Trigonométrie Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice

Fiche(1)
Trigonométrie
Exercice 1
La droite (PP’) est le support de la bissectrice de l’angle ̂ .
(RR’) est perpendiculaire à (PP’).
1) Par quels réels sont repérés chacun des points P, P’, R, R’ sur le cercle trigonométrique ?
2) Donner les mesures des angles suivants :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Exercice 2
Marquer sur un cercle trigonométrique les points E, F, G et H tels que :
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Exercice 3
Soit (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
. Donner quatre valeurs possibles pour les mesures de cet angle orienté.
Exercice 4
1) Parmi les réels suivants, quatre sont des mesures d’un même angle orienté : quel est l’intrus ?
;
;
;
;
2) Même question pour les réels suivants :
;
;
;
;
Exercice 5
Voici une mesure d’un angle orienté
. Donner la mesure principale et donner deux autres mesures de cet angle.
Mêmes questions avec les mesures suivantes :


;
et
Trigonométrie − CORRIGE
Fiche(1)
Exercice 1
La droite (PP’) est le support de la bissectrice de l’angle ̂ .
(RR’) est perpendiculaire à (PP’).
1) Par quels réels sont repérés chacun des points P, P’, R, R’ sur le cercle trigonométrique ?
; Le point P’ est repéré par
Le point P est repéré par
point R’ est repéré par
; Le point R est repéré par
; Le
.
2) Donner les mesures des angles suivants :
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
rad ; (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
rad ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Exercice 2
Marquer sur un cercle trigonométrique les points E, F, G et H tels que :
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Exercice 3
Soit (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
. Donner quatre valeurs possibles pour les mesures de cet angle
orienté.
Cet angle a pour mesures possibles :
;
;
;
;
;…
Exercice 4
1) Parmi les réels suivants, quatre sont des mesures d’un même angle orienté : quel est l’intrus ?
;
;
;
; . En effet,
2) Même question pour les réels suivants :
;
; sont des mesures de l’angle .
;
;
;
;
. Tous les autres sont des mesures de l’angle
;
Exercice 5
Voici une mesure d’un angle orienté
. Donner la mesure principale et donner deux autres mesures de cet angle.
Mêmes questions avec les mesures suivantes :
donc
;
a pour mesure principale
Deux autres mesure de cet angles sont
donc
et
.
et
a pour mesure principale
Deux autres mesure de cet angles sont
et
donc a pour mesure principale
Deux autres mesure de cet angles sont
et
donc
a pour mesure principale
Deux autres mesure de cet angles sont
et


.
Trigonométrie
Fiche(2)
Exercice 1
Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que : (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Déterminer la mesure principale des angles suivants : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ).
Exercice 2
Le carré ABCD de sens direct a pour centre I, c'est-à-dire que l’on écrit les sommets A, B,
C et D en tournant dans le sens direct. Donner les mesures des angles orientés suivants :
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).
Exercice 3
ABCD est un trapèze rectangle tel que ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ avec (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
et AB = AD.
Soit I le milieu de [DC].
Calculer les angles (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ).
Exercice 4
ABC est un triangle rectangle isocèle en A et direct. I est le milieu de [BC]. Déterminer
les ensembles (E) et (F) définis par :
1) M (E) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
.
2) M
(F) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
.
Exercice 5
ABC est un triangle rectangle isocèle en A et direct. I est le milieu de [BC]. Déterminer les ensembles (E), (F) et (G)
définis par :
1) M (E) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
.
2) M
3) M
(F) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(G) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
avec
.
.
Exercice 6
ABC est un triangle isocèle rectangle en B et direct. D est la médiatrice de [AC].
Compléter les égalités suivantes pour que l’équivalence soit vraie.
1) M ]AC) ⇔(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
.
]BC) ⇔ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ )
3) M Δ–{B} ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
4) M ]AB[ ⇔ (…… , ……)
5) M BC ⇔(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
2) M
avec
.
avec
.
avec
avec
.
.
Exercice 7
On donne les points A, B, C, D tels que AB = AC et ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
.
ACD est un triangle équilatéral direct, et E un point tel que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
.
1°) En utilisant la relation de Chasles, calculez une mesure de ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Démontrer alors que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
2°) Construire sur la figure ci-dessus le point F tel que :
 les droites (AB) et (CF) soient perpendiculaires avec ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
 CF = AB
3°) Calculer une mesure de ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
Trigonométrie − CORRIGE
Fiche(2)
Exercice 1
Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que : (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Déterminer la mesure principale des angles suivants : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ).
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
La mesure principale de ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) est
La mesure principale de (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) est
La mesure principale de (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) est
Exercice 2
Le carré ABCD de sens direct a pour centre I, c'est-à-dire que l’on écrit les sommets A, B, C et D en tournant
dans le sens direct. Donner les mesures des angles orientés suivants : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).
Le carré est de sens direct donc (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Puisque ⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗ , on peut écrire (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
Exercice 3
ABCD est un trapèze rectangle tel que ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ avec (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
et AB = AD.
Soit I le milieu de [DC].
Calculer les angles (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ; (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ).
Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaire de sens opposé donc (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Le quadrilatère ABID est un carré avec (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
donc la diagonale (AI) est
bissectrice de ̂ , on a (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Puisque ⃗⃗⃗⃗⃗
Comme ⃗⃗⃗⃗⃗
.
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
.
⃗⃗⃗⃗ , la quadrilatère ABCI est un parallélogramme, donc ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ , on a aussi : (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗ et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
.
Exercice 4
ABC est un triangle rectangle isocèle en A et direct. I est le milieu de [BC]. Déterminer les ensembles (E) et (F) définis par :
1) M (E) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
.
⃗⃗⃗⃗⃗ .
On construit le point J tel que ⃗⃗⃗
Alors, M (E) ⟺ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )
avec
.
Or, B est un point de (E) car (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
Donc, M (E) ⟺ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⟺ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
avec
Donc, les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires de même sens. D’où, (E) est la demi-droite ouverte ]IB).
2)
M
(F) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
.
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
signifie que le triangle MAC est rectangle en M et direct.
(F) est donc l’un des deux demi-cercles de diamètre [AC], privé de ses extrémités A et C : c’est celui ne contenant pas
le point I puisque : (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
avec
.
Exercice 5
ABC est un triangle rectangle isocèle en A et direct. I est le milieu de [BC]. Déterminer les ensembles (E), (F) et (G)
définis par :
4) M
(E) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
5) M
(F) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(G) ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
6) M
avec
.
avec
.
.
Exercice 6
ABC est un triangle isocèle rectangle en B et direct. D est la médiatrice de [AC].
Compléter les égalités suivantes pour que l’équivalence soit vraie.
1) M ]AC) ⇔(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
avec
.
]BC) ⇔ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ )
3) M Δ–{B} ⇔ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
4) M ]AB[ ⇔ (…… , ……)
5) M BC ⇔(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
2) M
avec
.
avec
.
avec
avec
.
.
Exercice 7
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
1°) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
[
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
]donc ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
[
]
donc ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
2°) figure
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
3°) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
[
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
]donc ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
[
]