Algorithme de seuil

Algorithme de seuil
Cas d'une suite croissante qui diverge vers +∞
On cherche la 1ère valeur de N pour laquelle uN >A , A étant un réel donné.
Avant d’utiliser cet algorithme dit « algorithme de seuil », vous vérifiez que :
- la suite est croissante
- la suite a pour limite +∞ .
Exemple : La suite ( un ) est définie par u n+1 =4×un et u 0=2
- La suite ( un ) est une suite géométrique de raison 4 et de 1er terme positif donc elle est croissante.
un=+∞
- La raison de la suite ( un ) étant strictement supérieure à 1, nlim
→+∞
Question : déterminer la valeur de l'entier n pour lequel u n⩾10 4
Cet algorithme va calculer les termes successifs de la suite TANT qu'ils sont inférieurs au seuil donné.
L'algorithme va afficher le rang N pour lequel u N dépasse le seuil pour la 1ère fois.
L'algorithme affiche n=7 . Cela signifie que : pour tout entier n⩾7 , u n>10 4
Exercice 1 : Un verre d’eau contient 50 bactéries à l’heure n=0 . On admet que le nombre de bactéries
triple toutes les heures. On note ( un ) le nombre de bactéries au bout de n heures (ainsi, u 0=50 ).
1. Calculer u1 , u 2 et u3 .
2. Exprimer u n+1 en fonction de u n .
3. Déterminer le nombre de bactéries au bout de 10 heures à l’aide de la calculatrice.
4. Utiliser un algorithme pour déterminer le nombre d’heures à partir duquel il y a plus d’un billion
(c'est-à-dire 1012 , soit 1000 milliards) de bactéries.
Cas d’une suite convergeant vers un réel L
On cherche la 1ère valeur de N pour laquelle ∣u N −L∣<A , A étant un réel donné.
Exercice 2 :Soit ( an ) la suite définie par son premier terme a0=2 et, pour tout n⩾0 , an+1=
2
a +3 .
2 n
1. Calculer a1 ; a2 et a3 .
2. À la calculatrice pour donner une valeur approchée de a10 , a20 et a30 . On arrondira à 0,0001 près.
3. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite ( an ) ?
4. Écrire un algorithme qui affiche en sortie le plus petit entier n0 tel que ∣an −9∣<0,0001 .
Programmer cet algorithme à la calculatrice et indiquer la valeur de n0 .
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