AlgJbre. Exercices classiques Nombres complexes 1) a) On note

Algèbre. Exercices classiques
Nombres complexes
l’ensemble des points du plan R2 ’a¢ xe z tels que (1 + z + z 2 + z 3 ) est réel.
1) a) On note
Montrer que
est la réunion d’une droite et d’une courbe dont on précisera la nature.
b) Montrer que les points d’a¢ xes 1, z et z 4 sont alignés ssi le point d’a¢ xe z appartient à .
2) a) De quel polynôme de degré 2 les nombres complexes ei
b) Montrer avec
c a
b a
=3
et e
i =3
sont-ils les racines ?
que les points d’a¢ xes a; b; c forment un triangle équilatéral ssi a2 + b2 + c2 = a + b + c:
3) Montrer que f : z 7 !
z i
est une bijection de R sur U .
z+i
Polynômes
4) Factoriser dans C[X] les polynômes 1 + X + ::: + X n
5) a) Montrer que si a racine de P d’ordre m
1
et (X + 1)n
(X
1)n :
1, alors a racine de P 0 d’ordre (m
1):
b) Montrer que si P est scindé à racines simples (resp. scindé) dans R[X], alors P 0 l’est aussi.
c) Déterminer les polynômes P 2 C[X] tels que P 0 divise P .
6) Soit P 2 R[X] un polynôme réel à valeurs positives.
Qr
Qr
2
2
Montrer que P (X) s’écrit
i)
j=1 (X + aj X + bj ), avec
i=1 (X
7) a) Déterminer les polynômes réels non nuls P véri…ant P (X)P (X
> 0 et a2j < 4bj :
1) = P (X 2 ):
Indication : Noter d’abord que si z est racine de P , alors z 2 est racine. En déduire que jzj = 0 ou 1: Noter ensuite
que si z est racine, (z + 1)2 aussi. En déduire que z 2 fei2
m 2 N:
=3 ; e 2i =3 g,
puis en conclure P = (X 2 + X + 1)m , avec
b) Montrer que P (X)2 = P (X 2 ) ssi P (X) = X d (monôme): Indication : Ecrire P (X) = X d + :::
8) Soient
1 ; :::;
des réels distincts. On note Li les polynômes de Lagrange associés à ( 1 ; :::; n ):
P
Que valent les Pk (X) = ni=1 ki Li (X) pour k 2 f0; 1; :::; n 1g ? Montrer que Pn (X) = X n (X
n
9) Soient d 2 N et (Pn )n2N une suite de polynômes de degré
Montrer que limn!+1 supt2[0;1] jPn (t)j = 0:
1 ):::(X
n ):
d véri…ant 8t 2 [0; 1], limn!+1 Pn (t) = 0:
Indication : Utiliser les polynômes de Lagrange (en considérant x0 ; :::; xd 2 [0; 1]).
Rang et matrices équivalentes
10) Soient A et B 2 Mn (K). Montrer que rg(AB)
11) a) Montrer que rg(u2 ) = rg(u)
min(rg A; rg B). Montrer que si AB = In , alors A 2 GLn (K).
dim(Ker u \ Im u):
b) Soient u et v 2 L(E). Montrer que rg(u v) = rg v
dim(Im v \ Ker u) et jrg u
rg vj
rg(u + v)
rg u + rg v:
12) Montrer que la matrice nulle est la seule matrice A 2 Mn (K) telle que 8M 2 GLn (K), tr(AM ) = 0:
Solution : On écrit A = P Jr Q. Alors on veut 8M 2 GLn (K), tr(P Jr QM ) = 0, c equi équivaut à tr(Jr QM P ) = 0,
ce qui équivaut à 8N 2 GLn (K), tr(Jr N ) = 0, car N = QM P décrit GLn (K) lorsque M décrit GLn (K):
En prenant N = In , on obtient tr(Jr N ) = r, donc r = 0 et A est nécessairement la matrice nulle.
13) Soit u : Rn [X] ! Rn [X] telle que 8k 2 f0; 1; :::; ng, u(X k ) = (k + 1)X k + Qk , avec deg Qk < k.
Montrer que u est inversible et diagonalisable.
14) Soit A 2 Mn (K). Déterminer le rang de u : Mn (K) ! Mn (K) M 7 ! AM: Commencer par le cas A = Jr :
Dimension en algèbre linéaire
15) Soit A 2 Mn (K) de rang r.
Déterminer dimfB 2 Mn (K) j AB = Og, dimfB 2 Mn (K) j BA = Og et dimfB 2 Mn (K) j ABA = Og:
16) Soient a et b des réels distincts, et f : [a; b] ! R de classe C 4 :
a) Montrer qu’il existe un unique P 2 R3 [X] tels que P (a) = f (a), P (b) = f (b), P 0 (a) = f 0 (a) et P 0 (b) = f 0 (b):
Solution : Il s’agit ici de l’interpolation d’Hermite (variante de l’interpolation de Lagrange).
L’idée consiste en fait à prouver que u : R3 [X] ! R4 P 7 ! (P (a); P (b); P 0 (a); P 0 (b)) est bijective.
Or, u est linéaire et injective, onc bijective par dimension, car dim R3 [X] = dim R4 .
Montrons que u est injective : Si u(P ) = 0, alors a et b sont racines de P d’ordre
2, donc P = 0 (car deg P
3).
Formes linéaires
17) a) Montrer que les formes linéaires sur Mn (K) sont les M 7 ! tr(AM ).
b) Montrer que (A; B) 7 ! tr(AT B) est un produit scalaire sur Mn (R). Retrouver a).
18) a) On note Eij les matrices canoniques de Mn (K). Calculer Eii Eij , Eji Eii , Eij Eji et Eji Eij pour i 6= j
b) Montrer que les formes linéaires sur Mn (K) telles que '(AB) = '(BA) sont les
tr :
19) Soient a1 ; :::; ap des réels distincts.
a) Montrer que les formes linéaires 'i : P 7 ! P (ai ) sont indépendantes sur Rn 1 [X].
R +1
b) On prend n = p. Montrer qu’il existe ( 1 ; :::; n ) tel que 8P 2 Rn 1 [X], 1 P (t)e
t2
dt =
Réduction des endomorphismes
Pn
i=1
i P (ai ):
20) (|) Soit A 2 Mn (R) véri…ant A3 = A + In . Montrer que det A est strictement positif.
Solution : On véri…e par une étude de fonction que le polynôme P (x) = x3
,e t que
est strictement positif. On note
et
x
1 admet une unique racine réelle
les autres racines de P dans C:
En considérant A 2 Mn (C), A est trigonalisable de valeurs propres 2 f ; ; g. Comme
deux à deux conjuguées avec multiplicité, donc det A est de la forme
p q q
=
pj
A
est réel, ses racines sont
2q
j , qui est strictement positif.
21) (|) Soient A; B; M 2 Mn (C) telles que AM = M B.
On pose r = rg M . Montrer que
A
et
B
admettent au moins r racines communes.
Ir O
C
C
. Montrer que A =
et B =
O O
O
Supposons M = P Jr Q. Alors AM = M B ssi (P 1 AP )Jr = Jr (Q 1 BQ). Conclure.
O
Indications : Supposons M =
. Conclure.
22) a) (|) Soit u un endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension …nie.
Soit H hyperplan de E. Montrer que H est stable ssi il existe
2 K tel que Im(u
Id)
H.
b) Soit u l’endomorphisme de Rn euclidien associé canoniquement à A 2 Mn (R).
Montrer qu’un hyperplan H = Z ? est stable par u ssi Z est un vecteur propre de AT .
23) (|) Soit A 2 Mn (K) diagonalisable. Montrer que u : Mn (K) ! Mn (K) M 7 ! AM est diagonalisable.
Indication : Se ramener au cas où A est diagonale, et considérer les Eij .
Polynômes d’une matrice ou d’un endomorphisme
24) a) Soit D = Diag(
1;
2 ; :::;
n ),
avec
i
distincts. Montrer que toute matrice diagonale est un polynôme en D:
b) Soit A 2 GLn (K) diagonalisable et inversible. Montrer que A
1
est un polynôme en A.
c) Soit A 2 GLn (K). Montrer que A admet un polynôme annulateur P véri…ant P (0) 6= 0.
En déduire que A
1
est un
0
0
25) Diagonaliser J = @ 0
1
polynôme en A.
1
0
1
1 0
a b c
0 1 A et A = @ c a b A. Généraliser en dimension n.
0 0
b c a
Endomorphismes commutants
26) a) Soient u et v 2 L(E) tels que u v = v u. Montrer que tout sev propre E de u est stable par v.
b) Soit A une matrice diagonalisable admettant n valeurs propres distinctes.
Montrer que toute matrice commutant avec A est un polynôme de A. Qu’en est-il dans le cas général ?
27) a) Soit F un sev stable par un endomorphisme v. Montrer que si v est trigonalisable, vjF est trigonalisable.
b) Montrer que si E est un C-ev de dim …nie et u v = v u, alors u et v admettent un vecteur propre commun.
c) Soient A et B 2 Mn (C) telle que AB = BA.
Montrer qu’il existe P 2 GLn (C) telle que P
1 AP
et P
1 BP
soient de la forme
O
A0
et
O
B0
:
Remarque culturelle : On a aussi A0 B 0 = B 0 A0 . On en déduit par récurrence que A et B sont cotrigonalisables.
d) Soient A et N 2 Mn (C) avec N nilpotent et AN = N A. Montrer que det(A + N ) = det(A):
Racines carrées de matrices
28) Soit A 2 Mn (K) une matrice diagonalisable admettant n valeurs propres distinctes.
Montrer qu’il existe au plus 2n matrices B véri…ant B 2 = A. Remarque : Noter que AB = B 3 = BA:
29) a) Soit
0: Montrer que l’unique matrice symétrique positive M 2 Sn+ (R) véri…ant M 2 = In est M =
p
In :
b) Soit A 2 Sn+ (R) matrice symétrique positive. Montrer qu’il existe unique matrice symétrique positive B 2 Sn+ (R)
véri…ant B 2 = A: Montrer que B est un polynôme en A.
30) Montrer que si rg(up ) = rg(up+1 ), alors pour tout k
p, rg(uk ) = rg(up ): Indication : Considérer uj(Im up ) :
Endomorphismes nilpotents
31) Polynôme caractéristique de A + N , lorsque AN = O, lorsque N A = O, lorsque AN = N A:
32) Montrer que si N 2 Mn (C) est nilpotent, I
N est inversible.
33) Soit A 2 Mn (C). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) A nilpotente (c’est-à-dire A admet un polynôme annulateur de la forme X p ).
ii) A est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte.
iii) An = On ; iv) 0 est la seule valeur propre de A:
v) (F) 8k 2 N, tr(Ak ) = 0: Indication : Pour v) ) iv), noter que det((
k
i )1 i r;1 k r )
34) a) Expliciter une base du sev de Mn (R) formé des matrices de trace nulle.
=
1 ::: r
Q
i<j ( j
i ):
b) (F) Montrer que le sev de Mn (C) engendré par les matrices nilpotentes est le sev des matrices de trace nulle.
Solution : a) On considère la base (Eij )i6=j [ (Eii
Enn )1
i n 1:
Il s’agit d’un sev de dimension n2
1 (hyperplan).
b) Il su¢ t de prouver que toute matrice de la base du a) est combinaison linéaire de matrices nilpotentes. Les Eij ,
avec i 6= j, sont elle-mêmes nilpotentes. Reste le cas des matrices Eii Enn , avec i < n:
a c
En fait, une matrice
est nilpotente ssi son polynôme caractétistique est X 2 , donc ssi elle est de trace et
b d
a c
de déterminant nuls. Donc les matrices nilpotentes de M2 (C) sont les
, avec a2 + bc = 0:
b
a
Projecteurs
35) Montrer que pour tout projecteur p, on a tr p = rg p:
36) a) Montrer que tout projecteur orthogonal est symétrique.
b) Soit E un espace euclidien. Montrer qu’un projecteur p est un projecteur orthogonal ssi 8x 2 E, kp(x)k
kxk :
37) Soit Z 2 Rn un vecteur unitaire. Montrer que la matrice Z t Z est la matrice d’une projection orthogonale.
38) Soient p et q deux projecteurs qui commutent. Montrer que r = p + q
p q est un projecteur.
Indication : Les sev propres E0 et E1 de p sont stables par q, et les restrictions de q sont des projecteurs.
On en déduit qu’on peut codiagonaliser p et q : on se ramène à des matrices diagonales de valeurs propres 0 et 1.
On en déduit que r est la projection sur (Im p + Im q) parallèlement à (Ker p \ Ker q):
Une autre méthode consiste à montrer algébriquement que r2 = r à partir de p2 = p, q 2 = q et pq = qp:
Algèbre bilinéaire
39) Soit A 2 Mn (R). Montrer que M = (AT A) est symétrique positive et que Ker M = Ker A:
40) Pour A et B 2 Mn (R), on considère '(A; B) = tr(AT B).
a) Montrer que ' dé…nit un produit scalaire sur Mn (R). On note k k la norme euclidienne associée.
2
Indication : Noter (avec les aij et bij ) qu’il s’agit tout simplement du produit scalaire canonique sur Mn (R) = R(n ) :
b) Soit U et V des matrices orthogonales. Montrer que kU AV k = kAk :
c) En déduire que si A est symétrique, kAk2 est la somme des carrés des valeurs propres de A.
Remarque : Une autre preuve consiste à noter que kAk2 = tr(t AA) = tr(A2 )
41) Soit A 2 Mn (R). On suppose A inversible. En appliquant le procédé de Gram-Schmidt à la base (A1 ; A2 ; :::; An ),
on obtient une famille orthonormée (U1 ; U2 ; :::; Un ). On a Aj 2 Vect(U1 ; :::; Uj ).
En déduire que A s’écrit sous la forme A = U T avec U orthogonale et T triangulaire supérieure (inversible).
42) Soit E un espace euclidien et u 2 S(E). On note 1
:::
2
n les valeurs propres de u.
hu(x); xi
hu(x); xi
a) Montrer que n = supx6=0
:
2 , et préciser les cas d’égalité. De même, on a 1 = inf x6=0
kxk
kxk2
(u(x) j x)
b) Soit F un sev de dimension p. Montrer que supx2F , x6=0
p : Donner un exemple où il y a égalité.
kxk2
R +1 2
2
43) Expliquer comment on calcule m = inf (a;b)2R2 0
t
a bt e t dt:
R1
44) Soit P un polynôme de Rn [X] véri…ant 8k 2 f0; 1; :::; ng, 0 tk P (t) dt = 0. Montrer que P = 0:
R1
Solution : Par linéarité, 0 P (t)2 dt = 0 : en e¤et, P est orthogonal aux X k , donc à tout polynôme de Rn [X]:
45) a) Soit u un endomorphisme d’un espace euclidien. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) hu(x); yi =
hx; u(y)i ; ii) hu(x); xi = 0 ; iii) Si B bon, MatB u antisymétrique.
b) Soit u antisymétrique et
valeur propre de u. Montrer que
= 0:
Solution :
a) i) implique ii) en prenant x = y:
ii) implique i) : on a hu(x) + u(y); x + yi = 0, et en développant, on obtient hu(x); yi =
hx; u(y)i :
i) implique iii) : avec B = (e1 ; :::; en ), le coe¢ cient aij de A = MatB u est hu(ej ); ei i i-ième coordonnée de u(ej ):
iii) implique i) : On a (u(x); y) = (AX)T Y = X T AT Y =
b) Il existe x non nul tel que u(x) = x. Alors hu(x); xi =
X T AY =
2
kxk , donc
hx; u(y)i :
= 0:
46) a) Soient A 2 Sn++ (R) symétrique dé…nie positive. Montrer qu’il existe P 2 GLn (R) telle que P T AP = In :
b) Soit B 2 Sn+ (R) une matrice symétrique positive. Montrer que det(A + B)
det A + det B.
Indication : Se ramener au cas où A = In :
c) Montrer que l’inégalité det(A + B)
det A + det B est vraie pour A 2 Sn+ (R). Indication : Considérer A + "In :
Solution : a) Il existe U 2 On (R) tel que U T AU = D diagonale à coe¢ cients positifs.
En écrivant D = C 2 = C T C, où C diagonale à coe¢ cients positifs, on en conclut que P = U C
b) On utilise a), et on considère M =
P T BP .
Alors det(In + M ) = det(A +
B) det(P )2 ,
1
convient.
car det(P T ) = det(P ):
La matrice M est symétrique et dé…nie positive : (M X j X) = (BY j Y ), avec T = P X:
Or, In + M 2 Sn++ (R) et ses valeurs propres sont les 1 +
Donc det(In + M ) = (1 +
Ainsi, det(In + M )
1 ):::(1
+
n)
1+
1 ::: n
i,
avec
i
valeur propre de M:
: il su¢ t de développer !
det(In ) + det(M ), donc en diviant par (det P )2 , on obtient det(A + B)
det(A) + det(B):
c) Posons A" = A + "In . Alors A" 2 Sn++ (R) pour tout " > 0: Par b), et on a 8" > 0, det(A" + B)
On fait tendre " vers
0+
det A" + det B.
: on a lim"!0 A" = A et par continuité de det, lim"!0 det A" = det A, d’où on conclut.