5. Suites numériques

Maths 1es-1l
mémo bac
5. Suites numériques
1. Suites numériques
Propriétés : Une suite u de nombres réels est une fonction dont la variable est un entier naturel n
(n ∈ N).
L’image de l’entier n par la suite u est notée un . un désigne le terme général de la suite u.
Principaux modes de génération d’une suite numérique (exemples) :
• Définition explicite : pour tout n ∈ N un = n2 (u0 = 0, u1 = 1, u2 = 4, . . .) ;
• Définition récurrente : v0 = 0 et pour tout n ∈ N vn+1 = vn + 2n1+ (v0 = 0, v1 = 1, v2 = 4, . . .).
Variations d’une suite numérique
Définition : La suite u est :
• croissante si pour tout n ∈ N, un+1 > un ;
• décroissante si pour tout n ∈ N, un+1 6 un ;
• constante ou stationnaire si pour tout n ∈ N, un+1 = un ;
• monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
Remarque : u est dite strictement croissante si pour tout n ∈ N, un+1 > un , strictement décroissante si
un+1 < un et strictement monotone si elle est strictement croissante ou bien strictement décroissante.
Exemples : • un = n2 est strictement croissante, car un+1 − un = (n + 1)2 − n2 = 2n + 1 > 1 > 0.
• vn+1 = vn +2n+1 (v0 donné) est strictement croissante, car vn+1 −vn = vn +2n+1−vn = 2n+1 > 1 > 0.
1
1
−1
1
− n+1
= (n+1)−(n+2)
• wn =
est strictement décroissante, car wn+1 − wn = n+2
(n+1)(n+2) = (n+1)(n+2) < 0.
n+1
2. Suites arithmétique
Définition : La suite u est arithmétique ssi u est définie pour tout n ∈ N par un+1 = un + r, où r
est un réel donné, appelé raison de la suite, et u0 est un réel fixé.
Propriétés : Si u suite arithmétique de raison r,
alors pour tous n et p, entiers naturels :
un = u0 + nr
et
un = up + (n − p)r .
Reconnaître une suite arithmétique :
• Si pour tout n ∈ N : un+1 − un = a constant, alors u est une suite arithmétique de raison a.
• Si pour tout n ∈ N : un = an + b, alors u est une suite arithmétique de raison a et u0 = b.
Remarque : On dit que l’évolution d’une suite arithmétique est linéaire.
Variations d’une suite arithmétique :
Théorème : Pour une suite arithmétique un = u0 + nr :
• Si r > 0, alors u est strictement croissante ;
• Si r < 0, alors u est strictement décroissante ;
• Si r = 0, alors u est constante ou stationnaire.
3. Suites géométrique
Définition : La suite u est géométrique ssi u est définie pour tout n ∈ N par un+1 = q × un , où q est
un réel donné, appelé raison de la suite, et u0 est un réel fixé.
Propriétés : Si u suite géométrique de raison q,
alors pour tous n et p, entiers naturels :
un = u0 × q n
et
un = up × q (n−p) .
Reconnaître une suite géométrique :
un+1
= a constant, alors u est une suite arithmétique de raison a.
• Si pour tout n ∈ N :
un
• Si pour tout n ∈ N : un = a × bn , alors u est une suite arithmétique de raison b et u0 = a.
Propriétés : Si u suite géométrique de raison q et ne s’annulant pas, alors pour tout entier n la
un+1 − un
variation relative :
est constante.
un
Remarque : On dit que l’évolution d’une suite géométrique est exponentielle.
Variations d’une suite géométrique :
Théorème : Pour une suite géométrique un = u0 × q n , avec u0 > 0 et q > 0 :
• Si q > 1, alors u est strictement croissante ;
• Si 0 < q < 1, alors u est strictement décroissante ;
• Si q = 1 = 0, alors u est constante ou stationnaire.
math4bac
v1.618