Fiche d’exercices sur les suites Fiche d’exercices sur les suites Exercice 1 √ Considérons la suite (un ) définie pour tout entier n par un = n + 2 n. Exercice 1 √ Considérons la suite (un ) définie pour tout entier n par un = n + 2 n. 3. Programmer l’algorithme à la calculatrice et donner la valeur de n0 . 1. Montrer que (un ) est croissante. 2. On admet que lim un = +∞. Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que pour tout n > n0 , un > 105 . 3. Programmer l’algorithme à la calculatrice et donner la valeur de n0 . Exercice 2 7n − 1 Montrer que la suite (un ) définie par un = est croissante et n+2 majorée par 7. En déduire que (un ) est bornée et donner un encadrement de un valable pour tout n ∈ N. Exercice 2 7n − 1 est croissante et Montrer que la suite (un ) définie par un = n+2 majorée par 7. En déduire que (un ) est bornée et donner un encadrement de un valable pour tout n ∈ N. 1. Montrer que (un ) est croissante. 2. On admet que lim un = +∞. Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que pour tout n > n0 , un > 105 (voir livre page 115). Exercice 3 Soit (un ) la suite d’efinie pour tout entier n par un = 1. Montrer que (un ) est croissante. 5n . 3 × 2n 2. Montrer qu’il existe un réel q tel que pour tout entier n, Déterminer q. un+1 = q × un . Exercice 4 Soit (an ) la suite définie par son premier terme a0 = 2 et la relation de récurrence : pour tout n > 0, an+1 = 2 an + 3. 3 2 x+3 et la droite d’équation 3 y = x ( aller au moins jusqu’à 10 en abscisses et ordonnées). 1. Construire la droite d’équation y = 2. Construire les premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses. 3. Calculer à la main a1 , a2 et a3 . Rédiger les calculs. 4. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée de a10 , a20 , et a30 . On arrondira à 0,0001 près. 5. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (an ) ? 6. Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que |an0 − 9| < 0, 0001. 7. Programmer cet algorithme à la calculatrice et indiquer la valeur de n0 . Exercice 3 Soit (un ) la suite d’efinie pour tout entier n par un = 5n . 3 × 2n 1. Montrer que (un ) est croissante. 2. Montrer qu’il existe un réel q tel que pour tout entier n, Déterminer q. un+1 = q × un . Exercice 4 Soit (an ) la suite définie par son premier terme a0 = 2 et la relation de récurrence : 2 pour tout n > 0, an+1 = an + 3. 3 2 1. Construire la droite d’équation y = x+3 et la droite d’équation 3 y = x ( aller au moins jusqu’à 10 en abscisses et ordonnées). 2. Construire les premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses. 3. Calculer à la main a1 , a2 et a3 . Rédiger les calculs. 4. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée de a10 , a20 , et a30 . On arrondira à 0,0001 près. 5. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (an ) ? 6. Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que |an0 − 9| < 0, 0001. 7. Programmer cet algorithme à la calculatrice et indiquer la valeur de n0 . Éléments de correction exercices sur les suites Exercice 1 √ Considérons la suite (un ) définie pour tout entier n par un = n + 2 n. 1. Montrer que (un ) est croissante. √ un = f (n) avec f (x) = x + 2 x. La fonction x 7→ x est croissante sur [0; +∞[ (affine de coeff directeur a = 1 > 0). √ La fonction x 7→ x est croissante √ sur [0; +∞[. En multipliant par 2 > 0, x 7→ 2 x est croissante sur [0; +∞[. Par somme de deux fonctions croissantes, f est croissante sur [0; +∞[, donc (un ) est croissante. 2 Autre méthode : un+1 − un = 1 + √ √ > 0 (via la qté n+1+ n conjuguée pour les racines carrées). 2. On admet que lim un = +∞. Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que pour tout n > n0 , un > 103 . Algorithme 0 →N 0 →U Tant que U 6 103 N + 1√ →N N +2 N →U Fin Tant que Afficher N , (et U ) 3. Programmer l’algorithme à la calculatrice et donner la valeur de n0 . n0 = 939. Exercice 2 7n − 1 est croissante et Montrer que la suite (un ) définie par un = n+2 majorée par 7. En déduire que (un ) est bornée et donner un encadrement de un valable pour tout n ∈ N. Sens de variation : 15 Pour tout n > 0, un+1 − un = . . . = > 0, (un ) est crois(n + 2)(n + 3) sante. Majoration par 7 : −15 Pour tout n > 0, un − 7 = . . . = < 0 donc pour tout n, un < 7. n+2 Encadrement de (un ). Toute suite croissane est minorée par son 1er terme. Ici, u0 = −0, 5. Pour tout n ∈ N, −0, 5 6 un < 7. (un ) est bornée. Exercice 3 Soit (un ) la suite d’efinie pour tout entier n par un = 5n . 3 × 2n 1. Montrer que (un ) est croissante. Il est clair que pour tout n ∈ N, un > 0. 5 un+1 = . . . = > 1. (un ) est croissante. Pour tout n, un 2 5n Autre méthode, un+1 − un , et factiriser par . 3 × 2n 2. Montrer qu’il existe un réel q tel que pour tout entier n, un+1 = q × un . 5 Le calcul précédent montre que un+1 = un × . 2 Déterminer q. 5 q= . 2 Exercice 4 Soit (an ) la suite définie par son premier terme a0 = 2 et la relation de récurrence : pour tout n > 0, an+1 = 2 an + 3. 3 2 x+3 et la droite d’équation 3 y = x ( aller au moins jusqu’à 10 en abscisses et ordonnées). 1. Construire la droite d’équation y = 2. Construire les premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses. 2 3. Calculer à la main a1 , a2 et a3 . Rédiger les calculs. a1 = a0 +3 = 3 9 13 2 ×2+ = . 3 3 3 53 a2 = 9 187 . a3 = 27 4. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée de a10 , a20 , et a30 . On arrondira à 0,0001 près. a10 ≈ 8, 8786, a20 ≈ 8, 9979, a30 ≈ 8, 9999. 9 + 8 + 7 + 6 + + + + + 5. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (an ) ? Il semble que an converge vers 9, lim an = 9. 5 + + ×+ × 6. Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que |an0 − 9| < 0, 0001. 0 →N 2 →U Tant que |U − 9| > 10−4 N +1→N 2 U +3→U 3 Fin Tant que Afficher N , (et U ) 4 3 2 1 −1 1 a0 2 3 4 a1 5 a2 × 6 a3 × 7 8 9 10 7. Programmer cet algorithme à la calculatrice et indiquer la valeur de n0 . n0 = 28 (cohérent avec a20 et a30 si l’on admet que la suite est croissante).