Examen de géométrie pour la vision Durée : 2 heures, tous documents autorisés Adrien Bartoli Janvier 2008 Notation : les matrices en caractères sans-sérifs, e.g. en gras, e.g. q. A et les vecteurs Tous les vecteurs et matrices sont homogènes. L'égalité à un facteur près est notée ∼. Le partitionnement des matrices ou vecteurs en une qT = (q̄T q). partie ane et un scalaire est notée e.g. Conseil : Lisez l'intégralité du sujet avant de commencer votre rédaction. Exercice unique : Reconstruction 3D automatique de caméras et de droites On cherche dans cet exercice un algorithme permettant la reconstruction 3D d'un ensemble de caméras et de droites à partir de plusieurs images d'une scène rigide. Les principales étapes de l'algorithme sont : 1. la détection de droites dans les images 2. la mise en correspondance de ces droites 3. la reconstruction 3D des caméras et des droites Question 1. Voyez-vous des avantages à l'utilisation de droites par rapport aux points ? Indiquez, le cas échéant, quels sont ces avantages. 1 Détection des droites image Les droites auxquelles nous nous intéressons sont des contours linéaires. Cela signie que l'intensité lumineuse de l'image varie fortement sur la droite, ou de part et d'autre de la droite. Etant donnée une image, on suppose qu'un algorithme nous indique quels sont les pixels de contours. On suppose de 1 même qu'un algorithme segmente ces points en groupes colinéaires. On note sk avec k = 1, . . . , l un ensemble de pixels de contour colinéaires. sk , indiquez comment l (un vecteur-3) de la droite qui passe au mieux Question 2. Etant donnés les points image trouver l'équation par ces points, où au mieux signie au sens des moindres carrés. Donnez une interprétation géométrique de l'erreur minimisée. 2 Mise en correspondance des droites image Un descripteur de l'apparence des droites est utilisé an de les mettre en correspondance entre les diérentes images. Les correspondances obtenues comprennent en général des erreurs. Question 3. Comment peut-on identier les fausses correspondances ? De combien d'images a-t-on besoin au minimum, en sachant que dans l'espace, deux plans s'intersectent en général en une droite ? Précisez le nom de l'algorithme d'estimation robuste. A l'issue de cette étape, on suppose qu'un ensemble de visible sur les n m droites est images, et qu'il n'y a pas de fausse correspondance. 3 Reconstruction 3D des caméras et des droites Modèle de projection On utilise le modèle de projection ane. Question 4. Rappelez les équations décrivant le modèle de projection ane non calibré. Dans quelles conditions ce modèle est-il valide, c'est-à-dire, une bonne approximation du modèle perspectif ? Reconstruction par factorisation On montre comment adapter l'algorithme de factorisation vu en cours pour les points dans le cas des droites. On représente les points d'une droite 3D par une combinaison linéaire : Q̄(λ) = B̄ + λD̄, avec B̄ le point de base de la droite, et 2 D̄ sa direction. Question 5. Discutez les avantages et inconvenients de la représentation point + direction ci-dessus par rapport aux représentations vues en cours. Projettons un point Q(λ) avec la caméra (P̄ t) : q̄(λ) = P̄B̄ + λP̄D̄ + t = b̄ + λd̄, avec : b̄ = P̄B̄ + t d̄ = P̄D̄. Question 6. Quelle est l'interprétation géométrique de signie Soit l b̄ et d̄ ? Que d̄ = P̄D̄ ? la droite image sur laquelle se projette le point 3D calculer la direction d l en intersectant la droite On peut et la droite à l'inni l∞ . Question 7. Quelle est l'équation T l'image ? Soit l Q(λ). de cette droite : c'est un point à l'inni. Il est obtenu l∞ de la droite à l'inni dans ∼ (a b c), donnez d en fonction de a, b et c. d̄ contenant les deux premiers éléments Indication : seul le vector de d est utile. En considérant les équations sur la direction de la droite, nous obtenons, pour la reconstruction 3D, les équations suivantes : d̄ij ∼ P̄i D̄j avec i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , m. Question 8. Qu'évoquent ces équations ? Quel parallèle faites vous avec un probléme étudié en cours ? Re-écrivons ces équations en introduisant explicitement les facteurs d'échelle : ∃µij ∈ R∗ , µij d̄ij = P̄i D̄j . Question 9. Supposons les facteurs d'échelle µij connus. Proposez une méthode permettant, à partir d'une matrice de mesure (2n × m), de directions 3D Dj . taille calculer les matrices de projection 3 P̄i L de et les Nous regardons maintenant comment estimer les facteurs µij . Il existe une méthode exacte basée sur le tenseur trifocal ane, qui sort du contexte du cours de vision 3D. Nous proposons d'étudier une méthode itérative plus simple : 1. initialiser µij ← 1 2. factoriser L pour obtenir les 3. recalculer les µij P̄i à partir des 4. aller à l'étape 2 si les µij et P̄i D̄j et D̄j ont changé signicativement Question 10. Donnez la solution pour résoudre l'étape 3 de cet algorithme, c'est-à-dire pour recalculer les 4 µij .