6. Comparateurs et générateurs de signaux 6.1. Introduction Le comparateur est un amplicateur opérationnel à très haut gain et extrêmement rapide car il n'a pas de compensation en fréquence. Il n'est en eet pas prévu pour travailler dans un circuit à réaction négative, mais uniquement en boucle ouverte, ou dans un circuit à réaction positive. Il est donc conçu et utilisé pour basculer rapidement d'un niveau de saturation vers l'autre. L'utilisation d'un AO en tant que comparateur se voit immédiatement en observant que la réaction se fait sur la borne non inverseuse. La sortie n'a alors que deux états possibles, VH VL (niveau haut) et (niveau bas) et leurs valeurs absolues ne sont pas nécessairement opposées. Ces deux niveaux peuvent en particulier être choisis pour être compatibles avec l'entrée d'une famille de circuits logiques. Idéalement, ils sont indépendants des tensions d'alimentation de l'AO. L'application la plus courante du comparateur est la détection de niveau. 6.2. Comparateurs à hystérèse 6.2.1. Comparateurs à seuils symétriques Pour réaliser des comparateurs à seuils symétriques, on utilise un AO alimenté symétriquement avec l'une de ses deux bornes d'entrée mise à la masse. Comparateur non inverseur symétrique Dans ce cas (gure 6.1), le signal d'entrée via la résistance R1 . u1 (t) est branché sur l'entrée non inverseuse La commutation d'un état saturé à l'autre se fait lorsque la tension diérentielle de l'AO passe par 0, autrement dit, lorsque U+ = U− En appliquant le théorème de superposition, la condition de commutation s'écrit U+ = u1 R2 R1 + u2 = U− = 0 R1 + R2 R1 + R2 d'où, au moment de la commutation, u1 = −u2 R1 R2 207 6. Comparateurs et générateurs de signaux R1 R2 U2 +Vsat U1 VT0 u1(t) VT2 u2(t) VT1 - Vsat Fig. 6.1.: Comparateur non inverseur u1 (t) appliquée au comparateur est variable et que la tension de sortie u2 (t) de l'AO ne peut peut prendre que deux états ±Vsat , les seuils de commutation commandés par la tension d'entrée u1 (t) valent VT 1 = ±Vsat R1 u1 (t) = (6.1) R2 VT 2 Considérant que la tension Le cycle d'hystérèse est alors centré autour de l'origine VT 0 = 0 ∆VT ≡ VT 1 − VT 2 = 2 Vsat et sa largeur vaut R1 R2 (6.2) Comparateur inverseur symétrique Dans ce cas (gure 6.2), le signal d'entrée u1 (t) est branché sur l'entrée inverseuse. La commutation d'un état saturé à l'autre se fait lorsque la tension U+ égale la tension U− avec U+ = u2 R1 = U− = u1 R 1 + R2 d'où, au moment de la commutation, u1 = u2 Considérant que la tension sortie u2 (t) R1 R1 + R 2 u1 (t) appliquée au comparateur est variable et que la tension de ±Vsat , les seuils de commutation d'entrée u1 (t) s'écrivent VT 1 R1 = ±Vsat u1 (t) = (6.3) R1 + R2 VT 2 de l'AO ne peut peut prendre que deux états commandés par la tension Le cycle d'hystérèse est alors centré autour de l'origine ∆VT ≡ VT 1 − VT 2 = 2 Vsat 208 c VT 0 = 0 R1 R1 + R2 2008 [email protected] et sa largeur vaut (6.4) 6.2. Comparateurs à hystérèse R1 R2 U2 +Vsat U1 VT0 VT2 u2(t) u1(t) VT1 - Vsat Fig. 6.2.: Comparateur inverseur Exemple Considérant un comparateur non inverseur réalisé avec R2 = {60 kΩ, 20 kΩ, 10 kΩ} R1 = 10 kΩ Vsat = ±12 V 1. calculez les tensions de seuil et dessinez le cycle d'hystérèse pour les trois valeurs de R2 ; 2. dessinez les signaux u1 (t) = 10 V sin(2πf0 t) et u2 (t) lorsque f0 = 50 Hz . Solution : c 2008 [email protected] 209 6. Comparateurs et générateurs de signaux . 210 c 2008 [email protected] 6.2. Comparateurs à hystérèse 6.2.2. Comparateurs à seuils variables Pratiquement, il est fréquent de devoir situer le centre du cycle ailleurs qu'en 0 comme nous venons de le voir. Pour ce faire, on utilise une tension supplémentaire Vref ; les calculs qui s'en suivent sont similaires à ceux que nous avons eectués ci-dessus. Cependant, pour une plus grande généralité, on considérera dans ce qui suit que les tensions de saturation de l'AO ne sont pas nécessairement symétriques et qu'elles valent VH Vsat = (6.5) VL Comparateur non inverseur u1 (t) est branché sur l'entrée non inverseuse via la résistance Dans ce cas, le signal d'entrée R1 et la tension Vref R1 est reliée directement à la borne inverseuse. R2 U2 VH u1(t) U1 VT0 VT2 u2(t) VT1 Vref VL Fig. 6.3.: Comparateur non inverseur à seuils variables La commutation d'un état saturé à l'autre se fait lorsque U+ = U− . En appliquant le théorème de superposition, la condition de commutation s'écrit U+ = u1 R1 R2 + u2 = U− = Vref R 1 + R2 R1 + R2 d'où, au moment de la commutation, u1 = Vref R1 + R2 R1 − u2 R2 R2 Les seuils de commutation commandés par la tension d'entrée VT 1 u1 (t) = = Vref VT 2 u1 (t) s'écrivent donc V R1 + R 2 L R1 − R2 R2 VH (6.6) Le centre du cycle d'hystérèse se trouve cette fois ci en VT 0 = c VT 1 + V T 2 2 2008 [email protected] (6.7) 211 6. Comparateurs et générateurs de signaux et sa largeur vaut ∆VT ≡ VT 1 − VT 2 = (VH − VL ) Dans le cas particulier d'une R1 R2 (6.8) tension de sortie symétrique, on a VL = −Vsat VH = +Vsat Le centre du cycle d'hystérèse se situe alors en VT 0 = Vref R 1 + R2 R2 (6.9) et sa largeur vaut ∆VT ≡ VT 1 − VT 2 = 2 Vsat R1 R2 (6.10) Comparateur inverseur Dans ce cas, le signal d'entrée u1 (t) est branché sur l'entrée inverseuse et la tension est reliée à la borne non inverseuse via la résistance R1 R2 Vref R1 . U2 VH Vref U1 VT0 u2(t) u1(t) VT2 VT1 VL Fig. 6.4.: Comparateur inverseur à seuils variables La commutation d'un état saturé à l'autre se fait lorsque les tensions U+ et U− sont égales. En appliquant le théorème de superposition, la condition de commutation s'écrit U+ = Vref R1 R2 + u2 = U− = u1 R1 + R2 R1 + R2 d'où, au moment de la commutation, u1 = Vref Considérant que la tension de sortie de l'AO u2 (t) u1 (t) R2 R1 + u2 R1 + R2 R1 + R2 appliquée au comparateur est variable et que la tension VH et VL , u1 (t) s'écrivent VH R2 R1 + R 1 + R2 R1 + R2 VL ne peut peut prendre que deux valeurs les seuils de commutation commandés par la tension d'entrée VT 1 u1 (t) = = Vref VT 2 212 c 2008 [email protected] (6.11) 6.3. Exemples Le centre du cycle d'hystérèse se trouve cette fois ci en VT 0 = VT 1 + V T 2 2 (6.12) et sa largeur vaut ∆VT ≡ VT 1 − VT 2 = (VH − VL ) Dans le cas particulier d'une R1 R1 + R2 (6.13) tension de sortie symétrique, on a VL = −Vsat VH = +Vsat Le centre du cycle d'hystérèse se situe alors en R2 R 1 + R2 VT 0 = Vref (6.14) et sa largeur vaut ∆VT ≡ VT 1 − VT 2 = 2 Vsat R1 R1 + R2 (6.15) 6.3. Exemples 6.3.1. Comparateur à collecteur ouvert Un comparateur (unipolaire) à collecteur ouvert permet de commuter une charge alimentée par une tension DC diérente de celle du comparateur. Pour l'exemple qui suit, on considère le comparateur inverseur de la gure 6.5 réalisé avec un circuit LM139 à collecteur ouvert et VCC = +5 V R1 = 10 kΩ VDC = +12 V R2 = 10 kΩ R5 = 1 kΩ VL et VH de la tension de sortie ; U2 (U1 ) et les signaux u1 (t) = A sin(2πf0 t) 1. calculez les tensions de seuil et les niveaux 2. dessinez la caractéristique de transfert u2 (t) lorsque A = 15 V et et f0 = 50 Hz ; 3. calculez le rapport cyclique du signal de sortie. Solution : 1. Avant de se lancer dans le calcul des seuils de commutation, il est important de relever que la sortie à collecteur ouvert est réalisée avec un transistor qui est bloqué ou saturé suivant le niveau de la tension d'entrée. a) Dans le cas où le transistor est saturé, la sortie du comparateur est mise à la masse. La tension de sortie VCC . u2 est alors nulle et la tension U+ ne dépend que de On a donc au moment de la commutation U+ = VCC R2 = U− = u1 R 1 + R2 On en déduit VT 2 = U+ = VCC c VL = u2 = 0 R2 10 = 5V = 2.5 V R1 + R2 10 + 10 2008 [email protected] 213 6. Comparateurs et générateurs de signaux VDC VCC R1 R2 VCC R5 u2(t) u1(t) Fig. 6.5.: Comparateur à collecteur ouvert Signaux d’un comparateur inverseur 12 10 Uout [V] 8 6 4 2 0 −15 −10 −5 0 Uin [V] 5 10 15 15 5 in u (t), u out (t) 10 0 −5 −10 −15 0 5 10 15 20 25 t [ms]} 30 35 40 45 Fig. 6.6.: Caractéristique de transfert et signaux temporels 214 c 2008 [email protected] 50 6.3. Exemples b) Dans le cas où le transistor est bloqué, la sortie du comparateur est ouverte et la tension U+ dépend de donc U+ = VCC VCC et VDC . Au moment de la commutation, on a R2 + R5 R1 + VDC = U− = u1 R1 + R2 + R5 R1 + R2 + R5 On en déduit R2 + R5 R1 + VDC R1 + R2 + R5 R1 + R2 + R 5 10 + 1 10 = 5 + 12 = 8.33 V 10 + 10 + 1 10 + 10 + 1 VT 1 = U+ = VCC VH R1 + R2 R5 + VDC R1 + R2 + R5 R1 + R2 + R 5 1 10 + 10 5 + 12 = 11.67 V 10 + 10 + 1 10 + 10 + 1 = u2 = VCC = 2. La caractéristique de transfert et les signaux temporels sont représentés dans la gure 6.6. 3. Le rapport cyclique est déni par η= tH T0 avec, dans notre cas, T0 tH = t1 + + t2 T0 = 20 ms 2 T0 VT 2 20 ms 2.5 V t1 = arcsin = arcsin = 0.53 ms 2π A 2π 15 V T0 VT 1 20 ms 8.33 V t2 = arcsin = arcsin = 1.87 ms 2π A 2π 15 V d'où T0 + t2 ' 12.4 ms 2 tH 12.4 ms η= ' = 62 % T0 20 ms tH = t1 + 6.3.2. Réglage de température à l'aide d'un comparateur On considère ici une enceinte thermique dont on aimerait régler la température aux environs 0 de 75 C. Pour ce faire, on utilise un capteur de température dont la sortie analogique varie 0 entre 0 et 5 [V] lorsque la température de l'enceinte varie entre 0 et 100 C. 1. Sachant que la puissance thermique est fournie par un corps de chaue électrique que l'on commande à l'aide d'un relais, proposez un schéma permettant de maintenir la température à plus ou moins 5 degrés de la température souhaitée. 2. Sachant qu'en l'absence de réglage, la température de l'enceinte passe de la tem- 0 0 pérature ambiante 20 C au 95% de sa valeur maximum de 100 C en 15 minutes environ : a) calculez la constante de temps de l'enceinte ; b) esquissez l'évolution de température au cours du temps ; c) calculez les durées d'enclenchement et de déclenchement de la puissance. c 2008 [email protected] 215 6. Comparateurs et générateurs de signaux Solution : 216 c 2008 [email protected] 6.4. Bascules ou circuits astables 6.4. Bascules ou circuits astables Ces circuits sont simplement des comparateurs inverseurs symétriques qui génèrent euxmêmes le signal d'entrée u1 (t) C. en chargeant une capacité 6.4.1. Bascule à cycle symétrique R1 R2 R u2(t) C uC(t) Fig. 6.7.: Bascule à cycle symétrique Comme toujours, la commutation a lieu lorsque U+ = ±Vsat U+ = U− avec dans le cas présent R1 R1 + R 2 U− = uC (t) ≡ u1 (t) Ce qui donne les niveaux de commutation suivants VT 1,2 = ±Vsat Comme le condensateur de la résistance R, C R1 R1 + R2 (6.16) va se charger à la tension de sortie du comparateur au travers on obtient le graphe représenté à la gure 6.8. On se souvient que l'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur est décrite par u(t) = u∞ − (u∞ − u0 ) · exp et que le temps nécessaire pour atteindre la tension t = τ ln c u∞ − u0 u∞ − u(t) u(t) t − τ (6.17) vaut τ = RC 2008 [email protected] (6.18) 217 6. Comparateurs et générateurs de signaux Signaux d’un comparateur symétrique 15 10 uC (t), u2 (t) 5 0 −5 −10 −15 0 0.5 1 1.5 2 t [ms] 2.5 Fig. 6.8.: Évolution de la tension 3 3.5 uC (t) Utilisant cette expression, on peut calculer la durée de la charge tH avec les valeurs parti- culières suivantes u∞ = +Vsat R1 R1 + R 2 R1 = +Vsat R1 + R 2 u0 = VT 2 = −Vsat u(tH ) = VT 1 En plaçant l'origine du temps t=0 à l'instant de la transition positive, on a en eet : tH u∞ − u0 = τ ln u∞ − u(tH ) 1 +Vsat − −Vsat R1R+R 2 = RC ln R1 +Vsat − +Vsat R1 +R2 R 1 + R2 + R1 = RC ln R 1 + R2 − R1 D'où tH = RC ln 2 R1 + R2 R2 (6.19) Les niveaux de commutation étant symétriques, les temps de charge tH et de décharge tL sont les mêmes et l'on a T = tH + tL = 2 tH = 2RC ln 218 c 2R1 + R2 R2 2008 [email protected] (6.20) 6.4. Bascules ou circuits astables Dans le cas fréquent où l'on choisit R1 = R 2 = R , la période d'oscillation vaut alors T = 2 ln(3) RC ' 2.2 RC (6.21) 6.4.2. Bascule à cycle non symétrique La gure 6.9 présente le schéma d'une bascule non symétrique réalisée avec des diodes an d'obtenir des temps diérents de charge et décharge. RA RB C u1(t) R2 u2(t) R1 Fig. 6.9.: Bascule à cycle non symétrique Dans un but de simplication, on considérera ici des valeurs égales pour les résistances et R2 R1 qui xent les seuils de commutation. On obtient alors U+ = ±Vsat R1 1 = ± Vsat R 1 + R2 2 D'où 1 VT 1,2 = ± Vsat 2 Comme les diodes possèdent une tension de seuil la tension de sortie −Vsat + Vj U− = uC (t) ≡ u1 (t) +Vsat − Vj Vj , le condensateur au travers de la résistance au travers de la résistance RB . RA C va se charger vers et se décharger vers la tension L'évolution de la tension aux bornes de la capacité est illustrée par le graphe de la gure 6.10. Se souvenant que le temps de charge d'un condensateur est décrit par t = τ ln u∞ − u0 u∞ − u(t) et considérant que le temps de charge tH τ = RC est caractérisé par les valeurs particulières sui- vantes τ1 = R A C c 2008 [email protected] 219 6. Comparateurs et générateurs de signaux Signaux d’un comparateur asymétrique 15 10 uC (t), u2 (t) 5 0 −5 −10 −15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t [ms] Fig. 6.10.: Évolution de la tension uC (t) u∞ = +Vsat − Vj 1 u0 = VT 2 = − Vsat 2 1 u(tH ) = VT 1 = + Vsat 2 on peut calculer la durée de la charge en plaçant l'origine du temps t=0 à l'instant de la transition positive tH = τ ln u∞ − u0 u∞ − u(tH ) = RA C ln = RA C ln ! (+Vsat − Vj ) − − 12 Vsat (+Vsat − Vj ) − + 21 Vsat ! 3 V − V sat j 2 1 2 Vsat − Vj d'où tH = RA C ln Le calcul de la durée de décharge tL 3 Vsat − 2 Vj Vsat − 2 Vj se fait avec les valeurs particulières suivantes τ2 = R B C u∞ = −Vsat + Vj 1 u0 = VT 1 = + Vsat 2 220 c 2008 [email protected] (6.22) 6.4. Bascules ou circuits astables 1 u(tL ) = VT 2 = − Vsat 2 t = 0 à l'instant de la u∞ − u0 = τ ln u∞ − u(tL ) En plaçant l'origine du temps tL = RB C ln = RB C ln transition négative, cela donne ! (−Vsat + Vj ) − + 21 Vsat (−Vsat + Vj ) − − 21 Vsat ! − 32 Vsat + Vj − 12 Vsat + Vj d'où tL = RB C ln 3 Vsat − 2 Vj Vsat − 2 Vj (6.23) La période d'oscillation vaut alors T = tH + tL = (RA + RB ) C ln 3 Vsat − 2 Vj Vsat − 2 Vj (6.24) et on constate que le rapport cyclique dépend uniquement du diviseur résistif constitué par les résistances RA et RB η≡ RA tH = T RA + RB (6.25) 6.4.3. Bascule unipolaire La gure 6.11 présente le schéma d'une bascule unipolaire qui possède l'avantage de ne nécessiter qu'une seule alimentation. De plus, les résistances R1,2,3 permettent d'adapter le rapport cyclique à la valeur désirée. Pour ce qui suit, considérons le cas particulier où les trois résistances sont égales et où les tensions de saturation sont VH = VCC et VL = 0. On sait que le comparateur commute lorsque U+ = VCC R12 R13 + u2 = U− = u1 R3 + R12 R13 + R2 (6.26) avec dans ce cas particulier R12 = R1 R2 R = , R1 + R2 2 R13 = R1 R3 R = , R1 + R 3 2 VCC u2 = (6.27) 0 Les tensions de seuil se situent donc en VCC u1 = VT 1,2 = VCC + 0 R/2 1 = R/2 + R 3 VT 1,2 = c 2 3 VCC 1 3 VCC 2VCC = VCC 2 3 VCC 1 3 VCC 2008 [email protected] (6.28) 221 6. Comparateurs et générateurs de signaux VCC R3 R1 R2 VCC u2(t) R u1(t) C Fig. 6.11.: Bascule unipolaire La capacité et C va se charger avec la constante de temps τ = RC entre les tensions 2 3 VCC . Les temps de charge tH et de décharge tL vaudront alors tH = τ ln u∞ − u0 u∞ − u(tH ) tL = τ ln VCC − 13 VCC VCC − 23 VCC = RC ln u∞ − u0 u∞ − u(tL ) = RC ln On voit ainsi que, lorsque les résistances ! = RC ln 2 0 − 32 VCC 0 − 13 VCC R1,2,3 1 3 VCC ! = RC ln 2 sont égales, le rapport cyclique est de 50% car on a tH = tL = RC ln 2 (6.29) La période d'oscillation de la bascule vaut alors T = tH + tL = 2RC ln 2 ' 1.4 RC 222 c 2008 [email protected] (6.30) 6.5. Générateurs de signaux 6.5. Générateurs de signaux Les générateurs de signaux sont basés sur le principe des bascules. La seule diérence consiste à remplacer le circuit RC par un intégrateur an d'obtenir un signal triangulaire plutôt qu'une suite d'arcs d'exponentielles. Comme l'intégrateur est inverseur, on utilisera dans ce cas un comparateur non inverseur. 6.5.1. Signaux carrés et triangulaires C R2 R R1 u1(t) = u3(t) u2(t) u3(t) Fig. 6.12.: Générateur de signaux carrés et triangulaires +Vsat u1(t) = u3(t) VT1 u2(t) t VT2 - Vsat Fig. 6.13.: Évolution des tensions On admet ici que le signal de sortie du comparateur est symétrique et qu'il vaut u3 (t) = ±Vsat Considérant que le signal u1 (t) (6.31) appliqué à l'intégrateur est la tension fournie par le com- parateur, on voit que la sortie de l'intégrateur vaudra u2 (t) = − c 1 RC Z t u1 (t) dt + uC0 0 =∓ Vsat t + u2 (0) RC 2008 [email protected] (6.32) 223 6. Comparateurs et générateurs de signaux Ce signal est donc constitué de segments de droite dont la pente vaut p1 = ± Vsat RC (6.33) Comme le signal de sortie de l'intégrateur est appliqué au comparateur non inverseur, celui-ci basculera chaque fois que u2 (t) atteint un des deux seuils de commutation VT 1,2 = ±Vsat R1 R2 (6.34) Le temps nécessaire pour aller d'un seuil à l'autre est égal à la demi-période du signal. On voit ainsi que la pente du triangle vaut R p2 = ± En égalant la pente générée 2 Vsat R12 VT 1 − VT 2 4 Vsat R1 =± =± T /2 T /2 T R2 p1 à la pente p1 = p2 (6.35) du triangle, Vsat 4 Vsat R1 = p2 = RC T R2 on voit que la période des signaux carrés et triangulaires vaut T = 4 RC R1 R2 (6.36) Les amplitudes de ces 2 signaux valent Acar = Vsat Atri = Vsat R1 R2 (6.37) 6.5.2. Oscillateur à fréquence variable (VCO) Le principe d'un VCO (Voltage Controled Oscillator) est le même que celui d'un générateur de signaux carrés et triangulaires sauf que, dans ce cas, l'amplitude du signal d'entrée de l'intégrateur doit être modiée en fonction de la fréquence souhaitée. De plus, sa polarité doit être changée au bon moment. Pour réaliser ces opérations, on utilise deux AO permettant d'avoir à disposition les tensions +u1 (t) et −u1 (t) ainsi que deux transistors (saturés ou bloqués) commandés par le comparateur pour choisir la polarité du signal d'entrée (gure 6.14.a). Comme on l'a vu plus haut, le comparateur génère le signal carré d'amplitude ±Vsat et l'intégrateur fournit le signal triangulaire d'amplitude VT 1,2 = ±Vsat R1 R2 Par contre, la pente du signal triangulaire dépend de la tension d'entrée u1 (t) = −U1 , on a Z t U1 1 u3 (t) = − u1 (t) dt + uC0 = t + u3 (0) RC 0 RC (6.38) u1 (t) appliquée à l'intégrateur. En eet, pour une valeur constante de (6.39) dont la pente vaut p1 = 224 c U1 RC 2008 [email protected] (6.40) 6.5. Générateurs de signaux R4 +u1(t) C R R3 R1 R2 R3 u1(t) u2(t) = ±u1(t) - u1(t) u3(t) u4(t) = ±Vsat u1(t) 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 temps [ms] 6 7 8 9 10 u3(t) 5 0 −5 10 u4(t) 5 0 −5 −10 Fig. 6.14.: a) Schéma d'un oscillateur à fréquence variable (VCO) b) Signaux d'un VCO commandé par une tension sinusoïdale c 2008 [email protected] 225 6. Comparateurs et générateurs de signaux En égalant cette pente p1 à la pente p2 générée par le circuit 1 2 Vsat R VT 1 − V T 2 4 Vsat R1 R2 = = T /2 T /2 T R2 p2 = (6.41) on voit que la période des signaux carrés et triangulaires vaut cette fois-ci T = 4 RC et que la fréquence f = 1/T R1 Vsat R2 U1 dépend linéairement de la tension d'entrée f (u1 ) ≡ u1 (t) 1 R2 1 1 u1 = T 4 RC R1 Vsat (6.42) Une illustration de la commande de la fréquence par un signal sinusoïdal est donnée dans la gure 6.14.b. On peut y relever les fréquences minimum et maximum fmin = 1 Tmax = 1 = 2.74 [kHz] 0.365 ms fmax = 1 1 = = 7.94 [kHz] T min 0.126 ms On voit donc que pour une variation de la tension d'entrée ∆U = Umax − Umin = 6 V − 2 V = 4 [V ] la variation de fréquence vaut ∆f = fmax − fmin = 7.94 [kHz] − 2.74 [kHz] = 5.2 [kHz] On en déduit le gain du VCO KV CO kHz ∆f ' 1.3 ≡ ∆U V et la fréquence centrale (ou de repos) obtenue lorsque f0 = u1 (t) = 4 [V ] fmin + fmax = 5.34 [kHz] @ U1 = 4 [V ] 2 On notera que le circuit VCO n'est rien d'autre qu'un modulateur de fréquence permettant de remplacer un signal d'amplitude variable (u1 (t)) par un signal d'amplitude constante mais de fréquence variable (u3 (t) ou u4 (t)). L'information ne se trouve plus dans l'amplitude instantanée mais dans la fréquence ; c'est le principe utilisé en radio FM pour transmettre les signaux en modulation de fréquence. 6.5.3. Signaux sinusoïdaux Signaux et caractéristiques de transfert À ce stade, il est important de réaliser que les circuits étudiés dans ce chapitre sont des circuits non linéaires. Le fonctionnement de tels circuits ne peut pas être représenté par une fonction de transfert H(jω) comme on le fait pour les circuits linéaires. On doit donc décrire la relation entrée-sortie par une caractéristique de transfert U2 (U1 ) qui n'est pas linéaire. Trois exemples de caractéristiques sont présentés dans la gure 6.15. On y trouve les caractéristiques de transfert d'un amplicateur linéaire, d'un comparateur non inverseur et d'un conformateur modiant la forme du signal appliqué en entrée. 226 c 2008 [email protected] 6.5. Générateurs de signaux U2(U1) U2(U1) U2(U1) VH U1 VT2 U1 VT1 U1 VL Fig. 6.15.: Trois caractéristiques de transfert Amplicateurs La tension de sortie d'un amplicateur idéal (sans déphasage) est sim- plement décrite par la relation U2 = AU U1 et sa représentation dans le plan U2 (U1 ) donne une simple droite qui n'apporte rien d'autre que le gain de l'amplicateur. Dans le cas d'un amplicateur dont la bande passante est limitée, cette droite se transforme petit à petit en une ellipse dont la largeur augmente progressivement avec la fréquence (eet du déphasage). Comparateur Un comparateur fournit un signal de sortie à deux états dépendants du niveau et de l'histoire du signal d'entrée. Par exemple, dans le cas d'un comparateur non inverseur, le cycle d'hystérèse est décrit par U2 = VH si U1 % > VT 1 VL si U1 & < VT 2 Conformateur sinusoïdal Un conformateur est un circuit utilisé pour modier la forme du signal d'entrée selon une loi connue. Il est souvent réalisé à l'aide de diodes qui permettent d'approcher une fonction non linéaire par des segments de droite. Dans le cas d'un conformateur sinusoïdal, la loi que l'on souhaite réaliser est la suivante U2 = B sin π U1 2 A Conformateur à diodes En utilisant les zones de conduction et blocage de plusieurs diodes, il est possible de créer des fonctions non linéaires. On réalise ainsi ce que l'on appelle un conformateur à diodes. Un exemple de circuit avec sa caractéristique de transfert est donné dans la gure 6.16. Selon l'état de conduction des diodes D1,2,3 , on parcourt l'un ou l'autre des trois segments de droite. Dans la réalité, le passage d'un segment à l'autre se fera de manière plus douce et l'approximation d'une sinusoïde sera tout à fait satisfaisante. Les diodes placées de manière inverse permettent de parcourir le troisième quadrant (u1 < 0, u2 <0) et obtenir ainsi la totalité de la sinusoïde. L'analyse du circuit montre immédiatement que trois situations doivent être envisagées : c 2008 [email protected] 227 6. Comparateurs et générateurs de signaux R1 D1 D2 u1(t) u2(t) D3 R2 U2(U1) 2 Vj Vj D1 conductrice, D1,2,3 bloquées, p0 = 1 p1 = 0 D1,2,3 conductrices, p2 = 0 R2 R1 + R2 Vj Vj+Vj U1 R1+R2 R2 Fig. 6.16.: Schéma et caractéristique d'un conformateur à diodes 1. Aucune diode ne conduit si u1 (t) < Vj . Le signal de sortie est alors égal au signal d'entrée et la pente de la caractéristique vaudra V p0 = 1 V 2. Les diodes D1 et D2 (6.43) conduisent et les autres sont bloquées. Le signal d'entrée sera alors atténué par le diviseur {R1 , R2 } et la pente vaudra R2 p1 = R1 + R2 V V 3. Toutes les diodes conduisent et la sortie est limitée à V p2 = 0 V (6.44) 2 Vj . La pente est alors nulle (6.45) Calcul des amplitudes On se propose dans ce qui suit de calculer l'amplitude A du signal triangulaire ainsi que les résistances permettant de réaliser aussi bien que possible un signal sinusoïdal. L'approche utilisée consiste à faire en sorte que les pentes des segments de droite coïncident au mieux avec celles de la sinusoïde. Pour les calculs, on admettra que les diodes ont une tension de seuil de 0.6 [V]. L'amplitude du signal sinusoïdal est maximum quand toutes les diodes conduisent et l'on alors B = 2 Vj ' 1.2 [V ] 228 c 2008 [email protected] (6.46) 6.5. Générateurs de signaux Considérant que, pour t compris entre −T /4 et +T /4, les tensions d'entrée et de sortie sont décrites respectivement par u1 (t) = A t 4A = t T /4 T ⇒ t= t u2 (t) = B sin 2π T T u1 (t) 4A (6.47) (6.48) on en déduit la caractéristique de transfert qui relie ces deux tensions En dérivant u2 par 2π T u2 (t) = B sin = B sin u1 (t) T 4A π u1 (t) u2 (t) = B sin 2A rapport à u1 , on obtient la pente de cette caractéristique 2π t T (6.49) π π B π du2 π =B cos u1 (t) = cos u1 (t) du1 2A 2A 2 A 2A On a vu plus haut qu'autour de l'origine, cette pente vaut 1 ; on a donc du2 π B =1= du1 u1 =0 2 A On en déduit que l'amplitude A A= (6.50) du signal triangulaire doit valoir π π B = 2Vj = π Vj ' 1.88 [V ] 2 2 Dans la zone de conduction des diodes D1 et D2 , (6.51) on choisit de se placer en un point parti- culier, par exemple à mi-chemin de l'amplitude du signal triangulaire. La pente théorique vaudra alors π π du2 π π A π B = B cos = cos = cos = 0.707 du1 u1 =A/2 2A 2A 2 2 A 4 4 (6.52) Comme la pente générée par le diviseur résistif doit être égale à cette pente théorique, on en déduit que R2 = 0.707 R1 + R2 ⇒ R2 = 2.414 R1 (6.53) Exemple An d'illustrer ce qui vient d'être dit, considérons un signal original triangulaire d'amplitude A0 = 5 V et le schéma avec adaptation de l'amplitude du signal triangulaire (- gure 6.18). Comme on l'a vu plus haut, l'amplitude du signal triangulaire doit valoir, à l'entrée du conformateur, A = π Vj = 1.88 V . Cela peut se faire simplement avec un diviseur de tension tel que A = A0 R12 R11 + R12 c ⇒ R11 A0 5V = −1= − 1 = 1.66 R12 A 1.88 V 2008 [email protected] 229 6. Comparateurs et générateurs de signaux u1(t), u2(t) π Vj = A 2 Vj = B t 0 T/4 T/2 U2 p2 = 0 2 Vj = B p1 = R2 R1 + R2 p0 = 1 0 U1 A/2 A = π Vj Fig. 6.17.: Passage d'un triangle au sinus R11 D1 u1(t) D2 u2(t) R12 R2 D3 Fig. 6.18.: Conformateur avec adaptation d'amplitude 230 c 2008 [email protected] 6.5. Générateurs de signaux Une bonne approximation de ce rapport est obtenu avec R11 = 2 kΩ et R12 = 1.2 kΩ Vu du conformateur à diodes, ces deux résistances mises en parallèle sont équivalentes à la résistance R1 = R11 k R12 = 2 · 1.2 = 0.75 [kΩ] 2 + 1.2 On en déduit donc R2 = 2.414 R1 = 1.8 [kΩ] Signaux d’un conformateur u1(t) [V] 5 0 u2(t), usin(t) [V] −5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 0.05 0.1 0.15 0.2 temps [ms] 0.25 0.3 0.35 0.4 1 0 −1 2 u (t) − u sin (t) [V] 0.02 0.01 0 −0.01 −0.02 Fig. 6.19.: Signaux d'un conformateur à diodes La simulation de ce circuit a conduit aux résultats présentés dans la gure 6.19. D'un point de vue purement visuel, le signal de sortie ressemble fort à une sinusoïde. Le calcul de la diérence entre ce signal et une sinusoïde idéale de même amplitude montre que l'écart est très faible (< 20 mV ) par rapport à l'amplitude (' 1.2 V ). On notera cependant que l'analyse visuelle de la qualité d'un signal est insusante. Un moyen simple et ecace de chirer la qualité d'une sinusoïde réelle consiste à mesurer son spectre d'amplitudes (A1 , A2 , A3 , · · ·) et d'en calculer le taux de distorsion harmonique (TDH) déni comme suit Xef f, k>1 = T DH ≡ Xef f, k=1 s A22 + A23 + A24 + · · · A21 Celui-ci mesure la valeur ecace des harmoniques de la fondamentale A1 . A2 , A3 , · · · par rapport à la valeur ecace Une sinusoïde parfaite possède un TDH nul. Avec le conformateur simple proposé ci-dessus, on peut espérer atteindre un TDH inférieur à 5% environ. c 2008 [email protected] 231 6. Comparateurs et générateurs de signaux 6.6. Exercices Comp 1 Considérant le circuit Comp 1 avec u1 (t) = 6 sin(2π 100 t), Vsat = ±12 V R1 = 20 kΩ, R2 = 40 kΩ dessinez la caractéristique de transfert du circuit ; calculez littéralement puis numériquement ses niveaux de seuil ; dessinez la tension de sortie R1 u2 (t). R2 R1 R2 u1(t) R1 u1(t) u2(t) U0 u2(t) R2 Comp 1 Comp 2 Fig. 6.20.: Exercices Comp 1 Comp 2 Comp 2 Considérant le circuit Comp 2 avec u1 (t) = 6 sin(2π 100 t), Vsat = ±12 V, U0 = +2 V R1 = 10 kΩ, R2 = 60 kΩ 1. Dessinez la caractéristique de transfert du circuit. 2. Calculez littéralement puis numériquement ses niveaux de seuil. u2 (t) η = 1/2 − asin(2/3)/(2π)) 3. Dessinez la tension de sortie (Rép : Comp 3 Admettant et calculez le rapport cyclique du signal de sortie. VCC = ±12 V = Vsat , proposez deux comparateurs à seuils permet- tant de réaliser les deux caractéristiques de transfert Comp 3 de la gure 6.21. VCC U2 U2 +12 R3 +12 4 R1 6 U1 -12 4 -12 6 U1 u1(t) Comp 3 Fig. 6.21.: Exercices Comp 3 Comp 4 232 c R2 2008 [email protected] u2(t) Comp 4 6.6. Exercices Comp 4 Admettant Vsat = VCC = ±12 V téristique de transfert du circuit Comp 4. Comp 5 R1,2,3 = R, calculez puis Rép. : VT 1,2 = (8 V; 0 V) et dessinez la carac- Considérant la bascule astable de la gure 6.22 et admettant des niveaux de saturation diérents VH , VL , 1. calculez les temps tH , t L ; 2. faites l'application numérique avec 3. calculez R et C R 1 = R2 et VH = +12 V , VL = −6 V ; pour que la période d'oscillation soit de 1 ms. R1 R2 R uC(t) C u2(t) Fig. 6.22.: Exercice Comp 5 Comp 6 o o Pour mesurer et régler la température d'une pièce entre +18 C et + 20 C, on utilise une résistance NTC placée sur une branche d'un pont de Wheatstone. L'amplicateur diérentiel branché sur la diagonale du pont fournit une tension proportionnelle à la o o température variant entre 0 V et 5 V pour des températures comprises entre 10 C et 30 C. 1. Dessinez le schéma et la caractéristique du capteur ; quelles seront les tensions de seuil du comparateur ? 2. Dessinez le schéma fonctionnel de l'ensemble et proposez un schéma électronique permettant de régler la température de la pièce ; calculez ses composants. 3. Souhaitant évaluer les temps d'enclenchement et de déclenchement du chauage, on o a observé que sans chauage, la température se stabilise à +10 C et que, lorsque o le chauage est enclenché en permanence, la température atteint +25 C avec une constante de temps d'environ 1 heure. Étant donné ces valeurs, calculez les temps ton et tof f du chauage. c 2008 [email protected] 233 6. Comparateurs et générateurs de signaux Comp 7 Pour les deux circuit de la gure 6.23 tels que Vsat = ±VCC = ±12 V, 1. déterminez les tensions de commutation ; 2. esquissez u2 (t) et 3. calculez les temps uC (t) tH lorsque et tL , R = 1 kΩ la période T et C = 1 µF ; et le rapport cyclique R η. VCC 2R R R R C uC(t) R u2(t) R 2R uC(t) u2(t) C Fig. 6.23.: Exercice Comp 7 Comp 8 u3 (t) Considérant le générateur de signaux (gure 6.24) esquissez les signaux puis, sachant que R1 = 10 kΩ, R2 = 20 kΩ, R = 10 kΩ, C = 100 nF, calculez les valeurs de crête et la période des tensions u2 (t) et Vsat = ±12 V u3 (t). R2 C R1 R u1(t) = u3(t) u2(t) Fig. 6.24.: Exercice 8 234 c 2008 [email protected] u3(t) u2 (t) et 6.6. Exercices Comp 9 Considérant la bascule unipolaire de la gure 6.25 avec VCC = 12 V, R1 = 10 kΩ, R2 = 20 kΩ, R3 = 30 kΩ, R = 10 kΩ, C = 10 nF calculez ses tensions de seuil, son rapport cyclique et sa période d'oscillation. Dessinez les tensions u1 (t) et u2 (t). VCC R3 R1 R2 VCC u2(t) R u1(t) C Fig. 6.25.: Exercice Comp 9 Comp 10 On veut réaliser un générateur d'impulsions rectangulaires d'amplitude 0 et 10 V, de période 1 ms et de largeur 0.2 ms. Proposez un schéma (sans diode, avec un seul AO) et calculez les valeurs des composants. Comp 11 Réalisez un générateur fournissant un signal triangulaire d'amplitude ±5 V et de fréquence variable entre 100 Hz et 1 kHz. Comp 12 respectives de Uin Réalisez un VCO fournissant des signaux triangulaire et carré d'amplitudes ±6 V et ±12 V à la fréquence 1 kHz lorsque Uin = 5 V. Jusqu'à quelle valeur le VCO fonctionnera-t-il comme prévu ? Comp 13 On considère une bascule unipolaire similaire à celle de l'exercice Comp 9 dans laquelle R1 = R2 = R3 = 10 kΩ, RC = 1 µs, VCC = 5 V Sachant que l'AO est remplacé par un comparateur à collecteur ouvert relié à à travers une résistance RL = 10 kΩ c VDC = 24 V : 2008 [email protected] 235 6. Comparateurs et générateurs de signaux 1. Dessinez le schéma de la bascule avec le comparateur et son transistor de sortie. 2. Calculez les niveaux VH et VL 3. Calculez les tensions de seuil de la tension de sortie. VT 1,2 . 4. Calculez le rapport cyclique de la bascule ainsi que sa période d'oscillation. 236 c 2008 [email protected]