Exercice n°2 : Autour de l`ISS (8 points) PARTIE A : Étude du

Exercice n°2 : Autour de l’ISS (8 points)
PARTIE A : Étude du mouvement de la station spatiale ISS
1. Schéma et expression vectorielle de la force : (1)
C
𝐹
N
La loi de Newton pour la gravitation s’écrit ici :
⃗F = G×m×M
⃗
u
(R+h)2
O
Terre
S
2. Expression vectorielle de l’accélération
de la station : (1)
Dans le référentiel géocentrique galiléen, la seconde loi de Newton s’écrit :
∑ ⃗Fext =
⃗
dp
dt
=
⃗)
d(mv
dt
=m
⃗
dv
dt
= m. a⃗
car la masse du satellite se conserve
Ainsi, on écrira que ⃗F = m. a⃗
G×m×M
G×M
a⃗ = m(R+h)2 u⃗ = (R+h)2 u⃗
On a alors
3.1. Montrons que v =
GM
. (1)
R+h
a⃗ =
Dans la base de Frenet, pour un mouvement circulaire :
Or
G×M
⃗ +
⃗⃗ (1)
.T
.N
(𝑅+h)2
dt
G×M
⃗⃗ (2)
a⃗ = (R+h)2 . u
⃗ = (R+h)2 . N
Donc d’après les équations (1) et (2), on obtient :
Soit
v2
dv
G×M
v 2 = (R+h)
Par suite : v
=√
v2
G×M
a = (R+h) = (R+h)2
G×M
(R+h)
3.2. Calcul de la valeur de la vitesse de la station en m.s–1. (0,5)
6,67. 10−11 × 5,98. 1024
v=√
= 7670 𝑚. 𝑠 −1
3
(6380 + 400). 10
4. Calcul du nombre n de révolutions autour de la Terre. (1)
v=nx
Par définition :
AN : n =
24×3600
2𝜋
2π × (R+h)
√
T24h
G×M
= √(R+h)
Ainsi
6,67.10−11 ×5,98.1024
((6380+400).103 )
3
T24h
n =
2𝜋
G×M
√(R+h)3
= 15,56
Ainsi, un astronaute fera un peu moins de 16 révolutions autour de la Terre en 24h.
PARTIE B : Ravitaillement de la station ISS
1.1. Montrer que
. Conséquence sur le mouvement de la fusée. (1)
Le système S = {fusée + gaz} étant supposé isolé, la quantité de mouvement
pS = p
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗g + ⃗⃗⃗
pf du système se conserve au cours du temps.
Entre les dates t = 0 et t = 1 s, on aura donc
(p
⃗⃗⃗⃗g + ⃗⃗⃗
pf )
t=0s
= (p
⃗⃗⃗⃗g + ⃗⃗⃗
pf )
t=1s
Initialement le système est immobile (on considère que les gaz n’ont pas encore eu le temps
d’être éjectés de la fusée) donc
= (p
⃗⃗⃗⃗g + ⃗⃗⃗
pf )
= ⃗0
t=1s
mg × ⃗⃗⃗
vg + mf × ⃗⃗⃗
vf = ⃗0
(p
⃗⃗⃗⃗g + ⃗⃗⃗
pf )
t=0s
mg
Donc ⃗⃗⃗
vf = − m × ⃗⃗⃗
vg
f
Lors du décollage, les gaz sont éjectés vers le bas. La relation précédente montre que la fusée
est alors propulsée par réaction vers le haut.
1.2. Montrons numériquement que la variation de la masse de la fusée est négligeable après
le décollage. Calcul de la vitesse de la fusée à cet instant. (1)
Le débit de gaz est noté D=3x103 kg.s-1 et on notera la variation de la masse de la fusée Δmf.
On aura la relation suivante : Δmf = D x Δt = 3x103 kg
Cette valeur calculée est très inférieure à la masse initiale de la fusée. La variation de la masse
de la fusée au bout de 1s est donc négligeable. Ainsi, on considérera que la masse de la fusée
reste inchangée et donc constante.
D’après la question 1. 1.
2.1.
3×103
vf = 8×105 × 4 × 103 = 15 m. s −1
Quelle force n’aurait-on pas dû négliger ? (0,25)
La vitesse de la fusée est en réalité inférieure à la vitesse réelle. Dans notre étude, il n’aurait
pas fallu négliger la force de frottement de l’air sur la fusée.
2.2.1. Montrons que le produit (D.vg) est homogène à une force. (0,5)
L’unité du produit D.vg : D est en kg.s-1 et vg en m.s-1 donc D.vg est en kg.m.s-2
A partir de la force P=mg , on en déduit que N = kg.m.s-2 donc le produit D.vg peut
s’exprimer en newton et est bien homogène à une force.
2.2.2. Vérification numérique que la fusée peut effectivement décoller. (0,75)
La fusée peut décoller si la valeur F =D× vg de la force de poussée est supérieure à la valeur
P = mg du poids de la fusée :
- P = 8 x 105 x 10 = 8 x 106 N
- F = 3 x 103 x 4 x 103 =1,2 x 107 N
On voit bien que F > P ; la fusée peut décoller.