TD de révision pour la rentrée 2012

MP 12-13
Bienvenus en 2ème année MP et bon courage pour quelques révisions de fin d’été :
Le TD de révision sur l’électrostatique est à préparer pour le jour de la rentrée 2012.
Le TD de révision sur la mécanique du point est à préparer pour le lundi 24 septembre 2012.
Le TD de révision sur la magnétostatique est à préparer pour le lundi 1er octobre 2012.
Sont à réviser et à apprendre pour la rentrée :
•
les rappels d’électrostatique (pages 2, 3 et 4 du chapitre « formulation locale des lois de
l’électrostatique » ci-dessous.
•
le document « circulation et flux » ci-dessous.
•
le document « gradient » ci-dessous.
Vous aurez au programme de colle, en
•
•
•
révision de première année :
pour la première quinzaine :
o
en physique : toute l’électrostatique de sup (dont l’étude complète du dipôle électrostatique),
o
en chimie : cinétique chimique : vitesses de réaction (i.e. toute la cinétique chimique sauf les
mécanismes réactionnels)
Pour la deuxième quinzaine :
o
en physique : mécanique de sup : RFD, référentiels non galiléen, énergie, oscillateurs.
o
en chimie : cinétique chimique : les mécanismes réactionnels
Pour la troisième quinzaine :
o
en physique : la magnétostatique des circuits filiformes (champ magnétique, loi de Biot et
Savart, étude des symétries et invariances, conservation du flux, théorème d’Ampère),
o
en physique : mécanique de sup systèmes de 2 points matériels en interaction newtonienne.
Il y aura bien sûr aussi des chapitres de seconde année au programme de ces colles!
révisions MPSI
1
ÉLECTROSTATIQUE- RÉVISIONS
I.
Champ sur l’axe d’un anneau chargé
On considère une distribution continue constituée de charges réparties uniformément avec la densité linéïque de charge λ,
sur une spire de centre O, d’axe de révolution Oz et de rayon a.
On considère le système de coordonnées cylindriques d’axe Oz.
1.
En un point M(ρ,θ,z) situé en dehors de l’axe (ρ≠0), quelles sont les composantes du champ qui sont nulles? Les
composantes non nulles dépendent-elles de ρ? de θ? de z? Comparer les champs en deux points symétriques par
rapport au plan de l’anneau. Comparer également les champs en deux points symétriques par rapport à un plan
contenant l’axe de l’anneau.
2.
En un point M de l’axe (ρ = 0), de cote z, quelle est la direction du champ? Déterminer complètement le champ
électrostatique en un point M de l’axe, de cote z positive. En déduire le champ en un point de l’axe de cote
négative. Etudier le cas particulier z=0 et |z|≫a
II.
Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé. Modèle du plan
illimité.
On considère une distribution continue de charges réparties uniformément avec la densité surfacique σ sur un disque de
centre O, d’axe Oz et de rayon a.
On considère le système de coordonnées cylindriques d’axe Oz.
1.
En un point M(ρ,θ,z) situé en dehors de l’axe (ρ≠0), quelles sont les composantes du champ qui sont nulles? Les
composantes non nulles dépendent-elles de ρ? de θ? de z? Comparer les champs en deux points symétriques par
rapport au plan du disque. Comparer également les champs en deux points symétriques par rapport à un plan
contenant l’axe du disque.
2.
En un point M de l’axe (ρ = 0), de cote z, quelle est la direction du champ? Déterminer complètement le champ
électrostatique en un point M de l’axe, de cote z positive. En déduire le champ en un point de l’axe de cote
négative. Examiner la continuité du champ en z = 0.
3.
Déduire des résultats précédents le champ d’un plan « illimité » chargé uniformément, avec la densité surfacique
de charge σ, en un point quelconque de l’espace.
III.
Sphère chargée uniformément en surface
Soit une sphère de centre O, de rayon R, portant une densité surfacique de charge σ uniforme.
1. Calculer le champ électrostatique créé en tout point de l’espace.
2. En déduire le potentiel créé en tout point (on fera le choix du potentiel absolu).
TD révisions d’électrostatique
1
IV.
Distribution volumique sphérique non uniforme
Une sphère S, de centre O, de rayon R est chargée en volume avec une densité volumique de charge (ou charge
volumique) ne dépendant que de la distance au centre O, donnée par la loi :

r2 
ρ(r ) = ρ0 1 − a 2  où ρ0 et a sont des constantes,

R 

a∈]0,1[
On utilise les coordonnées sphérique (r,θ,ϕ) de centre O.
1.
Tracer l’allure du graphe de ρ(r). Où la densité de charge est-elle la plus élevée? Où est-elle la plus faible?
2.
Exprimer la charge dq contenue dans la couche sphérique délimitée par les sphères de rayon r et r+dr. En déduire la
charge Q(r’) à l’intérieur d’une sphère de rayon r’ (avec r’<R).
3.
En utilisant les symétries, indiquer la direction du champ en M(r,θ,ϕ) et les invariances de ses composantes.
4.
En utilisant le théorème de Gauss, déterminer complètement le champ en tout point M(r,θ,ϕ) de l’espace.
5.
Déterminer le potentiel en tout point M(r,θ,ϕ) de l’espace.
V.
Cylindre infini uniformément chargé
Soit un cylindre d’axe Oz, de longueur infinie, de rayon R, uniformément chargé en volume, de densité volumique γ.
a)
Déterminer le champ créé en tout point.
b) En déduire le potentiel créé en tout point.
VI.
Surface plane illimitée
Le plan infini x=0 est uniformément chargé avec une densité surfacique σ. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le
r
champ électrique E en tout point de l’espace. Déterminer ensuite le potentiel en tout point de l’espace et tracer l’allure des
courbes Ex(x) et V(x).
VII.
Champ et potentiel d’un dipôle électrostatique
Soit un doublet électrostatique A(-q) et B(+q) porté par l’axe Oz (orienté de A vers B) et tel que O soit le milieu de [AB] et
AB = a. Un point M quelconque est repéré par ses coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) d’origine O, d’axe Oz.
a)
Préciser la direction du champ en un point M(r,θ,ϕ) quelconque de l’espace (préciser quelles sont les composantes
nulles). Etudier ensuite les invariances du champ et du potentiel.
b) Dans quelles conditions un doublet est-il appelé « dipôle »?
c)
Calculer le potentiel V(M) créé par le dipôle en un point M « très éloigné » du dipôle (r>>a).
d) En déduire les composantes du champ électrique créé en M par le dipôle.
TD révisions d’électrostatique
2
MÉCANIQUE DU POINT MATÉRIEL-RÉVISIONS
I.
Équilibre dans un wagon en translation
r
Soit un train animé d’un mouvement de translation rectiligne horizontal, d’accélération γ constante par rapport au
référentiel terrestre supposé galiléen. Soit une petite sphère assimilable à un point matériel suspendue à l’extrémité d’un fil
dont l’autre extrémité est fixée au plafond d’un wagon. On note g l’intensité de la pesanteur.
Déterminer l’angle que fait le fil avec la verticale lorsque M est en équilibre par rapport au wagon, de deux façons
différentes :
• en raisonnant dans le référentiel terrestre.
• en raisonnant dans le référentiel du wagon.
II.
Anneau glissant sur une tige en rotation
Une tige OX tourne dans le plan horizontal Oxy autour de son extrémité O, à la vitesse angulaire constante ω par rapport
au référentiel terrestre Oxyz. Sur cette tige, un anneau M, assimilable à un point matériel, de masse m, peut coulisser sans
frottement.
On pose (Ox,OX) = θ.
A l’instant pris comme origine des temps, on a θ = 0, OM = a et la vitesse de glissement de l’anneau (vitesse de l’anneau
par rapport à la tige) est nulle.
On utilisera comme base de projection, la base locale des coordonnées cylindriques de M dans le référentiel terrestre
auquel est lié le plan fixe xOy (référentiel que l’on supposera galiléen).
1. On pose OM = r. Exprimer r en fonction du temps et des constantes a et ω et en déduire l’équation polaire de la
trajectoire de M dans le référentiel terrestre, en utilisant deux méthodes différentes :
a) En raisonnant dans le référentiel terrestre.
b) En raisonnant dans le référentiel de la tige.
2. Exprimer la durée au bout de laquelle la particule parvient à la distance r = 2a du point O.
3. Déterminer la réaction de la tige sur l’anneau (exprimer chacune de ses composantes dans la base proposée plus haut,
puis son module).
III.
Mouvement dans un champ magnétique
Des électrons de masse m, de charge (algébrique) q, pénètrent, au point 0, à l’instant origine, dans une région où règne un
r
r
champ magnétique constant et uniforme B , avec une vitesse initiale v 0. On choisit un repère orthonormé Oxyz tel que Oz
ait même sens et même direction que le champ magnétique et tel que la vitesse initiale soit dans le plan yOz. On fera
l’étude dans le référentiel terrestre ℜT qui sera supposé galiléen. On néglige le poids des particules devant les autres forces
mises en jeu. On considère un électron M.
TD révisions de mécanique
1
1.
Montrer que son mouvement est uniforme.
2.
On se place dans le cas où la vitesse initiale est perpendiculaire au champ magnétique.
3.
IV.
a)
Montrer que le mouvement est plan et préciser le plan du mouvement.
b)
Montrer que le mouvement est circulaire et préciser le rayon R1 de la trajectoire et la pulsation du
mouvement ω1 en fonction des données.
c)
Application numérique : m = 9,0.10-31 kg; q = -1,6.10-19 C; B = 1,8.10-3 T; v0 =5,95.106 m.s-1. Calculer R1
et ω1.
r r
La vitesse initiale n’est plus perpendiculaire au champ magnétique; on note α0 l’angle ( B , v 0 ) . Soit M’ le
r
projeté de M sur le plan perpendiculaire à B , M’’ le projeté de M sur Oz.
a)
Démontrer que le mouvement est hélicoïdal.
b)
Déterminer (littéralement) le rayon R2 de la trajectoire de M’ et la pulsation ω2 de son mouvement, en
fonction des données.
c)
Déterminer le pas p de l’hélice en fonction des données.
d)
Application numérique : calculer R2, ω2 et p pour α = 12° à l’aide des valeurs numériques précédentes.
Freinage par frottement
r
Un palet de masse m est lancé sur une piste verglacée horizontale, avec une vitesse initiale v 0 . Il doit franchir une bande
r
sans glace, perpendiculaire à v 0 , de largeur d, où il subit, en l’absence de glace, une force de frottement de norme k tant
r
que la vitesse est non nulle. A Quelle condition sur v 0 parviendra-t-il à franchir cette bande?
V.
Oscillateur sur un plan incliné
Un point matériel M de masse m = 0,1 kg, est assujetti à glisser sur une tige D. Il est fixé à l’extrémité d’un ressort, de
raideur k = 20N/m, de longueur à vide lv, dont l’autre extrémité est fixé en O. On donne l’angle que fait la tige avec la
r r
verticale : α = (g, O M ) = 30° .
r
r
A l’instant pris comme origine des temps, on communique à la masse une vitesse v 0 = v 0 u à partir de sa position
d’équilibre.
1. Montrer que si les frottements sont négligeables, l’oscillateur est harmonique; déterminer la pulsation du mouvement et
la position xéq autour de laquelle M oscille.
2. On constate qu’en fait les oscillations s’amortissent : l’amplitude décroît exponentiellement, ce qui correspond à
r
r
l’existence d’une force de frottement du type f = −bv . Sachant qu’au bout de n = 50 oscillations, l’amplitude est
divisée par p = 3, calculer le coefficient de frottement b, le coefficient de qualité de l’oscillateur et le décrément
logarithmique. (On fera, en justifiant, l’approximation nécessaire.)
VI.
Énergie potentielle d’un point matériel suspendu à un ressort
Soit un point M, de masse m, suspendu à une extrémité d’un ressort de raideur k, de longueur à vide lv, dont l’autre
extrémité est fixe. On se limite aux mouvements verticaux de la masse m (l’axe du ressort est maintenu vertical).
TD révisions de mécanique
2
Soit un axe Ox vertical descendant, dont l’origine est la position du point matériel à l’équilibre.
Déterminer l’énergie potentielle associée à la résultante des forces subies par le point matériel M en fonction de x.
lv
le
l
O
x
m
VII.
Anneau coulissant sur un cerceau vertical
Un point matériel M de masse m, placé dans le
champ de pesanteur est astreint à coulisser sans
frottement sur un cerceau vertical, de rayon r, de
centre 0, de diamètre horizontal AB.
z
M
1. Donner l’expression de l’énergie potentielle
EP du point matériel en fonction de l’angle
r
r
θ = ( O A, O M) , m, r et g (intensité de la
pesanteur).
r
B
θ
O
A
x
2. Déterminer par l’étude de EP les positions
d’équilibre et étudier leur stabilité.
VIII. Pendule pesant
On considère une petite sphère de masse m, assimilée à un point matériel, suspendue à un fil dont l’autre extrémité est fixe.
On écarte ce pendule de sa position d’équilibre. Soit θ(t) l’angle entre le fil et la verticale à l’instant t. Établir l’équation
différentielle en θ(t) en utilisant le théorème du moment cinétique.
IX.
Etats d’un oscillateur harmonique
Deux points matériels M1 et M2 sont soumis à des forces d’interaction dérivant de l’énergie potentielle E p (r ) =
est une constante positive et r = M1M2.
TD révisions de mécanique
3
1 2
kr où k
2
Etablir l’expression de l’énergie potentielle effective et tracer son graphe. En déduire les états liés et les états de diffusion
éventuels.
X.
Satellite terrestre
Un satellite artificiel de la Terre de masse m = 50 kg décrit une orbite elliptique d’excentricité e = 0,221. On négligera la
masse du satellite devant celle de la Terre.
On supposera le référentiel géocentrique galiléen, on assimilera la Terre à une distribution de masse à symétrie sphérique
de masse MT = 6.1024 kg, de rayon RT = 6,4.106 m. On donne G=6,67.10-11 SI
1. Quelle est le signe de l’énergie mécanique totale du satellite?
2. Où le moment cinétique du satellite par rapport au centre de la Terre est-il maximum?
3. L’altitude hp du périgée de la trajectoire est égale à 1000 km. En déduire l’altitude ha de l’apogée.
4. Déterminer la vitesse aréolaire du satellite. On donne la relation entre le paramètre de l’ellipse p et la constante des
aires du mouvement C : p=C2/(GMT).
5. Déterminer la vitesse du satellite à l’apogée.
6. Déterminer la période du mouvement du satellite.
7. Quel serait le rayon d’une orbite circulaire décrite par un satellite ayant même énergie mécanique totale que le
précédent? Quelle serait la vitesse du satellite sur cette orbite?
XI.
Etoile double
Les deux composantes d’une étoile double sont assimilées à deux points matériels de masse m1 et m2 s’attirant selon la loi
de gravitation universelle. L’ensemble est considéré comme isolé du reste de l’univers.
1. Quel est le mouvement du centre d’inertie du système par rapport à un référentiel galiléen?
2. L’étoile double étudiée est Sirius. On observe que chaque composante décrit autour du centre d’inertie une ellipse avec
la période T = 50 ans. Les demi-grands axes de ces deux ellipses sont respectivement a1 = 14,1 u.a. et a2 = 6,0 u.a.
Déterminer les masses respectives des deux composantes en prenant comme unité de masse la masse du soleil. On
rappelle que l’unité astronomique (u.a.) est égale au rayon a0 de l’orbite terrestre assimilée à un cercle.
Indications
En appliquant successivement la relation entre demi-grand axe et période au mobile réduit des systèmes « étoile double »
et « Soleil-Terre », on pourra exprimer la masse totale de l’étoile double en fonction de demi-grand axe de son mobile
réduit et de la période de son mouvement.
On cherchera ensuite l’expression du demi-grand axe du mobile réduit en fonction des demi-grands axes de chaque
composante. Enfin on utilisera la relation existant entre les demi-grands axes des composantes et leurs masses.
TD révisions de mécanique
4
MAGNÉTOSTATIQUE-RÉVISIONS
I.
Champ d’un fil rectiligne illimité
Déterminer, à l’aide du théorème d’Ampère, le champ d’un fil rectiligne illimité Oz parcouru par un courant I, en un point
M quelconque de coordonnées cylindriques d’axe Oz (ρ,θ,z).
r µ I r
Réponse : B = 0 u θ
2πρ
II.
Champ magnétique d’une spire circulaire
Déterminer le champ magnétique d’une spire circulaire de rayon R, de centre O, d’axe Oz, parcourue par un courant
d’intensité I, en un point M de son axe. On l’exprimera en fonction de I, R et α, angle sous lequel depuis M on voit la
spire, puis en fonction de I, R et z, cote de M.
r µ I sin 3 α r
µ I
z2 
Réponse : B = 0
u z = 0 1 + 2 
2R
2R 
R 
III.
−3 / 2
r
uz
Champ d’un solénoïde
On considère le solénoïde constitué d’un enroulement d’un grand nombre N de spires, sur un cylindre de révolution (non
matériel) d’axe Oz, de rayon R, de longueur L. Les spires sont disposées régulièrement à raison de n spires par unité de
longueur, où n est assez élevé pour qu’on puisse considérer chaque spire comme une spire plane. Ces spires planes sont
r
parcourues par un courant d’intensité I, dans le sens correspondant au sens positif donné par u z , vecteur unitaire de Oz.
L’origine de l’axe Oz est prise au milieu du solénoïde. On note z1 et z2 les cotes des spires extrêmes du solénoïde (z1 < 0,
z2 = -z1 > 0).
r
1. On considère un point M de l’axe du solénoïde. Déterminer la direction et le sens du champ magnétique B (M) créé en
M par le solénoïde.
r
1
2. Montrer que la composante Bz de B (M) s’écrit : B z = µ 0 nI(cos α 2 − cos α 1 )
2
où α1 (respectivement α2) est le demi-angle au sommet du cône de révolution de sommet M, s’appuyant sur la spire du
solénoïde de cote z1 (respectivement de cote z2). Que vaut le champ au centre du solénoïde? A sa sortie?
3. On se place pour la suite dans le cas d’un solénoïde de très grande longueur. Préciser la direction du champ en un point
quelconque et étudier les invariances de ce champ.
TD révisions de magnétostatique
1
4. En appliquant le théorème d’Ampère à des contours bien choisis dans un plan méridien du solénoïde (plan contenant
son axe), déterminer le champ magnétique créé par le solénoïde en tout point M de l’espace (non situé sur le solénoïde
lui-même).
IV.
Champ d’un tore
Une bobine torique est constituée d’un enroulement continu de N spires circulaires de rayon a, toutes parcourues par le
même courant d’intensité I, régulièrement enroulées sur un tore, de rayon moyen R, de section circulaire de rayon a < R.
1. Préciser la direction du champ magnétique créé par le tore en un point quelconque de l’espace et les invariances de ce
champ.
2. Montrer que le champ magnétique est nul hors du tore.
3. Déterminer le champ magnétique en un point M situé à l’intérieur du tore, en fonction de sa distance ρ à l’axe du tore.
4. AN : N = 1000, I = 1 A, R = 10 cm, a = 3 cm. Quelles sont les valeurs extrêmes de la norme du champ magnétique?
Quel courant devrait-on faire passe dans un fil rectiligne infini unique pour obtenir le même champ à la distance ρ du
fil que dans le tore à la distance ρ de l’axe?
TD révisions de magnétostatique
2
FORMULATION LOCALE DES LOIS DE
L'ELECTROSTATIQUE
On appelle électromagnétisme, l'étude de l'ensemble des phénomènes liés aux interactions entre particules chargées.
Soit un ensemble D de particules chargées, mobiles ou non: D s'appelle "distribution de charges et de courants".
Une telle distribution modifie les propriétés de l'espace: on dit qu'elle créé un champ électromagnétique. L'action complète
r r
r r
r
de D à un instant t, en un point M, caractérisé par un vecteur position r , est décrite par deux vecteurs E ( r ,t) et B ( r ,t)
r r
appelés composantes du champ électromagnétique [ E , B ] en M à t.
r r
r r
D [ E ( r ,t), B ( r ,t)]]
r r
cas général : [ E , B ] solutions de 4 équations couplées, appelées équations de Maxwell (faisant intervenir à la fois des
r
r
composantes de E et de B et leurs dérivées par rapport au temps ou aux coordonnées d'espace) : phénomènes de
propagation chapitres 4 à 8.
cas particulier : répartition des charges et des courants indépendante du temps : régime permanent : les équations vérifiées
r
r
r
r
par E et B sont découplées, E et B peuvent être calculés séparément.
r r
cas plus particulier : charges immobiles (pas de courants) B = 0 : électrostatique sup + chapitres 1 et 2
sinon : le champ électrique est permanent, le champ magnétique aussi : magnétostatique sup et chapitre 3.
r
r
cas moins particulier : la répartition des charges et des courants varie « lentement » dans le temps, E et B aussi : régime
quasi-permanent ARQP (ou ARQS) : propagation négligée, phénomènes d’induction TP d’élec, chapitres 3 et 9.
Chapitre 1 : Formulation locale des lois de l'électrostatique (lien entre sup et spé)
Chapitre 2 : Conducteurs en équilibre électrostatique. Condensateurs
Chapitre 3 : Compléments de magnétostatique. Equations locales
Chapitre 4 : Equations de Maxwell
Chapitre 5 : Propagation dans le vide. Structure de l'OEMPPV. Cas des ondes monochromatiques
Chapitre 6 : Energie électromagnétique
Chapitre 7 : Réflexion d'ondes; propagation guidée
Chapitre 8 : Rayonnement dipolaire
Chapitre 9 : Induction électromagnétique
elm1 : formulation locale des lois de l’électrostatique 1
I.
Rappels d'électrostatique
1.
Loi Coulomb
r
Une charge q placée en S, exerce sur une charge Q située en P, la force f =
qQ
4πε 0 SP
2.
2
.
SP
SP
Principe de superposition
Soit q1 une charge ponctuelle en S1, q2 une charge ponctuelle en S2, Q une charge ponctuelle en P.
r
r
Soit f 1 la force qu'exercerait q1 sur Q en l'absence de q2, f 2 la force qu'exercerait q2 sur Q en l'absence de q1.
r
Soit f la force exercée par la distribution {q1,q2} sur la charge Q.
r r r
Principe de superposition f = f 1 + f 2
3.
Champ électrostatique
D'après la loi de Coulomb et le principe de superposition, la force exercée par une distribution de charges D, sur une
charge "test" Q placée en un point P, est le produit de Q, par un vecteur ne dépendant pas de Q mais uniquement du lieu P
et de la distribution source D . Ce vecteur est appelé champ électrostatique au point M de (créé par) la distribution D.
a)
Champ en P d'une charge ponctuelle q placée en S
r
f =
qQ
4πε 0 SP
b)
2
.
SP
r
= QE(P)
q
4πε 0 SP
SP
2
.
SP
SP
Champ en P d'une distribution de charges ponctuelles qi placées en des
points Si
n
r
E( P) = ∑
i =1
c)
r
E (P ) =
:
qi
4πε 0 S i P
2
.
Si P
Si P
Champ en P d'une distribution continue de charges
r
E ( P) =
∫
S∈D
dq(S)
4πε 0 SP
2
.
SP
SP
avec dq=ρdτ pour une distribution volumique, σdS pour une distribution surfacique, λdl pour une distribution linéique.
elm1 : formulation locale des lois de l’électrostatique 2
4.
Propriété du champ électrostatique
a)
•
Propriétés de symétrie
Définition : Une distribution D possède un plan de symétrie Π si la distribution image D' obtenue par une symétrie de
D par rapport à Π, coïncide avec D. (même géométrie et mêmes charges).
Propriétés :
En un point M d'un plan de symétrie Π d’une distribution source D, le champ créé par D appartient à ce plan :
r
M ∈ Π ⇒ E(M ) ∈ Π . exemple : D ensemble de deux charges ponctuelles identiques.
En M’, symétrique de M par rapport à un plan de symétrie Π, le champ est le symétrique par rapport à Π du
champ en M.
•
Définition : Une distribution D possède un plan d'anti symétrie Π∗ si l'opération de symétrie de D par rapport à
Π, laisse la géométrie inchangée mais change le signe des charges.
Propriétés :
En un point M d'un plan d’anti symétrie Π∗ d’une distribution source D, le champ créé par D est normal à ce
r
plan : M ∈ Π* ⇒ E(M )⊥Π * . exemple : D ensemble de deux charges ponctuelles opposées.
En M’, symétrique de M par rapport à un plan d’anti symétrie Π∗, le champ est l’opposé du symétrique par
rapport à Π∗ du champ en M.
•
Le champ d’une distribution source D possède les mêmes propriétés d’invariance que D.
exemple : D cylindre « infini », uniformément chargé, d’axe Oz : D est invariante par rotation autour de Oz; les
r
composantes de E sont donc indépendantes de θ (deuxième coordonnée cylindrique d’axe Oz). En outre D est
r
invariante par translation le long de Oz; les composantes de E sont donc indépendantes de z.
b)
Existence du potentiel électrostatique
On montre (en partant du cas d'une charge ponctuelle et en utilisant le principe de superposition), que le champ
r
électrostatique est un champ de gradient, c’est-à-dire qu'il existe un champ scalaire V(P) tel que : E = −gradV
n
Distribution de charges ponctuelles qi placées en des points Si
V ( P) =
∑ 4πε
i =1
V (P) =
Distribution continue de charges :
qi
0
Si P
dq
avec dq=ρdτ, σdS ou λdl
4πε 0SP
S∈D
∫
B
r
r r
r r
Rappel : E = −gradV ⇔ E.d l = −dV ⇔ E.d l = −∆V = V (A) − V (B)
∫
A
c)
Théorème de Gauss
Le flux à travers une surface fermée imaginaire Σ, du champ créé par une distribution source D, est égal au quotient par ε0
de la somme des charges de D situées à l'intérieur de Σ.
r
r
∫∫ E(P).dS(P) =
P∈Σ
Q int
ε0
Ce théorème se démontre en partant d'une charge ponctuelle et en utilisant le principe de superposition.
elm1 : formulation locale des lois de l’électrostatique 3
d)
Energie potentielle électrostatique
Soit Q une charge "test" se déplaçant dans le champ électrostatique d'une distribution source D. La force de Coulomb
qu’elle subit peut se mettre sous la forme :
r
r
f = QE = −QgradV = −gradE p
avec E p = QV
Ep est l'énergie potentielle de la charge Q en P, c’est le produit de la charge Q par le potentiel électrostatique en P.
r
r r
Rappel : f = −gradE p ⇔ f .d l = −dE p ⇔
r r
∫ f .d l = −∆E
p
r
⇔ WAB (f ) = E p (A) − E p (B)
AB
5.
Dipôle électrostatique
a)
Définition
Un dipôle électrostatique est une distribution formée de 2 charges opposées, q (positive, placée en P) et -q (placée en N),
dont la distance mutuelle NP est très faible devant la distance r à laquelle on étudie les effets du dipôle.
Remarque : la distribution source est invariante par rotation autour de la droite NP. On choisit donc cette droite comme axe
Oz pour définir les coordonnées sphériques de centre O, O étant le milieu de NP. Le plan contenant un point M
quelconque et les deux points N et P est plan de symétrie de la distribution : le champ en M appartient à ce plan : sa
composante Eϕ est nulle. La distribution étant invariante par rotation autour de NP, le potentiel et les composantes non
nulles du champ en un point M(r,θ,ϕ) sont indépendantes de la coordonnée ϕ.
b)
Moment dipolaire
c)
Potentiel créé
r
p = q NP
En M(r,θ,ϕ) , on calcule V =
d)
rr
p.r
4πε0 r
3
=
p cos θ
4πε0 r 2
Champ créé
2p cos θ

E r = 4πε r 3
0

r

p sin θ
E = −gradV E θ =
4πε0 r 3

E = 0
 ϕ

e)
Action d'un champ extérieur sur le dipôle rigide
(
)
•
r r
r
Résultante f = p.grad E ext (la connaissance de cette formule n’est pas exigée).
•
Dans le cas d'un champ extérieur uniforme, cette résultante est nulle : l'action du champ extérieur se réduit à un
r r
r
couple : si E ext est uniforme, f = 0 .
r r r
Moment des forces Γ = p ∧ E ext
rr
Energie potentielle du dipôle : E p = −p.E ext . En effet :
•
P
P
P
r
r
r
r P r
r
rr
E p = −qVN + qVP = q(VP − VN ) = q dV = q gradV.d l = −q E ext .d l = −qE ext . d l = −qE ext .NP = −p.E ext
∫
∫
∫
∫
N
N
N
N
elm1 : formulation locale des lois de l’électrostatique 4
CIRCULATION ET FLUX
1.
Circulation d’un champ de vecteurs
a)
Circulation élémentaire
M2
dOM=dl
Soit une courbe orientée Γ reliant deux points M1 et M2.
f(M)
M
M1
r
r
δC = f (M ).d l
r
r
Circulation élémentaire de f (M), sur d l (M) le long de Γ :
La norme du déplacement élémentaire étant fixée, la circulation élémentaire en M est d’autant plus grande que la norme du
r
champ f (M) est importante en M et que l’angle entre le champ et le déplacement élémentaire tend vers zéro.
b)
Circulation sur une courbe
r
circulation de f (M) entre les points M1 et M2, le long de Γ (ou « sur Γ »)
intégrale curviligne
CM
1
Γ
→
M2
=
∫
M∈Γ
δC =
r
r
f (M ).d l
∫
M∈Γ
r
La circulation le long de Γ sera « grande » si, en chaque point de Γ, le vecteur f (M) est intense et tangent à Γ (et de même
sens).
Attention: cette intégrale dépend en général, non seulement de M1 et M2 mais aussi de la courbe Γ.
r
Exemple : si le champ de vecteur f est un champ de forces subie par un point matériel M, sa circulation entre les points
M1 et M2, le long de Γ, est le travail de cette force lorsque M se déplace de M1 à M2, le long de Γ.
c)
Circulation sur une courbe fermée
La circulation le long d'un contour fermé Γ est notée avec le symbole
∫
Γ
d)
: CΓ =
∫
r
f (M ).dl
M∈Γ
Champ de vecteurs à circulation conservative
Définition : Un champ de vecteur est à circulation conservative si et seulement si sa circulation le long de toute courbe
fermée est nulle.
Propriété :
La circulation sur une courbe Γ d’un champ à circulation conservative, entre deux points M1 et M2, ne dépend que des
points M1 et M2 (elle ne dépend pas de la forme de Γ entre M1 et M2).
Circulation et flux
1
En effet, soit Γ1 et Γ2 deux courbes orientées de mêmes extrémités M1 et M2, soit C1 et C2 les circulations respectives du
r
champ de vecteurs f le long de Γ1 et Γ2. Soit Γ la courbe fermée, union de Γ1 et Γ2. Soit C la circulation le long de Γ
orientée par exemple comme Γ2.
r
f étant à circulation conservative, C=0
Γ1
M1
Par ailleurs, C=C2-C1.
M2
Γ2
On déduit C1=C2 CQFD
Exemples (de champ à circulation conservative) :
r
• Le champ électrostatique E est à circulation conservative : sa circulation entre deux points M1 et M2 est
indépendante du chemin suivi, elle ne dépend que des points M1 et M2 :
r r
•
E.d l = −[V(M 2 ) − V (M1 )]
∫
M 1M 2
•
•
r
Le poids m g d’un point matériel est à circulation conservative : sa circulation (égale par définition au travail reçu par
le point matériel) entre deux points M1 et M2 est indépendante du chemin suivi, elle ne dépend que des points M1 et
M2 :
r r
mg.d l = − E p (M 2 ) − E p (M1 ) = −mg (z 2 − z1 ) où l’altitude z est mesurée le long d’un axe vertical ascendant
[
∫
]
M 1M 2
2.
Flux d'un champ de vecteurs
a)
Flux élémentaire
r
r
Flux élémentaire de E à travers l'élément de surface dS(M ) de centre M :
r
r
r r
dφ(M ) = E (M).dS(M ) = E(M ).dS. cos(E, dS)
•
Ce flux
•
r
est proportionnel à la norme du champ E en M
•
•
•
est proportionnel à l’aire dS de l’élément de surface considéré
r r
dépend de l’angle (E, dS)
r r
r r
est algébrique : dφ>0 ⇔ (E, dS) ∈ [0,π/2] ; dφ<0 ⇔ (E, dS) ∈ [π/2;π]
b)
Flux à travers une surface non fermée
Une telle surface Σ est caractérisée par son contour Γ. Pour définir un flux (algébrique) à travers cette surface, on doit
l’orienter, ce qui équivaut à orienter son contour. Le contour Γ ayant été orienté, l'orientation de la normale en un point M
de Σ est donnée par la règle du tire-bouchon : le sens positif de la normale en M est le sens dans lequel en M, progresse un
tire-bouchon qu'on tourne dans le sens positif de Γ. (On peut utiliser aussi la règle de la main droite : la main droite étant
posée sur Γ, le sens + de Γ « sortant par les doigts », le sens + de la normale en un point M de la surface Σ est donné par le
pouce : il « sort » du pouce).
Circulation et flux
2
Soit une surface orientée Σ.
Face
r
Flux de E à travers Σ:
φΣ =
dS(M)
E(M)
M
Σ
r
r
∫∫ dφ(M) = ∫∫ E(M).dS(M)
M∈Σ
+
Face
M∈Σ
Γ
-
r
Le flux du champ de vecteur E à travers une surface Σ est « grand » si en chaque point de Σ, le champ est intense et
normal à la surface (et de même sens).
Cas particuliers :
•
•
•

r
r
r 
Le champ E (M) est uniforme sur toute la surface Σ : φΣ = E. dS(M ) .
M∈Σ

r
Si de plus la surface Σ est plane, (notons S son aire et n son vecteur normal unitaire) alors
r r
r r
φΣ = E.Sn = ES cos(E, n )
∫∫
•
Le flux est d’autant plus grand que le champ est intense, que la surface Σ est grande et que l’angle entre le champ et la
r
normale est proche de zéro (i.e. que les lignes de champ percent Σ « normalement », dans le sens de n ).
•
Si de plus la surface Σ est normale au champ alors
•
La valeur absolue du flux est simplement le produit de la norme du champ par l’aire de la surface considérée.
r
Le flux est une grandeur algébrique : φΣ=E S si les lignes de champ percent la surface dans le sens de n ; φΣ= - E S si
les lignes de champ percent la surface dans le sens opposé.
r
r
r
r
Le champ E (M) n’est pas uniforme mais il est colinéaire au vecteur dS(M ) en chaque point M : E (M ) = E n (M )n et
r
r
dS(M ) = dS.n (M ) . Alors le calcul du flux se simplifie car dans l’intégrale, le produit scalaire s’écrit comme un simple
•
•
|φΣ|=E S
∫∫ E (M).dS
produit : φΣ =
n
M∈Σ
c)
Flux sortant à travers une surface fermée
Rappel : Concrètement, on appelle surface fermée une enveloppe délimitant un volume donné (une surface pour laquelle
on peut définir l’intérieur et l’extérieur).
On appelle flux sortant à travers une surface fermée Σ, l’intégrale de surface :
φsort =
r
r
∫∫ E(M).dS
ext ( M )
r
où dSext (M ) est le vecteur surface élémentaire de Σ centré sur M, orienté vers l’extérieur de Σ.
M∈Σ
Remarque : on précise qu’il s’agit d’une intégrale sur une surface fermée par le symbole
∫∫
.
Σ
d)
champ de vecteur à flux conservatif
Définition
Un champ de vecteur est à flux conservatif si et seulement si son flux à travers toute surface fermée est nul.
Exemple : Le champ magnétique est toujours à flux conservatif, quelle que soit sa source, qu’on soit en régime
permanent ou non.
Circulation et flux
3
Remarque : le champ électrique n’est en général pas à flux conservatif . En effet, d’après le théorème de Gauss, le
r
r
r
Q
champ électrique E (M) créé par une distribution de charges D vérifie :
E(M ).dS(M ) = int (il n’est à flux conservatif
ε0
∫∫
Σ
que dans des zones vides de charges).
r
Propriétés d’un champ de vecteurs à flux conservatif (on le notera volontairement B (M))
•
Le flux à travers une surface Σ s'appuyant sur un contour Γ, d’un champ de vecteurs à flux conservatif, ne
dépend que du contour Γ, il est indépendant de la surface Σ : on parle alors de flux à travers le contour Γ.
En effet, considérons la surface fermée Σ constituée de la réunion de
deux surfaces S1 et S2 s’appuyant sur le même contour orienté Γ.
Notons φ le flux sortant à travers la surface fermée Σ, φ1 et φ2 les flux
respectifs du champ à travers S1 et S2 orientées.
r
B étant à flux conservatif, Σ étant fermée φ=0.
Par ailleurs,
S2
S1
φ=φ2-φ1
Γ
On déduit : φ2=φ1 CQFD
•
Le long d’un tube de champ, le flux d’un champ à flux conservatif, se conserve.
En effet, considérons la surface fermée Σ constituée d'un
tube de champ du champ à flux conservatif et limitée
par deux sections S1 et S2 orientées comme l'indique la
figure. Notons φ le flux sortant à travers la surface
fermée Σ, φlat le flux à travers la paroi latérale du tube
de champ (φlat=0 par définition du tube de champ), φ1 et
φ2 les flux respectifs du champ à travers S1 et S2
orientées.
r
B étant à flux conservatif, Σ étant fermée, φ=0
Par ailleurs, φ = −φ1 + φ2 + φlat = −φ1 + φ2
S2
dSext
Slat
dSext=dS2
dS1
dSext=-dS1
Γ1
Γ2
S1
On déduit donc φ1=φ2 CQFD
•
L’intensité d’un champ à flux conservatif devient plus grande dans les régions où les lignes de champ se
rapprochent.
En effet, considérons la surface fermée constituée d’un tube de champ élémentaire, et de deux sections (élémentaires)
normales au champ S1 et S2, (le champ étant considéré comme uniforme sur chacune, respectivement de norme B1 et B2).
On a d’après la propriété précédente :
B1S1 = B 2 S 2
S2
S1
Si les lignes de champ se resserrent (c’est-à-dire si S2<S1), le
champ s’intensifie (B2>B1).
Circulation et flux
4
B1
B2
GRADIENT
1.
Définition intrinsèque
Type : Le gradient est un champ de vecteurs attaché à un champ scalaire f(M), que l'on note grad M f
Exemples : à partir du champ scalaire de température θ(M), on définit le champ de vecteurs « gradient de température »
grad M θ; à partir du champ scalaire de pression P(M), on définit le champ de vecteurs « gradient de pression » grad M P; à
partir du champ scalaire de potentiel électrique V(M), on définit le champ de vecteurs « gradient de potentiel » grad M V…
Définition : Le gradient de f en M est tel que son produit scalaire par un vecteur déplacement élémentaire d’origine M,
MM ' = dOM soit égal à la petite variation de la fonction f quand on passe de M à M’ : df= f (M ' ) − f (M) = grad M f . MM '
grad M f est défini par :
f (M ' ) − f (M) = grad M f . MM ' quand M’ tend vers M
(i.e. df = (grad M f ).dOM )
De cette définition, on déduit que le déplacement élémentaire à partir d'un point M, qui occasionne la plus forte variation
de la fonction f, est un déplacement colinéaire au gradient de f en M, et de même sens. On en tire la signification pratique
du gradient d'une fonction en un point M:
Le gradient en M de la fonction f est un vecteur qui pointe vers la zone de plus forte valeur de f au voisinage immédiat
de M. Il a pour direction celle le long de laquelle f varie le plus fort autour de M. Sa norme traduit la rapidité de la
variation de f le long de cette direction, au voisinage de M.
Le gradient caractérise la non uniformité du champ f(M) (il est identiquement nul si et seulement si df=0, ie si et seulement
si f est uniforme).
2.
•
Composantes
En cartésiennes
Le champ scalaire f(M) est une fonction des trois coordonnées cartésiennes de M : f(x,y,z). Sa différentielle s’écrit donc :
r
r
r
∂f
∂f
∂f
df =
dx + dy + dz . Le déplacement élémentaire s’écrivant dOM = dxu x + dyu y + dzu z , on déduit les
∂x
∂y
∂z
composantes du gradient (puisque df = gradf .dOM )
En cartésiennes
•
gradf =
∂f r
∂f r
∂f r
ux +
u y + uz
∂x
∂y
∂z
En cylindriques
Le champ scalaire f(M) est une fonction des trois coordonnées cylindriques de M : f(ρ,θ,z). Sa différentielle s’écrit donc :
r
r
r
∂f
∂f
∂f
df =
dρ + dθ + dz . Le déplacement élémentaire s’écrivant dOM = dρu ρ + ρdθu θ + dzu z , on déduit les
∂ρ
∂θ
∂z
composantes du gradient de df = gradf .dOM :
En cylindriques
•
gradf =
∂f r
1 ∂f r
∂f r
uρ +
uθ + uz
∂ρ
ρ ∂θ
∂z
r
r
r
En sphériques f(r,θ,ϕ) , dOM = dru r + rdθu θ + r sin θdϕu ϕ
En sphériques
Gradient
gradf =
1
∂f r 1 ∂f r
1 ∂f r
ur +
uθ +
uϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
3.
Expression du gradient à l’aide de l’opérateur nabla
∂ / ∂x
r
On appelle nabla l’opérateur vectoriel de composantes ∇ ∂ / ∂y
∂ / ∂z
r
Le gradient d’un champ scalaire f s’exprime donc au moyen de ce vecteur par : gradf = ∇f
4.
Surfaces "iso f" et gradient
L'équation f(M)=λ définit la surface "iso f" (ou "équi f"), ensemble des points M ayant même valeur λ de la fonction f.
exemples
•
"P(M)=1013hPa" définit la surface isobare 1013hPa, ensemble des points où, à l'instant considéré, la pression vaut
1013hPa.
•
"V=1kV" définit la surface équipotentielle 1kV, ensemble des points où à l'instant considéré, le potentiel électrique
vaut 1kV.
Propriétés :
•
Deux surfaces "iso f" correspondant à deux valeurs de λ différentes ne peuvent pas se couper (la fonction f aurait deux
valeurs différentes en un point d'intersection des deux surfaces, ce qui est absurde).
•
Le vecteur gradient de f en un point M est normal à la surface "iso f" passant par M. Il est orienté vers les valeurs
croissantes de f :
les lignes de champ du champ de vecteur gradf sont normales aux surfaces "iso f" et orientées vers les valeurs de f
croissantes.
En effet, pour tout déplacement dOM s'effectuant au voisinage de M sur la surface "iso f" passant par M, on a df=0.
D'après sa définition, le gradient de f en M est donc normal à tout déplacement dOM s'effectuant sur la surface "iso
f", il est donc normal à la surface "iso f" passant par M.
Par ailleurs, quand on passe d'une surface "iso f" à une surface voisine correspondant à une plus grande valeur de f, on
effectue un déplacement élémentaire avec df>0. La relation de définition du gradient, montre qu'il est bien orienté
dans le sens du déplacement élémentaire effectué, c’est-à-dire selon les valeurs croissantes de f.
Exemple : potentiel électrique et champ électrostatique Soit la distribution « charge ponctuelle q, placée en un point A ».
q
On sait V (M) =
. Les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques de centre A. Les lignes de champ
4πε0 AM
du champ grad V sont des demi-droite passant par A (normales au équipotentielles), orientées vers A si q>0 (le potentiel
r
tend vers +∞ quand on s’approche de la charge). Les lignes de champ du champ électrostatique E =- grad V sont aussi des
demi-droites passant par A, mais divergeant à partir de A si q>0 (le champ électrostatique est l’opposé de grad V : il est
orienté dans le sens des potentiels décroissants).
5.
Circulation d’un champ de gradient
Calculons la circulation du champ grad f le long d’une courbe Γ fermée passant par un point A :
∫
r
gradf .d l = df = f (A) − f (A) = 0
Γ
∫
un champ de gradient est à circulation conservative
Γ
r
Exemple E =- grad V : le champ électrostatique est à circulation conservative.
Gradient
2