Partiel-Mars-2016 - DLST - Université Grenoble Alpes

Université Grenoble Alpes - (UJF)
L2 Licence Sciences et Technologies - STA240
Mars 2016
STA240 : CC2-Partiel
Durée : 2 heures.
Documents autorisés : Tables statistiques - Calculatrice - 1 page A4 recto-verso, manuscrite.
Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1 : (8 points)
Une usine fabrique des puces électroniques utilisables pour de nombreux matériels. À la fabrication, 5% des
puces sont défectueuses et sont détruites. Les autres puces sont utilisables. On dira qu’une puce a une durée de
vie courte si elle est inférieure ou égale à 1000 heures. Seulement 2% des puces utilisables ont une durée de vie
courte. On note les évènements suivants : U “La puce est utilisable” et C “La puce a une durée de vie courte”.
1. On prend au hasard une puce fabriquée dans l’usine.
Après avoir précisé P (C | U ), calculer la probabilité que la puce soit de qualité (c’est à dire utilisable et
avec une durée de vie longue).
Dans la suite de l’exercice on s’intéresse uniquement aux puces utilisables.
2. Soit X la variable aléatoire représentant la durée de vie d’une puce (en h). On suppose que X suit une loi
exponentielle de paramètre λ .
a. Montrer que λ = − ln(0,98)/ 1000.
[Rappel : la probabilité que la durée de vie est inférieure à 1000 est égale à 0,02]
b. Calculer P (20000 < X < 30000).
3. On utilise un nouveau procédé de fabrication de cette puce. On note Y la variable aléatoire égale au
nombre de puces ayant une vie courte fabriquées par ce nouveau procédé.
a) Dans cette question, on suppose que E(Y)=45. Donner une majoration (non évidente !) de P ( Y ≥ 90).
b) Dans cette question, on suppose que E(Y)=45 et V(Y)=45. En utilisant l’inégalité de Bienaymé Tchebychev, calculer une minoration de P (35 < Y < 55).
4. Avec ce nouveau procédé de fabrication plus performant, la probabilité qu’une puce utilisable ait une
durée de vie courte est égale à 0,003. On prend un échantillon de 15000 puces utilisables. Le nombre de
puces est suffisament grand pour considérer que c’est un tirage avec remise (donc indépendant). On note
Y la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon.
a. Justifier et donner la loi exacte de Y.
b. Donner la loi approchée de Y (justifier).
c. Calculer P (35 < Y< 55) en utilisant l’approximation précédente puis en donnant la vraie valeur selon
la loi obtenue en a).
d. Dans l’échantillon, on compte 59 puces avec une durée de vie courte. Peut-on considérer que cet
échantillon est conforme aux données de l’usine ? Vous calculerez un intervalle adéquat de niveau 0,98.
1
Exercice 2 : (8pts)
On demande à des étudiants d’écrire un programme spécifique en utilisant le même langage. On considère
quatre groupes d’étudiants G1, G2, G3 et G4 (groupes très nombreux). Soit X la variable aléatoire représentant
le temps de compilation des programmes. On suppose que X suit une loi Gaussienne pour tous les groupes. Les
résultats suivants donnent les moyennes et écart types des trois premiers groupes, on ne connait pas les résultats
du 4ème :
X1
µ = 15, 6
σ = 1, 5
X2
µ = 14, 2
σ = 1, 1
X3
µ = 19, 1
σ = 1, 7
X4
?
?
1. Calculer la proportion d’étudiants du groupe 1 dont les programmes ont un temps de compilation inférieur
à 16.
2. On prend au hasard un programme de G1 et un programme de G2. Calculer la probabilité que le programme de G1 soit plus rapide que celui de G2.
3. Calculer la valeur h pour laquelle 90% des programmes du groupe G3 sont inférieurs à h.
4. On considère seulement le groupe 3. Calculer l’intervalle centré sur la moyenne de X du G3 qui contient
98% des temps de compilation. [Indication : P (| X3 − 19, 1 |≤ a) = 0, 98]
5. Dans cette question, on étudie un échantillon de taille 25 du groupe G1.
a) Donner la loi de X 1 .
b) Dans cet échantillon, on trouve : x1 = 15, 1 et s1 = 1, 8. Quel niveau faut-il prendre pour déclarer que
cet échantillon n’est pas dans la “norme” du groupe G1 ?
6. On étudie maintenant le groupe G4 pour lequel on n’a pas encore tous les résultats. Sur un échantillon de
14 programmes, on trouve : x = 18, 7 et s0 = 1, 6.
Donner un encadrement de la moyenne de tout le groupe avec un niveau de confiance de 95%.
Exercice 3 : (5 pts)
Pour étudier les programmes de l’exercice 2, on relève le temps de compilation des programmes de 10 étudiants
“particuliers”. On suppose que cette variable aléatoire X suit une loi Normale de moyenne µ et de variance σ 2 .
14,4
13,4
13,6
14,15
13,3
14,7
14,44
14,9
13,5
12,89
1. Calculer la moyenne et variance empiriques. Calculer la moyenne et variance estimées sans biais de X.
2. a) Donner un intervalle de confiance de niveau 0,99 pour la moyenne de X.
b) Donner un intervalle de confiance de niveau 0,99 pour l’écart type de X.
3. On suppose maintenant que l’écart type de X est connu et égal à 0,65. Dans les deux questions suivantes,
on suppose que la moyenne est inchangée et toujours égale à celle obtenue en 1.
a) Quel niveau de confiance faudrait-il prendre pour que l’intervalle de confiance de µ ait une précision
de ± 0,3 ?
b) Combien de programmes d’étudiants devrait-on prendre pour estimer µ au niveau de confiance de 99%
avec une précision de ± 0,3 ?
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