulement le cas où a > 0 et b > 0. Les autres cas
demandent les mêmes techniques
È que l’on applique sur un graphique différent. Analysons donc f (x) = a b(x − h) + k si a et b sont positifs.
Le domaine: On veut que b(x−h) ≥ 0. Puisque b > 0, il faut que x−h ≥ 0.
Ainsi, x ≥ h. D’où, dom f = [h, +∞[.
L’image: À l’aide du graphique, on s’aperçoit que la fonction débute en y =
k et qu’elle augmente toujours, car a > 0. Ainsi, ima f = [k, +∞[.
È
√
L’ordonnée à l’origine: f (0) = a b(0 − h) + k = a −bh + k. Ceci est
vrai seulement si h ≤ 0. Sinon, 0 6∈ dom f , donc l’ordonnée à l’origine
n’existe pas.
Les zéros: Pour les trouver, on effectue les étapes suivantes :
È
0 = a (b(x − h) + k
k È
− = (b(x − h)
a
6.2. Fonction racine carrée
103
Ici, il y a deux cas :
k
Si k > 0: Il n’y a pas de zéro, car a > 0 et − < 0 ce qui ne
a
peut être égale à une racine carrée puisque celle-ci est toujours
positive.
Si k < 0: Il n’y a pas de problème, on continu à isoler x.
k È
− = (b(x − h)
a
2
k
−
= b(x − h)
a
1 k 2
+h=x
b a
Le signe des images: On utilise la représentation graphique pour déterminer le signe des images.
Extremums: aucun maximum et un minimum au point (h, k).
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Aucune.
√
Exemple 2.1. Analysons la fonction f (x) = −2 3x − 9 + 8.
La première étape est de réécrire cette fonction sous sa forme canonique,
c’est-à-dire sous la forme
È
f (x) = a b(x − h) + k.
Pour ce faire, nous effectuons une mise en évidence simple sous la racine.
Ainsi, on obtient
È
f (x) = −2 3(x − 3) + 8.
On trouve que a = −2, b = 3, h = 3 et k = 8. Ainsi, le point de départ de
cette fonction est le point (3, 8). De plus, le graphique se dirige vers la droite
et vers le bas, car b > 0 et a < 0. Ainsi, l’esquisse de f est
f (x)
8
3
x
104
6. Fonctions particulières
On peut maintenant étudier f .
Le domaine: On veut que 3(x − 3) ≥ 0. Ainsi,
D’où dom f = [3, +∞[.
3(x − 3) ≥ 0
x−3≥0
x≥3
L’image: ima f =] − ∞, 8]
L’ordonnée à l’origine: Il n’y a pas d’ordonnée à l’origine, car 0 6∈ dom f .
Les zéros:
È
0 = −2 (3(x − 3) + 8
4=
È
(3(x − 3)
16 = 3(x − 3)
16
+ 3.
x=
3
Le signe des images:
•
˜
16
+3 ,
3
•
•
16
+ 3, +∞ .
f (x) ≤ 0, ∀x ∈
3
Extremums: aucun minimum et un maximum au point (3, 8).
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ 3,
Croissance et décroissance:
f (x) & ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Aucune.
2.2.1. Domaine de fonction ayant une racine. Comme nous l’avons vu
depuis le début, lorsqu’une fonction possède une racine carrée (plus généralement une racine paire), ce qui apparaît sous celle-ci doit être négatif. Nous
avons déjà étudié les techniques qui permettent de résoudre ces problèmes.
√
Exemple 2.2. Trouvons le domaine de f (x) = 11 − 7x.
Il faut que 11 − 7x ≥ 0. Ainsi,
˜
Donc, dom f = −∞,
˜
11
.
7
11 − 7x ≥ 0
11 ≥ 7x
11
≥x
7
6.2. Fonction racine carrée
105
Exemple 2.3. Trouvons le domaine de la fonction
Ê
f (x) =
3−x
.
− 5)
x2 (x
Le domaine ici est l’ensemble des valeurs de x qui satisfont l’inégalité suivante :
3−x
≥ 0.
x2 (x − 5)
Pour résoudre cette inéquation, on doit utiliser un tableau de signes. La première étape consiste à trouver les valeurs critiques de x, c’est-à-dire les valeurs de x qui annulent le dénominateur et le numérateur. Ces valeurs sont
x = 0, x = 3 et x = 5. Par la suite, on fait le tableau de signes.
x
0
3
5
3−x
+ + + 0 − − −
2
x
+ 0 + + + + +
x−5
− − − − − 0 +
3−x
− @ − 0 + @ −
x2 (x − 5)
Il faut maintenant prendre les valeurs de x où la dernière ligne du tableau
est plus grande ou égale à zéro. Cela correspond au domaine de f (x). D’où,
dom(f ) = [3, 5[.
Le dernier exemple en est un déjà vu.
Exemple 2.4. Trouvons le domaine de f (x) =
√
x2 + 5x + 6. On sait
que
x2 + 5x + 6 ≥ 0.
Il faut d’abord trouver les zéros de cette parabole. On utilise la formule quadratique et on obtient −3 et −2. Puisque que a > 0, la parabole est ouverte
vers le haut. Ainsi, cette parabole est positive si x ≤ −3 ou x ≥ −2. Pour
s’en convaincre, on a qu’à esquisser la parabole. Ainsi,
dom f =] − ∞, −3] ∪ [−2, +∞[.
2.2.2. Équation ayant une racine. Afin de résoudre une équation contenant une ou plusieurs racines, il faut toujours revenir au principe de base qui
est d’isoler une racine et d’élever les deux côtés au carré. Il faut également
trouver le domaine de l’équation avant d’effectuer la résolution afin de ne pas
perdre d’informations. Les exemples suivants vont bien montrer la méthode.
Exemple 2.5. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
√
2x − 4 + 1 = 3.
106
6. Fonctions particulières
Étape 1: Trouvons le domaine.
2x − 4 ≥ 0
2x ≥ 4
x≥2
Donc, le domaine de l’équation est [2, +∞[.
Étape 2: On résout l’équation.
√
2x√− 4 + 1 = 3
2x − 4 = 2 On isole la racine.
2x − 4 = 4 On élève au carré des deux côtés.
x = 4 On isole x.
Étape 3: On vérifie si la solution est acceptable, c’est-à-dire si elle est dans
le domaine et si elle satisfait l’équation. Puisque 4 ∈ [2, +∞[ et
√
2 · 4 − 4 + 1 = 3, alors l’ensemble solution de l’équation est
ES = {4}.
Il arrive que l’équation possède deux racines. Voici comment la résoudre.
Exemple 2.6. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
√
√
x − x − 9 = 1.
Étape 1: Déterminons le domaine de l’équation. Il y a deux conditions à
respecter.
x ≥ 0 et
x−9≥0⇒ x≥9
Ainsi, dom = [9, +∞[.
Étape 2: On résout.
√
√
x− x−9
√
x−1
√
2
x − 1)
( √
x−2 x+
√1
−2√x
x
x
=√
1
= x−9
=x−9
=x−9
= −10
=5
= 25
On
On
On
On
isole une racine.
élève au carré les deux côtés.
développe.
isole une racine.
On élève au carré les deux côtés.
Étape 3: On vérifie si la réponse est dans le domaine et elle satisfait l’équation. Ici, 25 ∈ dom et
√
√
25 − 25 − 9 = 5 − 4 = 1.
Ainsi,
ES = {25}.
6.2. Fonction racine carrée
107
2.2.3. Rationalisation du dénominateur. Rationaliser le dénominateur d’une
fraction consiste à réécrire la fraction sous une forme équivalente sans qu’il
y ait une racine au dénominateur.
1
Exemple 2.7. √ . Pour enlever la racine au dénominateur, il suffit de
2
√
2
multiplier cette fraction par √ = 1. Ainsi,
2
√
√
√
1
2
1 2
1· 2
√ =√ √ =√ √ =
.
2
2
2 2
2· 2
Cette technique était très utile √
à l’époque où les calculatrices n’existaient
2 ≈ 1.4142 étaient tabulés et pour troupas. En effet, les radicaux
comme
√
ver la valeur de 1/ 2, il était beaucoup plus simple de diviser 1.4142 par 2
que 1 par 1.4142.
Maintenant, rationaliser le dénominateur ne sert plus. Par contre, on l’enseigne encore puisque son petit frère le conjugué est très utilisé dans des
cours plus avancés. Pour décrire cette méthode, regardons un exemple.
Exemple 2.8. On veut rationaliser le dénominateur de
2
√
√ .
3+ 7
L’astuce est de multiplier cette
(en haut et en bas) par le conjugué du
√
√ fraction
dénominateur. Celui-ci est 3 − 7. Il s’agit en fait de la même expression,
mais où l’on a changé le signe au centre. Ainsi,
√
√
2
2
3− 7
√
√ =√
√ ·√
√
3+ 7
3+ 7
3− 7
√
√
2( 3 − 7)
√ √
√
= √
( 3 + 7)( 3 − 7)
|
{z
différence de carrés
√
√
2( 3 − 7)
=
3−7
√
√
2( 3 − 7)
=
−4
√
√
−( 3 − 7)
.
=
2
}
2.3. Exercices.
Exercice 6.7. Écrire les fonction suivantes sous la forme canonique,
déterminez les paramètres a, b, h et k et esquissez-les.
108
6. Fonctions particulières
√
√
a) f (x) = −9 3x + 7 + 1
c) h(x) = 6x − 3 + 2
√
√
b) g(x) = 1 − x
d) i(x) = 4 − 2 2x + 2
Exercice 6.8. Faites l’analyse en huit points des fonctions suivantes :
√
a) f (x) = 3 2x − 4 − 3
√
b) g(x) = − x − 1
√
c) h(x) = − 4 + 2x + 1
Exercice 6.9. Rationalisez les dénominateurs des fractions suivantes :
√
√
a− b
√
c) ♠ √
a+ b
1
a) √
3
b) √
2
√
2− 3
Exercice 6.10. Résoudre les équations suivante :
a)
b)
c)
√
x+1
d) √
=4
3−x
√
2 2−x+1=9
√
2 2 + x + 1 = −7
√
√
x−1+ x =1
Exercice 6.11. Résoudre les inéquations suivantes :
√
1
x−1>
2
√
b) −2 4 − x + 3 ≤ −1
a)
c) 4 −
d)
√
√
x≥5
x+2<3
3. Fonctions définies par parties
Les fonctions définies par parties sont importantes lorsque l’on décrit un
phénomène dont la relation de dépendance varie selon la variable indépendante. Pour comprendre, regardons quelques exemples.
Exemple 3.1. Soit la fonction
f (x) =
−1
1
Le graphique de cette fonction est
si x < 0,
si x ≥ 0.
f (x)
b
x
bc
6.3. Fonctions définies par parties
109
Ainsi, si x < 0, la fonction vaut −1 et elle vaut 1 sinon. Il est à noter que
la valeur de f lorsque x = 0, c’est-à-dire f (0), est 1. D’où, le cercle plein et
le cercle vide en x = 0.
Les fonctions définies par parties peuvent être plus complexes.
Exemple 3.2. Dessinons la fonction
8
2
< 0.25x
f (x) =
:
si x < −2,
si −2 ≤ x < 1,
si x ≥ 1.
3
x
Cette façon de définir la fonction indique que f (x) est une parabole d’équation
x2 si x < −2, f (x) = 3 si −2 ≤ x < 1 et f (x) = x si x ≥ 1. Ainsi, le
graphique de cette fonction est
f (x)
4
3
b
bc
2
1
bc
b
−3 −2 −1
−1
1
2
3
4
x
−2
Une fois la fonction dessinée, on pourrait facilement analyser la fonction
en huit points comme nous le faisons depuis le début.
Regardons un dernier exemple intéressant.
Exemple 3.3. Traçons
f (x) =
−x
x
si x < 0,
si x ≥ 0,
Le graphique de cette fonction est
f (x)
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
1
2
3
4
x
Nous reviendrons, dans la prochaine section, à cette fonction particulière.
Elle porte le nom de fonction valeur absolue et on la note f (x) =| x |.
110
6. Fonctions particulières
3.1. Exercices.
Exercice 6.12. Soit la fonction
f (x) =
Trouvez
a) f (−1)
b) f (2)
c) f (−5)
8
< 4−x
x
:
x−1
si −4 ≤ x < −1,
si 0 ≤ x < 1,
si 1 < x ≤ 2,
d) f (0)
e) f (1)
f) f (−3)
g) dom f
Exercice 6.13. Esquissez et analysez la fonctions f (x) en huit points.
f (x) =
1−x
√
x−1
si −1 < x < 1,
si x ≥ 1,
Exercice 6.14. Esquissez et analysez la fonctions f (x) en huit points.
8
2
< x + 6x + 8
f (x) =
:
1
4 − 2x
si −4 ≤ x ≤ −2,
si −2 < x ≤ 1,
si 1 < x < 4,
Exercice 6.15. Un toboggan a une forme dont la hauteur (en mètres)
est donnée par
8
< 2x
h(x) =
a) Dessinez ce toboggan.
4
:
x−1
si 0 ≤ x ≤ 2,
si 2 < x ≤ 8,
b) Quelle est la hauteur de ce toboggan ?
c) À quelle hauteur du sol les enfants qui glissent arrivent ?
4. Fonction valeur absolue
4.1. La fonction de base. Comme nous l’avons vu dans la section
précédente, la fonction valeur absolue est une fonction définie par partie.
Définition 4.1. La fonction valeur absolue de base, notée | x |, est
donnée par
f (x) =
−x
x
si x < 0,
si x ≥ 0,
La façon rapide d’évaluer la valeur absolue d’un nombre est d’enlever le
signe négatif de ce nombre s’il est négatif ou de le laisser comme il est s’il
est positif.
6.4. Fonction valeur absolue
111
Exemple 4.1.
| − 4| = 4
|4| = 4
|π| = π
Le graphique de f (x) = |x| est constitué de deux demi-droites respectivement d’équation y = −x et y = x, selon la valeur de x. Ainsi, son allure
est
f (x)
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
1
2
3
4
x
Étudions les caractéristiques de cette fonction de base.
Le domaine: dom f =
R.
L’image: ima f = [0, +∞[.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = |0| = 0.
Les zéros: Un seul en x = 0.
Le signe des images:
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [0, +∞[
Extremums: aucun maximum et un minimum en (0, 0).
Croissance et décroissance:
f (x) &, ∀x ∈] − ∞, 0],
f (x) %, ∀x ∈ [0, +∞[.
Équation de l’axe de symétrie: En x = 0.
Asymptote: Aucune.
4.2. La fonction transformée. La fonction valeur absolue transformée ressemble beaucoup à la fonction quadratique. En appliquant les paramètres a, b, h et k, on obtient
f (x) = a |b(x − h)| + k.
Puisque |b(x − h)| = |b| · |x − h|, on peut sortir le |b| et puisqu’il est positif,
on peut l’incorporer dans le paramètre a. Ainsi, la forme canonique est
f (x) = a|x − h| + k.
112
6. Fonctions particulières
Tout comme la parabole, le sommet de la valeur absolue se retrouve au point
(h, k). De même, si a > 0, la valeur absolue est ouverte vers le haut et si
a < 0, la fonction est ouverte vers le bas.
f (x)
f (x)
k
h
x
h
x
k
a>0
a<0
IMPORTANT
La fonction valeur absolue transformée peut être écrite comme une
fonction définie par parties :
f (x) = a|x − h| + k =
−a (x − h) + k
a (x − h) + k
si x ≤ h,
si x > h,
Ainsi, f (x) est formée de deux demi-droites.
Étudions la fonction transformée.
Le domaine: dom f = .
L’image: Deux cas :
R
Si a > 0, ima f = [k, +∞[,
Si a < 0, ima f =] − ∞, k].
L’ordonnée à l’origine: f (0) = a|0 − h| + k = a|h| + k.
Les zéros: On résout l’équation f (x) = 0.
a|x − h| + k = 0
|x − h| = −
k
a
Il y a trois cas :
k
Si − < 0: Il n’y a aucun zéro, car la valeur absolue d’un nombre
a
est toujours positive.
k
Si − = 0: Il y a un seul zéro.
a
|x − h| = 0 ⇒ x = h.
6.4. Fonction valeur absolue
Si −
113
k
> 0: Il y a deux zéros.
a
|x − h| = −
.
k
a
k
x−h =−
a
k
x =h−
a
&
k
a
k
x =h+
a
x−h =
Le signe des images: Le signe des images dépend du signe de a et du
nombre de zéros.
Extremums: Deux cas :
Si a > 0: aucun maximum et un minimum en (h, k).
Si a < 0: un maximum en (h, k) et aucun minimum.
Croissance et décroissance: Deux cas :
Si a > 0:
f (x) &, ∀x ∈] − ∞, h],
f (x) %, ∀x ∈ [h, +∞[.
Si a < 0:
f (x) %, ∀x ∈] − ∞, h],
f (x) &, ∀x ∈ [h, +∞[.
Équation de l’axe de symétrie: En x = h.
Asymptote: Aucune.
Exemple 4.2. Étudions la fonction f (x) = −2|4 − 0.5x| + 1. Pour ce
faire, il faut remettre cette équation sous sa forme canonique et en faire une
esquisse. Ainsi,
f (x) = −2|4 − 0.5x| + 1
= −2| − 0.5(x − 8)| + 1
= −2 · 0.5|x − 8| + 1
= −|x − 8| + 1.
D’où a = −1, h = 8 et k = 1. Cela correspond à une valeur absolue ouverte
vers le bas.
114
6. Fonctions particulières
f (x)
1
−7
Le domaine: dom f =
x
8
R.
L’image: ima f =] − ∞, 1].
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −|0 − 8| + 1 = −8 + 1 = −7.
Les zéros:
x−8 =1
x =9
−|x − 8| + 1 = 0
|x − 8| = 1
x − 8 = −1
x =7
Le signe des images:
f (x) ≥ 0∀x ∈ [7, 9]
f (x) ≤ 0∀x ∈] − ∞, 7] ∪ [9, +∞[
Extremums: un maximum en (8, 1) et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈] − ∞, 8],
f (x) & ∀x ∈ [8, +∞[.
Équation de l’axe de symétrie: En x = 8.
Asymptote: Aucune.
4.3. Résolution d’équations. Nous avons déjà abordé le sujet de la
résolution d’équations ayant une valeur absolue lorsque nous étudions les
zéros de cette fonction puisqu’il s’agissait de résoudre f (x) = 0. Cela nous
permet donc de conclure qu’il y a trois possibilités d’ensemble solution pour
une équation contenant une valeur absolue. L’accent est mis sur le une, car
s’il y a plus qu’une seule valeur absolue, le résultat n’est plus valide. Ainsi,
l’ensemble solution peut contenir aucun, un ou deux éléments. Nous verrons
chacun de ces cas, mais, avant, comprenons bien ce qu’est une valeur absolue.
Exemple 4.3. On veut résoudre l’équation |x| = 4. Cela revient à trouver les valeurs de x qui rendent l’équation vraie.
On sait que si x = 4, alors |x| = 4 par définition de la valeur absolue. De
6.4. Fonction valeur absolue
115
même, si x = −4, alors |x| = 4 toujours par définition. Ainsi, cette équation
possède deux solutions, d’où
ES = {−4, 4}.
Ce résultat nous amène le théorème suivant :
Théorème 6.1. Soit c ≥ 0. Si |x| = c, alors x = c ou x = −c.
Démonstration. La preuve est laissée en exercices, mais elle se fait
facilement à l’aide du graphique de |x|.
Exemple 4.4. Trouvons la solution de |2x − 2| + 8 = 16.
|2x − 2| + 8 = 16
|2x − 2| = 8
2x − 2 = 8
ou
2x − 2 = −8
x =5
ou
x = −3
Exemple 4.5. Trouver l’ensemble solution de l’équation |x − 4| + 8 = 2
|x − 4| + 8 = 2
|x − 4| = −6.
Puisque la valeur absolue d’une quantité ne peut être négative, il n’existe
donc pas de solution à cette équation. Ainsi, ES = ∅.
Le problème est un peu plus complexe lorsque la valeur absolue est égale
à terme qui dépend de x. L’exemple suivant montre comment faire.
Exemple 4.6. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
|x + 4| − 4 = 3x + 2.
La première étape consiste à isoler la valeur absolue :
|x + 4| = 3x + 6.
Pour utiliser le théorème précédent, il faut que 3x + 6 ≥ 0, c’est-à-dire x ≥
−2. Si tel est le cas, on a
x + 4 = 3x + 6
−2x = 2
x = −1
|x + 4| = 3x + 6
ou
x + 4 = −(3x + 6)
ou
4x = −10
5
ou
x =− .
2
5
Puisque − < −2, cette solution est rejetée et
2
ES = {−1}.
116
6. Fonctions particulières
4.4. Résolution d’inéquations. Un peu comme pour la résolution
d’équations, nous aurons besoin d’un théorème pour être en mesure de résoudre une inéquation. Afin de bien comprendre le théorème, regardons deux
exemples.
Intuition
On peut comprendre
que ES de |x| < 6 est
] − 6, 6[ en regardant
le graphique de
y = |x| et en
cherchant les valeurs
de x pour lesquelles y
est inférieur à 6.
Exemple 4.7. On veut résoudre |x| < 6. Il est facile de voir que x doit
être plus petit que 6. C’est notre première condition et elle s’écrire x < 6.
Par contre, ce n’est pas tout, il y a une deuxième condition. Il faut également
que x > −6 sinon, le nombre en valeur absolue ne sera pas plus petit que 6.
Ainsi, on a deux conditions à respecter pour x : x > −6 et x < 6. Lorsqu’il
y a un et, on prend l’intersection des deux conditions. D’où, ES =] − 6, 6[.
Exemple 4.8. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation |x| > 6. Ici,
soit que x est plus grand que 6, i.e. x ∈]6, ∞[ ou que x est plus petit que
−6, i.e. x ∈] − ∞, −6[. Le ou signifie union des deux conditions. Ainsi,
ES =] − ∞, −6[∪]6, ∞[.
Voici le théorème qui nous servira dans cette partie.
Théorème 6.2. Soit un nombre c. Deux cas :
• si |x| < c, alors x > −c ET x < c,
• si |x| > c, alors x < −c OU x > c.
On voit ces relations sur les deux graphiques suivants :
00000000
11111111
11111111
00000000
0000
1111
0000c
−c1111
Figure 1. Solution de |x| < c.
1111
0000
0000
1111
−c
11111
00000
c
Figure 2. Solution de |x| > c.
Le même principe intervient si |x| ≤ c et |x| ≥ c, la seule différence étant
que e point est fermé. Regardons quelques exemples.
Exemple 4.9. Trouvez l’ensemble solution de l’inéquation
2|3x − 4| − 3 < 1.
La première étape consiste à isoler la valeur absolue. Ainsi,
|3x − 4| < 2.
6.4. Fonction valeur absolue
Puisque la valeur absolue est plus petite, on a
|3x − 4| < 2
ET
3x − 4 > −2
ET
3x > 2
ET
x > 23
3x − 4 < 2
3x < 6
x<2
D’où, ES =
—
”
2
3, 2
11111111
00000000
0000000
1111111
0000
1111
00002
1111
2
3
.
Exemple 4.10. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation
On isole la valeur absolue :
−2|x + 4| + 4 < 2.
−2|x + 4| + 4 < 2
−2|x + 4| < −2
|x + 4| > 1
Maintenant, on a
x+4>1
x > −3
|x + 4| > 1
OU
x + 4 < −1
OU
x < −5
1111
0000
0000
1111
−5
Ainsi, ES =] − ∞, −5[∪] − 3, ∞[.
1111
0000
−3
Le prochain exemple est un peu plus complexe.
Exemple 4.11. Trouvons l’ensemble solution de l’inéquation
Le même principe est utilisé.
2x + 1 ≥ 3x − 5
6≥x
6≥x
6≥x
|2x + 1| ≥ 3x − 5.
|2x + 1| ≥ 3x − 5
OU
2x + 1 ≤ −(3x − 5)
OU
2x + 1 ≤ −3x + 5
OU
5x ≤ 4
OU
x ≤ 45
Puisque x ≤ 6 ou x ≤ 54 , alors
ES =] − ∞, 6].
Voici un dernier exemple.
117
118
6. Fonctions particulières
Exemple 4.12. Trouvons l’ES de l’inéquation |x + 2| < −1.
Il y a deux façons de résoudre ce problème. La première est simplement de
se dire que la valeur absolue est toujours positive et donc jamais plus petite
que −1. Ainsi, ES = ∅.
La deuxième façon est d’y aller algébriquement avec la méthode des exemples
précédents.
x + 2 < −1
x < −3
|x + 2| < −1
ET
x+2>1
ET
x > −1
À bien voir, l’intersection de ces deux ensembles est l’ensemble vide, car x
ne peut être à la fois plus petit que −3 et plus grand que −1. Ainsi,
4.5. Exercices.
ES = ∅.
Exercice 6.16. Après avoir écrit les fonctions sous leur formes canoniques, esquissez-les et analysez-les en huit points.
a) f (x) = 3 |2 − x| + 4
b) g(x) = − |2x + 4| + 1
c) h(x) = |−0.5x + 1| − 1
Exercice 6.17. Trouvez l’équation de la fonction valeur absolue qui possède un seul zéro en x = 3 et qui passe par (1, 4).
Exercice 6.18. ♠ Trouvez l’équation de la fonction valeur absolue qui
a des zéros en x = −2 et x = 4 et qui passe par (3, 6).
Exercice 6.19. Résoudre les équations suivantes :
a) |3x − 2| − 4 = 9
d) |6x − 2| + 1 = 3x − 4
c) |4x − 1| + 9 = 4
f) |x − 4| + 2 = 2x − 1
b) 1 − 4 |1 − x| + 7 = 4
e) 2 − x = 3 |4 − 2x|
Exercice 6.20. Résoudre les inéquations suivantes :
a) |x − 1| + 4 < 5
e) 2 < 1 − |9 − 2x|
c) −3 |4 − 2x| + 1 > 10
g) |x| ≥ 2x
b) 2 |3 − 2x| − 9 ≥ 6
d) |8 − x| ≥ 3
f) 4 − |x + 9| ≤ 6
h) |x − 1| ≤ 2x + 1
Exercice 6.21. La distance entre deux nombres réels a et b est donnée
par |a − b|. Déterminez
a) les nombres réels qui sont à une distance 4 de 0.
6.4. Fonction valeur absolue
119
b) les nombres réels qui sont à une distance inférieure à 2 de −3.
c) les nombres réels qui sont au double de la distance par rapport à 3 de leur
valeur.
d) les nombres réels qui ont une distance par rapport à −2 inférieure au
triple de leur valeur.
CHAPITRE 7
Les fonctions exponentielles et logarithmiques
Les fonctions exponentielles et logarithmiques modélisent plusieurs phénomènes de la vie, notamment la croissance et décroissance des populations.
Initialement, elles ont été créées afin de simplifier le calcul mental, mais
aujourd’hui on découvre plusieurs utilités.
1. Les exponentielles
Avant de débuter notre étude de la fonction exponentielle, revenons sur
les lois des exposants, car elles seront au coeur de ce chapitre.
Proposition 7.1 (Lois des exposants). Soit n, m ∈
égalités suivantes :
N. Alors, on a les
√
1
7) a n = n a,
√
√ √
8) n ab = n a n b,
√
√ m
m
9) a n = ( n a) = n am ,
1) am × an = am+n ,
1
2) a−n = n si a 6= 0,
a
am
3) n = am × a−n = am−n ,
a
4) (am )n = anm ,
10) a0 = 1 si a 6= 0.
5) (ab)m = am bm ,
 ‹n
an
a
= n , avec b 6= 0,
6)
b
b
On est maintenant prêt à étudier la fonction exponentielle.
1.1. La fonction de base.
Définition 1.1. La fonction exponentielle de base est de la forme
f (x) = cx ,
où c > 0 et c 6= 1. Cette constante se nomme la base de l’exponentielle.
Il y a donc plusieurs fonctions de base selon la valeur de la constante.
L’effet de cette constante n’est toutefois pas négligeable. Le graphique suivant
montre son influence. On expliquera la raison de son influence par la suite.
121
122
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
f (x)
c = 0.5
c = 0.25
16
c=5 c=3
c=2
14
12
10
8
6
4
2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
On remarque que plus c est grand, plus la fonction croît rapidement. Lorsque
0 < c < 1, la fonction décroît. Pour bien comprendre ceci, il suffit de faire
une table de valeurs. Ainsi, nous venons de voir une famille de fonction de
base. Passons maintenant à l’analyse de cette fonction.
Le domaine: dom f =
R
L’image: ima f =]0, +∞[.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = c0 = 1.
Les zéros: Aucun zéro.
Le signe des images:
f (x) > 0, ∀x ∈
R
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance: Deux cas :
• Si 0 < c < 1,
f (x) &, ∀x ∈ dom f.
• Si c > 1,
f (x) %, ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: y = 0
7.1. Les exponentielles
123
1.2. La fonction transformée. Appliquons maintenant la transformation des paramètres a, b, h et k sur la fonction de base. On obtient que
g(x) = af (b(x − h)) + k
= a · cb(x−h) + k
= a · cb(x−h) + k
€ Šx−h
= a · cb
+k
= a · c̃x−h + k
= a · c̃−h c̃x + k
= ã · c̃x + k.
Ainsi, la forme canonique de la fonction exponentielle est
f (x) = a · cx + k.
On remarque que cette fonction dépend seulement de deux paramètres. Par
contre, il faut tenir compte de la constante c. Étudions cette fonction transformée. Tout d’abord, il faut esquisser son graphique. Puisque l’asymptote
de la fonction de base est en y = 0, après la transformation elle se retrouvera en y = k. De plus, le point (0, 1) devient le point (0, a + k). Ainsi, selon
le signe de a et la valeur de c, on obtient l’un des quatre graphiques suivants :
124
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
f (x)
f (x)
k
k
x
x
a > 0 et c > 1
a > 0 et 0 < c < 1
f (x)
f (x)
k
k
x
x
a < 0 et c > 1
a < 0 et 0 < c < 1
L’étude de cette fonction est un peu longue à cause de tous les cas différents. Pour cette raison, nous regarderons quelques exemples sans entrer
dans la généralité. Celle-ci se fait facilement par la suite.
Exemple 1.1. Faisons l’étude de la fonction f (x) = 23x−9 + 1.
Tout d’abord, il faut mettre cette fonction sous sa forme canonique.
f (x) = 23x−9 + 1
= 23(x−3) + 1
€
= 23
Šx−3
+1
= 8x − 3 + 1
= 8x · 8−3 + 1
1 x
8 + 1.
=
512
1
, c = 8 et k = 1. On se retrouve donc dans le cas où a > 0,
Ainsi, a = 512
c > 1. L’esquisse de cette fonction est donc
7.1. Les exponentielles
f (x)
125
1
x
Voici l’analyse en huit points :
Le domaine: dom f =
R.
L’image: Puisque c > 1 et que a > 0, alors la fonction est croissante. Ainsi,
ima f =]1, +∞[.
L’ordonnée à l’origine: f (0) =
1 0
512 8
+1=
513
512 .
Les zéros: Aucun zéro, car 0 n’est pas dans l’image.
Le signe des images:
f (x) > 0, ∀x ∈
R
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) %, ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: y = 1
Exemple 1.2. Étudions la fonction f (x) = −2 · 31−x + 4.
Plaçons cette fonction sous sa forme canonique.
f (x) = −2 · 31−x + 4
= −2 · 3−(x−1) + 4
€
= −2 · 3−1
= −2
= −6
Ainsi, a = −6, c =
1
3
Šx−1
+4
 ‹x  ‹−1
1
1
3
 ‹x
1
3
·
3
+4
+4
et k = 4. Le graphique de cette fonction est
126
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
f (x)
4
2
−2 −1
−2
1
2
3
4
x
−4
−6
Nous pouvons maintenant passer à son analyse.
Le domaine: dom f =
R.
L’image: Puisque 0 < c < 1 et que a < 0, alors la fonction est croissante
et ne dépasse pas l’asymptote. Ainsi, ima f =] − ∞, 4[.
0
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −6 13 + 4 = −2.
Les zéros: Il y a un seul zéro. Sa valeur est obtenue en résolvant l’équation
1x
−6 + 4 = 0.
3
On verra comment faire un peu plus loin. Pour l’instant, on se
contente de dire qu’il y a un zéro. On le note x∗ .
Le signe des images:
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [x∗ , +∞[,
f (x) ≤ 0, ∀x ∈] − ∞, x∗ ].
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) %, ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: y = 4
1.3. Le nombre e. Un des nombres des plus important en mathématique est le nombre e, appelé nombre d’Euler. Ce nombre est présent dans
tous les domaines des mathématiques et même plus encore. Une des façons
d’évaluer ce nombre est d’étudier une situation concrète.
Exemple 1.3. On place un montant C à la banque à un taux d’intérêt
annuel i. Soit n, le nombre de fois durant l’année où l’intérêt est cumulé.
Alors, le montant V obtenu à la fin de l’année est donné par la formule

‹
i n
.
V =C 1+
n
On est intéressé par le montant maximal que l’on peut obtenir à la fin d’une
année si l’on place 1$ à un taux d’intérêt de 100%. Pour ce faire, on étudie
l’influence de n.
7.1. Les exponentielles
échéance de cumuls valeur de n
annuel
n=1
bisannuel
n=2
trimestriel
n=4
mensuel
n = 12
hebdomadaire
n = 52
quotidien
n = 365
toutes les heures
n = 8760
127
valeur de V
V = (1 + 1)1 = 2
V = (1 + 0.5)2 = 2.25
V = (1 + 0.25)4 = 2.44140625
V = (1 + 1/12)12 = 2.61303529022468
V = (1 + 1/52)52 = 2.69259695443717
V = (1 + 1/365)365 = 2.71456748202197
V = (1 + 1/8760)8760 = 2.71812669161791
On remarque que la valeur de V augmente, mais de moins en moins rapidement. Même qu’à un certain moment la valeur des premières décimales ne
change plus. Ainsi, il y a une valeur maximale et celle-ci est le nombre e.
Cet exemple nous donne la définition du nombre e.
Définition 1.2. Le nombre e est

‹
1 n
.
n→∞
n
La valeur de e est approximativement 2.71828182845905. Il s’agit d’un nombre
irrationnel.
e = lim
1+
Il existe une autre définition pour le nombre e. Elle est un peu plus
complexe, mais on peut montrer l’équivalence avec la première définition.
Définition 1.3. Le nombre e peut être défini par la somme infinie
e=
∞
X
1
k=0
k!
1
1
1
1
1
+ + + + + ...
0! 1! 2! 3! 4!
1 1
1
1
1
= + +
+
+
+ ...
1 1 2·1 3·2·1 4·3·2·1
On retrouvera ce nombre dans le futur. Tout ce que l’on doit savoir sur
ce nombre est sa valeur.
=
1.4. Résolution d’équations. Regardons maintenant comment résoudre
des équations contenant des exponentielles. Pour ce faire, nous devrons utiliser la proposition suivante :
Proposition 7.2. Soit b > 0 et b 6= 1. Alors,
bu = bv ⇐⇒ u = v.
Regardons comment utiliser cette proposition.
Exemple 1.4. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
€
Š
(4x ) 8x+1 = 16.
128
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
La première chose à faire est de trouver le domaine de l’équation. Ici, dom =
. Par la suite, il faut exprimer toutes les expressions à l’aide de la même
base afin d’utiliser la proposition. Ceci n’est pas toujours possible, mais pour
les problèmes de cette section, on pourra le faire.
R
Puisque 4, 8 et 16 sont des puissances de 2, on utilisera 2 comme base.
Ainsi,
€
Š
(4x ) 8x+1 = 16
€
22
Šx €
23
Šx+1
= 24
22x 23(x+1) = 24
22x+3x+3 = 24
§ ª
Ainsi, ES =
25x+3 = 24
⇐⇒ 5x + 3 = 4
1
x= .
5
1
.
5
Exemple 1.5. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
√
3
x−1
= 27.
Premièrement, identifions le domaine. Ici, il y a une racine paire :
x−1 ≥ 0
x ≥ 1.
dom = [1, +∞[. Par la suite, trouvons la base commune à 3 et à 27.
√
3
x−1
= 27
√
3 x−1 = 33
√
⇐⇒ x − 1 = 3
x−1=9
x = 10.
Puisque 10 est dans le domaine, alors ES = {10}.
Le prochain exemple demande un peu de créativité.
Exemple 1.6. Trouvons l’ensemble solution de
49x − 2 · 7x = −1.
On peut réécrire l’équation comme suit :
72x − 2 · 7x = −1.
7.1. Les exponentielles
129
Par contre, nous ne pouvons rien simplifier, car aucune loi des exposants
indique ce que devient la somme de deux exponentielles. Par contre, on peut
réécrire l’équation
(7x )2 − 2 · 7x = −1.
En posant y = 7x , on obtient une équation assez connue :
y 2 − 2y = −1.
On peut facilement résoudre cette équation
y 2 − 2y = −1
y 2 − 2y + 1 = 0
(y − 1)2 = 0.
Ainsi, y = 1. On peut maintenant retrouver la valeur de x.
y = 7x = 1
D’où ES = {0}.
7x = 70
⇐⇒ x = 0.
1.5. Résolution d’inéquations. Pour résoudre une inéquation qui contient
une exponentielle, il faut savoir résoudre une équation. Les exemples suivants
montrent comment résoudre des inéquations.
Exemple 1.7. Trouvons les valeurs de x qui satisfont
32x−1 > 1.
Pour répondre à cette question, créons la fonction f (x) = 32x−1 − 1. Ainsi,
le problème revient à déterminer les valeurs de x qui rendent la fonction
positive. Écrivons la fonction sous sa forme canonique.
f (x) = 32x−1 − 1
= 32x 3−1 − 1
1
= · 9x − 1.
3
Puisque a > 0 et c > 1, alors la fonction sera strictement croissante et, donc,
f (x) est positive du zéro de la fonction jusqu’à l’infini. Il ne reste plus qu’à
trouver ce zéro.
1 x
·9 −1 = 0
3
9x = 3
32x = 3
⇐⇒ 2x = 1
1
x= .
2
130
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
˜
•
1
, +∞ .
2
C’est toujours le même principe pour résoudre une inégalité. Il suffit de
déterminer la fonction exponentielle dont le signe correspond à l’ensemble
solution. Par la suite, on trouve son zéro et le tour est joué.
D’où, ES =
1.6. Exercices.
Exercice 7.1. Écrivez les fonctions suivantes sous leur forme canonique
et indiquez la valeur des paramètres importants.
c) h(x) = x2 + 4
a) f (x) = 2 · 32x−1 + 7
 ‹1−x
4
b) g(x) = 2 − 5
3
d) i(x) = e−x−4 + 1
Exercice 7.2. Esquissez et analysez en huit points les fonctions suivantes :
d) g(t) = 6 · 32t−1 − 18
a) y = e−x
b) z = x2
c) f (x) = −2 · 23−x + 1
e) h(x) =
 ‹3x−2
1
2
−1
Exercice 7.3. Résoudre les équations suivantes :
a) 32x−4 = 9x
b) 43−x = 164x−1
 ‹x
1
= 273−x
c)
3
d) 0.12512x+4 − 0.52−x = 0
e) 4x − 2 · 2x − 8 = 0
2
= 10 · 125x
f) √
5 x+2
343x
2
g) 49x · 7x =
343x+1/3
h)
€√
Š2x
1
−
0.001
=0
102x
i) −280x+8 + (4x )x+40
2
j) 125y − 53y = 0
€
Š4x−2
k) (3a)2x+1 9a2
a>0
√
√
√
l) x 16 · x 8 = 2
€
= 27a3
Š1−3x
,
Exercice 7.4. Résoudre les inéquations suivantes :
a) 49x > 7
b) 2
· 52x−4
c) 0.52x−8 < 4
−1≤9
d) ♠ 3x
2 −12
>
 ‹x
1
3
2. Les logarithmes
2.1. Introduction. Dans la dernière section, nous avons vu comment
résoudre une équation contenant une exponentielle. Par contre, il n’est pas
toujours possible d’utiliser la proposition afin de déterminer l’ensemble solution.
7.2. Les logarithmes
131
Exemple 2.1. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
2x = 3.
C’est pourtant une équation très simple, mais puisque 3 n’est pas une
puissance de 2, il est impossible de la résoudre avec ce que nous connaissons
actuellement. Nous aurons donc besoin d’une nouvelle méthode. Celle-ci se
nomme les logarithmes.
Définition 2.1. Soit l’équation y = cx avec c > 0. Une forme équivalente à cette équation est
x = logc y.
Cette formulation se lit : "x est l’exposant qu’il faut donner à c pour obtenir
y".
Exemple 2.2. Soit 2x = 8. Sa forme équivalente est x = log2 8. On sait
que x = 3 puisque 23 = 8. Cela ne nous fournit cependant pas de façon de
résoudre n’importe quelle équation. Il faudra élaborer une théorie.
Notation
On note log10 c par seulement log c et loge c par ln c. On retrouve les
touches log et ln sur la calculatrice. Celles-ci nous servirons.
Exemple 2.3. Résolvons l’équation ex = 8. Pour ce faire, on peut réécrire cette équation sous sa forme logarithme.
ex = 8 ⇔ x = ln 8.
On trouve à l’aide de la calculatrice que x ≈ 2.0794.
Malheureusement, la calculatrice possède seulement les logarithmes en base
e et en base 10. Que faisons-nous dans les autres cas ? Pour répondre à cette
question, il faut étudier quelques propriétés qui sont présentées sous forme
de propositions.
Proposition 7.3. Soit b > 0. Alors
logb bu = u
bu
Démonstration. Posons x = logb bu . Cette forme est équivalente à
= bx d’après la définition du logarithme. Ainsi, x = b.
Proposition 7.4. Soit b > 0. Alors
blogb u = u.
Démonstration. Posons x = logb u. Cette forme est équivalente à bx =
u d’après la définition du logarithme. Ainsi, bx = blogb u = u.
Exemple 2.4. eln 4 = 4
132
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
Proposition 7.5.
logb uv = logb u + logb v.
Démonstration. Posons x = logb u et y = logb v. Nous avons donc que
u = bx et v = by . Ainsi,
uv = bx+y ⇔ x + y = logb uv.
Et puisque x = logb u et y = logb v, alors logb u + logb v = logb uv.
Proposition 7.6.
logb
u
= logb u − logb v.
v
Démonstration. La preuve est similaire à celle du logarithme d’un
produit.
Proposition 7.7.
logb ua = a logb u.
Démonstration. La preuve est laissée en exercices.
Proposition 7.8.
logb 1 = 0.
Démonstration. Par définition.
Proposition 7.9 (Changement de base).
logb x =
loga x
.
loga b
Démonstration. Posons y = logb x. Alors, by = x. Prenons le logarithme en base a des deux côtés.
by = x
loga by = loga x
y loga b = loga x
loga x
.
y=
loga b
Ce sont les propriétés des logarithmes, un peu comme les exposants possèdent les tiens. Étudions maintenant comment simplifier des expressions
contenant des logarithmes et comment résoudre certaines équations.
7.2. Les logarithmes
133
2.2. Résolution d’équations. Afin de bien saisir les différentes propriétés, regardons quelques exemples.
Exemple 2.5. Simplifions l’expression
loga (x − 1) + loga (x + 1) − loga (x2 + 1).
En utilisant la propriété du logarithme d’un produit et d’un quotient, on
obtient
loga (x − 1) + loga (x + 1) − loga (x2 + 1) = loga (x − 1)(x + 1) − loga (x2 + 1)
(x − 1)(x + 1)
(x2 + 1)
x2 − 1
.
= loga 2
x +1
= loga
Exemple 2.6. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
3x = 2.
Pour ce faire, on réécrit l’expression à l’aide des logarithmes.
x = log3 2.
Afin d’évaluer la valeur de x, utilisons la propriété du changement de base
pour utiliser la calculatrice.
x=
ln 2
≈ 0.6309.
ln 3
Exemple 2.7. Trouvons l’ensemble solution de
3x−1 = 2x
Pour ce faire, prenons le log des deux côtés.
3x−1 = 2x
log 3x−1 = log 2x
(x − 1) log 3 = x log 2
x ≈ 2.7095
Avant d’entreprendre la résolution d’équations plus complexes, il faut
revenir sur les critères à vérifier pour déterminer le domaine. Il faut en ajouter
un qui est que l’argument d’un logarithme doit être positif. Ainsi, les critères
à vérifier pour déterminer le domaine d’une équation sont :
Critères 1: Le contexte.
Critères 2: On ne veut pas de division par zéro.
Critères 3: Ce qui se trouve sous une racine paire doit être positif (≥ 0).
Critères 4: L’argument d’un logarithme doit être plus grand que zéro (> 0).
134
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
Cette nouvelle condition provient de la définition même du logarithme. On
sait que
y = logc x ⇔ x = cy .
Puisque cy est toujours plus grand que zéro, alors x > 0. D’où la condition
sur l’argument du logarithme.
Exemple 2.8. Trouvons le domaine de la fonction
È
f (x) = log(3x − 1) + log(4x) +
Il y a trois conditions à respecter :
x2 − 1.
Condition 1 : 3x − 1 > 0
Condition 2 : 4x > 0
Condition 3 : x2 − 1 ≥ 0
Regardons chacune de ces conditions. Pour la condition 1, on a
3x − 1 > 0
1
x>
3
La condition 2 :
4x > 0
x>0
Pour la condition 3, il suffit d’esquisser la parabole et de voir que
x ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[.
Ainsi, le bilan total indique que x ≥ 1. D’où, dom f = [1, +∞[.
Regardons comment résoudre des équations contenant des logarithmes.
Exemple 2.9. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
log3 (x + 2) = 4.
La première étape est de déterminer le domaine de cette équation. La seule
condition ici est que x + 2 > 0. Ainsi, x > −2. Nous sommes maintenant en
mesure de résoudre cette équation.
log3 (x + 2)
⇔x+2
x+2
x
=4
= 34 Par définition du log
= 81
= 79
Puisque 79 est dans le domaine, on a donc que
ES = {79}.
Regardons quelques exemples plus complexes.
7.2. Les logarithmes
135
Exemple 2.10. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
logx (x − 1) + logx 2x = 2.
Trouvons le domaine de cette équation. Nous avons trois conditions :
x − 1 > 0 car argument du log doit être positif
2x > 0 car argument du log doit être positif
x 6= 1 car base du log doit ne doit pas être égal à 1
Ainsi, dom =]1, +∞[. Passons à la résolution de cette équation. Pour ce
faire, on doit toujours ramener l’équation à une équation contenant un seul
logarithme afin d’utiliser sa définir pour passer en forme exponentielle.
logx (x − 1) + logx 2x
logx 2x(x − 1)
⇔ 2x(x − 1)
x2 − 2x
x(x − 2)
x=0
=2
=2
Propriété du log d’un produit
= x2
Par définition du log
=0
Par manipulations algébriques
=0
ou x = 2
Puisque 0 6∈ dom et 2 ∈ dom, alors
ES = {2}.
Exemple 2.11. Trouver l’ensemble solution de l’équation
logb (x2 + 1) − logb x = logb (x + 2).
Les conditions sur le
x2 + 1
x
x+2
domaine sont :
> 0 car argument du log doit être positif
> 0 car argument du log doit être positif
> 0 car argument du log doit être positif
La première condition est toujours vraie, ainsi le bilan nous donne que
dom =]0, +∞[.
Regroupons tous les logarithmes du même côté et résolvons l’équation.
logb
(x2
logb (x2 + 1) − logb x
+ 1) − logb x − logb (x + 2)
x2 + 1
logb
x(x + 2)
x2 + 1
x(x + 2)
x2 + 1
x(x + 2)
x2 + 1
x2 + 1
1
= logb (x + 2)
=0
Par manipulations algébriques
=0
Propriété du log d’un produit
= b0
Par définition du log
=1
= x(x + 2)
= x2 + 2x
= 2x
1
x =
2
Par manipulations algébriques
Par manipulations algébriques
136
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
Puisque 1/2 est dans le domaine, alors
ES = {1/2}.
2.3. La fonction logarithme de base.
Définition 2.2. La fonction logarithme de base est une fonction de la
forme
y = logc x,
où est une constante strictement positive différente de 1.
Afin de comprendre comment esquisser cette fonction, nous devons utiliser la fonction exponentielle. Tout d’abord, écrivons le logarithme sous sa
forme exponentielle.
y = logc x ⇔ x = cy .
On remarque que la fonction y = logc x est la fonction réciproque de la
fonction y = cx . Ainsi, pour tracer la fonction y = logc x, il faut tracer la
fonction y = cx et faire une réflexion de cette fonction par rapport à l’axe
y = x. Tout ceci est expliqué dans le chapitre 3. Ainsi, le graphique de la
fonction logarithme de base dépend de la valeur de c tout comme pour la
fonction exponentielle.
f (x)
f (x)
x
c>1
x
0<c<1
Analysons cette fonction.
Le domaine: dom f =]0, +∞[, car l’argument d’un logarithme doit être
strictement positif.
L’image: ima f =
R.
L’ordonnée à l’origine: N’existe pas, car 0 6∈ dom f .
7.2. Les logarithmes
137
Les zéros: On résout f (x) = 0. Ainsi,
logc x = 0
x = c0
x = 1.
Ainsi, la fonction possède un seul zéro en x = 1.
Le signe des images: Le signe dépend de la valeur de c.
• Si 0 < c < 1,
f (x) ≥ 0, ∀x ∈]0, 1],
• Si c > 1,
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [1, +∞[.
f (x) ≤ 0, ∀x ∈]0, 1],
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [1, +∞[.
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance: Deux cas :
• Si 0 < c < 1,
f (x) &, ∀x ∈ dom f.
• Si c > 1,
f (x) %, ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: x = 0
2.4. La fonction transformée. Comme dans le cas des autres fonctions, étudions la fonction logarithme transformée. La forme de départ est
f (x) = a logc (b(x − h)) + k.
Évidemment, l’étude des cinq paramètres peut s’avérer fastidieuse. On va
donc essayer de diminuer le nombre de paramètres. Cette étape n’est pas
facile si l’on laisse la fonction sous sa forme logarithmique. Par contre, en
l’écrivant sous sa forme exponentielle, la simplification devient plus simple.
Regardons la façon générale de le faire et on fera un exemple par la suite.
y
y−k
ay−k
c a
1 y−k
a
+h
bc
= a logc (b(x − h)) + k Fonction transformée de départ
= logc (b(x − h))
= b(x − h)
=x
Manipulations algébriques
Définition du log
Manipulations algébriques
Nous nous retrouvons avec x en fonction de y qui est une fonction exponentielle. On sait déjà comment simplifier cette fonction. Ainsi, on obtient que
x prend la forme de
x = b̃c̃y + h.
138
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
Ainsi, en replaçant cette équation sous sa forme logarithmique, on obtient
y = logc̃ B(x − h).
D’où, la forme canonique de la fonction logarithme est
y = logc b(x − h).
Nous aurons que les paramètre b, c et h qui influenceront le graphique de la
fonction.
Exemple 2.12. Trouvons la forme canonique de la fonction
f (x) = −2 log4 (2x − 4) + 4.
Ce que l’on doit faire est d’effectuer les étapes de la recette précédente, c’està-dire trouver la forme canonique de la fonction mise sous sa forme exponentielle et de revenir sous sa forme logarithmique.
y
y−2
−
2y−2
4− 2
 ‹y−2
1
 ‹y 2 ‹−2
1
1
2
2 ‹y

1
4
 2 ‹y
1
2
y
= −2 log4 (2x − 4) + 4
= log4 (2x − 4)
Manipulations algébriques
= 2x − 4
Par définition du log
= 2(x − 2)
Loi des exposants
= 2(x − 2)
Loi des exposants
= 2(x − 2)
Loi des exposants
= 12 (x − 2)
Manipulations algébriques
= log 1
2
1
2 (x
− 2)
Par définition du log
Ainsi, b = 0.5, c = 0.5 et h = 2.
Nous voulons maintenant esquisser la fonction logarithme transformée.
Tout d’abord, regardons où se retrouve l’asymptote. Puisque nous avions une
asymptote en x = 0 dans la fonction de base, celle-ci se retrouve en x = h.
Pour démontrer cette affirmation, il suffit d’appliquer la transformation aux
points (0, y). Par la suite, on peut savoir si la fonction est à gauche ou à
droite de cette asymptote selon le signe de b. Si b < 0, la courbe se retrouvera à gauche de l’asymptote et à droite si b > 0. Finalement, on dessine la
courbe selon la valeur de c.
7.2. Les logarithmes
f (x)
139
f (x)
x
h
x
h
b > 0 et c > 1
b > 0 et 0 < c < 1
f (x)
f (x)
x
h
h
b < 0 et c > 1
x
b < 0 et 0 < c < 1
Effectuons l’analyse de cette fonction à l’aide d’exemple, le cas général étant
un peu trop long.
Exemple 2.13. Analysons la fonction
f (x) = −2 ln(x + 4) − 1.
Premièrement, plaçons cette fonction sous sa forme canonique.
y
y+1
− y+1
2
y+1
e− 2
y+1
√1
ey
√1
√1
e
ey
√1
e
Ainsi, b =
√
= −2 ln(x + 4) − 1
= −2 loge (x + 4)
= loge (x + 4)
= (x + 4)
=x+4
Lois des exposants
=x+4
√
= e(x + 4)
√
y = log √1 ( e(x + 4)) .
e
e, c =
√1
e
et h = −4. L’esquisse de cette fonction est
140
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
f (x)
4
2
−5 −4 −3 −2 −1
−2
1
2
3
4
x
−4
On est maintenant en mesure d’analyser cette fonction.
Le domaine: L’argument du log doit être positif. Ainsi,
x+4>0
x > −4.
D’où, dom f =] − 4, +∞[.
L’image: ima f = .
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −2 ln(4) − 1 ≈ −3.7726.
Les zéros: On résout f (x) = 0. Ainsi,
R
−2 ln(x + 4) − 1 = 0
ln(x + 4) = −1/2
x + 4 = e−1/2
x = e−1/2 − 4
x ≈ −3.3935.
Ainsi, la fonction possède un seul zéro en x ≈ −3.3935.
Le signe des images: Le signe dépend de la valeur de c.
f (x) ≥ 0, ∀x ∈] − 4, −3.3935],
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [−3.3935, +∞[.
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
f (x) &, ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: x = −4
2.5. Exercices.
Exercice 7.5. Utilisez une calculatrice pour déterminez à quatre chiffres
après la virgule les valeurs suivantes
7.2. Les logarithmes
a) log 10
b) log3 4
141
c) log0.5 8
d) ln 43
Exercice 7.6. Écrire sous la forme logarithmique les égalités suivantes :
a) 81 = 34
c) 125x−3 · 5x = 10
2
b) ax−3 = 7
d) 12x = 14x
Exercice 7.7. Simplifiez au maximum les expressions suivantes :
√
4
d) ln(x − 5)132 + ln(x − 5)3
a) logb x3
b) ln (abc)7
√
log2 x
e) log3 15 − x −
2
c) log(x−1)−log(x −1)+log(x+1)
2 log2 3
Exercice 7.8. Résoudre les équations suivantes :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3x = 7
i)
log2 (x − 1) = 4
j)
log5 (x − 4) − log5 (x − 2) = 2
k)
logx 4 = 2
l)
7e−t = 0.76
log4 (x − 1)2 = 2
loga (x2 +2)−loga x = loga (x−1) m)
4x log4 4 = 16
♠♠ xlog3 x = 9x
log(x + 3) − log(2x + 5) = 2
21−x = 9x
√
2/x
2187 = 3

†
log
1
1
log
log x
=0
Exercice 7.9. Donnez le domaine des fonctions suivantes :
√
log(x2 − 4)
a) f (x) = log9 (3x − 2) + 9 − x
b) g(x) =
x2 − 9
Exercice 7.10. Vrai ou faux ?
log (x − 1)2 = 2 log (x − 1)
Exercice 7.11. Démontrez que
log 1 x = loga
a
1
,
x
avec a > 1 et x > 0.
Exercice 7.12. Écrire les fonctions sous leur forme canonique.
a) f (x) = 2 log4 (1 − x) + 3
b) g(x) = 1 − ln(x + 2)
c) h(x) = log1/3 x − 2
Exercice 7.13. Esquissez et analysez les fonctions suivantes :
142
7. Les fonctions exponentielles et logarithmiques
a) f (x) = ln x
c) h(x) = log0.5 (x + 2)
b) g(x) = 3 log27 (2x − 1) + 1
d) i(x) = ln(1 − x)
3. Modélisation
Plusieurs situations de la vie sont décrites à l’aide des fonctions exponentielles et logarithmiques. Les exercices qui suivent en sont des exemples.
3.1. Exercices.
Exercice 7.14. La température d’un objet laissé dans un environnement
à température constante TA est donnée par la loi de refroidissement de Newton
T (t) = TA + Aekt ,
où t est le temps, A et k sont des constantes. Sachant que la température de
la pièce est de 30◦ C, qu’au départ l’objet avait une température de 40◦ C et
qu’après 10min, la température est de 35◦ C,
a) déterminez T (t)
b) après combien de temps la température de l’objet sera de 32◦ C ?
c) à long terme, quelle sera la température de l’objet ?
Exercice 7.15. Le nombre de bactéries N (t) dans un pot de yogourt est
donné par
N (t) = 100 · 2t ,
où t est le temps en jours.
a) Quelle était le nombre de bactéries au départ ?
b) Après combien de temps, y aura-t-il 1600 bactéries ?
Exercice 7.16. On peut démontrer que la forme d’une corde suspendue
est donnée par un cosinus hyperbolique (cosh). Sachant que
ex + e−x
,
2
qu’elle est la valeur minimale de cosh x ?
cosh x =
Exercice 7.17. Un parachutiste se lance d’un avion en chute libre ; en
se couchant, il maximise la résistance de l’air. Supposons que cette résistance
soit proportionnelle à la vitesse du parachutiste, c’est-à-dire que plus celui-ci
tombe rapidement, plus la résistance de l’air devient grande. Il est possible
de trouver une fonction qui donne la vitesse du parachutiste en fonction du
temps, cette fonction est la suivante :
k
mg
− Ce− m t ,
v(t) =
k
où m est la masse du parachutiste, g = 9, 8m/s2 , k est une constante positive
représentant l’effet de la résistance de l’air et C est une constante positive
qui dépend de la vitesse initiale du parachutiste.
7.3. Modélisation
a) Esquissez cette fonction sachant que v(0) = 0
b) Quelle est la vitesse que peut atteindre le parachutiste ?
143
CHAPITRE 8
Les fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques sont très importantes dans divers domaines. Entre autres, elles servent à décrire des mouvements oscillatoires
comme le mouvement d’un ressort ou des ondes sonores. Plusieurs autres
phénomènes peuvent être également décrits grâce à ces fonctions.
1. Le cercle trigonométrique
1.1. Introduction.
Définition 1.1. Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 placé
dans un plan cartésien dont le centre est au point (0, 0).
y
b
P
x
Figure 1. Cercle trigonométrique.
On peut facilement montrer, à l’aide du théorème de Pythagore, que si
les coordonnées du point P sont (x, y), alors
x2 + y 2 = 1.
C’est ce que l’on appelle l’équation du cercle de rayon 1 centré à l’origine.
1.2. Mesures d’angles.
Définition 1.2. Un angle au centre est un angle dont le sommet est au
centre du cercle.
Définition 1.3. L’arc d’un cercle est une portion de la circonférence de
ø
ce cercle. Si l’arc est défini par un angle ∠AOB, alors on le note AB.
On se rappelle que la circonférence totale d’un cercle de rayon r est
donnée par la formule
C = 2πr.
145
146
8. Les fonctions trigonométriques
B
B
b
O
b
b
O
A
(a) L’angle : ∠AOB
b
A
ö
(b) L’arc AB
Figure 2. Angle et arc d’un cercle
Ainsi, la longueur de l’arc maximale correspond à C.
Dans un cercle trigonométrique, on calcul toujours l’angle dans le sens
anti-horaire à partir de l’axe des x comme indiqué à la figure 3. Si l’angle
y
x
Figure 3. Mesure d’angle.
est négatif, cela signifie qu’il est mesuré dans le sens horaire. Cette mesure
d’angle peut se faire de deux façons. La première, la plus connue, est celle des
degrés. On divise le cercle en 360 pointes de mêmes dimensions. Ainsi, l’angle
correspond au nombre de pointes comprises dans une section du cercle. Ainsi,
si un angle prend 43 pointes, on dit qu’il fait 43◦ . Le symbole ◦ se lit degré.
La deuxième manière est un peu plus complexe, mais beaucoup plus utile
en mathématique. C’est le radian. Voici sa définition.
Définition 1.4. Un radian correspond à l’angle nécessaire entre deux
rayons d’un cercle afin que l’arc engendré par ces rayons soit de la même
longueur que le rayon du cercle.
r
θ
r
Figure 4. Définition d’un radian. Ici, l’angle θ = 1 rad.
8.1. Le cercle trigonométrique
147
Notation
Habituellement, on omet de mettre rad. Ainsi, si un angle θ mesure 3
radian, on écrira θ = 3.
Un peu comme pour les degrés, on peut savoir combien il y a de radians dans
un cercle. Il suffit de déterminer le nombre de fois qu’entre le rayon dans la
circonférence d’un cercle. Puisque
C = 2πr,
on voit bien que r entre 2π fois dans la circonférence d’où le fait qu’il y a 2π
radians dans un cercle.
Cette information nous permet de convertir des degrés en radians et des
radians en degrés. Il suffit de faire une règle de trois.
Exemple 1.1. Combien fait 45◦ en radian ?
On sait qu’il y a 360◦ dans un cercle et également 2π rad. Ainsi,
?
45◦
=
.
◦
360
2π
La réponse est donc
45 · 2π
π
= .
360
4
Le même principe est utilisé pour convertir des radians en degrés.
1.3. Angles remarquables. Avant d’aller plus loin, effectuons un léger
rappel de la définition géométrique du cosinus et du sinus d’un angle.
Définition 1.5. Soit le triangle rectangle suivant :
c
b
θ
a
On appelle le côté c l’hypoténuse du triangle, a le côté adjacent à l’angle θ
et b son côté opposé. On définit alors le cosinus, le sinus et la tangente de
l’angle θ comme suit :
cos θ =
a
,
c
sin θ
b
= ,
c
tan θ =
b
.
a
Regardons maintenant la fonction P (θ). Cette fonction associe un point
du cercle trigonométrique selon l’angle que fait le rayon passant par le point
P avec l’axe des x positifs. Pour déterminer ce point, il faut faire un peu de
trigonométrie.
148
8. Les fonctions trigonométriques
y
b
P (θ)
θ
x
On forme un triangle rectangle où l’hypoténuse correspond au rayon du cercle
et vaut donc 1. Ainsi, on s’aperçoit que la coordonnée x du point P (θ)
correspond à la longueur du côté adjacent à l’angle θ. D’où
x
x
⇒ cos θ = .
cos θ =
Hyp
1
D’une manière similaire, on obtient que y = sin θ. Ainsi,
P (θ) = (cos θ, sin θ) .
Il est important de noter que
Z
P (θ) = P (θ + 2πk), où k ∈ .
Cette propriété provient du fait que si l’on ajoute un multiple de 2π à un
angle, cela revient à faire des tours supplémentaires dans le cercle, car ce
dernier possède 2π radians. Par exemple,
 ‹

‹

‹
π
5π
9π
P
=P
=P
= ...
2
2
2
Nous sommes maintenant en mesure d’étudier certains angles remarquables
du cercle trigonométrique. Cela nous permettra d’évaluer rapidement le cosinus et le sinus de certains angles d’une manière exacte. Ceux-ci sont montrés
à la figure 5.
8.1. Le cercle trigonométrique
149
y
√ 1
− 2 , 23
b
√ √ 2π
2
2
−2, 2 b
3
3π
√
3 1 b 5π 4
◦
120
− 2 ,2
◦
6
135
◦
b
(0, 1)
π
2
b
π
3
90◦
√ 1
, 3
2 2
√
60◦ ◦
45
30◦
150
(−1, 0) b π 180◦
b
π
4
√ 2
, 22
2
√
3
1
b
π
,
2 2
6
0 b (1, 0)
0◦
x
210◦
225◦ ◦
240
5π
√
7π
3
1 b
− 2 , −2 6
√
√ b 4
4π
2
− 2 , − 22
3
√ b
− 12 , − 23
330◦
◦ 11π
315
◦
6
300
7π
b
270◦
3π
2
(0, −1)
√
3
, − 12
2
4 b √
√ 5π
2
, − 22
3 b
2
√ 1
, − 23
2
b
Figure 5. Le cercle trigonométrique avec ses angles remarquables et leurs coordonnées.
Regardons d’où proviennent ces résultats. Pour ce faire, étudions seulement les points qui sont dans le premier quadrant. Les coordonnées des autres
points sont obtenues par déduction en s’assurant d’avoir le bon signe.
 ‹
Pour P
π
π
: Débutons par P ( π4 ). On sait que radians correspond à 45◦ .
4
4
Ainsi, le triangle rectangle est également un triangle isocèle.
150
8. Les fonctions trigonométriques
y
45◦
x
Trouvons la valeur de x et de y. Il est à noter que ces valeurs doivent
être positives puisqu’elles représentent des longueurs.
x2 + y 2
x2 + x2
2x2
x2
x
x
=1
=1
=1
1
=È
2
= √ 12
= 22
Par Pythagore
Triangle isocèle, x = y
On prend la racine positive
En rationalisant le dénominateur
Ainsi,
 ‹
P
π
4
=
√ Œ
2
2
.
,
2
2
‚√
Pour les angles de 3π/4, 5π/4 et 7π/4, il suffit de raisonner de la
même manière, mais en s’assurant d’avoir le bon signe pour les coordonnées.
 ‹
 ‹
π
π
Pour P
: Pour le point P
, il faut se rappeler d’un théorème im6
6
portant, celui de l’angle de 30◦ . Ce dernier dit que si un triangle
rectangle possède un angle de 30◦ , alors le côté opposé de l’angle de
30◦ faut la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
π
Puisque = 30◦ , alors ce théorème nous sera très utile. Nous avons
6
donc à trouver la valeur de x et de y dans le triangle suivant :
1
30◦
x
y
8.1. Le cercle trigonométrique
151
Par le théorème de l’angle de 30◦ , nous avons que y = 12 . Il suffit de
trouver x à l’aide de Pythagore.
x2 + y 2 = 1
2
x +
 ‹2
1
2
=1
x2 =
x=
3
4
√
3
.
2
Ainsi,

P
π
3
‹
=
‚√
3 1
,
2 2
Œ
.
5π
,
Le même principe est utilisé pour déterminer les coordonnées de
6
7π
11π
et de
.
6
6
 ‹
π
π
Pour P
: On sait que = 60◦ , ce qui signifie que le triangle rectangle
3
3
possède un angle de 30◦ . Par contre, cette
√ fois c’est x qui est le côté
1
3
.
opposé à cet angle. Donc x = et y =
2
2
1
y
60◦
x
1.4. Résolution d’équations trigonométriques. Avant de passer à
la résolution d’équations trigonométriques, définissons trois autres fonctions
trigonométriques.
Définition 1.6. Soit le triangle rectangle suivant :
c
θ
a
b
152
8. Les fonctions trigonométriques
On définit la sécante, la cosécante et la cotangente de l’angle θ par
c
1
c
1
a
1
= , csc θ =
= , cot θ =
= .
sec θ =
cos θ
a
sin θ
b
tan θ
b
Passons maintenant à la résolution d’équations contenant des fonctions
trigonométriques. Commençons par un exemple assez simple pur montrer la
méthode.
Exemple 1.2. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
2 sin θ − 1 = 0.
La première manipulation à faire est d’isoler la fonction trigonométrique,
sinus dans cet exemple. Ainsi,
1
sin θ = .
2
Pour déterminer quelles sont les valeurs de θ qui satisfont cette équation,
il faut utiliser le cercle trigonométrique. Puisque y = sin θ, on recherche
qu’elles sont les valeurs de θ qui rendent y = 12 . Nous avons donc que
5π
π
ou θ =
.
6
6
Par contre, ce ne sont pas les seules valeurs. Comme nous l’avons mentionné,
θ=
Z
P (θ) = P (θ + 2πk), où k ∈ .
Ainsi, l’ensemble solution est
§
ª
π
5π
ES =
.
+ 2πk,
+ 2πk k ∈
6
6
Z
Définition 1.7. Les solutions principales d’une équation contenant une
fonction trigonométrique sont les solutions de l’équation contenues dans l’intervalle [0, 2π[.
Cela signifie que dans l’exemple précédent, les solutions principales sont
π
5π
θ = et θ =
.
6
6
Exemple 1.3. Trouvons les solutions principales de l’équation
tan θ = 2 sin θ.
Pour résoudre, il est plus simple de réécrire tan θ à l’aide du cos θ et de sin θ.
Ainsi,
sin θ
= 2 sin θ.
cos θ
Il faut d’abord déterminer le domaine de cette équation. Puisque l’on cherche
les solutions principales, il faut restreindre le domaine à [0, 2π[. De plus, il
faut que cos θ 6= 0. Ce qui signifie que θ 6= π/2 et θ 6= 3π/2. Ainsi,
π 3π
dom = [0, 2π[\{ , }.
2 2
8.1. Le cercle trigonométrique
153
Il ne reste plus qu’à manipuler l’équation.
sin θ
= 2 sin θ
cos θ
sin θ = 2 sin θ cos θ
sin θ − 2 sin θ cos θ = 0
sin θ(1 − 2 cos θ) = 0
Ici, il y a deux possibilités : sin θ = 0 ou 1 − 2 cos θ = 0. Ainsi,
sin θ = 0 ⇒ θ = 0 ou θ = π.
Ces valeurs sont déterminées à l’aide du cercle trigonométrique. Pour l’autre
possibilité, nous obtenons
1
π
5π
cos θ = ⇒ θ = ou θ =
.
2
3
3
D’où
§
ª
5π
π
ES = 0, , π,
3
3
Le prochain exemple nécessite une petite astuce, la même que nous avons
utilisée plus tôt pour résoudre des équations exponentielles.
Exemple 1.4. Résoudre l’équation
1
1
cos2 θ − cos θ = .
2
2
Notation
On note [cos θ]2 par cos2 θ. On fait de même pour les autres fonctions
trigonométriques.
Plaçons l’équation égale à zéro et voyons ce qui apparaît.
1
1
cos2 θ − cos θ − = 0.
2
2
Si l’on pose u = cos θ, on obtient une équation du second degré à résoudre.
1
1
u2 − u − = 0.
2
2
En utilisant la formule quadratique, on trouve que u = 1 ou u = − 12 . Ainsi,
on peut déterminer les solutions principales :
cos θ = 1 ⇒ θ = 0
et
2π
4π
1
ou θ =
cos θ = − ⇒ θ =
2
3
3
Ainsi,
§
ES =
2π
4π
2πk,
+ 2πk,
+ 2πk k ∈
3
3
Z
ª
154
8. Les fonctions trigonométriques
Jusqu’ici, nous nous sommes retrouvés en présence d’angles remarquable.
Mais qu’arrive-t-il lorsque ce n’est pas le cas ? Par exemple, quel est l’ensemble solution de l’équation cos θ = 0.2 ? Pour être en mesure de répondre
à cette question, nous devrons définir de nouvelles fonctions.
Définition 1.8. Soit l’équation y = cos x. On réécrire l’équation comme
suit :
x = arccos y.
Cette fonction se trouve sur la calculatrice et sa touche est cos−1 . C’est le
même principe pour le sinus et la tangente.
Exemple 1.5. Trouvons l’ensemble solution de l’équation cos θ = 0.2.
Utilisons la fonction arccos.
cos θ = 0.2
θ = arccos 0.2
θ ≈ 1.37
Comme on le voit, la fonction arccos nous donne seulement un angle principal. On sait qu’il y en a deux.
y
θ
−θ
x
Comme le montre la figure, les solutions principales seront donc 1.37 et
−1.37. Cependant, les solutions principales doivent se trouver entre 0 et 2π.
Il faut donc réécrire −1.37. Cet angle vaut également 2π −1.37 ≈ 4.91. Ainsi,
Z
ES = { 1, 37 + 2πk, 4.91 + 2πk| k ∈ } .
Le même phénomène se produit lorsque nous devons résoudre une équation de la forme
sin θ = c ⇒ θ = arcsin c.
À ce moment, les solutions principales sont obtenues en esquissant le graphique suivant :
8.1. Le cercle trigonométrique
155
y
π−θ
θ
x
Exemple 1.6. Trovons les solutions principales de
sin x = 0.3.
On calcul
x = arcsin 0.3 ≈ 0.304
Ainsi, les solutions principales sont 0.304 et π − 0.304 ≈ 2.836.
1.5. Exercices.
Exercice 8.1. Écrire les angles suivants en degré ou en radian en les
ramenant sous leur valeur principale.
a) 4 rad
b) 210◦
c) 420◦
d) −750◦
e)
f) −
42π
rad
3
7π
rad
4
Exercice 8.2. Trouvez les solutions principales aux équations suivantes :
a) tan x = 1
2
b) sec θ = √
2
c) sin(x − 1) cos(x + 2) = 0
d) 2 sin θ = csc θ
f) tan φ = 2 sin φ
√
g) 2 cos x = cot x
h) 4 sin t = 12 sin2 t − 1
√
i) 2 cos u + 2 2 = 3 sec u
j) csc2 r = 4
√
m
Exercice 8.3. Si sin A = , prouvez que n2 − m2 tan A = m.
n
e) sec y − csc y = 0
m2 + 1
.
2m
Exercice 8.5. Trouvez toutes les solutions des équations suivantes :
Exercice 8.4. Trouvez sin A et tan A si sec A =
1
2
4
b) csc2 θ =
3
a) cos t = −
c) 3 sin x − 2 = 0
d) tan x = 5
156
8. Les fonctions trigonométriques
2. Les fonctions trigonométriques
2.1. La fonction sinus de base.
Définition 2.1. La fonction sinus de base est une fonction de la forme
f (x) = sin x.
Son graphique est une courbe qui oscille autour d’un axe porteur (ici, y = 0) :
f (x)
1
−4π
−7π
2
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
π
2
−π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
−1
Pour comprendre d’où provient ce graphique, il faut étudier la valeur
de la coordonnée y sur le cercle trigonométrique. On a que le maximum de
cette coordonnée est 1 et que son minimum est −1. Ainsi, f (x) = sin x sera
au maximum égale à 1 et au minimum à −1. Par la suite, si x = 0 (ce qui
signifie que l’angle dans le cercle trigonométrique est nul), alors sin x = 0.
C’est également le cas pour tous les multiples π. Étudions cette fonction plus
en détail.
Le domaine: dom f =
R
L’image: ima f = [−1, 1].
L’ordonnée à l’origine: f (0) = sin 0 = 0.
Les zéros: On doit résoudre f (x) = 0.
sin x = 0 ⇒ x = 0 ou x = π.
Z
Ainsi, sinx = 0 si x ∈ {0 + 2πk, π + 2πk|k ∈ }. Cet ensemble peut
se réécrire comme étant l’ensemble de tous les multiples de π. Ainsi,
l’ensemble des zéros est
Z
{πk|k ∈ }.
Le signe des images:
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [2πk, π + 2πk], où k ∈
Z
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [π + 2πk, 2π(k + 1)], où k ∈
Z
Extremums: max f = 1 et min f = −1. La fonction est maximale lorsque
Z
x ∈ {π/2 + 2πk|k ∈ }
et est minimale lorsque
Z
x ∈ {3π/2 + 2πk|k ∈ }.
Ces points correspondent aux sommets de la fonction.
4π
x
8.2. Les fonctions trigonométriques
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk], où k ∈
157
Z
Z
f (x) & ∀x ∈ [3π/2 + 2πk, π/2 + 2π(k + 1)], où k ∈ .
Équation de l’axe de symétrie: À tous les sommets.
Asymptote: Aucune.
Il y a deux nouvelles quantités qui caractérisent les fonctions trigonométriques : l’amplitude et la période. Voici leur définition :
Définition 2.2. L’amplitude d’une fonction trigonométrique, que l’on
note A, est donnée par la formule suivante :
max f − min f
.
A=
2
Celle-ci correspond à la distance parcourue verticalement par rapport à l’axe
porteur de la fonction trigonométrique.
Définition 2.3. La période d’une fonction trigonométrique est la longueur que prend cette fonction avant de se répéter. On note la période par ω.
On a également la fréquence de la fonction. Celle-ci se note f et se calcule
comme suit :
1
f= .
ω
Ces quantités sont très importantes dans les applications physiques des
fonctions sinusoïdales. Elles nous aideront également pour esquisser les graphiques.
ω
f (x)
1
A
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
x
−1
Dans le cas de la fonction f (x) = sin x, l’amplitude est de 1 et la période
est de 2π, car la même valeur de y revient après 2π. Nous aurons aussi que
la fréquence est
1
f=
.
2π
158
8. Les fonctions trigonométriques
2.2. La fonction sinus transformée.
Définition 2.4. La forme canonique de la fonction sinus transformée
est
f (x) = a sin(b(x − h)) + k.
Le rôle de ces paramètres reste le même que pour les autres fonctions.
Regardons néanmoins l’impact précis de certains paramètres, surtout a et b.
2.2.1. Rôle de a et de k. Le paramètre a affecte l’amplitude de la fonction. Puisque le sinus est toujours compris entre −1 et 1, alors a sin(b(x − h))
sera dans l’intervalle [−|a|, |a|]. Par la suite, on additionne k qui aura pour
effet de déplacer verticalement la fonction. L’axe porteur de la fonction se
retrouvera donc en y = k et la fonction oscillera autour de cet axe. On
obtiendra que
max(f ) = |a| + k et min(f ) = −|a| + k,
d’où une amplitude de a. Lorsque a est négatif, il y aura réflexion par rapport
à l’axe des x. La figure suivante montre ce qui se produit. La fonction de
base est en pointillés.
f (x)
|a| + k
−4π
−7π
2
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2
a>0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
4π
7π
2
4π
x
− |a| + k
f (x)
|a| + k
−4π
−7π
2
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2
a<0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
− |a| + k
2.2.2. Rôle de b et de h. Dans cette fonction, le rôle du paramètre b est
très évident et très important. Il affectera la période de la fonction. Oublions
x
8.2. Les fonctions trigonométriques
159
les trois autres paramètres pour se concentrer sur ce paramètre. Le graphique
suivant explique bien son influence.
b=2
f (x)
1
−4π
−7π
2
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
π
2
−π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
4π
7π
2
4π
x
−1
b=
f (x)
1
2
1
−4π
−7π
2
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
π
2
−π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
−1
On remarque que si b = 2, la fonction oscille plus rapidement. Afin de faire un
cycle, elle prend la moitié moins de temps. De plus, si b = 21 , elle oscille plus
lentement, deux fois moins vite pour être précis. On a donc que b affecte
directement la période ω de la fonction. On aura alors que la période est
donnée par la formule suivante :
ω=
2π
.
|b|
Lorsque b est négatif, il y a une réflexion par rapport à l’axe de y, ce qui revient à changer le signe de a. Pour h, il il effectue une translation horizontale.
Voici la recette pour tracer une fonction sinus.
Étape 1: Écrire la fonction sous sa forme canonique, c’est-à-dire
f (x) = a sin(b(x − h)) + k.
Étape 2: Déterminer la période ω, l’amplitude A et l’équation de l’axe porteur à l’aide des relations suivantes :
2π
ω=
,
|b|
A = |a| et
y = k (l’axe porteur).
x
160
8. Les fonctions trigonométriques
Étape 3: Dessiner l’axe porteur et mettre le point (h, k) qui correspond au
point de départ de la fonction sinus. Ajouter les axes y = |a| + k et
y = k − |a| qui correspondent au maximum et au minimum de la
fonction.
ω
Étape 4: Dessiner un point sur l’axe y = k à chaque intervalle de
à
2
partir du point (h, k). Ce sont les endroits où la fonction croise l’axe
porteur.
Étape 5: On détermine dans quelle direction on trace la fonction en partant
du point (h, k). Cette direction est déterminée par le signe de a et
de b. Le tableau suivant montre ces directions :
b>0
b<0
a>0 a<0
%
&
.
Étape 6: On esquisse la fonction en partant du point (h, k) selon la direction
en s’assurant de passer par les points et les axes tracés.
Regardons un exemple.
Exemple 2.1. Soit la fonction
y = −2 sin(πx − π) + 1.
Esquissez cette fonction et analysez-la sur une période.
Étape 1: On trouve la forme canonique de cette fonction. Ainsi,
y = −2 sin(πx − π) + 1
= −2 sin(π(x − 1)) + 1.
Ainsi, a = −2, b = π, h = 1 et k = 1.
Étape 2:
2π
2π
=
= 2,
|b|
π
A = |a| = 2,
ω=
y = k = 1 (l’axe porteur).
Étape 3: Le point de départ est (h, k) = (1, 1) et les axes de maximum et
minimum sont y = 3 et −1. Ainsi,
8.2. Les fonctions trigonométriques
161
f (x)
3
2
b
1
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
x
−2
ω
Étape 4: Ici,
= 1. On place donc des points à intervalle de 1 sur l’axe
2
porteur.
f (x)
3
2
b
b
b
b
b
−6
−5
−4
−3
−2
b
1
−1
−1
b
b
b
b
b
b
b
1
2
3
4
5
6
−2
Étape 5: Puisque a < 0 et b >, on dessinera la courbe vers la droite et vers
le bas en partant de (1, 1).
x
162
8. Les fonctions trigonométriques
f (x)
3
2
b
b
b
b
b
b
−6
−5
−4
−3
−2
b
1
−1
−1
b
b
b
b
b
b
1
2
3
4
5
6
x
−2
Étape 6: On trace le graphique en partant dans la bonne direction.
f (x)
3
2
b
b
b
b
b
−6
−5
−4
−3
−2
b
1
−1
−1
b
b
b
b
b
b
b
1
2
3
4
5
6
−2
Il reste maintenant à étudier f (x) sur une période. Prenons comme période
[0, 2].
R
(On peut aussi dire que dom f = [0, 2], car on a
Le domaine: dom f =
restreint notre étude à cet intervalle.)
L’image: ima f = [−1, 3].
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 1.
x
8.2. Les fonctions trigonométriques
163
Les zéros: On doit résoudre f (x) = 0.
−2 sin(π(x − 1)) + 1 = 0
1
sin(π(x − 1)) =
2
π
5π
π(x − 1) =
ou π(x − 1) =
6
6
11
7
ou
x=
x=
6
6
Pour écrire tous les zéros sur , il faut prendre ces zéros et ajouter
la période, 2 ici.
R
Le signe des images:
•
˜
•
˜
11
7
,2 ,
∪
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ 0,
6
6
•
˜
7 11
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ ,
6 6
Extremums: max f = 3 et min f = −1.
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ [0, 0.5] ∪ [1.5, 2],
f (x) & ∀x ∈ [0.5, 1.5].
Équation de l’axe de symétrie: À tous les sommets.
Asymptote: Aucune.
2.3. La fonction cosinus de base. La fonction cosinus ressemble étrangement à une fonction sinus. En réalité, c’est une fonction sinus qu’on a
translaté horizontalement.
Définition 2.5. La fonction sinus de base est une fonction de la forme
f (x) = cos x.
Son graphique est une courbe qui oscille autour d’un axe porteur (ici, y = 0) :
f (x)
1
−4π
−7π
2
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
−1
L’analyse en huit points est laissée en exercices, mais elle ressemble beaucoup à celle de la fonction sinus.
4π
x
164
8. Les fonctions trigonométriques
2.4. La fonction cosinus transformée. La forme générale de la fonction cosinus transformée est
f (x) = a cos (b (x − h)) + k.
L’effet des différents paramètres est le même que pour la fonction sinus.
Les étapes pour tracer la fonction cosinus sont sensiblement les mêmes, à
quelques petites différences. Voici ces étapes :
Étape 1: Écrire la fonction sous sa forme canonique, c’est-à-dire
f (x) = a cos(b(x − h)) + k.
Étape 2: Déterminer la période ω, l’amplitude A et l’équation de l’axe porteur à l’aide des relations suivantes :
2π
,
ω=
|b|
A = |a| et
y = k (l’axe porteur).
Étape 3: Dessiner l’axe porteur et les axes y = |a| + k et y = k − |a| qui
correspondent au maximum et au minimum de la fonction. Mettre
le point de départ qui sera (h, f (h)). Ce point est soit un minimum
ou un maximum selon le signe de a.
Étape 4: Dessiner un point sur l’axe où se trouve le point de départ à chaque
intervalle de ω à partir du point de départ, car le maximum ou le
minimum se répète à toutes les périodes.
Étape 5: Mettre un point sur l’axe de minimum ou de maximum ( qui n’est
pas l,axe du point de départ) à la moitié de l’intervalle délimité par
les points à l’étape 5.
Étape 6: On esquisse la fonction en partant du point de départ en s’assurant
de passer par les points.
Regardons un exemple.
Exemple 2.2. Esquissez la fonction

f (x) = 3 cos x −
‹
π
− 1.
6
Étape 1: La fonction est déjà sous sa forme canonique.

‹
π
f (x) = 3 cos x −
− 1.
6
π
Donc, a = 3, b = 1, h = et k = −1
6
Étape 2:
2π
= 2π A = 3, y = −1.
ω=
|1|
8.2. Les fonctions trigonométriques
165
Étape 3: On dessine l’axe porteur et les axes y = |a| + k = 
2 et ‹
π
y = k − |a| = −4. Le point de départ est (h, f (h)) =
,2 .
6
f (x)
b
2
1
−5π
3
−2π
−4π
3
−π
−2π
3
π
3
−π
3
−1
2π
3
π
4π
3
5π
3
x
2π
−2
−3
−4
Étape 4: On dessine des points sur l’axe y = 2 à chaque intervalle de 2π à
partir du point de départ.
f (x)
2
b
b
b
1
−2π
−5π
3
−4π
3
−π
−2π
3
−π
3
−1
−2
−3
−4
π
3
2π
3
π
4π
3
5π
3
2π
x
166
8. Les fonctions trigonométriques
Étape 5: On dessine des points sur l’axe y = −4 à chaque milieu d’intervalle créé par les points de maximum.
f (x)
b
2
b
b
1
−5π
3
−2π
−4π
3
−2π
3
−π
π
3
−π
3
−1
2π
3
4π
3
π
5π
3
x
2π
−2
−3
−4
b
b
Étape 6: On esquisse la fonction en partant du point de départ en s’assurant
de passer par les points et les axes tracés.
f (x)
2
b
b
b
1
−2π
−5π
3
−4π
3
−2π
3
−π
−π
3
−1
π
3
2π
3
4π
3
π
−2
b
−3
−4
b
5π
3
2π
x
8.2. Les fonctions trigonométriques
167
2.5. La fonction tangente de base.
Définition 2.6. La fonction tangente de base est de la forme
f (x) = tan x.
Afin de tracer cette fonction, on utilise le graphique de la fonction sinus
et cosinus. On sait que
tan x =
sin x
.
cos x
Ainsi, la fonction f (x) n’est pas définie lorsque le cosinus sera zéro. Il y
aura alors des asymptotes à ces valeurs de x. De plus, la fonction est nulle
lorsque le sinus est nul. La figure suivante montre le graphique de la fonction
tangente. Nous avons également placé la fonction cosinus afin de visualiser
ce qui se produit lorsque cette dernière est nulle.
f (x)
4
3
2
1
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
2
−π
−1
π
2
π
3π
2
x
−2
−3
−4
On remarque que la fonction est périodique, mais que cette fois, la période
est ω = π. Analysons cette fonction.
§
ª
π
+ πk . Les valeurs exclues correspondent
Le domaine: dom f =
\
2
aux endroits où le dénominateur (la fonction cos x) s’annule.
R
L’image: ima f =
R.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = tan 0 = 0.
168
8. Les fonctions trigonométriques
Les zéros: On doit résoudre f (x) = 0. Ainsi,
tan x = 0
sin x
=0
cos x
sin x = 0
Ainsi, trouver les zéros de la fonction tangente revient à trouver ceux
de la fonction sin x.
sin x = 0 ⇒ x = 0 ou x = π.
Z
Ainsi, sin x = 0 si x ∈ {0 + 2πk, π + 2πk|k ∈ }. Cet ensemble peut
se réécrire comme étant l’ensemble de tous les multiples de π. Ainsi,
l’ensemble des zéros est
Z
{πk|k ∈ }.
Le signe des images:
f (x), ≥ 0∀x ∈ [πk, π/2 + πk[, où k ∈
Z
f (x), ≤ 0∀x ∈] − π/2 + πk, πk], où k ∈
Z
Extremums: Aucun
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucune axe de symétrie.
Asymptote: En x = π/2 + πk.
Comme on peut le remarquer, la fonction tangente est assez différente des
autres fonctions trigonométriques que nous avons vues. Par contre, elle possède certains points en commun comme la périodicité.
2.6. La fonction tangente transformée. La forme canonique de la
fonction tangente est
f (x) = a tan(b(x − h)) + k.
La manière d’obtenir le graphique est assez simple. Voici, les étapes :
Étape 1: Écrire la fonction sous sa forme canonique.
Étape 2: Trouver la période ω et les asymptotes. ATTENTION : ici, on
calcule la période par la formule
π
ω= .
|b|
Les asymptotes sont obtenues en résolvant l’équation
π
b(x − h) = + nπ.
2
8.2. Les fonctions trigonométriques
169
Cette formule provient que fait que
a tan(b(x − h)) + k = a
sin (b(x − h))
+k
cos (b(x − h))
et n’existe pas si cos (b(x − h)) = 0 ce qui est le cas si
b(x − h) =
π
+ nπ.
2
Étape 3: On trace les asymptotes et le point de départ qui est (h, k). Ce
point se nomme point d’inflexion.
Étape 4: En partant du point (h, k), on dessine la moitié de la fonction selon
le signe de a et de b. La direction est donnée dans le tableau suivant :
b>0
b<0
a>0 a<0
%
&
.
Étape 5: On complète la fonction sur la période et on reproduit le motif à
chaque période.
Exemple 2.3. Esquisser et analyser la fonction
f (x) = − tan(2(x −
π
)) + 1.
4
Calculons d’abord la période et les asymptotes.
ω=
π
π
= .
|b|
2
Pour trouver l’équation des asymptotes, on résout
 
π
cos 2 x −
4
2(x −
‹‹
=0
Z
π
) = π/2 + nπ, n ∈ .
4
Ainsi,
π
π
) = + nπ
4
2
π
π
π
x− = +n
4
4
2
π
x = (n + 1)
2
2(x −
D’où une asymptote à tous les multiples de π/2. On indique maintenant le
point d’inflexion (h, k) = (π/4, 1) et les asymptotes. Par la suite, on trace
la fonction en partant du point d’inflexion en se dirigeant vers le bas et la
droite. On complète la fonction et on remplit les autres périodes.
170
8. Les fonctions trigonométriques
f (x)
4
3
2
1
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
b
π
2
−π
2
−1
π
3π
2
x
−2
−3
−4
2.7. Rôle de ω. Jusqu’ici pour trouver les solutions générales d’une
équation possédant une fonction trigonométrique, on trouvait les solutions
principales et on ajoutait 2πk. Par contre, lorsque l’argument de la fonction trigonométrique n’est pas seulement x, alors la période de la fonction
trigonométrique change et on ne peut plus ajouter 2πk. Voyons comment
résoudre une telle équation et on verra un lien avec ω.
€ €
Exemple 2.4. Trouvons les zéros de f (x) = − tan 2 x −
 
π
4
ŠŠ
+1
‹‹
π
+1=0
4
 
‹‹
π
=1
tan 2 x −
4
− tan 2 x −
Puisque
tan θ =
sin θ
,
cos θ
alors si tan θ = 1, on a que sin θ = cos θ. Cela se produit si θ = π/4 + kπ.
Ainsi,
2(x −
π
π
) = + kπ
4
4
π
3π
+k
x=
8
2
8.3. Les fonctions sécante, cosécante et cotangente
171
D’où les zéros sont
Z
3π π
+ k, où k ∈ .
8
2
Remarque 2.1. On remarque que le facteur de k correspond à la période
ω de la fonction f (x). Ainsi, pour trouver toutes les solutions d’une équation, on a qu’à trouver les solutions principales de l’équation et d’ajouter un
multiple de la période de la fonction trigonométrique.
Exemple 2.5. Trouvez toutes les solutions de
cos(π(x − 3)) = 0.
Débutons par trouver les solutions principales de l’équation.
π(x − 3) =
π
2
cos(π(x − 3)) = 0
3π
ou π(x − 3) =
2
9
7
ou x =
x=
2
2
On a que la période de la fonction trigonométrique est ω =
Ainsi,
§
ES =
9
7
+ 2k, + 2k k ∈
2
2
Z
2π
2π
=
= 2.
|b|
π
ª
.
3. Les fonctions sécante, cosécante et cotangente
Dans cette partie, nous étudierons les fonctions sécante, cosécante et
cotangente. Puisque ce sont des fonctions qui sont l’inverse des fonctions
cosinus, sinus et tangente, on peut facilement les esquisser en suivant la
procédure suivante :
Étape 1: On trace la fonction inverse de celle que l’on veut esquisser.
Étape 2: Sur le graphique de la fonction à esquisser, à chaque fois que la
fonction inverse est nulle, on met une asymptote verticale.
Étape 3: À chaque fois que la fonction inverse possède une asymptote, la
fonction à esquisser est nulle. C’est le cas pour la fonction cot.
Étape 4: Trouver un point remarquable. Pour les fonctions sécante et cosécante, on cherche en quels points elles valent −1 et 1.
Étape 5: On complète le dessin à l’aide des asymptotes et des points remarquables.
Exemple 3.1. Esquissons la fonction y = sec x.
Pour ce faire, on doit tracer la fonction y = cos x. Les endroits où cette
172
8. Les fonctions trigonométriques
fonction est nulle correspondent à des asymptotes de la fonction y = sec x.
Il faut maintenant trouver les points remarquables. Puisque
1
,
sec x =
cos x
alors sec x = 1 lorsque cos x = 1 et sec x = −1 lorsque cos x = −1. Il ne
reste plus qu’à tracer la fonction.
sec x
1
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2
−1
π
2
π
3π
2
π
2
π
3π
2
x
cos x
4
3
2
1
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2
−1
x
−2
−3
−4
Les deux autres fonctions se tracent de la même façon.
3.1. Exercices.
Exercice 8.6. Écrire les fonctions suivantes sous leur forme canonique,
identifiez a, b, h et k et déterminez l’amplitude, la période et la fréquence de
ces fonctions.
8.3. Les fonctions sécante, cosécante et cotangente

173
‹
π
−2
4

‹
π
e) f5 (x) = 7 sin 2x −
−2
4
f) f6 (x) = −5 cos (3π − 9πx) − 1
a) f1 (x) = cos(9 − 4x) + 8
d) f4 (x) = tan 2x +
b) f2 (t) = −4 sin(πt + 2π) − 4
c) f3 (x) = − tan(3x − 9) + 1
Exercice 8.7. Esquissez les fonctions suivantes :
d) i(x) = −2 cos(π(x − 1)) + 2

‹
π
e) j(x) = −2 tan
x +2
4
f) k(x) = 1 − sin (3x + π)
a) f (t) = −4 sin(πt + 2π) − 4
b) g(x) = cos(0.5x)
c) h(x) = tan(2x − 4) − 2

‹
Exercice 8.8. Dessinez les fonctions y = sin x et y = cos x −
remarquez-vous ?
π
. Que
2
Exercice 8.9. Trouvez tous les zéros des fonctions suivantes :
√
a) f (x) = 6 cos(πx − 3π) + 3 2
c) h(x) = sin(5x − 2) − 2
d) i(x) = 3 tan(3x − 4) − 2
π
b) g(x) = − tan x −
4
e) j(x) = 4 sin(2x − 1) + 1
Exercice 8.10. Esquissez f (x) = csc x.
Exercice 8.11. Esquissez f (x) = cot x.
Exercice 8.12. Une onde se propage sous une forme sinusoïdale donnée
à la figure suivante :
h(x)
1
−5π −4π
3
3
−π
−2π −π
3
3
−1
π
3
2π
3
π
4π
3
5π
3
2π
7π
3
8π
3
3π
−2
−3
a) Déterminez l’amplitude, la période et la fréquence de cette onde.
b) Trouvez l’équation de cette onde.
10π
3
11π
3
x
174
8. Les fonctions trigonométriques
Exercice 8.13. La position x(t) par rapport à son point d’équilibre d’un
chariot relié à un mur par un ressort est donnée par
x(t) = 3 cos(2t),
où x est en mètres et t en secondes.
a) À quel endroit se situe le point d’équilibre ?
b) À quelle distance du point d’équilibre se trouve le chariot au début ?
c) Quelle est la période de son mouvement ?
d) Quelle est l’amplitude de son mouvement ?
e) Quelle est la distance parcourue par le chariot en 4π sec ?
4. Identités trigonométriques
Il arrive parfois que nous soyons aux prises avec de grosses équations trigonométriques à résoudre. Pour ce faire, on doit les simplifier avec des identités trigonométriques. La première identité découle directement du cercle
trigonométrique et du théorème de Pythagore. On a qu’un point sur le cercle
trigonométrique est donné par P (A) = (cos A, sin A). Nous savons également
que l’équation du cercle trigonométrique est
x2 + y 2 = 1.
Ainsi, puisque x = cos A et y = sin A, on obtient l’identité
sin2 A + cos2 A = 1.
Deux autres identités découlent de celle-ci. La première consiste à diviser la
première identité par cos2 A. Ainsi,
sin2 A + cos2 A
1
=
2
cos A
cos2 A
2
tan A + 1 = sec2 A.
Finalement, au lieu de diviser par cos2 A, on peut diviser par sin2 A ce qui
nous donne la troisième identité :
1
sin2 A + cos2 A
=
2
sin A
sin2 A
2
1 + cot A = csc2 A.
On est maintenant en mesure de démontrer des identités trigonométriques.
Regardons quelques exemples.
8.4. Identités trigonométriques
175
Exemple 4.1. Démontrons que
tan2 x cos2 x + cos2 x = 1.
Il est plus simple de travailler en termes de sinus et de cosinus. Ainsi, la
première étape consiste toujours à réécrire l’équation avec des sinus et des
cosinus. Ici, nous avons
sin2 x
cos2 x + cos2 x
cos2 x
= sin2 x + cos2 x
=1
tan2 x cos2 x + cos2 x =
Exemple 4.2. Démontrons que
sec2 x cot x
= tan x.
csc2 x
cos x
1
·
sec2 x cot x
2
= cos x sin x
1
csc2 x
sin2 x
1
= sin x cos x
1
sin2 x
sin2 x
=
sin x cos x
sin x
=
cos x
= tan x.
Les identités nous permettent également de résoudre certaines équations
qui contiennent plusieurs fonctions trigonométriques.
Exemple 4.3. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
3 − 4 sin2 x = 2 cos2 x.
Pour résoudre une équation contenant des fonctions trigonométriques, il faut
la simplifier afin d’obtenir une équation de la forme
fonction trigonométrique = constante.
176
8. Les fonctions trigonométriques
3 − 4 sin2 x = 2 cos2 x
3 − 4 sin2 x = 2(1 − sin2 x)
3 − 4 sin2 x = 2 − 2 sin2 x
1 = 2 sin2 x
1
sin2 x =
2r
1
sin x = ±
√2
2
sin x = ±
2
√
√
2
Si sin x = 22 , alors les solutions principales sont π4 et 3π
4 . Si sin x = − 2 ,
7π
alors les solutions principales sont 5π
4 et 4 . Ainsi, l’ensemble solution est
§
ES =
3π
5π
7π
π
+ 2πk,
+ 2πk,
+ 2πk,
+ 2πk k ∈
4
4
4
4
Exemple 4.4. Trouvons l’ensemble solution de l’équation
tan t + cot t = 5 csc t.
Simplifions d’abord l’équation
tan t + cot t = 5 csc t
5
sin t cos t
+
=
cos t sin t
sin t
sin t sin t + cos t cos t
5 cos t
=
sin t cos t
sin t cos t
sin2 t + cos2 t = 5 cos t
1 = 5 cos t
1
= cos t
5
1
t = arccos
5
Ainsi,
t ≈ 1.37
t ≈ −1.37 = 2π − 1.37 ≈ 4.9132.
D’où,
Z
ES = { 1.37 + 2πk, 4.9132 + 2πk| k ∈ } .
4.1. Exercices.
Exercice 8.14. Démontrez les identités suivantes :
a) sec2 A + csc2 A = sec2 A csc2 A
ª
Z
.
8.4. Identités trigonométriques
177
sin x cot2 x
1
=
cos x
tan x
c) cos(2r − 4) = sin(2r − 4) cot(2r − 4)
b)
d) sec θ − tan θ sin θ = cos θ
e) sin2 s tan s + cos2 s cot s + 2 sin s cos s = tan s + cot s
f) (cot y − 1)2 + (cot y + 1)2 = 2 csc2 y
È
√
√
g) 1 + cot2 B sec2 B − 1 1 − sin2 B = 1
2 sin x cos x − cos x
h)
= cot x
1 − sin x + sin2 x − cos2 x
1
1
+
= 2 sec2 α
i)
1 − sin α 1 + sin α
tan A
tan A + cot B
=
j)
cot A + tan B
tan B
5
.
13
Exercice 8.16. Déterminez les solutions principales des équations suivantes :
Exercice 8.15. Déterminez csc A et cot A si cos A =
€
Š
a) 2 cos2 θ − sin2 θ = 1
b) tan x = 3 cot x
c) sec2 y = 3 tan2 y − 1
d) 2 sin2 t = 3 cos t
Solutions
(2 + 3 × 4)3 − 20 ÷ 2 + 3
a)
=(2 + 12)3 − 20 ÷ 2 + 3
Exercices de la page 8.
=(14)3 − 20 ÷ 2 + 3
1.1 allo le monde
=2744 − 20 ÷ 2 + 3
a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, (C ∪
B) ∩ A = {2, 3, 4, 5, 6} et (A ∩ B)/C = {3}.
=2744 − 10 + 3 = 2734 + 3
b) A0 = {7, 8, 9, 10}, B 0 = {1, 4, 5, 6, 8, 9, 10} et C 0 ∩ A =
{7, 8, 9, 10}.
=2737
c) Voici le diagramme de Venn de cette situation.
b)
A
b
B
1
b
b
3
b
2
6
b
4
b
b
7
3
1
33
1
( )3 +
= 3 +
4
16
4
16
1
27
4
31
27
+
=
+
=
=
64
16
64
64
64
5
c)
1.2 allo le monde
C
a) {0, 1, 2, 3}
√ √
√ √
2 3
2 3
= √
√
6
2·3
√ √
2 3
=√ √
2 3
=1
b) {rouge, jaune, bleu, vert, orange, violet, indigo}
c) {mardi, samedi, dimanche}
1.3
b)
c)
d)
e)
1
4 = 1 · 7 = 7
3
4 3
12
7
d)
a) rationnel
irrationnel
irrationnel
irrationnel
rationnel
e)
1.4
240 × 4200
240 × (22 )200
=
220
220
240 × 2400
2440
=
= 20 = 2420
220
2
a) A\(A ∩ B) ou A\B
b) A
1.5
3
c) (A ∪ B) ∩ C
3
1
y 4 y 2 y3
f)
9
=
y4
a) {x|x ∈ A et x ∈
/ B ou x ∈ B et x ∈
/ A}
=
b) {x|x ∈ A et x ∈ C et x ∈ A ou x ∈ B}
15
y 4
9
y4
1
y 4 + 2 +3
9
y4
6
3
= y4 = y2
c) {x|x ∈
/ A et x ∈ A}
d) {x|x ∈
/ A ou x ∈ A}
(9)4 · x2·3
((−3)2 )4 (x2 )3
= 2·4
(92 )4 (x4 )2
9
· x4·2
g)
e) {x|x ∈
/ A et x ∈
/ B}
f) ♠ Preuve par diagramme de Venn.
94 · x6
1
1
= 8−4
= 4
98 · x8
9
· x8−6
9 · x2
1
1
= 8
=
(3)2·4 · x2
3 · x2
=
Exercices de la page 14.
1.6
179
180
8. Solutions
h)
p
3
p
64x6 y 12 × 3 125x3 y 15 =
p
√
√
√
√
3
3
3
3
= 64 · x6 · 3 y 12 × 125 · x3 ·
6
=4 · x 3 · y
12
3
2
4
3
· 5 · x3 · y
=4 · 5 · x · y · x · y
2
4
=20 · x · x · y · y
5
15
3
p
3
y 15
·
5
=20 · x3 · y 9
1.7
a) 1, 414213562
b) 3, 17176503
c) 186947, 1038
1.8
a)
b)
c)
14
21
12 et 18
6
9
32 et 48
−30
et −45
64
66
Exercices de la page 21.
1.9
a)
b)
c)
1.10
a)
a) ES = {10}
¦ 2©
−
3
¦1©
c) ES =
3
d) ES = { }
b) ES =
2.2
b)
c)
d)
e) ES = {0}
f) ES = {2}
a) ES = {−2, 2}
ES = {−9, 9}
ES = {−2, 3}
ES = {−2, −1, 1, 2}
e) ES =
¦4©
5
f) ES = {−2, 2}
2.3 a) Restaurant 1 : 3.50$, Restaurant 2 : 2.75$
b) Restaurant 1 : 2kg, Restaurant 2 : 2.67kg
c) 4kg
2.4 202 jours
2.5 2 heures et 12 minutes
15
x = 120 + 6x
2.6 a) x le débit,
2
b) 180L/min
c) 600L
2.7 environ 3h16 :22
Exercices de la page 32.
oui, degré :10, terme constant = -8
non (exposant négatif)
oui, degré :2, terme constant = c
x4 + 3x3 + 8x2 + 9x + 15
b) x4 + 3x3 + 6x2 + 9x + 9
R
2.8
a)
{−1, 1}
2.9
a)
b)
c) x6 + 3x5 + 10x4 + 18x3 + 33x2 + 27x + 36
d) x2 + 3x + 4
1.11
a) x2 y 2 + 2x2 − 4x5 y + xy 3 + 2xy − 4x4 y 2
3
2
b) x + 4x + 8x + 5
c) 3x2 + 14x − 5
d) x2 − 1
c)
d)
e)
f)
e) x2 + 2xy + y 2 = (x + y)2
f) x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 = (x + y)3
1.12
5
a) 3 − x−3
b) x2 − ax + a2
c) x3 + x +
e) 9x4 yz +
2
1
x
2.10
R \ {−2, 3}
b)
3
x+1
2 14
− 2x z
1.13 a) a(x + y 2 )
b) 6(x + 2y)
c) (x − 2)(x − 3)
d) (3x)2 − (9y)2 = (3x − 9y)(3x + 9y)
√
√
e) 9(x2 − 3y 2 )(x2 + 3y 2 ) = 9(x − 3y)(x + 3y)(x2 + 3y 2 )
f) (x − 3)(x + 2)
g) (x + 3)(3x + 4)
h) 4xy 4 (2x3 y 2 + 1 − 3x2 y)
i) (x − 2)(−2x + 10)
Exercices de la page 27.
2.11
R \ {−2, 2}
x x2 − 6x + 36 (x + 6)
(x + 7)2
−x
a)
4 (x + 2)
si x 6= 7
4
x2
x+1
d)
x2 + 1
c)
a) x = −4 et x = 1
c) x = −
d)
b) x = −6
2.12
c)
x3 + x2 + 3
x2 − 1
x+3
si x 6= −1 et x 6= 3
x−1
4 (x − 3)
si x 6= 3
x (x + 2)
x−1
si x 6= 0
x+2
x+1
si x 6∈ {7, 8, 10}
x+5
2
−2x + 2x + 1
x2 (x − 1)
b) 1 − x
1
x+1
d) x2 − x + 5 −
g)
\
8
45
2ab
si a 6= −b
a+b
Exercices de la page 37.
a) allo le monde
bc
−5
−4
−3
b) allo le monde
bc
−2
−1
0
b
1
b
bc
b
3
4
5
2.1
−4 −3 −2 −1
0
1
2
6
8. Solutions
2.13 a) ]0, 4] \ {π}
b) ] − 2, −1[∪]0, 2]∪]4, 9[
2.14
—
a) ES =] − ∞, 2[
d) ES = −∞, −
—5
b) ES =] − ∞, −4]
e) ES =
c) ES =] − ∞, 4[\ {1}
f) ES = ∅
8
”
11
7
181
• zéros : −2, 1
• f (x) ≥ 0∀x ∈ [−2, 1]
f (x) ≤ 0∀x ∈] − ∞, −2] ∪ [1, ∞[
”
3.9 Plusieurs solutions possibles
,∞
Exercices de la page 52.
3.10 a) 5
b) 1
2.15 Après 5 heures.
c) 2
d) −5 et 0
Exercices de la page 48.
3.1
a) 1
b) 64
c)
d)
2
♥ −1
e) x2 − 2x + 1
2
k2 − 1
f)
R
R
R
1
2 , ∞,
2
Exercices de la page 59.
a) g(x) = 32(x − 1)2 − 2 = 32x2 − 64x + 30
p
√
b) g(x) = 2 4(x − 1) − 2 = 4 x − 1 − 2
3.13
1
−2
2x − 2
1
d) g(x) =
−2
8(x − 1)2
c) g(x) =
3.14
2) ima f =] − 2, 5]
3) f (0) = 4
4) zéros : −6, −3, 3 et 8
3.4
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3.5
1)
2)
3)
4)
5)
a) allo le monde
1) dom f = [−6, 8] \ {1}
allo le monde
dom g = [−5, −1[∪[0, ∞[
ima g = [0, 5]
g(0) = 0
zéros : −5 et 0
g(t) ≥ 0, ∀t ∈ [−5, −1[∪[0, ∞[
Max relatifs en x = −3 et x = 2
Min relatifs en x = −5 et x = 0
7) g(t) % ∀t ∈ [−5, −3] ∪ [0, 2[
g(t) & ∀t ∈ [−3, −1[∪[2, ∞[
8) aucun axe de symétrie
5) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ {−5} ∪ [−3, 8] \ {1}
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [−6, −3] \ {−5}
6) Max : (5, 5)
Min : aucun
7) f (x) % ∀x ∈] − 5, 1[∪[3, 5[
f (x) & ∀x ∈ [−6, −5[∪]1, 3] ∪ [5, 8]
8) aucun axe de symétrie
b) allo le monde
g(x)
5
bc
allo le monde
dom h =
ima h = [−4, 1[
h(0) = −4
zéros : −2 et 2
h(y) ≥ 0, ∀y ∈] − inf ty, −2] ∪ [2, ∞[
h(y) ≤ 0, ∀y ∈ [−2, 2]
4
R
3
b
f (x) ≤ 0, ∀x ∈] − ∞, −2] ∪ [1/2, 1]∪]3, ∞[
R
b
1
bc
−5 −4 −3 −2 −1
−1
3.6
3.7 dom f = [−2, 1/2] ∪ [1, 3[
3.8 allo le monde
• dom g =
• g(0) = −2
b
2
b
6) Max relatif : aucun
Min relatifs en x = 0
7) h(y) % ∀y ∈ [0, ∞[
h(y) & ∀y ∈] − ∞, 0]
8) axe de symétrie en y = 0
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [−2, 1/2] ∪ [1, 3[
x+9
2
3.12 f −1 (−3) = 2
(x + h)2 − 1
3.2 a) dom f =
b) dom g = [4, ∞[
c) dom h = [−8, ∞[\ {−2, 2}
d) dom i =]2, ∞[
3.3 allo le monde
• dom f =
• ima f =
• f (0) = 2
• zéro en x = 12
• f (x) ≥ 0∀x ∈ −∞, 21
f (x) ≤ 0∀x ∈
3.11 f −1 (x) =
2
e) 2
f) 5
bc
1
2
−2
bc
−3
bc
3
4
5
6
7
8
x
b
−4
c) allo le monde
• dom g = [−5, 9] \ {2}
• ima g = [−3, 4[
• g(0) = 1
3.15
a) Jeu 2
b) Jeu 6
c) Jeu 4
182
4.1
8. Solutions
Exercices de la page 67.
a) allo le monde
f (x)
Extremums: aucun
Croissance et décroissance: aucune
Équation de l’axe de symétrie: x = a avec a ∈
6
5
4
3
2
1
−11x + 15
2
x
3
b) y =
+
6
2
4.2
x
−1
−2 −1
1
2
3
4
−2
−3
−4
Le domaine: dom f =
L’image: ima f =
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −1.
Les zéros: 1/2
Le signe des images:
R
R
f (x) ≥ 0,∀x ∈ [1/2, +∞[
f (x) ≤ 0,∀x ∈] − ∞, 1/2].
Extremums: aucun
Croissance et décroissance: croissante partout
Équation de l’axe de symétrie: aucun
b) allo le monde
g(t)
7
6
5
4
3
2
1
a) y =
c) y = 4x − 3
d) y =
π
x
2
x
4
a) V (0) = 2$
4.3 y =
4.4
b) V (12) − V (0) = 290$
c) T V M[0,12] = 24$par mois
d) La valeur de l’action augmente en moyenne de 24$ par mois.
Exercices de la page 71.
4.5
€
a) ES = ∅
d) ES =
−2, −
e) ES = (7, 0)
c) infinité de sol.
f) infinité de sol.
1
4.6 y = − x + 4
2
4.7 y = 2x − 4
3
1
x+
2
2
Exercices de la page 73.
R
g(t) ≤ 0,∀t ∈ [2, +∞[
g(t) ≥ 0,∀t ∈] − ∞, 2].
Extremums: aucun
Croissance et décroissance: décroissante partout
Équation de l’axe de symétrie: aucun
c) allo le monde
h(i)
2
1
R
h(i) ≥ 0,∀i ∈
R.
Š
,
4.11 hauteur 10cm
10 jours après que A ait été planté
5 jours après que B ait été planté
4.12 30 enfants et 45 adultes
4.13
Exercices de la page 77.
√
365 ≈ 19.105
q
4.14
1
2
€
Š
7 9
− ,
4 2
15
5
4.16 y = − x +
2
4
√
5
4.17
4.15 C :
Exercices de la page 87.
5.1
i
−1
−2 −1
1
2
3
4
Le domaine: dom h =
L’image: ima h = {2}
L’ordonnée à l’origine: h(0) = 2.
Les zéros: aucun
Le signe des images:
€ 31
32
5 5
4.10 42 de A et 58 de B
4.9
R
1
2
b) ES = (7, 3)
4.8 y =
t
−1
−2 −1
1
2
3
4
−2
−3
−4
Le domaine: dom g =
L’image: ima g =
L’ordonnée à l’origine: g(0) = 6.
Les zéros: 2
Le signe des images:
R
a) (x − 4)2 − 12, MIN : (4, −12), 2 zéros
b) −(x + 1)2 + 4, MAX : (−1, 4), 2 zéros
c) 4(x + 2)2 , MIN : (−2, 0), 1 zéro
5.2
a) y = 2x2 − 8x + 18 a = 2, h = 2 et k = 10
b) f (t) = 4(t − 3)2 − 35 a = 4, h = 3 et k = −35
c) d(s) = −s2 + 8s − 19 a = −1, h = 4 et k = −3
d) g(y) = (y − 1)2 a = 1, h = 1 et k = 0
Š
8. Solutions
5.3
a) allo le monde
183
c) allo le monde
h(z)
g(y)
2
1
−1
−3 −2 −1
1
y
2
−2
−4 −3 −2 −1
−3
Le domaine: dom h =
−4
R
1
2
3
4
z
L’image: ima h =] − ∞, 16]
−5
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 16.
−6
−7
Les zéros: −4 et 4
R
Le signe des images:
Le domaine: dom g =
L’image: ima g =] − ∞, 1]
L’ordonnée à l’origine: g(0) = −1.
q
1
− 1 ≈ −1.707 et
2
Le signe des images:
q
Les zéros: −
q
g(y) ≥ 0,∀y ∈ [−
1
− 1,
2
q
g(y) ≤ 0,∀y ∈] − ∞, −
q
h(z) ≥ 0,∀z ∈ [−4, 4]
1
− 1 ≈ −0.293
2
h(z) ≤ 0,∀z ∈] − ∞, −4] ∪ [4, ∞[.
Extremums: sommet en (0, 16)
Croissance et décroissance:
1
− 1]
2
1
− 1] ∪ [
2
q
h(z) %,∀z ∈] − ∞, 0]
1
− 1, ∞[.
2
Extremums: sommet en (−1, 1)
Croissance et décroissance:
g(y) %,∀y ∈] − ∞, −1]
h(z) &,∀z ∈ [0, ∞[
Équation de l’axe de symétrie: z = 0
5.4 a) aucun
b) 3
c) −1 et 5
d) 2 et 3
g(y) &,∀y ∈ [−1, ∞[
Équation de l’axe de symétrie: y = −1
b) allo le monde
f (x)
7
Exercices de la page 89.
5.5 allo le monde
x2
+x+3
4
2
e) y = −x + 6x − 9
11
x2
+ 3x −
4
4
b) y = x2 + 4x − 4
d) y = −
a) y = −
6
5
4
c) y = −
3
x2
x
+
36
4
2
1
−1
−2 −1
1
(x − 2)2 − 4
2
√
√
5.7 x = 2 − 6 et x = 2 + 6
5.6 f (x) =
1
2
3
4
x
−2
Le domaine: dom f =
L’image: ima f = [−2, ∞[
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 2.
√
√
Les zéros: 2 − 2 et 2 + 2
Le signe des images:
√
√
f (x) ≤ 0,∀x ∈ [2 − 2, 2 + 2]
√
√
f (x) ≥ 0,∀x ∈] − ∞, 2 − 2] ∪ [2 + 2, ∞[.
R
Extremums: sommet en (2, −2)
Croissance et décroissance:
f (x) &,∀x ∈] − ∞, 2]
f (x) %,∀x ∈ [−2, ∞[
Équation de l’axe de symétrie: x = 2
Exercices de la page 90.
5.8 allo le monde
√
n√
o
53 − 7
53 + 7
a) ES =
,
2
2
¦
b) ES =
−2,
n
1
3
©
√
√
o
− 33 + 3
33 + 3
,
6
6
√ o
n
1+ 5
d) ES =
2
c) ES =
5.9 En (−1, 3) et (1, −1)
√
√
13 − 3
13 − 5
−
et
,
5.10
2
2
√
13 + 3
,
2
√
13 + 5
2
184
8. Solutions
Exercices de la page 92.
5.11 a) ES =] − ∞, −2[∪]2, ∞[
b) ES =] − ∞, −3/2[∪]2, ∞[
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −3/2.
c) ES = [0, 3]
d) ES =] − ∞, 0[∪]2, ∞[
5.12 a) dom f = [−9, 9] \ {2}
”1 4”
,
b) dom g =
2 3
c) dom h = [−9, −5] ∪ [6, 9]
Les zéros: x = −3/4
Le signe des images:
f (x) > 0∀x ∈] − 1, −3/4[
f (x) < 0∀x ∈] − ∞, −1[∪] − 3/4, +∞[
Exercices de la page 93.
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
5.13 a) h(0) = 4
b) 9.10m
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
b)
5.20
6.1
b)
c)
c) 2.38s
d) 2.05s
b)
c)
d)
6.3
Croissance et décroissance:
f (x) & ∀x ∈ dom f.
13 et 14
Les côtés mesurent 4.
Chaque côté mesure 4cm
16 et 18
x2
h(x) = 10 −
10
a) En r = 0
R
En r = ± √
2
2.25$
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: En x = −1 et y = −2.
b) g(x) =
−3
x−2
g(x)
Exercices de la page 99.
\ {3}, ima f =
a) a = −10, h = 3, k = −4, dom f =
\ {−4}, AH : y = −4, AV :x = 3
a = 2, h = 0, k = 1, dom g =
\ {0},
\ {1}, AH : y = 1, AV :x = 0
ima g =
¦9©
3
9
1
a = − , h = , k = − , dom h =
\
, ima f =
2
2
2
¦ 41 ©
1
9
\ −
, AH : y = − , AV :x =
2
2
2
€
Š
121
1 2
−
a) f (x) = x −
2
4
3
+1
g(y) =
y−4
−9/2
h(z) =
+7
z−2
−6
i(t) =
+3
t+2
0.5
a) f (x) =
−2
x+1
R
R
R
R
2
R
R
6.2
R \ {−1}
R \ {−2}.
Le domaine: dom f =
L’image: ima f =
Le domaine: dom g =
L’image: ima g =
x
R \ {2}
R \ {0}.
L’ordonnée à l’origine: g(0) = 3/2.
Les zéros: aucun
Le signe des images:
g(x) > 0∀x ∈] − ∞, 2[
f (x)
g(x) < 0∀x ∈]2, +∞[
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
−1
x
−2
g(x) % ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: En x = 2 et y = 0.
c) h(x) =
4
+2
x−2
8. Solutions
185
Exercices de la page 107.
h(x)
6.7
q €
a) f (x) = −9
3 x+
7
3
Š
+ 1, a = −9, b = 3, h = −
7
et
3
k=1
f (x)
1
2
2
x
−
7
3
x
R \ {2}
R \ {2}.
Le domaine: dom h =
L’image: ima h =
L’ordonnée à l’origine: h(0) = 0.
Les zéros: x = 0
Le signe des images:
h(x) > 0∀x ∈] − ∞, 0[∪]2, ∞[
h(x) < 0∀x ∈]0, 2[
b) g(x) =
p
−(x − 1), a = 1, b = −1, h = 1 et k = 0
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
g(x)
Croissance et décroissance:
h(x) & ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: En x = 2 et y = 2.
6.4
a) dom Ep =]0, ∞[
1 x
b) Elle tend vers 0
c) allo le monde
Ep
q €
6 x−
c) h(x) =
r
1
2
Š
+ 2, a = 1, b = 6, h =
1
et k = 2
2
h(x)
6.5
a) 4 =
b) y =
xy
2
8
x
y
2
1
2
x
x
6.6
a) ES =]2.5, 3[
b) ES =] − ∞, 5/3[∪]3, ∞[
p
d) i(x) = −2
2(x + 1) + 4, a = −2, b = 2, h = −1 et k = 4
186
8. Solutions
L’image: ima g =] − ∞, −1[
L’ordonnée à l’origine: g(0) = −1.
Les zéros: aucun
Le signe des images:
i(x)
4
g(x) < 0, ∀x ∈ dom g
Extremums: maximum en (0, −1) et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
−1
6.8
g(x) & ∀x ∈ dom g.
x
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Aucune.
√
c) h(x) = − 4 + 2x + 1
a) allo le monde
h(x)
f (x)
1
−2
x
2
x
Le domaine: dom h = [−2, +∞[
L’image: ima h =] − ∞, 1[
L’ordonnée à l’origine: h(0) = −1.
3
Les zéros: x = −
2
Le signe des images:
−3
”
Le domaine: dom f = [2, +∞[
L’image: ima f = [−3, +∞[
L’ordonnée à l’origine: f (0) 6 ∃.
5
Les zéros: x = .
2
Le signe des images:
f (x) ≥ 0, ∀x ∈
”5
”
2
Extremums: maximum en (−2, 1) et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
”
,∞
5
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ 2,
2
h(x) & ∀x ∈ dom h.
—
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Aucune.
Extremums: aucun maximum et un minimum au point
(2, −3).
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ dom f.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
√
3
3
√ √
2+ 3
b) −2
6.9
6.10
Asymptotes: Aucune.
a)
a) ES = {−14}
b) ES = ∅
b) allo le monde
g(x)
6.11
x
−1
a) ES =
—5 ”
4
b) ES = ]−∞, 0]
c) ES = ∅
d) ES = [−2, 7[
∞
Exercices de la page 110.
6.12
Le domaine: dom g = [0, +∞[
”
3
h(x) ≤ 0, ∀x ∈ − , ∞
2
”
—
3
h(x) ≥ 0, ∀x ∈ −2, −
2
c)
√
a−
√ 2
b
a−b
c) ES = {1}
¦ 47 ©
d) ES =
17
8. Solutions
a)
b)
c)
d)
f (−1) 6
f (2) =
f (−5) 6
f (0) =
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
e) f (1) 6 ∃
∃
1
∃
0
187
Asymptotes: Aucune.
f) f (−3) = 7
g) dom f = [−4, −1[∪[0, 2]\
{1}
6.15
a) allo le monde
h(x)
4
6.13 allo le monde
3
f (x)
bc
2
2
1
1
−1
1
2
3
4
x
b) 4m
c) 0.5m
Le domaine: dom f =] − 1, +∞[
L’image: ima f = [0, ∞[
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 1.
Les zéros: x = 0
Le signe des images:
6.16
1
2
3
5
6
7
8
x
Exercices de la page 118.
a) f (x) = 3 |x − 2| + 4
f (x)
12
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ dom f
10
8
Extremums: aucun maximum et un minimum (0, 0).
Croissance et décroissance:
6
4
f (x) % ∀x ∈ [1, ∞[
2
f (x) & ∀x ∈] − 1, 1[
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptotes: Aucune.
6.14 allo le monde
4
−3 −2 −1
Le domaine: dom f =
R.
1
2
3
4
5
x
L’image: ima f = [4, ∞[.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 10.
f (x)
3
Les zéros: aucun
bc
2
bc
b
−4
1
Le signe des images:
f (x) ≥ 0∀x ∈
b
Extremums: un minimum en (2, 4) et aucun maximum.
b
−3
−2
R
−1
−1
1
2
3
4
f (x) % ∀x ∈ [2, +∞[.
Équation de l’axe de symétrie: En x = 2.
−3
Le domaine: dom f =] − 4, 4[
L’image: ima f =] − 4, 2[
L’ordonnée à l’origine: f (0) = 1.
Les zéros: x = −4, x = −2 et x = 2
Le signe des images:
f (x) > 0, ∀x ∈] − 2, 2[
f (x) < 0, ∀x ∈] − 4, −2[∪]2, 4[
Extremums: aucun maximum et aucun minimum .
Croissance et décroissance:
f (x) % ∀x ∈ [−3, −2[
f (x) & ∀x ∈] − 4, −3[∪]1, 4[
Croissance et décroissance:
f (x) & ∀x ∈] − ∞, 2],
−2
−4
x
Asymptote: Aucune.
bc
b) g(x) = −2 |x + 2| + 1
g(x)
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1
2
x
188
8. Solutions
R
Le domaine: dom g = .
L’image: ima g =] − ∞, 1].
L’ordonnée à l’origine: g(0) = −1.
Les zéros: −1.5, −3.5
Le signe des images:
=∅
=
=] − ∞, 0]
= [0, ∞[
ES = {−4, 4}
=] − 5, −1[
= {2, 6}
”1 ”
d) ES =
,∞
2
e)
f)
g)
h)
6.21
b)
c)
g(x) ≥ 0∀x ∈ [−3.5, −1.5]
g(x) ≤ 0∀x ∈] − ∞, −3.5] ∪ [−1.5, ∞[
Extremums: un maximum en (−2, 1) et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
g(x) % ∀x ∈] − ∞, −2],
g(x) & ∀x ∈ [−2, +∞[.
Équation de l’axe de symétrie: En x = −2.
Asymptote: Aucune.
c) h(x) = 0.5 |x − 2| − 1
h(x)
3
ES
ES
ES
ES
a)
ES
ES
R
Exercices de la page 130.
7.1 allo le monde
2
2
a) f (x) = · 9x + 7, a = , c = 9 et k = 7
3
€ 3 Šx 3
20
20
3
+ 2, a = − , c =
b) g(x) = −
·
et k = 2
3
4
3
4
2
c) h(x) = x + 4, a = 1, h = 0, k = 4
€ 1 Šx
1
1
1
et k = 1
+ 1, a = 4 , c =
d) i(x) = 4 ·
e
e
e
e
7.2
a) allo le monde
y
2
1
−2 −1
−1
6
1
2
3
4
5
4
x
R
Le domaine: dom h = .
L’image: ima h = [−1, ∞[.
L’ordonnée à l’origine: h(0) = 0.
Les zéros: 0, 4
Le signe des images:
h(x) ≤ 0∀x ∈ [0, 4]
2
−2
−1
Équation de l’axe de symétrie: En x = 2.
Asymptote: Aucune.
6.17 f (x) = 2 |x − 3|
6.18 f (x) = −6 |x − 1| + 18
¦ 11 ©
6.19 a) ES = − , 5
3
b) ES = {0, 2}
c) ES = ∅
d) ES = ∅
e) ES = {2}
¦7©
f) ES =
3
6.20 a) ES =]0, 2[
—
— ” 21 ”
9
b) ES = −∞,
,∞
∪
4
4
c) ES = ∅
d) ES = ]−∞, 5] ∪ [11, ∞[
3
4
x
y(x) ≥ 0, ∀x ∈ dom y
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
h(x) & ∀x ∈] − ∞, 2],
h(x) % ∀x ∈ [2, +∞[.
2
Le domaine: dom = .
L’image: ima y =]0, ∞[.
L’ordonnée à l’origine: y(0) = 1.
Les zéros: aucun
Le signe des images:
h(x) ≥ 0∀x ∈] − ∞, 0] ∪ [4, ∞[
Extremums: un minimum en (2, −1) et aucun maximum.
Croissance et décroissance:
R
1
y(x) &, ∀x ∈ dom y.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: y = 0
b) allo le monde
z
8
6
4
2
−3
−2
−1
R
1
2
Le domaine: dom z = .
L’image: ima z = [0, ∞[.
L’ordonnée à l’origine: z(0) = 0.
Les zéros: en x = 0
3
4
x
8. Solutions
189
g(t)
Le signe des images:
15
z(x) ≥ 0, ∀x ∈ dom z
10
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
5
z(x) &, ∀x ∈] − ∞, 0]
z(x) %, ∀x ∈ [0, ∞[
−3
−2
−1
1
2
t
−5
Équation de l’axe de symétrie: x = 0.
−10
Asymptote: aucun
c) f (x) = −16 ·
€ 1 Šx
2
+1
−15
f (x)
−20
2
−2
Le domaine: dom g =
−1
−2
1
2
3
4
5
6
x
R.
L’image: ima g =] − 18, ∞[.
L’ordonnée à l’origine: g(0) = −16.
Les zéros: t = 1
Le signe des images:
−4
g(t) ≥ 0, ∀t ∈ [1, ∞[,
−6
g(t) ≤ 0, ∀t ∈] − ∞, 1].
Le domaine: dom f =
R.
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
L’image: ima f =] − ∞, 1[.
g(t) %, ∀t ∈ dom g.
L’ordonnée à l’origine: f (0) = −15.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Les zéros: x = 4
Asymptote: y = −18
Le signe des images:
e) h(x) = 4
€ 1 Šx
8
−1
h(x)
8
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [4, ∞[,
7
f (x) ≤ 0, ∀x ∈] − ∞, 4].
6
5
4
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
3
Croissance et décroissance:
2
1
f (x) %, ∀x ∈ dom f.
−2
−1
−1
1
2
R.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Le domaine: dom h =
Asymptote: y = 1
L’image: ima h =] − 1, ∞[.
t
d) g(t) = 2 · 9 − 18
3
L’ordonnée à l’origine: h(0) = 3.
2
Les zéros: x =
3
4
5
6
x
190
8. Solutions
Le signe des images:
h(x) ≤ 0, ∀x ∈
”2
—
3
7.12
a) f (x) = log2 [−8 (x − 1)]
”1
—
b) g(x) = log1/e
(x + 2)
e
c) h(x) = log1/3 9x
”
,∞ ,
—
h(x) ≥ 0, ∀x ∈ −∞,
2
.
3
7.13
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
a) f (x) = ln x
f (x)
h(x) &, ∀x ∈ dom h.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: y = −1
2
7.3 allo le monde
a) ES = ∅
b) ES =
{∼ −0.712, ∼ 0.156}
{−1}
{0}
{−2, 2}
{−1, 0}
¦6©
k) ES =
19
l) ES = {14}
f)
g)
h)
i)
j)
¦5©
9
¦9©
c) ES =
2
¦ 10 ©
d) ES = −
37
e) ES = {2}
7.4
a) ES =
—
—1
2
ES
ES
ES
ES
ES
=
=
=
=
=
”
2
3
4
x
−2
Le domaine: dom f =]0, +∞[.
L’image: ima f =
R.
L’ordonnée à l’origine: f (0) 6 ∃.
Le signe des images:
”
f (x) ≤ 0, ∀x ∈]0, 1],
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [1, +∞[.
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
Exercices de la page 140.
a) 1
1
Les zéros: x = 1
,∞
5
b) ES = −∞,
2
c) ES = ]3, ∞[
d) ES = ]−∞, −4[ ∪ ]3, ∞[
7.5
−1
b)
1.2619
c) −3
f (x) %, ∀x ∈ dom f.
d)
3.7612
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: x = 0
7.6
c) 4x − 9 = log5 10
a) 4 = log3 81
b) g(x) = log3 (6(x − 0.5))
d) x2 = log12 14x
b) x − 3 = loga 7
g(x)
3
logb x
4
b) 7 (ln a + ln b + ln c)
c) 0
d) 135 ln(x − 5)
√
1
15 − x
e)
log3
2
x
7.8 allo le monde
7.7
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
7.9
a)
log3 7 ≈ 1.77
17
aucune
2
− ln 0.10857
−3 et 5
aucune
2
a) dom f =
2
−1
i)
497
199
3
4
x
Le domaine: dom g =]0.5, +∞[.
k) log18 2
L’image: ima g =
l) 2 log3 2187
R.
L’ordonnée à l’origine: g(0) 6 ∃.
Les zéros: x = 2/3
m) 100.1
Le signe des images:
—2 —
g(x) ≤ 0, ∀x ∈].5, 2/3],
,9
3
b) dom g = ]−∞, −2[ ∪ ]2, ∞[ \ {−3, 3}
7.10 faux, car le membre de droite n’est pas défini sur tout
2
−2
1
et 9
3
j) −
1
R
g(x) ≥ 0, ∀x ∈ [2/3, +∞[.
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
8. Solutions
Croissance et décroissance:
191
Croissance et décroissance:
g(x) %, ∀x ∈ dom g.
i(x) &, ∀x ∈ dom i.
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: x = 0.5
c) h(x) = log0.5 (x + 2)
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: x = 1
Exercices de la page 142.
ln 0.5
t
7.14 a) T (t) = 30 + 10e 10
g(x)
b) environ 23 min ?
c) 30◦ C
7.15 a) 100 bactéries
b) 4 jours
7.16 1
7.17 a) allo le monde
v(t)
2
−2 −1
1
2
3
4
x
−2
mg
k
Le domaine: dom h =] − 2, +∞[.
L’image: ima h = .
L’ordonnée à l’origine: h(0) = −1.
Les zéros: x = −1
Le signe des images:
R
t
h(x) ≥ 0, ∀x ∈] − 2, −1],
b)
h(x) ≤ 0, ∀x ∈ [−1, +∞[.
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
Croissance et décroissance:
h(x) &, ∀x ∈ dom h.
mg
k
Exercices de la page 155.
8.1 allo le monde
π
3
11π
d)
6
a) 229.18◦
Équation de l’axe de symétrie: Aucun axe de symétrie.
Asymptote: x = −2
d) i(x) = ln(−(x − 1))
b)
e) 0◦
c)
7π
6
f) 45◦
8.2 allo le monde
a) ES =
2
−3 −2 −1
¦π
©
¦
5π
,
4 4
¦ π 7π ©
,
b) ES =
4 4
g(x)
f) ES =
g) ES =
¦
1
2
x
−2
8.4
Le domaine: dom i =] − ∞, 1[.
L’image: ima i = .
L’ordonnée à l’origine: i(0) = 0.
Les zéros: x = 0
Le signe des images:
R
i(x) ≤ 0, ∀x ∈ [0, 1[,
i(x) ≥ 0, ∀x ∈] − ∞, 0].
Extremums: aucun maximum et aucun minimum.
©
3π
π
− 2,
− 2 h) ES =
c) ES = 1, π + 1,
2
2
¦ π 3π 5π 7π ©
d) ES =
i) ES =
,
,
,
4
¦ π4 5π
©4 4
,
e) ES =
j) ES =
4 4
sin A =
m2 − 1
m2 + 1
tan A =
8.5 allo le monde
n
2π
3π
a) ES
+ 2πk,
+ 2πk k ∈
3
3
n
b) ES
©
5π
π
, π,
3
3
¦ π π 3π 3π ©
, ,
,
4 2 4
2
¦ π 5π
©
,
, 3.309, 6.116
6 6
¦ π 7π ©
,
4
¦ π4 5π
©
7π 11π
,
,
,
6 6
6
6
0,
m2 − 1
2m
o
Z
π
2π
3π
5π
+ 2πk,
+ 2πk,
+ 2πk, ,
+ 2πk k ∈
3
3
3
3
c) ES { 0.7297 + 2πk, 2.4119 + 2πk| k ∈
d) ES { 1.3734 + πk| k ∈ }
Z
Z}
o
Z
192
8.6
b)
c)
d)
e)
f)
8.7
8. Solutions
Exercices de la page 172.
€ €
ŠŠ
9
9
a) f1 (x) = cos −4 x −
+ 8, a = 1, b = −4, h = ,
4
4
π
2
k = 8, A = 1, ω = , f =
2
π
f2 (t) = −4 sin(π(t + 2)) − 4, a = −4, b = π, h = −2,
1
k = −4, A = 4, ω = 2, f =
2
f3 (x) = − tan(3(x − 3)) + 1, a = −1, b = 3, h = 3, k = 1,
3
π
A = 1, ω = , f =
3
π
€ €
ŠŠ
π
π
f4 (x) = tan 2 x +
− 2, a = 1, b = 2, h = − ,
8
8
2
π
k = −2, A = 1, ω = , f =
€ € 2 𠊊 π
π
,
f5 (x) = 7 sin 2 x −
− 2, a = 7, b = 2, h =
8
8
1
k = −2, A = 7, ω = π, f =
π
€
€
ŠŠ
1
− 1, a = −5, b = −9π,
f6 (x) = −5 cos −9π x −
3
1
2
9
h = , k = −1, A = 5, ω = , f =
3
9
2
a) f (t) = −4 sin(πt + 2π) − 4
i(x)
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
e) j(x) = −2 tan
€π Š
4
x
1
2
3
4
1
2
3
4
x
j(x)
8
7
6
5
4
3
2
1
t
3
2
+2
f (t)
−1
−5 −4 −3 −2 −1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
5
6
−2
−3
−4
b) g(x) = cos(0.5x)
f) k(x) = 1 − sin (3x + π)
g(x)
1
k(x)
2
−5π
−3π
−π
2 −2π 2 −π 2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
4π
9π
2
5π 11π
2
x
1
−1
c) h(x) = tan(2x − 4) − 2
−5π −4π
3
3
f (x)
4
−π
π
3
−2π −π
3
3
8.8 allo le monde
2π
3
π
4π
3
y
3
1
2
1
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2−1
π
2
π
3π
2
x
−5π
−3π
2 −2π 2
−4
d) i(x) = −2 cos(π(x − 1)) + 2
π
2
−π
2
3π
2
π
−1
−2
−3
−π
€
On remarque que sin x = cos x −
n
8.9
a) ES =
π
2
Š
17
15
+ 2k,
+ 2k k ∈
4
4
o
Z
x
2π
5π
3
x
x
8. Solutions
n
b) ES =
c) ES = ∅
Z
n
d) ES =
o
π
+ kπ k ∈
4
1.5293 + k
π
k ∈
3
o
Z
e) ES = { 2.1972 + kπ, 3.5153 + kπ| k ∈
8.10 allo le monde
Z}
f (x)
4
3
2
1
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2−1
π
2
π
3π
2
π
2
π
3π
2
x
−2
−3
−4
8.11 allo le monde
f (x)
4
3
2
1
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2−1
−2
−3
−4
8.12
a) A = 2, ω = 4π, f =
b) h(x) = 2 cos
8.13
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
2
x−
π
3
ŠŠ
−1
a) x = 0
x(0) = 3
ω=π
3
48m
Exercices de la page 176.
13
5
et cot A =
12
12
¦ π 5π © 7π 11π
,
a)
,
,
6 6
6
6
¦ π 2π © 4π 5π
,
,
,
3 3
3
3
¦ π 3π © 5π 7π
,
,
,
4 4
4
4
¦ π 5π ©
,
3 3
8.15 csc A =
8.16
€1 €
1
4π
x
193