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Sifflement de diaphragmes en conduit soumis à un écoulement subsonique turbulent Doctorant : Romain Lacombe (LaMSID, LAUM) Directeur de thèse : Yves Aurégan (LAUM) Encadrant : Pierre Moussou (EDF R&D, Dpt AMA) 16 Mars 2011 Contexte Mesure et régulation du débit par l’intermédiaire de vannes et de diaphragmes Organes causes de sifflements Nuisance sonore (Bruit au travail, voisinage) Fatigue vibratoire (Sécurité des installations) 2 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Contexte M P a /racin e(H z) Exemple de sifflement de diaphragmes ASG CPY sur TRI4 10 1MP_Tresca [Mpa/racine(Hz)]_01PO_40m3/h 1MP_Tresca [Mpa/racine(Hz)]_02PO_40m3/h 1MP_Tresca [Mpa/racine(Hz)]_03PO_60m3/h 1MP_Tresca [Mpa/racine(Hz)]_03PO_98m3/h 1 0.1 0.01 freq (Hz) 0 1 00 2 00 3 00 4 00 5 00 6 00 7 00 8 00 9 00 10 00 11 00 12 00 13 00 14 00 15 00 16 00 17 00 18 00 19 00 20 00 21 00 22 00 23 00 24 00 25 00 26 00 27 00 28 00 29 00 30 00 31 00 32 00 33 00 34 00 35 00 36 00 37 00 38 00 39 00 40 00 41 00 0.001 3 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Description de l’écoulement Écoulement subsonique Nombre de Mach dans le conduit principal M = U0/c inférieur voire très inférieur à un c célérité du son dans le fluide au repos Écoulement turbulent Nombre de Reynolds dans le conduit principal Re = U0D/ν supérieur à 104 ν viscosité cinématique du fluide Écoulement d’air U0 SD Écoulement établi amont Sd U j Sj Jet contracté Couche de cisaillement instable 4 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 U0 Zone de mélange turbulent Écoulement établi aval Instabilité hydrodynamique et amplification acoustique Création d’un jet contracté Vena contracta Zone à fort gradient de vitesse Instabilité hydrodynamique le long de la couche de cisaillement Échange d’énergie entre le champ acoustique et l’écoulement décollé Production de puissance acoustique à certaines gammes de fréquences et pour certaines conditions de phase 5 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Rétroaction et physique du sifflement Diaphragme Réflexions acoustiques Champ acoustique résonant Oscillations auto-entretenues créées par la combinaison de l’amplification acoustique et des réflexions environnantes Sifflement stabilisé par des effets de saturation non linéaire 6 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 État de l’art Deux études majeures sur le sifflement de diaphragmes Anderson années 50 Diaphragme en champ libre Évolution de la fréquence de sifflement avec la vitesse d’écoulement Testud 2006 Validation expérimentale d’un critère de sifflement caractérisant les fréquences de sifflement potentiel (production de puissance acoustique) Définition d’une fréquence adimensionnelle St = fe/Ud, e épaisseur du diaphragme, Ud vitesse équivalente dans l’orifice de diamètre d Diaphragmes fins à bord droit potentiellement sifflant pour 0,2 < St < 0,4 et 0,7 < St < 0,9 Condition nécessaire mais pas suffisante au sifflement Première étude numérique sur le sifflement de diaphragme, Kierkegaard 2010 (limitée aux cas linéaires) Peu de données sur les paramètres influant la fréquence et l’amplitude du sifflement stabilisé 7 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Objectifs de la thèse Caractériser le potentiel de sifflement de diaphragmes à l’aide de simulations numériques Étudier le sifflement en condition résonante à l’aide d’expériences 8 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 9 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 10 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Simulation numérique du potentiel de sifflement Introduction Condition nécessaire à la caractérisation du sifflement d’un diaphragme Résoudre fidèlement le décollement de l’écoulement au coin amont de l’orifice, les échanges entre le champ acoustique et l’écoulement étant localisés dans cette zone Approche par simulations des grandes échelles pour un fluide compressible Équations de Navier-Stokes filtrées. Résolution des grandes structures de la turbulence et modélisation des petites (LES) Pas de restriction sur le nombre de Mach ou les dimensions du diaphragme Représentation simplifiée, par une approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible axisymétrique Équations de Navier-Stokes moyennées incompressibles (URANS) Application aux cas localement incompressibles Nombre de Mach très petit devant un Dimensions du diaphragme très petites devant la longueur d’onde Hypothèse axisymétrique inspirée par l’expérience 11 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 12 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche LES compressible Données de validation Cas étudiés pour la validation (essais réalisés au LAUM) e/d = 0,33 et d/D = 0,5, avec D = 0,03 m Deux conditions d’écoulement étudiées U0 = 9 m/s, M = 0,026 et Re = 17000 U0 = 12 m/s, M = 0,035 et Re = 23000 d D Mesure de la matrice de diffusion pour chaque cas (représentation globale) et détermination du potentiel de sifflement U0 p1+ p1− 13 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 p2+ p2− p2+ T + −= + p R 1 R − p1+ − − T p2 e Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Approche LES compressible Identification de la matrice de diffusion W. Polifke et al. TUMünchen 14 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Conclusions oo Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche LES compressible Outil numérique et maillage Outil AVBP (CERFACS) Méthode des volumes finis sur des maillages non-structurés Schéma de Lax-Wendroff d’ordre deux en espace et en temps Petites échelles modélisées par le modèle sous-maille Wall Attached Layer Eddy Géométrie 3D Grille de calcul Cas U0 = 9 m/s U0 = 12 m/s Longueur amont 5D 5D Longueur aval 12D 8D Nombre de cellules ≈ 5,3.106 5,5.106 Plus petit ∆r, ∆z (m) 4,2.10-5 (r+ = 4,5) 4,3.10-5 (r+ = 6) Plus grand ∆r, ∆z (m) 9,1.10-4 2,7.10-4 Pas de temps ∆t = 8.10-8 s CFL = 0,7 15 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche LES compressible Configuration de la simulation Profil d’écoulement turbulent moyen en entrée du domaine Signaux d’excitation large bande Amplitude de l’ordre de 1,5% de la vitesse d’écoulement moyen Réponse linéaire du diaphragme Plage de fréquence des signaux de 100 à 5000 Hz Signaux amont et aval statistiquement indépendants Conditions d’entrée et de sortie acoustiquement non réfléchissantes Conserver la propriété d’indépendance statistique des signaux Durée de la simulation 0,2 s 16 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Approche LES compressible Visualisation d’écoulement Ori_03015v9_axvel_fG_zoom_xvid.avi 17 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Conclusions oo Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche LES compressible Résultats 1.4 1 Expériences 1.2 0.6 |R | 1 - 0.8 0.4 0.6 0.2 0.4 1 1000 2000 3000 f (Hz) 4000 0 5000 1000 1.4 Expériences 0.8 Simulations 4000 5000 Simulations 1 |T | 0.6 2000 3000 f (Hz) Expériences 1.2 - + |R | Expériences 0.8 Simulations Simulations + |T | Valeur absolue des coefficients de la matrice de diffusion Comparaison expériences/calculs. Cas U0 = 9 m/s 0.4 0.8 0.2 0.6 0 1000 2000 3000 18 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 f (Hz) 4000 5000 0.4 1000 2000 3000 f (Hz) 4000 5000 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche LES compressible Résultats 0.5 Phase des coefficients de la matrice de diffusion Comparaison expériences/calculs. Cas U0 = 9 m/s 3 Expériences Simulations Expériences 2 Simulations ΦR - ΦT+ 0 1 -0.5 0 -1 1000 3 4000 1000 0.5 Simulations Φ T- 0 2000 3000 f (Hz) 4000 5000 Expériences Simulations 0 1 -1 -1 5000 Expériences 2 ΦR + 2000 3000 f (Hz) -0.5 -1 1000 2000 3000 19 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 f (Hz) 4000 5000 -1.5 1000 2000 3000 f (Hz) 4000 5000 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche LES compressible Résultats Critère de sifflement Deux valeurs ξmin et ξmax délimitent la puissance acoustique dissipée par le diaphragme Sifflement potentiel si ξmin < 0 Comparaison expériences/calculs. Cas U0 = 9 m/s (gauche) et U0 = 12 m/s (droite) 1 1 0.5 0 ξmin, ξmax ξmin, ξmax 0 -0.5 -1 -1 -2 Expériences -1.5 Simulations Expériences -3 Simulations -2 -2.5 0.1 0.2 0.3 0.4 St 20 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 0.5 0.6 -4 0.1 0.2 0.3 St 0.4 0.5 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche LES compressible Discussion Très bon accord entre résultats expérimentaux et numériques Estimation du potentiel de sifflement Définition des coefficients de la matrice de diffusion Domaine d’application Pas de restriction en nombre de Mach ou en dimension du diaphragme Utilisation d’un outil utilisant des schémas numériques d’ordre élevé, Code_Safari (EDF) Prédiction d’une bande de sifflement potentiel, mais présence d’oscillations parasites Difficultés rencontrées lors de l’étape de réalisation du maillage. Discrétisation spatiale insuffisante autour du coin amont de l’orifice Nécessiter de discrétiser finement autour de l’orifice, le profil d’écoulement contrôlant le phénomène d’amplification acoustique 21 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 22 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche URANS incompressible axisymétrique Introduction et données de validation Représentation localement incompressible du fluide au niveau de l’orifice Faible nombre de Mach, M << 1 Dimensions du diaphragme très petites devant les longueurs d’onde acoustique Représentation axisymétrique de l’écoulement Pas d’effets tridimensionnels Données de validation identiques à celles utilisées pour l’approche LES Passage d’une représentation en matrice de diffusion à une représentation en impédance Passage possible sous l’hypothèse d’un fluide localement incompressible T+ = T- = 1-R+ = 1-R- p2+ T + −= + p R 1 R − p1+ − − T p2 p 'i = pi+ + pi− p '1 − p '2 = ρcZu ' ( Impédance Z complexe La partie réelle caractérise la dissipation/amplification. Sifflement potentiel pour Re(Z) < 0 (amortissement négatif) La partie imaginaire définit les effets inertiels 23 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 ) u 'i = pi+ − pi− ρc Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche URANS incompressible axisymétrique Outil numérique et maillage Code_Saturne (EDF) Schéma en espace volumes finis d’ordre 2 sur des maillages non-structurés Schéma en temps implicite à pas fractionné Modèle de turbulence k-ω SST Bien adapté aux écoulements cisaillés Écoulement à symétrie axiale Maillage d’une demi-coupe de la géométrie Coupe étendue d’un angle α = π/50, correspondant à une cellule dans la direction azimutale Axe de symétrie pas pris en compte pour éviter la singularité numérique Limite du domaine translatée d’un rayon ε = 1.10-4 m L1 = 2 D D −ε 2 e L2 = 7 D A A-A d −ε 2 A 24 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 α Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche URANS incompressible axisymétrique Outil numérique et maillage Forme des cellules choisie la plus cubique possible Discrétisation spatiale Dans l’orifice ∆r = ∆z = 5.10-5 m, soit r+ ≈ 5 Plus grand pas de discrétisation ∆r = ∆z ≈ 6.10-4 m, D/∆r = D/∆z ≈ 45 Grille constituée de 99000 cellules au total Zoom autour de l’orifice Pas de temps ∆t = 5.10-7 s CFL = 1,2 25 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche URANS incompressible axisymétrique Étape de calcul Réalisation d’un calcul stationnaire pour la récupération du champ moyen Profil d’écoulement moyen uniforme en entrée -13 < Ux < 57 m/s -9,3e2 < P < 1,4e3 Pa -2,4D -1,8D -1,1D -0,4D 0 4,3D 5D 5,7D Définition du profil d’écoulement dans l’orifice Résolution spatiale déterminante au niveau du coin amont de l’orifice. Fort gradient de vitesse dans cette zone 0 < norm(U) < 57 m/s 26 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 6,3D Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche URANS incompressible axisymétrique Étape de calcul Perturbation de ce champ moyen par des fluctuations harmoniques de la vitesse d’entrée Signal d’excitation u ' = A cos(2πf exc t ) L’amplitude A choisie pour assurer une réponse linéaire, A = 0,001U0 La fréquence d’excitation fexc balaie la plage 500-4000 Hz Identification de l’impédance à partir de la différence de pression entre l’amont et l’aval 27 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche URANS incompressible axisymétrique Résultat : partie réelle de l’impédance Z pour U0 = 9 m/s Caractérise la dissipation/amplification au niveau du diaphragme Bande de sifflement potentiel partie réelle de Z négative 1.5 Expériences 1 Simulations real(Z) 0.5 0 -0.5 -1 500 28 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 1000 1500 2000 2500 f (Hz) 3000 3500 4000 4500 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche URANS incompressible axisymétrique Résultat : partie imaginaire de l’impédance Z pour U0 = 9 m/s Définit les effets inertiels au niveau du diaphragme 3 2.5 Expériences Simulations imag(Z) 2 1.5 1 0.5 0 500 29 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 1000 1500 2000 2500 f (Hz) 3000 3500 4000 4500 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Approche URANS incompressible axisymétrique Discussion Bonne précision pour l’estimation du potentiel de sifflement de diaphragmes la caractérisation du comportement acoustique de diaphragmes de manière générale Domaine d’application Limitation aux écoulements à bas nombre de Mach et à des diaphragmes présentant des dimensions faibles devant les longueurs d’onde acoustique 30 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 31 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Régime de sifflement Rétroaction acoustique et saturation Le sifflement résulte de la présence d’une amplification, de conditions résonantes et d’effets de saturation non linéaire p1+ p1− U0 R1 L1 p2+ p2− L2 Comment évoluent les caractéristiques linéaires du diaphragme ? Quels rôles jouent les conditions de réflexions acoustiques ? Peut-on prédire l’apparition d’un sifflement, sa fréquence et son amplitude ? 32 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 R2 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 33 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Description des essais Description Mesurer le sifflement pour différentes conditions d’écoulement et conditions de réflexion amont et aval Mesure de la fréquence du sifflement Estimation de l’amplitude de la vitesse acoustique au niveau de l’orifice Obtention d’une base de données pour l’étude du sifflement Description de la configuration expérimentale Banc d’essai du LAUM Isolation acoustique de la section d’essai Différentes conditions amont et aval testées Mesures microphoniques réalisées à l’amont et à l’aval terminaison anéchoïque compresseur débitmètre L1m 34 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 condition aval microphones condition amont L1 Lm2 L2 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Description des essais Exemple de spectres Spectres de vitesse acoustique adimensionnée estimée au niveau de l’orifice à partir des données des microphones amont et aval Fréquence de sifflement 1900 Hz, harmonique 3800 Hz Amplitude adimensionnée u’/U0 = 0,065 -2 10 Estimation amont Estimation aval -4 PSD(u'/U0).Df 10 -6 10 -8 10 -10 10 1000 35 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 1500 2000 2500 3000 f (Hz) 3500 4000 4500 5000 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 36 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Gain et boucle de rétroaction Définition du gain linéaire Sur la base d’une représentation localement incompressible, définition du gain du diaphragme p2+ + p1− 1 0 p1+ + p2− + p − p − = 0 G p + − p − avec G = 2T − 1 et T = T ± = 1 − R ± 1 1 2 2 2 0.5 U0 = 6 m/s U0 = 9 m/s 0 U0 = 12 m/s 1.5 angle abs -0.5 1 -1 G -1.5 0.5 -2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 St 37 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 -2.5 0.5 0.6 0.1 Termes non-diagonaux de la matrice 0.2 0.3 0.4 St 0.5 0.6 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Gain et boucle de rétroaction Représentation par un gain linéaire avec rétroaction Réduction à un degré de liberté (p + 2 ) ( − p1− = G p1+ − p2− ) Prise en compte de l’environnement acoustique (Réflexion + longueur de tube) (p + 1 ) ( − p2− = F p2+ − p1− ) avec F = f (R1, R2, L1, L2, k+, k-, fsif) Représentation du système par la boucle simplifiée p1+ − p2− G F 38 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 p2+ − p1− Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 39 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Fréquence de sifflement Fréquence de sifflement en fonction de la vitesse d’écoulement 2800 2600 f (Hz) 2400 2200 2000 1800 1600 1400 5 40 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 6 7 8 9 U (m/s) 10 11 12 13 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Analyse de stabilité linéaire Tracé de l’inverse de GF-1 dans le plan des fréquences complexes (Domaine de Laplace) Interpolation des caractéristiques mesurées du diaphragme et des réflexions dans le plan complexe Chaque maximum correspond à un mode Mode instable si fi < 0 U0 = 6,5 m/s fi (Hz) 50 0 -50 1400 41 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 1600 1800 2000 2200 fr (Hz) 2400 2600 2800 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Analyse de stabilité linéaire Tracé de l’inverse de GF-1 dans le plan des fréquences complexes (Domaine de Laplace) Interpolation des caractéristiques mesurées du diaphragme et des réflexions dans le plan complexe Chaque maximum correspond à un mode Mode instable si fi < 0 U0 = 9,5 m/s fi (Hz) 50 0 -50 1400 42 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 1600 1800 2000 2200 fr (Hz) 2400 2600 2800 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Fréquences d’instabilité et fréquences de sifflement Comparaison des fréquences de sifflement et des fréquences de départ en instabilité prédites par l’analyse de stabilité linéaire 2800 + fréquences de sifflement 2600 o fréquences instables f (Hz) 2400 2200 2000 1800 1600 1400 5 43 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 6 7 8 9 U (m/s) 10 11 12 13 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 44 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Étude du niveau acoustique de sifflement Du gain linéaire au gain saturé Au sein de la boucle, adaptation du gain du diaphragme G à la rétroaction Cycle limite Saturation non linéaire du gain pour s’adapter aux pertes linéaires Condition finale GsatF = 1 avec Gsat le gain linéaire G saturé (F caractérise la rétroaction acoustique) 1.6 0 Gain saturé 1.4 Gain linéaire -0.5 abs angle 1.2 -1 1 -1.5 0.8 0.1 0.2 0.3 0.4 St 45 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 0.5 0.6 -2 0.1 0.2 0.3 0.4 St 0.5 0.6 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Étude du niveau acoustique de sifflement Données expérimentales Modification des conditions d’écoulement et des amplitude et phase des conditions de réflexion amont et aval Changement des paramètres Nombre de Mach M, nombre de Strouhal St, valeur absolue et phase du terme de rétroaction généralisé F Étude de l’évolution de l’amplitude de sifflement avec ces différents paramètres 46 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Étude du niveau acoustique de sifflement Analyse de l’évolution de l’amplitude de sifflement Un seul mode de conduit étudié Deux paramètres évoluent Dépendance combinée à F et St u’/U0 augmente avec la valeur absolue de F u’/U0 maximum pour St proche de 0,25 Nombre de Mach Amplitude du coefficient de réflexion aval 0.16 0.14 0.16 Cas le + réfléchissant 0.14 Cas intermédiaire 0.12 0.12 Cas le - réfléchissant 0.1 u'/U0 u'/U0 0.1 0.08 0.08 0.06 0.06 0.04 0.04 0.02 0.02 0 0.5 0.55 0.6 47 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 0.65 abs(F) 0.7 0.75 0.8 0 0.2 0.25 0.3 St 0.35 0.4 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Étude du niveau acoustique de sifflement Analyse de l’évolution de l’amplitude de sifflement Analyse du reste des essais Résultats identiques 0.16 0.16 0.14 0.14 0.12 0.12 0.1 0.1 u'/U0 u'/U0 u’/U0 augmente avec la valeur absolue de F u’/U0 maximum pour St proche de 0,25 0.08 0.08 0.06 0.06 0.04 0.04 0.02 0.02 0 0.5 0.55 0.6 48 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 0.65 abs(F) 0.7 0.75 0.8 0 0.2 0.25 0.3 St 0.35 0.4 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Étude du sifflement en condition résonante Conclusion Prédiction du sifflement et de sa fréquence par une analyse de stabilité linéaire Précision de l’ordre d’un pour cent Peu d’influence de la saturation sur la fréquence Évolution du niveau acoustique de sifflement avec le taux de réflexion global et le nombre de Strouhal Amplitude de sifflement jusqu’à des valeurs u’/U0 = 0,15 Augmentation du niveau acoustique avec le taux de réflexion Niveau acoustique maximum autour d’un nombre de Strouhal de 0,25 49 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Sommaire Identification du potentiel de sifflement de diaphragmes à partir de simulations numériques Simulation des grandes échelles pour un fluide compressible Approche statistique de la turbulence pour un fluide incompressible en géométrie axisymétrique Étude du régime de sifflement Description des essais Gain et boucle de rétroaction Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Étude du niveau acoustique de sifflement Conclusion et perspectives 50 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Conclusions Définition des fréquences de sifflement potentiel à l’aide de simulations numériques LES compressible URANS incompressible Bons résultats dans les deux cas Prédiction de la bande de sifflement potentiel Analyse du sifflement en condition résonante Bonne prédiction des fréquences de sifflement par une analyse de stabilité linéaire Paramètres contrôlant le niveau acoustique de sifflement Taux de réflexion globale Nombre de Strouhal 51 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Potentiel de sifflement o ooooooooo oooooooo Sifflement établi o oo oo oooo oooo o Conclusions oo Perspectives Déterminer le gain saturé (ou la matrice de diffusion) de diaphragmes en fonction du niveau acoustique (travaux de Ziada et al. sur la cavité en conduit) Sur la base des simulations numériques déjà testées, étudier l’influence de la forme du diaphragme (biseau) sur la dynamique de l’écoulement (lâcher de tourbillons par ex., Golliard et al. 2011) Simulation LES compressible du sifflement en présence de réflexions Utilisation des conditions aux limites partiellement réfléchissantes (Polifke et al.) Visualisation de l’écoulement local pour différentes caractéristiques des réflexions amont et aval Appliquer les outils proposés à des géométries complexes Mesures des propriétés acoustiques de vannes et application du critère de sifflement 52 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Merci de votre attention 53 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Annexes 54 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Exemple de coefficients de la matrice de diffusion Dimensions du diaphragme Coefficients de transmission supérieurs à un Pente sur les coefficients de réflexion e/d = 0,33 et d/D = 0,5 Condition d’écoulement M = 0,026 1.4 1 T+ 1.2 R+ 0.8 T- 0.6 |T| |R| 1 R- 0.8 0.4 0.6 0.2 0.4 1000 2000 55 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 3000 f (Hz) 4000 5000 0 1000 2000 3000 f (Hz) 4000 5000 Application du critère de sifflement Dimensions du diaphragme Sifflement potentiel e/d = 0,26 et d/D = 0,63 Valeur propre négative 0,2 < St < 0,4, avec St = fe/Ud Deux bancs d’essai (LAUM, EDF R&D) 1 D = 0,079 m M = 0,047 Re = 82000 0.5 ξmin,max D = 0,03 m M = 0,052 Re = 34000 0 -0.5 -1 -1.5 0 56 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 0.1 0.2 0.3 St 0.4 0.5 0.6 Influence du nombre de Reynolds Trois diaphragmes différents Indépendance du pic de sifflement potentiel au nombre de Reynolds e/d = 0,26 et d/D = 0,63 e/d = 0,33 et d/D = 0,5 e/d = 0,40 et d/D = 0,67 0.8 0.7 St = fe/Ud 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 4 10 5 10 Re 57 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Mesure de la matrice de diffusion Méthode à deux sources Deux mesures avec une excitation alternativement à l’amont puis à l’aval Mesure a Mesure b Mesure des fonctions de transfert entre microphones ± Identification des ondes acoustiques pi Calcul de la matrice de diffusion p+ a p+ b 2 1 2 + − − T R p1+ p2 = −a R + T − p − a −b p p 2 1 1 + − p+ p p2 1 1 58 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 b p1+ p2− 1 Critère de sifflement / Cas général (1/2) Bilan de puissance acoustique autour du diaphragme Volume de contrôle V. Les limites de ce volume sont loin des phénomènes locaux Profil d’écoulement établi défini uniforme Propagation acoustique en ondes planes Production de puissance acoustique Puissance sortante > Puissance entrante Preçue Pémis 59 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 V Pémis Preçue M Critère de sifflement / Cas général (2/2) Puissance acoustique sous un écoulement uniforme1 2 2 P = S c Π + − Π − avec Π ± = (1 ± M ) p ± ρ 0 Application à un biporte acoustique2, cas d’un diaphragme p1+ p1− p2+ p2− V Ondes reçues Π1+ et Π 2− Ondes émises Π +2 et Π1− Bilan de puissance Π1+ Te+ −= + Π R 2 e M Re− Π 2+ ou Π e = S e Π r Te− Π1− ( ) Preçue − Pémis = S c t Π r Id −t S eS e Π r Puissance acoustique dissipée normalisée bornée par les valeurs t propres réelles de Id− S eS e P −P ξ min ≤ reçue émis ≤ ξ max Preçue ( ) Fréquence de sifflement potentiel pour ξ min ( f ) < 0 , soit Preçue ( f ) < Pémis ( f ) 1 C. L. Morfey. Sound transmission and generation in ducts with flow. JSV 14, 1971. 2 Y. Aurégan et R. Starobinsky. Determination of acoustic energy dissipation/production potentiality from the acoutic transfer functions of a multiport. Acustica 85, 1999. 60 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Critère de sifflement / Fluide localement incompressible Hypothèse de compacité de la zone d’interaction aéroacoustique Nombre de Mach très inférieur à un Dimensions du diaphragme très petites devant les longueurs d’ondes étudiées Représentation localement incompressible du fluide p'1 1 ρc0 Z p '2 = u ' 0 1 u '2 1 Gradient de pression pour un fluide incompressible et en négligeant les effets de viscosité ∂u ∇p = − ρ 0 − ρ 0 (ω ∧ u ) avec ω le vecteur vorticité ∂t 61 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Critère de sifflement / Fluide localement incompressible Hypothèse de compacité de la zone d’interaction aéroacoustique Nombre de Mach très inférieur à un Dimensions du diaphragme très petites devant les longueurs d’ondes étudiées Représentation localement incompressible du fluide p'1 1 ρc0 Z p '2 = u ' 0 1 u '2 1 Gradient de pression pour un fluide incompressible et en négligeant les effets de viscosité ∂u ∇p = − ρ 0 − ρ 0 (ω ∧ u ) avec ω le vecteur vorticité ∂t Contribution d’un écoulement uniforme 62 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Critère de sifflement / Fluide localement incompressible Hypothèse de compacité de la zone d’interaction aéroacoustique Nombre de Mach très inférieur à un Dimensions du diaphragme très petites devant les longueurs d’ondes étudiées Représentation localement incompressible du fluide p'1 1 ρc0 Z p '2 = u ' 0 1 u '2 1 Gradient de pression pour un fluide incompressible et en négligeant les effets de viscosité ∂u ∇p = − ρ 0 − ρ 0 (ω ∧ u ) avec ω le vecteur vorticité ∂t Contribution de la distribution de vorticité, terme source Moyenne temporelle de la puissance acoustique rayonnée par le volume V P = − ρ0 ∫ (ω ∧ u ) ⋅u' dV V 63 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Critère de sifflement / Fluide localement incompressible Hypothèse de compacité de la zone d’interaction aéroacoustique Nombre de Mach très inférieur à un Dimensions du diaphragme très petites devant les longueurs d’ondes étudiées Représentation localement incompressible du fluide p'1 1 ρc0 Z p '2 = u ' 0 1 u '2 1 Gradient de pression pour un fluide incompressible et en négligeant les effets de viscosité ∂u ∇p = − ρ 0 − ρ 0 (ω ∧ u ) avec ω le vecteur vorticité ∂t Au final, la différence de pression de part et d’autre du diaphragme p'1 − p'2 = ρ 0 cZu ' = (ρ 0 cZ s − jρ 0ωL pot )u ' Génération/dissipation de puissance au niveau du diaphragme caractérisée par la partie réelle de Z Partie réelle positive, le diaphragme dissipe la puissance acoustique Partie réelle négative, le diaphragme génère de la puissance acoustique Fréquences correspondantes potentiellement sifflantes 64 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Formule de Howe P = − ρ0 ∫ (ω ∧ u ) ⋅u' dV V 65 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Extraction des signaux acoustiques (CBF) Characteristic Propagation Lengths 66 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Approche LES compressible Méthode d’identification Réponses impulsionnelles et signaux de pression L −1 L −1 p (n) = ∑ h (k ) p ( n − k ) + ∑ h (k ) p ( n − k ) + 2 k =0 1,1 + 1 1, 2 k =0 Équation de Wiener-Hopf − 2 L −1 L −1 p (n) = ∑ h ( k ) p (n − k ) + ∑ h 2, 2 (k ) p2− (n − k ) − 1 2 ,1 k =0 + 1 k =0 Γ ⋅h = c Matrices d’autocorrélation et de corrélation-croisée p1+ (k ) p1+ (k ) M N + p1 (k − L) p1+ (k ) 1 Γ= ∑ N − L + 1 k = L p2− (k ) p1+ (k ) M p − ( k − L) p + ( k ) 2 1 67 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 K p1+ (k ) p1+ (k − L) p1+ (k ) p2− (k ) K O M M O K p1+ (k − L) p1+ (k − L) p1+ (k ) p2− (k − L) K K p2− (k ) p1+ (k − L) p2− (k ) p2− (k ) K O M M O K p2− (k − L) p1+ (k − L) p1+ ( k ) p2+ ( k ) M N + p1 (k − L) p2+ (k ) 1 c= ∑ N − L + 1 k = L p2− (k ) p2+ (k ) M p − (k ) p + (k ) 2 2 p2− (k − L) p2− (k ) K p1+ (k ) p1− ( k ) M p1+ ( k − L) p1− ( k ) p2− ( k ) p1− (k ) M − − p2 (k − L) p1 (k ) p1+ (k ) p2− (k − L) M p1+ (k − L) p2− (k − L) p2− (k ) p2− (k − L) M − − p2 (k − L) p2 (k − L) Inversion de Wiener-Hopf (1/3) r Γ,c rr r,s r h F(ω) Auto-Correlation Matrix Γ Signal Response 68 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Cross-Correlation Vector c Inversion de Wiener-Hopf (2/3) r Γ,c rr r,s Auto-Correlation Matrix Γ r h F(ω) Cross-Correlation Vector c Wiener-Hopf Equation Unit Impulse Response h 69 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Inversion de Wiener-Hopf (3/3) rr r,s Unit Impulse Responses h 70 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 r Γ,c r h z-Transformation F(ω) Frequency Responses Approche LES compressible Méthode à deux sources 71 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Approche LES compressible Outil numérique Code_Safari (EDF) Méthode des différences finies sur des maillages structurés curvilignes multi-domaines Schéma numérique d’ordre élevé En espace, schéma centré sur 7 points d’ordre 6 En temps, schéma de Runge-Kutta d’ordre 4 Géométrie 3D Grille de calcul Longueur amont 4D Longueur aval 13D Nombre de cellules ≈ 21.106 Plus petit ∆r, ∆z (m) 1,53.10-4 (r+ = 16) Plus grand ∆r, ∆z (m) 6.10-4 72 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Approche LES compressible Maillage Code_Safari 73 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Approche LES compressible Profil d’écoulement dans l’orifice Profil de vitesse longitudinale à 0,0005 m du coin amont du diaphragme 50 40 -1 Uz (ms ) 30 20 10 Code_Saturne Code_Safari 0 -10 0 74 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 1 2 3 4 r (m) 5 6 7 8 -3 x 10 Approche LES compressible Profil d’écoulement dans l’orifice Profil de vitesse longitudinale à 0,0025 m du coin amont du diaphragme 60 50 30 -1 Uz (ms ) 40 20 10 0 Code_Saturne Code_Safari -10 -20 0 75 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 1 2 3 4 r (m) 5 6 7 8 -3 x 10 Approche LES compressible Résultats Valeur absolue des coefficients de la matrice de diffusion Comparaison expériences/calculs. Cas U0 = 9 m/s 1.6 1 1.4 0.8 0.6 |R | 1 - + |T | 1.2 0.8 0.4 0.6 0.2 0.4 0.2 500 1000 1500 2000 2500 3000 f (Hz) 3500 4000 4500 0 500 5000 1 1000 1500 2000 2500 3000 f (Hz) 3500 4000 4500 5000 1000 1500 2000 2500 3000 f (Hz) 3500 4000 4500 5000 1.4 1.2 0.8 1 0.6 - + |T | |R | 0.8 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 1500 2000 2011 2500 3000 76 - 500 Romain1000 Lacombe - 16 Mars f (Hz) 3500 4000 4500 5000 0 500 Approche LES compressible Résultats Phase des coefficients de la matrice de diffusion Comparaison expériences/calculs. Cas U0 = 9 m/s 1 3 2 0.5 1 ΦR - ΦT + 0 0 -0.5 -1 -1 1000 1500 2000 2500 3000 f (Hz) 3500 4000 4500 -3 500 5000 3 1 2 0.5 1 0 ΦT - ΦR + -1.5 500 -2 0 -1 -2 -1.5 3500 4000 4500 5000 1500 2000 2500 3000 f (Hz) 3500 4000 4500 5000 1000 1500 2000 2500 3000 f (Hz) 3500 4000 4500 5000 -0.5 -1 -3 1500 2000 2011 2500 3000 77 - 500 Romain1000 Lacombe - 16 Mars f (Hz) 1000 -2 500 Approche LES compressible Résultats Critère de sifflement Comparaison expériences/calculs. Cas U0 = 9 m/s 1 0.5 ξmin, ξmax 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0.1 78 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 St 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 Approche URANS incompressible axisymétrique Représentation incompressible Différence de pression mesurée de part et d’autre d’un diaphragme en présence d’une perturbation harmonique p'1 − p'2 = (ρ 0 cZ s − jρ 0ωL pot )u ' ρ 0 cZ s u ' Partie réelle de Z Terme source Sifflement potentiel si Zs < 0 − jρ 0ωL pot u ' Partie imaginaire de Z Effets inertiels Deux effets à distinguer Écoulement uniforme entre les positions de mesure Effets inertiels à l’intérieur de l’orifice L pot = (L1 + L2 ) + Ldiaph ω Caractérisation aéroacoustique d’un diaphragme Z = Z s − j Ldiaph u ' c Partie réelle de Z Effets inertiels caractérisés par Ldiaph 79 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 Sifflement stabilisé Procédure expérimentale (1/3) microphones Description du banc d’essai terminaison anéchoïque compresseur débitmètre condition aval condition amont L1m Lm2 L2 L1 Coefficients de réflexion aval : tube ouvert et tube à parois perforées entouré d’un puis deux disques de mousse absorbante 4 0.8 2 0.6 0 |R| ΦR 1 0.4 -2 0.2 -4 0 0 1000 2000 3000 80 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 f (Hz) 4000 5000 -6 0 1000 2000 3000 f (Hz) 4000 5000 Sifflement stabilisé Procédure expérimentale (2/3) microphones Description du banc d’essai terminaison anéchoïque compresseur débitmètre condition aval condition amont L1m Lm2 L2 L1 Coefficients de réflexion amont : chambre d’expansion 1 4 0.8 2 |R| ΦR 0.6 0 0.4 -2 0.2 0 0 1000 2000 3000 81 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 f (Hz) 4000 5000 -4 0 1000 2000 3000 f (Hz) 4000 5000 Sifflement stabilisé Procédure expérimentale (3/3) microphones Description du banc d’essai terminaison anéchoïque compresseur débitmètre condition aval condition amont L1m Lm2 L2 L1 Coefficients de réflexion amont : cavité à profondeur variable Lcav = 0,027 m, Lcav = 0,037 m et Lcav = 0,047 m 1 4 0.8 2 |R| ΦR 0.6 0 0.4 -2 0.2 0 0 0.2 82 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 0.4 He 0.6 0.8 -4 0 0.2 0.4 He 0.6 0.8 Sifflement stabilisé Résultats des essais (1/2) Changement de l’amplitude du coefficient de réflexion aval 2800 0.16 0.14 2600 0.12 2400 2200 u/U0 f (Hz) 0.1 0.08 2000 0.06 1800 0.04 0.02 1600 6 8 10 -1 U0 (ms ) 83 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 12 0 6 8 10 -1 U0 (ms ) 12 Sifflement stabilisé Résultats des essais (2/2) Changement du contenu fréquentiel de la réflexion amont (cavité à profondeur variable amont et différentes terminaisons aval) 2200 0.12 0.1 2100 0.08 u/U0 f (Hz) 2000 0.06 1900 0.04 1800 1700 0.03 0.02 0.04 84 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 0.05 Lcav (m) 0.06 0.07 0 0.03 0.04 0.05 Lcav (m) 0.06 0.07 Analyse de stabilité et fréquence de sifflement Analyse de stabilité linéaire Sur la base des caractéristiques linéaires du système, calcul des fréquences de départ en instabilité Critère de Bode Nyquist Tracé du produit –GF dans le plan complexe Analyse de la courbe autour de -1 1.5 f = 2200 Hz f = 2150 Hz 1 U0 = 9,5 m/s U0 = 11 m/s imag(-GF) U0 = 6,5 m/s f = 2100 Hz 0.5 0 -0.5 f = 1900 Hz f = 2000 Hz -1 -1.5 -1.5 85 - Romain Lacombe - 16 Mars 2011 -1 -0.5 0 real(-GF) f = 1900 Hz 0.5 1
