Etats comprimés du rayonnement 1 Génération d`états comprimés

ECOLE POLYTECHNIQUE − Promotion X2014
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 5 (6 février 2017)
Etats comprimés du rayonnement
Nous avons vu à la PC2 que les états cohérents de Glauber (états quasi-classiques) sont les
états minimaux et symétriques au sens de la relation d’incertitude de Heisenberg, i.e. ∆EP =
∆EQ = Eℓ . Bien que l’on ne puisse pas réduire les fluctuations des deux quadratures à la fois, on
peut réduire les fluctuations de l’une au détriment de l’autre. Nous étudions dans cette PC un
processus non linéaire permettant de générer de tels états comprimés du rayonnement à partir
d’états quasi-classiques.
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Génération d’états comprimés
Un cristal paramétrique est un milieu non linéaire dans lequel un photon de fréquence Ω (mode
L) peut être converti en deux photons de fréquences ω et ω ′ (modes ℓ et ℓ′ ), avec Ω = ω + ω ′ .
On considère ici le cas dégénéré pour lequel ℓ = ℓ′ . La conversion de photons est décrite par le
hamiltonien
Ĥ = Ĥ0 + V̂
avec
Ĥ0 = ~Ω†  + ~ω↠â
et
V̂ = g Â↠2 + † â2 ,
où â et  sont les opérateurs d’annihilation d’un photon, respectivement dans les modes ℓ et L,
et g est une constante de couplage. Le cristal est éclairé par un faisceau incident de fréquence Ω
initialement dans l’état cohérent |α0 iL . On suppose que le paramètre α0 est réel afin de simplifier
les notations. Le mode ℓ est initialement vide.
On donne enfin quelques commutateurs qui pourront être utiles dans la suite :
[â, ↠â] = â ;
[â, (↠)2 ] = 2â†
;
[↠â, (↠)2 ] = 2(↠)2
;
[â2 , (↠)2 ] = 4↠â + 2.
1. Le faisceau incident est suffisamment intense pour n’être que très faiblement atténué par le
processus paramétrique. Son état à l’instant t est donc approximativement l’état cohérent
de paramètre α0 (t) = α0 e−iΩt (voir PC2). Justifier brièvement que si l’on ne s’intéresse
qu’à l’état du mode ℓ, il est légitime de remplacer le hamiltonien stationnaire Ĥ par le
hamiltonien dépendant du temps
Ĥ ′ (t) = ~ω↠â + gα0 e−iΩt ↠2 + e+iΩt â2 .
2. On se place à présent en représentation de Heisenberg. Ecrire les équations d’évolution
des opérateurs â(t) et ↠(t). On pourra introduire le paramètre γ = 2gα0 /~.
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3. Ecrire les équations d’évolution à l’aide des opérateurs ã(t) ≡ â(t)e+iωt et ㆠ(t) ≡
↠(t)e−iωt .
4. On introduit alors les opérateurs de quadrature réduits
−1 â(t)e+iωt √ †
+i â(t)e+iωt √ †
√
√
+ i â (t)e−iωt
− i â (t)e−iωt .
Q̂(t) = √
et P̂ (t) = √
2
2
i
i
On pourra noter qu’ils correspondent, en représentation
de Schrödinger, aux quadratures
√
habituelles du mode ℓ avec θ = π/4, divisées par 2Eℓ (voir notations de la PC2). Montrer
que l’évolution temporelle des opérateurs P̂ (t) et Q̂(t) est donnée par
d
Q̂(t) = −γ Q̂(t) et
dt
d
P̂ (t) = +γ P̂ (t).
dt
5. En déduire les expressions des valeurs moyennes, hQ(t)i et hP (t)i, et des fluctuations,
∆Q(t) et ∆P (t), des quadratures réduites en fonction du temps t.
6. Exprimer Q̂2 + P̂ 2 en fonction de l’opérateur nombre de photons dans le mode ℓ. Evaluer
le nombre moyen de photons dans ce mode à l’issue de l’interaction. En déduire un critère
de validité du traitement précédent en fonction des paramètres α0 et g et du temps t.
7. Soit T le temps total d’interaction dans le milieu non linéaire. Exprimer l’opérateur champ
électrique après la traversée du milieu en fonction des quadratures Q̂(T ) et P̂ (T ), du temps
t et de la postion ~r. Montrer que pour l’état du rayonnement préparé à la sortie du milieu
non linéaire les fluctuations du champ électrique, ∆E, peuvent être plus petites ou plus
grandes que dans le vide selon l’instant et la position auxquelles on les mesure. Représenter
à un instant donné les fluctuations de l’amplitude complexe du champ électrique.
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Réduction du bruit quantique dans une mesure
On effectue une mesure des quadratures par détection homodyne à l’aide d’une lame semiréfléchissante (voir PC3). Pour cela, on injecte un état cohérent |αi dans la voie 1 de la lame et
l’état |φi i dont on veut mesurer les quadratures dans la voie 2, puis on effectue des mesures de la
différence des nombres de photons dans les deux voies de sortie 3 et 4 de la lame, via l’opérateur
D̂ ≡ â†3 â3 − â†4 â4 .
1. Montrer que, dans ces conditions, on obtient
hDi = −
|α|
hφi |ÊQϕ |φi i
E
et
∆D 2 =
|α|2
hφi |(∆ÊQϕ )2 |φi i + hφi |N̂2 |φi i
E2
où α ≡ |α|eiϕ .
2. En déduire une méthode pour mesurer les quadratures d’un champ quantique.
3. On injecte d’abord le vide dans la voie d’entrée 2 (|φi i = |0i). Déterminer les valeurs de
hDi et ∆D 2 . Interpréter physiquement le résultat.
4. On injecte à présent dans la voie 2 l’état comprimé généré ci-dessus. Montrer que, pour
un choix approprié du paramètre e2γT , on peut réduire considérablement le bruit sur la
mesure de l’observable D̂.
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