Ondes

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Systèmes Constructifs Bois et Habitat.
DOSSIER 9 :
Ondes
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Propagation des ondes
I. Les oscillateurs.
Les systèmes :
 Masse-ressort.
 Pendule.
 Diapason.
 Etc……..
forment des oscillateurs.
Sous l’action d’une impulsion extérieure ils s’animent d’un mouvement vibratoire périodique autour de leur
position d’équilibre.
La boule du pendule passe par sa position de lâcher à intervalles réguliers. Le temps qui s’écoule entre deux
passages consécutifs est la période T(s) du mouvement. Le phénomène observé est périodique.
Le nombre de fois ou le phénomène se reproduit en une seconde est la fréquence f(Hz).
f=1/T
L’amplitude des oscillations dépend de l’impulsion qui a provoqué les oscillations.
II. Propagation d’un signal.
a. Ondes transversales, ondes longitudinales.
Onde transversale :Une impulsion isolée est
produite à l’extrémité de la corde. L’état de la
corde est montré à trois instants consécutifs
différents
Onde longitudinale :Une impulsion isolée est
produite à l’extrémité d’un ressort à boudin,
chaque spire du ressort est successivement
comprimée et dilatée dans la direction de
propagation.
Chacune de ces ondes peut-être présentées par un
même diagramme.
Pour la corde : y est le déplacement d’un point de
la corde par rapport à sa position de repos.
Pour le ressort : y mesure la compression ou la
dilatation du ressort
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b. Onde périodique.
La perturbation périodique se propage vers la
droite,
a)le pointillé indique la position de repos de la
corde.
b)Le ressort est alternativement comprimé et
dilaté
c) un même diagramme peut représenter ces
deux ondes.
c. Lumière et son.
a) La lumière est une onde électromagnétique transversale (déplacement perpendiculaire à la direction de
propagation).
b) Le son est une onde longitudinale correspondant à une compression ou à une dilatation du milieu traversé dans
la direction de propagation.
III. Ondes périodiques sinusoïdales.
Quelle que soit leur origine physique, les ondes périodiques sont toutes caractérisées par les mêmes paramètres :





Période.
Fréquence.
Longueur d’onde.
Vitesse de propagation ou célérité.
Amplitude.
La plupart des ondes que nous allons étudierons seront des ondes sinusoïdales.
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 (en m)
Longueur d’onde :
Distance qui sépare deux crêtes
x (en m)
successives
T (en s)
t (en s)
Période :T
Durée qui sépare le passage de deux
crêtes successives qui sépare deux
crêtes successives
La fréquence f en Hertz (Hz) est le nombre de crêtes, en un point donné, par seconde : f=1/T.
Ondes à la surface de l’eau : (cuve à ondes)
IV. Vitesse de propagation ou célérité.
Relations :
c=/T
=> c=f.
Ordres de grandeurs :
Ondes électromagnétiques (lumière) : Dans le vide c=3.108m/s
Onde sonore : Dans l’air à 30°C c =344m/s Dans l’aluminium c=5000m/s.
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Exemple :
1)Une onde pulsée sur une corde tendue parcourt une distance de 10m en 0,05s
a. Quelle est la vitesse de propagation de l’impulsion ?
b. Quelle est la fréquence d’une onde périodique se propageant sur la même corde si sa longueur d’onde est
0,8m ?
2)Typiquement, l’onde sonre associée à la voix humaine a une fréquence de l’ordre de 500Hz, alors que la
fréquence de la lumière jaune est de l’ordre de 5.1014 Hz. Dans l’air, le son se propage à la vitesse de 344m.s-1 et
la lumière à la vitesse de 3.108m.s-1.
Quelles sont les longueurs d’ondes de ces deux phénomènes ondulatoires ?
Pour une corde la vitesse de propagation dépend de la tension  et de la masse par unité de longueur 

V est telle que c=
.

Exemple :La tension de la corde de la plus longue corde d’un piano à queue est 1098N et sa masse par unité de
longueur est de 0,065kg/m.
Quelle est la vitesse de propagation de l’onde sur cette corde ?
V. Oscillations forcées et résonance.
Expériences :
1) Mesure de la période des oscillations de R, soit T0 (fréquence f0=1/T0).
R
2) Augmentation de l’amortissement.
R
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Allure de A=f(t)
A :amplitude
On peut, si on augmente
l’amortissement, obtenir un régime
apériodique
0
t
Repérer la pseudo-période
3) Soit LE la longueur du pendule E et LR la longueur du pendule R (sans amortissement).
On réalise trois expériences dans lesquels on lâche le pendule E avec la même amplitude.
R se met en mouvement (il entre en oscillations forcées) lorsque le pendule E oscille.
E
R
Cas 1 :LE>LR
Les amplitudes prises par R sont faibles.
Cas 2 :LE<LR
Les amplitudes prises par R sont faibles.
Cas 3:LE=LR
L’amplitude de R est importante, les pendules oscillent en quadrature.
Le pendule E est l’excitateur, le pendule R est le résonateur, le fil de nylon constitue le système de couplage.
La période propre des pendules dépend de la longueur L, si LE=LR alors leur fréquence propre sont identiques
Les amplitudes du résonateur sont maximums lorsque la fréquence propre de l’excitateur est la même
que la fréquence propre du résonateur. Il y a résonance.
A
Résonance aiguë
Résonance floue
Si on augmente l’amortissement
de R, la résonance est plus
floue. On dit que l’acuité de la
résonance diminue.
Courbe de résonance :
Résonance aiguë
0
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f
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On peut
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VI. Résonateur acoustique.
U
Lorsqu’on frappe le
diapason, le son perçu est
faible
U
Lorsqu’on frappe le
diapason, le son perçu
bien plus important
Caisse dite de résonance
La masse d’air contenu dans la caisse de résonance entre en vibration et absorbe l’énergie de la source sonore
(diapason) puis la reémet.
U
U
D1
D2
D1 et D2 sont deux diapasons identiques.
Lorsqu’on excite D1 et qu’on l’arrête brusquement on perçoit un son provenant de D2.
D2 entre en résonance.
Quand on ajoute une surcharge à D2.
U
D2
(les fréquences propres de D1 et de D2 sont alors différentes) la résonance ne se produit plus, on ne perçoit plus le
son provenant de D2
Le phénomène de résonance acoustique est très sélectif.
Le phénomène de résonance peut-être recherché dans certains domaines, car le système résonant se comporte
comme un filtre des fréquences indésirables (radiodiffusion).
Mais il existe de nombreux domaines où il peut s’avérer dangereux (risque de surtension en électricité, risque de
détérioration des pièces mécaniques dans une automobile ou une machine.
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VII. Ondes stationnaires.
Repos
vibreur
ventres
Aspect de la corde
observé au stroboscope
réglé à la fréquence du
vibreur .
Nœuds
L’onde émise par le vibreur se propage le long de la corde, se réfléchit à l’extrémité fixe.
L’onde réfléchie a même amplitude, même fréquence mais un sens de propagation opposé.
La superposition des 2 ondes, incidente et réfléchie peut, sous conditions, générer une onde stationnaire. Cette
onde semble ne plus se propager. La corde à l’aspect d’un ou plusieurs fuseaux, certains points de la corde vibrent
avec une grande amplitude: ce sont les ventres (V) de vibration. Entre deux ventres, on observe des points
pratiquement immobiles : les nœuds (N) de vibration.
Résonance et ondes stationnaires :
On peut régler la longueur de la corde ou la fréquence du vibreur pour obtenir des fuseaux de grande amplitude.
La résonance s’observe alors si la fréquence f de l’excitateur (vibreur) est égale à la fréquence propre f0 de la
corde ou à un multiple de f0.
La condition d’obtention d’une onde stationnaire à n fuseaux est n./2=L =>
sachant que f=c/
alors f=
avec f0=
Rappel : La célérité de propagation c d’une corde tendue par une force  est c=

µ
Avec µ : masse linéique de la corde
L=3./2
L=/2
1 fuseau : fvibreur=f0
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3 fuseaux : fvibreur=3.f0
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VIII. Les relations fondamentales de la propagation.
a. Longueur d’onde, célérité, période.
Un point M effectue une vibration transversale de période T, le mouvement vibratoire avance d’une longueur
d’onde , si la célérité est désignée par v :
  v.T
longueur d’onde
Date t=0
célérité du mouvement
période de la source du point M
M
Date t=T/4
M
Date t=T
M
La relation est valable pour les ondes transversales ou longitudinales. Elle fait intervenir la source et le point
vibrant (par leur caractéristique fondamentale :T ) ainsi que le milieu propagateur (par sa caractéristique :v)
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b. Equation horaire du mouvement le long d’un rayon.
Soit S la source, M un point qui reçoit de l’énergie apportée par les ondes, Sx la direction de propagation.
Sx est nommé rayon propagateur.
On suppose la propagation linéaire et sans amortissement. Le point M reproduit le mouvement de la source, avec
la même amplitude, mais avec un certain retard puisque la transmission n’est pas instantanée.
Soit A l’amplitude de la source et T sa période.
L’équation horaire de S s’écrit, en prenant zéro comme origine des phases :
2.
. t)
y = A . sin (
T
Pour parcourir la distance SM=x, le mouvement, de célérité égale à v, à mis le temps =x/v
A la date t l’élongation du point M est exactement celle que représentait la source à la date antérieure t-. Son
expression est donc
2.
t 
. ( t -  )= A . sin 2.(  )
yM = A . sin
T T
T
avec =x/v
t
x
yM= A . sin 2.( 
)
T v.T
avec =v.T
t x
yM= A . sin 2.(  )
T 
v
M
yM= A . sin 2.(
S
y = A . sin (
t x
 )
T 
x
2.
. t)
T
Cette relation montre que l’élongation d’un point quelconque du milieu traversé par les ondes dépend à la fois :
 Du temps.
 De sa distance par rapport à la source.
La longueur x, comptée le long du rayon entre S et M, est nommée différence de marche entre le point et la
source.
L’angle 2..x/ , est la différence de phase entre le mouvement de la source et celui du point.
Pour d‘écrire l’état vibratoire le long d’un rayon il faut tenir compte d’une double périodicité :

Périodicité dans le temps : tous les points ont la même fréquence de la source. La source impose sa
fréquence là où elle envoie de l’énergie.
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
Périodicité dans l’espace :
A une date déterminée.
 Sont en phase avec la source tous les points tels que : x=k.
 Sont en phase entre eux, deux points A et B tels que : xB-xA=k.
 Sont en opposition de phase avec la source tous les points tels que : x=(2k+1)./2
 Sont en opposition de phase entre eux, deux points C et D tels que : xD-xC=(2k+1)./2
yM= A . sin 2.(
t x
 )
T 
x
d=k.
A
S
ys = A . sin (
2.
. t)
T
B
D
C
M
propagation
d=(2k+1)./2
IX. Notions d’interférence :
a. Phénomène :
Dans un même milieu de propagation , deux sources peuvent produire des ondes qui se superposent, il peut y
avoir des zones où les deux ondes s’annihilent et d’autres zones où elles se renforcent.
Pour produire ces interférences il faut que les sources soient cohérents ( même fréquence et même déphasage
constant).
b. Application :
On peut observer ce phénomène d’interférences dans tous les domaines des ondes( mécanique, acoustique,
optique, électromagnétique..)
En acoustique, on peut réduire le niveau sonore en un endroit en y faisant interférer deux ondes sonores obtenues
à partir du bruit ambiant de tel sorte que cet endroit soit sur une frange nulle.
En optique, les couleurs de lames minces (bulles de savon ou couches d’huile) proviennent de franges
d’interférences entre la lumière incidente et la lumière réfléchie sur les surfaces des lames.
Les contrôles de qualité des surfaces polies, la mesure de l’épaisseur de cales de références dans les ateliers de
métrologie peuvent être obtenus avec une très grande précisions 10-7, par des techniques d’interférométrie.
Les hologrammes sont des figures d’interférences produite par un laser éclairant un objet et la lumière diffusée
par cet objet.
En astronomie, on améliore la résolution des observations effectuées au moyen des télescopes en utilisant
plusieurs miroirs (ou antenne en radioastronomie).
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X. Diffraction :
Si on place dans une cuve à ondes un obstacle muni d’une ouverture de largeur inférieure à la longueur
d’onde d’une onde plane créée, il y a apparition d’une onde circulaire qui semble émise par l’ouverture :
c’est le phénomène de diffraction. Les ondes incidentes et diffractées ont même longueur d’onde .
Avec une ouverture supérieure à la longueur d’onde il n’y a pas de diffraction.
On observera ce phénomène en optique et en acoustique.
XI. Le phénomène de réflexion.
Première loi de Descartes : l’angle d’incidence et l’angle de réflexion sont égaux : i= i’
Le point de rencontre du rayon incident et du dioptre est appelé point d'incidence.
i
i’
Site très intéressant http://www.odpf.org/anterieures/xviii/gr-23/pdf/memoire_23.pdf
XII. Le phénomène de réfraction
La loi de Descartes de la réfraction exprime le changement de direction d'un faisceau lumineux lors de la
traversée d'une paroi, séparant deux milieux différents. Chaque milieu est caractérisé par sa capacité à « ralentir »
la lumière, modélisée par son indice de réfraction n qui s'exprime sous la forme :
où v est la vitesse de la lumière dans ce milieu et c est la vitesse de la lumière dans le vide.
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Soit n1 l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propage le rayon incident et n2 celui du milieu dans lequel
se propage le rayon réfracté.
La loi de la réfraction s'énonce ainsi :
 le rayon réfracté est dans le plan d'incidence
 la relation liant les indices de réfraction n1 et n2 de chacun des milieux et les angles incident θ1 et
réfracté θ2 sont liés par la relation dite de Descartes :
Pour n1>n2 (et respectivement n1<n2) le rayon réfracté(ou incident) se rapproche plus rapidement du dioptre que
le rayon incident(ou réfracté).Quand le rayon réfracté (ou incident) se retrouve mathématiquement sur le dioptre
(sa limite) il y a alors réflexion totale.
Application :Au pied d’un mur vertical se trouve un bassin profond de 1 m et large de 2 m. Sur le fond du bassin,
on installe un projecteur (faisceau lumineux) destiné à éclairer une petite niche située dans le mur à 2,5 m au
dessus du niveau du sol. Le bassin étant vide, on règle la position du projecteur pour qu’il éclaire la niche. On
remplit le bassin d’eau jusqu'au ras du sol dont l’indice de l’eau est n=1,33
Exercices :
Exemple 1
Représenter graphiquement la fonction périodique :
u=10 sin 6,28. t
échelle :1cm=5unités
1cm=0,1s
 Déterminer la période de u.
 Calculer sa fréquence.
 Calculer sa pulsation.
 Déterminer l’amplitude de u.
Exemple 2
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1
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Exemple 3
Exercices :
a. Un pendule est constitué d’un fil vertical et d’une petite masse. Animé d’un mouvement oscillatoire, on
compte 50 oscillations en 60s.
i. Calculer sa période T et sa fréquence f.
l
ii. On montre que la période d’un pendule est donnée par la relation T=2.
où l est la longueur du
g
filet g=9,8 m/s².
Calculer la longueur du fil du pendule étudié.
iii. Comment varie la fréquence si on allonge le fil ?
b. On relève les oscillogrammes relatifs aux sons émis respectivement par un diapason et par un instrument
de musique.
Diapason :
Instrument de musique :
Sachant que la fréquence du son émis par le diapason est de 440Hz, calculer la fréquence du son émis par
l’instrument.
c. Un véhicule roule à 72 km/h. Une roue de diamètre 0,50m est mal équilibrée. Elle communique au camion
des oscillations périodiques de fréquence f.
i. Exprimer la vitesse du véhicule en m/s.
ii. Calculer la fréquence n de rotation de la roue en tr/s.
iii. En déduire la fréquence f des oscillations.
iv. Lorsque le camion atteint une certaine vitesse, le levier de changement de vitesse vibre avec une
forte amplitude. La fréquence des oscillations est de 17Hz.
a. S’agit-il d’un phénomène de résonance ?
b. Calculer la vitesse critique correspondante en km/h.
v. La roue défectueuse a été rééquilibrée. Le camion roule sur un chemin de terre présentant des
ondulations régulièrement espacées de 0,40m. Le camion et la remorque constituent alors un
oscillateur de fréquence 35Hz. Calculer la vitesse, en km/h, pour laquelle le camion entre en
résonance
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Etude d’un oscillateur
mécanique :
Un ressort de raideur k est fixé à un solide S
de masse m=250g.
L’autre extrémité du ressort est fixe.
Le solide peut coulisser sur une tige
horizontale.
Initialement le ressort n’est pas tendu. Le
centre de gravité G du ressort est en O. On
écarte le solide d’une longueur Xmax et on
lâche.
La force de rappel du ressort est telle que
T=kx=k(L-L0)
L0
x
L
A) Absence de frottement (régime périodique) :
1)En appliquant le PFD montrer que le déplacement du système est régi par une équation différentielle du second
ordre.
2) La solution de l’équation différentielle peut s’écrire x(t)=Xmax .sin(0t+),
Xm : amplitude maximum du mouvement ; 0 : pulsation propre du système ;
 :phase à l’origine des dates.
Donner l’expression de la pulsation propre du système en fonction de m et de k.
3)D’après le relevé, ci-dessous, donnant l’élongation en fonction du temps :
 Donner la valeur de la période propre T0 de la fréquence propre f0, en déduire sa pulsation propre
0 du système.
 En déduire la valeur de k, coefficient de raideur du ressort..
 Déterminer l’élongation maximale du ressort.
4)Donner l’expression littérale de la vitesse du point G, que vaut la vitesse en t=0.
5)Que peut-on dire de l’énergie mécanique du système, donner son expression en fonction de Xm, sachant
que l’énergie potentielle est telle que Ep=1/2.k.x².
Régime périodique
2
1,5
1
X en (cm)
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
-0,5
-1
-1,5
-2
t en (S)
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B) Frottements (régime pseudo périodique ou apériodique) :
Frottements fluides :
La masse est soumise au frottement fluide fr=-. V.
Avec des frottements faibles l’amplitude des oscillations diminue (régime pseudo périodique), si les frottements
sont importants, la masse écartée de sa position d’équilibre puis lâchée revient vers sa position d’équilibre
(régime apériodique).
1)Dans le cas des frottements faibles, déterminer la pseudo-période du système. Que peut-on dire ?
2)Que peut-on dire de l’énergie mécanique, se conserve t’elle ?, diminue t’elle ou augmente t’elle ?
Régime apériodique,
frottement fluide.
Régime pseudopériodique,
frottement fluide.
2
2
1,8
1,5
1,6
1
1,4
X en (cm)
x en (cm)
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
-0,5
1,2
1
0,8
0,6
-1
0,4
-1,5
0,2
0
-2
0
0,5
1
t en (s)
1,5
2
t en (s)
Frottements solides :
La masse est soumise à un frottement solide fr=cste.
Régime pseudopériodique,
frottement solide.
2
1,5
X en (cm)
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
-0,5
-1
-1,5
-2
t en (s)
Si fr est augmente, on obtient un régime apériodique.
Oscillations entretenues :
Malgré les frottements on peut conserver une amplitude constante, expliquez comment ?
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Exemple d’oscillations forcées : résonance.
Le résonateur étudié est l'oscillateur ressort-solide.
Grâce à un moteur, on lui applique une force extérieure, de fréquence f égale à la fréquence de rotation du moteur.
Le résonateur oscille à la fréquence f réglable imposée par l'excitateur (moteur).
On étudie les oscillations du résonateur en modifiant la fréquence f de l'excitateur.
On mesure l'amplitude xm des oscillations du résonateur dans trois situations d'amortissement :
faible, moyen et fort.
Fluide
Si l'amortissement est faible, l'amplitude du résonateur est maximale pour une certaine fréquence fR de
l'excitateur proche de la fréquence propre f0 du résonateur.
Il y a résonance aiguë d'amplitude.
Si l'amortissement est moyen, la fréquence de résonance diminue et la résonance devient plus difficile à repérer,
elle est floue.
Si l'amortissement est grand, il n'y a plus de résonance
Ce phénomène de résonance s'observe pour d'autres types d'oscillations, notamment les oscillations électriques ou
optiques.
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Autres exemples d’oscillateurs mécaniques :
Le ressort vertical.
T=k(L-L0) et T’= k(L’0-L0) et x= k(L-L’0)
En déplacement :
P+T=m.aG
Projection :
P-T=m.aG
1 : mg-k(L-L0) =m.d²x/dt²
A l’équilibre :0
P+T’=0
Projection :
P-T’=0 => P=T’ => mg=k(L’0-L0)
(L’0-L0)=mg/k => L0=L’0-mg/k et donc L-L0=L-L’0+mg/k
en reportant dans 1 :mg-k(L-L’0+mg/k)= m.d²x/dt²
-k(L-L’0)= m.d²x/dt² ; -k.x= m.d²x/dt² ; m.d²x/dt²+k.x=0
d²x/dt²+(k/m).x=0 équation différentielle d’un oscillateur
harmonique de pulsation telle que ²0=k/m
L0
L’0
x
L
T’
T
P
P
Le pendule pesant :
()
R O

l
d
P

C’est un système mécanique mobile autour d’un axe horizontal ne
passant pas par son centre d’inertie (ex :balancier d’unehorloge.)
Le solide S de masse m est en mouvement de rotation à la vitesse 
autour de l’axe  perpendiculaire au point O, où passe l’axe 
Les forces de frottement sont négligées.
S est soumis à son poids P et à la réaction R de l’axe.
Relation fondamentale de la dynamique :
(Fext)=J.d²/dt² =>(R) +(P)=J.d²/dt² (R)=0
(P)=-P.d=-m.g.l.sin
J est le moment d'inertie de S 
-m.g.l.sin=J.d²/dt² ; d²/dt²+m.g.l.sin
Cette équation différentielle n’admet pas de fonction sinusoïdale
comme solution , ce n’est pas un oscillateur harmonique.
Avec des oscillations de faibles amplitudes ( faible) sin 
d²/dt²+m.g.l.équation différentielle d’un oscillateur
harmonique de pulsation telle que 0²=m.g.l/J.
* Un pendule simple est un cas particulier idéal de pendule pesant, il est constitué d’un objet de masse m

accroché à une extrémité d’un fil inextensible
ou d’une tige rigide, de masse négligeable devant celle de l’objet, le
centre de gravité du système est confondu avec celui de l’objet

Dans ce cas J=m.l²
d²/dt²+g/l.0²=g/l
P
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