Exercice 1 - PharedesMaths
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Stage Printemps Sujet type-bac no 3 Terminale S Exercice 1 Dans cet exercice, les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. Au besoin, les probabilités calculées seront données sous forme décimale, arrondies au millième. Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour différents matériels. À la sortie de fabrication, 5 % d’entre elles présentent un défaut et sont éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients. On dit qu’une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1000 heures. On observe que 2 % des puces livrées ont une durée de vie courte. 1. On choisit au hasard une puce fabriquée par l’entreprise et on note : • L, l’événement : « La puce est livrée. » ; • C, l’événement : « La puce a une durée de vie courte. ». a) Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1000 heures ? b) Calculer la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte. Dans la suite de l’exercice on s’intéresse seulement aux puces livrées aux clients. 2. On appelle X la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d’une telle puce. On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ. ln(0,98) . 1000 b) Calculer une valeur approchée arrondie à l’entier le plus proche de l’espérance de X. Interpréter le résultat. a) Montrer que λ = − c) Déterminer une valeur approchée arrondie à l’entier le plus proche du réel p pour lequel la probabilité qu’une puce ait une durée de vie supérieure à p heures est égale à 0,5. Interpréter le résultat. d) Calculer P (20000 6 X 6 30000). Interpréter le résultat. 3. Les ingénieurs de l’entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu’avec ce nouveau procédé la probabilité qu’une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à 0,003. On prélève au hasard 15000 puces prêtes à être livrées. On admettra que ce prélèvement de 15000 puces revient à effectuer un tirage avec remise de 15000 puces parmi l’ensemble de toutes les puces électroniques produites par l’entreprise et prêtes à être livrées. On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon. a) Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres et dont on calculera et interprétera l’espérance. b) Calculer la probabilité P (40 6 Y 6 50). c) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que P (Y > n) 6 0,01. Sujet type-bac no 3 Stage Printemps Terminale S Exercice 2 Partie A Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 3 . 1 + e−2x Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal (O; #» ı , #» ), la courbe représentative C de la fonction f et la droite ∆ d’équation y = 3. ∆ 3 2 1 C −2 #» −1 O #» ı 1 2 3 4 1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R. 2. a) Justifier que la droite ∆ est asymptote à la courbe C . b) C admet-elle d’autres asymptotes ? Justifier. 3. a) Établir que : ∀x ∈ R f (x) + f (−x) = 3 b) Démontrer que l’équation f (x) = 2 admet une unique solution , notée α, sur R et déterminer la valeur numérique exacte de α. c) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de f (−α). Partie B 1. Justifier que la fonction h : x 7→ 3 − f (x) est continue et à valeurs strictement positives sur R. ä 3 Ä 2. Montrer que la fonction H, définie sur R par H(x) = − ln 1 + e−2x , est une primitive de h sur R. 2 3. Soit t un réel strictement positif. a) Donner une interprétation graphique de l’intégrale Z t h(x) dx. 0 b) Démontrer que Z 0 t 3 2 h(x) dx = ln . 2 1 + e−2t Ç å x >0 f (x) 6 y 6 3 Hachurer le domaine D sur le graphique de la première partie puis déterminer son aire, exprimée en unités d’aire. c) On note D l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x; y) vérifient :
