EC1 – FEUILLE 3 D’EXERCICES FONCTIONS ET APPLICATIONS Exercice 1 Fonction f de R dans R telle que f(x) = Ensemble de définition Polynôme de variable x n(x) d(x) r(x) ln(g(x)) exp(h(x)) sin(g(x)) cos(h(x)) (g o f) (x) = g(f(x)) Exercice 2 Déterminer les ensembles de définition des fonctions numériques d’une variable réelle x définies par : a) f(x) = x+2 x+3 b) g(x) = x+2 x+3 2 c) h(x) = ln(x + 5 x + 6) 2 d) i(x)= ln(x+2) + ln(x+3) 2 e) j(x) = ln( x + 2x + 1) f) k(x)= ln(x + x + 1) Exercice 3 Soit f une application de l’ensemble E dans l’ensemble F et soit g une application de l’ensemble F dans l’ensemble G. a) Démontrer que si g o f est injective alors f est injective b) Démontrer que si g o f est surjective alors g est surjective Exercice 4 Soit f une application de l’ensemble E dans l’ensemble F et soit g une application de l’ensemble F dans l’ensemble E. -1 Démontrer que si g o f = IdE et si f o g = IdF alors f est bijective et f = g Exercice 5 Soit f une application de l’ensemble E dans l’ensemble F. Soient A et B des parties (ou des sous-ensembles ) de E. On appelle ensemble image de A par f ( qu’on note f<A>) l’ensemble des images des éléments de A par f 1°) Démontrer que f<A ∪ B> = f<A> ∪ f<B>. 2°) Démontrer que f<A ∩ B> ⊆ f<A> ∩ f<B>. Exhiber un contre-exemple prouvant que la réciproque est fausse. 3°) Démontrer que si f est injective alors f<A ∩ B> = f<A> ∩ f<B>. Soient A’ et B’ des parties (ou des sous-ensembles ) de F. -1 On appelle ensemble image réciproque de A’ par f ( qu’on note f <A>) l’ensemble des antécédents des éléments de A’ par f -1 -1 -1 -1 -1 -1 1°) Démontrer que f <A’ ∪ B’> = f <A’>∪ f <B’> 2°) Démontrer que f <A’ ∩ B’> = f <A’> ∩ f <B’>.