Chapitre VI Les gaz, partie D : Exercices page i/iii VI LES GAZ, partie D Les exercices de niveau A servent à mémoriser les notions de base du cours : vitesse quadratique moyenne, énergie cinétique de translation brownienne et énergie interne d’un gaz parfait. L’exercice de niveau C demande de maîtriser le calcul de la pression cinétique en l’appliquant à celui de la pression exercée par la pluie sur une fenêtre. Exercices de niveau A Exercice VI-A1 a. Rappeler l’expression de la vitesse quadratique moyenne des molécules d’un gaz parfait en équilibre thermodynamique à la température T. b. Exprimer cette vitesse en fonction de la pression p et de la masse volumique µ. c. En assimilant l’air { un gaz parfait unique, calculer sa vitesse quadratique moyenne dans les conditions normales de température et de pression. Sa masse volumique est alors µ0 = 1,293 kg.m-3. a. La vitesse quadratique moyenne des molécules d’un gaz parfait en équilibre thermodynamique à la température T s’écrit : C c. Le calcul numérique donne : 3RT M b. D’après l’équation d’état des gaz parfaits, écrite pour une mole de gaz : RT pVm D’après la définition de la masse volumique : M 3p C 3x1, 013.10 C 5 m.s 1 484, 8 m.s 1 1, 293 La vitesse quadratique moyenne des molécules de l’air (essentiellement diazote et dioxygène) est -1 d’environ 500 m.s . Vm En remplaçant dans la vitesse quadratique moyenne : Exercice VI-A2 a. Calculer la vitesse quadratique moyenne des molécules d’hélium, considéré comme un gaz parfait, à la température t = 20°C. b. Calculer l’énergie cinétique moyenne { cette température d’une mole d’hélium. c. Calculer la vitesse quadratique moyenne des molécules de diazote considéré comme un gaz parfait, à la température t = 20°C. d. Calculer l’énergie cinétique moyenne de translation brownienne à cette température d’une mole de diazote. Données : M(He) = 4 g.mol-1, M(N) = 14 g.mol-1, R = 8,314 J.K-1.mol-1. a. La vitesse quadratique moyenne de l’hélium à 20 °C vaut : C 3RT M C 3x8, 314 x 293 4.10 3 m.s 1 1, 35 km.s b. En notant m la masse d’une molécule, l’énergie cinétique moyenne d’une mole d’hélium à cette température vaut : 1 1 3 2 EK N A mC 2 MC RT 2 2 2 1 EK 3 2 8, 314 x 293 J 3,65 kJ Chapitre VI Les gaz, partie D : Exercices page ii/iii c. La vitesse quadratique moyenne du diazote à 20 °C vaut : C 3x8, 314 x 293 1 1 m.s 511 m.s 3 28.10 Les molécules de diazote sont plus massives que celles d’hélium. Elles sont donc en moyenne plus lentes. Les vitesses quadratiques moyennes sont de l’ordre de quelques centaines à un millier de mètres par seconde. d. L’énergie cinétique moyenne de translation brownienne d’une mole de diazote à cette température vaut : 3 EK 8, 314 x 293 J 3,65 kJ 2 Le diazote est un gaz diatomique tandis que l’hélium est monoatomique. Mais leur énergie cinétique de translation brownienne ne dépend que de la température. Cette énergie est de l’ordre du kilojoule par mole. Exercice VI-A3 a. Calculer l’énergie interne d’une masse m = 0,8 g d’hélium, considéré comme un gaz parfait, à la température t =20°C. Puis calculer la variation d’énergie interne de ce système entre les températures de 20°C et 40°C. b. Calculer l’énergie interne d’une masse m = 5,6 g de diazote, considéré comme un gaz parfait, à la température t =20°C. Puis calculer la variation d’énergie interne de cette masse entre les températures de 20°C et 40°C. c. Comparer les résultats concernant l’hélium et le diazote. Données : M(He) = 4 g.mol-1, M(N) = 14 g.mol-1, R = 8,314 J.K-1.mol-1. a. L’énergie interne de l’hélium, gaz parfait monoatomique, vaut : 3 m 3 U n RT RT 2 M 2 U 0, 8 3 8, 314 x 293 J 731 J 4 2 La variation d’énergie interne vaut : 3 m 3 U n R T R T2 T1 2 M 2 U 0, 8 3 8, 314 x 40 20 J 50 J 4 2 b. Les températures considérées sont des températures usuelles donc l’énergie interne du diazote, gaz parfait diatomique, vaut : 5 m 5 U n RT RT 2 M 2 U 5, 6 5 8, 314 x 293 J 1, 22 kJ 28 2 La variation d’énergie interne vaut : 5 m 5 U n R T R T2 T1 2 M 2 U 5, 6 5 8, 314 x 40 20 J 83 J 28 2 c. Les masses d’hélium et de diazote considérées correspondent à la même quantité de matière, 0,2 mol. L’hélium et le diazote n’ont cependant pas la même énergie interne car le premier est monoatomique et le second diatomique. Ces énergies internes sont de l’ordre du kilojoule par mole. Exercice de niveau C Exercice VI-C1 La pluie tombe sur une fenêtre verticale d’aire S = 3 m2. Elle tombe constamment sous un angle θ = 20° par rapport à la verticale et avec une densité ng = 1000 gouttes identiques par m3. Chaque goutte possède une vitesse v = 2 m.s-1 et une masse m = 0,1 g et rebondit sur la fenêtre élastiquement. Indications : Le volume d’un cylindre oblique est égal { la surface de base multipliée par la hauteur mesurée perpendiculairement aux bases. On relira avec profit le paragraphe D. du chapitre VI et on lira également avec profit le complément VI.2, en particulier les paragraphes 3.c. & 4. a. Combien de gouttes rebondissent sur la fenêtre en une durée Δt = 1 s ? Chapitre VI Les gaz, partie D : Exercices page iii/iii b. Exprimer littéralement la force exercée par ces gouttes sur la fenêtre. c. Exprimer littéralement la pression exercée par ces gouttes sur la fenêtre. d. La calculer numériquement. a. Les gouttes qui frappent la fenêtre entre deux instants de dates t et t+Δt se trouvent à l’instant de date t dans le cylindre oblique de base S et de longueur v Δt. Voir figure 1. La hauteur de ce cylindre, mesurée perpendiculairement aux bases, vaut v Δt sinα. Le nombre de gouttes cherché vaut donc : N ng Sv t sin N 1000.3.2.1.sin 20 2052 b. D’après la loi des interactions réciproques, la force exercée par une goutte sur la fenêtre est l’opposée de la force exercée par la fenêtre sur la goutte : fgoutte/fenêtre ffenêtre/goutte p S pgoutte pgoutte m vx vy 2mvx m vx 2mv sin vy p 2.1000.0,1 2 sin 20 p 23 Pa ng Sv t sin Fgouttes/fenêtre 2 ng Smv sin 2 Pa fenêtre S distance v x t = v t sin Figure 1 : Dénombrement des gouttes y v avant v x avant v y avant x' x v après N f goutte/fenêtre Fgouttes/fenêtre 2 pluie D’où l’expression de la force exercée par la goutte sur la fenêtre : 2mv sin f goutte/fenêtre i tchoc Fgouttes/fenêtre 2ng m v sin i La force moyenne équivalente s’exerçant pendant la durée Δt vaut : 2mv sin fgoutte/fenêtre i t La force moyenne exercée par les N gouttes vaut donc : 2 p C’est une très faible pression, équivalente à celle exercée par le poids d’une masse d’environ 2,3 kg 2 répartie sur 1 m . D’après la loi fondamentale de la Dynamique, la force exercée par la fenêtre sur une goutte vaut : pgoutte mvgoutte f fenêtre/goutte tchoc tchoc La variation de quantité de mouvement d’une goutte s’exprime en fonction de ses vitesses avant et après le choc. Voir figure 2 : pgoutte mvaprès mvavant Fgouttes/fenêtre y' 2 mv sin t 2 i i c. La pression est le quotient de l’intensité de la force pressante par l’aire de la surface pressée : Figure 2 : Un choc élastique