corrigés - Decitre

VUIBERT
F. Bruneau • M. Cavelier • C. Delacour • E. Jahier
C. Jorssen • Y. Lozier • M. Marchand-Hartog • Ph. Ribière
PHYSIQUE
CHIMIE
PSI/PSI*
CON
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AU P FORME
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RAM
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Avant-propos
Cet ouvrage vous propose, en un seul volume, toutes les clés nécessaires pour réussir
votre année de Physique-Chimie :
Cours complet
Rigoureusement conforme aux nouveaux programmes, il contient tous les outils pour
acquérir les connaissances et les savoir-faire indispensables.
Fiches de synthèse
Pour une révision efficace avant les colles ou les épreuves, l’essentiel du cours est présenté de manière synthétique sous forme de fiches de révision.
Vrai/faux
Première étape vers l’entraînement, des vrais/faux sont proposés pour permettre de
tester rapidement la compréhension du cours.
Exercices guidés
Ces exercices, de difficulté croissante, fournissent de nombreux conseils visant à vous
aider à démarrer dans la résolution de l’exercice. Ils sont assortis d’un corrigé détaillé.
Exercices d’approfondissement corrigés
Pour se mettre en situation d’épreuves, de nombreux exercices vous sont proposés.
,
ou
.
Chacun à un niveau de difficulté clairement identifié :
Tous ces exercices sont intégralement corrigés.
Approches numériques et documentaires
La prise en compte des spécificités du nouveau programme se traduit, d’une part, par
des approches numériques, présentées explicitement sous la forme de code python
dans de nombreux chapitres (cours et exercices), et, d’autre part, par des ouvertures
culturelles basées sur des documents originaux de formats variés (articles scientifiques
contemporains, articles historiques, sites web, etc.).
III
Table des matières
I. Électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Chapitre 1. Puissance électrique en régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1. Association de dipôles 3 – 2. Facteur de puissance 9 – 3. Puissance moyenne reçue par une
impédance 15 – Synthèse et méthodes 17 – Exercices 18 – Corrigés 23
Chapitre 2. Stabilité des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1. Caractérisation des systèmes linéaires 30 – 2. Passage temporel ↔ fréquentiel 37 – 3. Stabilité 44 – Synthèse et méthodes 48 – Exercices 49 – Corrigés 58
Chapitre 3. Rétroaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1. Présentation de l’ALI 74 – 2. Exemples de montages linéaires 79 – 3. Association en cascade
de deux blocs 89 – Synthèse et méthodes 91 – Exercices 92 – Corrigés 97
Chapitre 4. ALI en régime non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1. Comparateur simple 107 – 2. Comparateurs à hystérésis 109 – 3. Oscillateur de relaxation 114 –
4. Oscillateur quasi-sinusoïdal 118 – Synthèse et méthodes 126 – Exercices 128 – Corrigés 135
Chapitre 5. Électronique numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1. Principe de la conversion analogique-numérique. 147 – 2. Restitution d’un signal analogique à
partir du signal échantillonné 152 – 3. Filtrage numérique 158 – 4. Oscillateur à porte logique 161
– Synthèse et méthodes 165 – Exercices 166 – Corrigés 171
Chapitre 6. Modulation et démodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
1. Transmission d’un signal codant une information 175 – 2. Modulation d’amplitude 179 –
3. Modulation de fréquence 183 – 4. Démodulation synchrone d’un signal modulé en amplitude 184 – Synthèse et méthodes 187 – Exercices 188 – Corrigés 192
II. Phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Chapitre 7. La diffusion thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
1. Transfert thermique 201 – 2. Équation de la diffusion thermique 203 – 3. Application de
la diffusion 208 – 4. Onde thermique 213 – Synthèse et méthodes 216 – Exercices 217 –
Corrigés 226
Chapitre 8. La diffusion de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
1. Approche du phénomène 239 – 2. Équation de la diffusion 240 – 3. Cas particuliers 244 –
Synthèse et méthodes 246 – Exercices 247 – Corrigés 252
IV
Table des matières
III. Mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Chapitre 9. Cinématique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
1. Étude des fluides 265 – 2. Conservation de la matière 270 – Synthèse et méthodes 278 –
Exercices 279 – Corrigés 282
Chapitre 10. Actions de contact dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
1. Introduction sur un exemple modèle 287 – 2. Description de l’écoulement au voisinage
d’un obstacle 289 – 3. Étude du cas particulier de la statique des fluides 292 – Synthèse et
méthodes 300 – Exercices 301 – Corrigés 305
Chapitre 11. Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
1. Écoulements laminaire, turbulent - Nombre de Reynolds 320 – 2. Pertes de charge régulières
— Résistance hydraulique 328 – 3. Écoulement externe autour d’un obstacle : forces de traînée
et de portance - notion de couche limite 334 – Synthèse et méthodes 345 – Exercices 347 –
Corrigés 354
Chapitre 12. Bilans macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
1. Bilans thermodynamiques 363 – 2. Bilans d’énergie mécanique 367 – 3. Bilans cinétiques 378
– Synthèse et méthodes 384 – Exercices 385 – Corrigés 396
IV. Électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Chapitre 13. Champ électrique en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
1. Le champ électrique 409 – 2. Potentiel scalaire électrique 411 – 3. Théorème de Gauss 414
– 4. Propriétés topographiques 414 – 5. « Symétries » du champ électrique 418 – 6. Calculs de
champs électrostatiques et de potentiels électriques 425 – 7. Condensateur plan 431 – 8. Champ
gravitationnel 433 – Synthèse et méthodes 435 – Exercices 436 – Corrigés 441
Chapitre 14. Transport de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
1. Les charges électriques 449 – 2. Le courant électrique 450 – 3. Équation de conservation de
la charge 452 – 4. Courant dans les conducteurs ohmiques 455 – Synthèse et méthodes 467 –
Exercices 469 – Corrigés 475
Chapitre 15. Champ magnétique en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
1. Le champ magnétique 483 – 2. Conservation du flux magnétique 484 – 3. Théorème d’Ampère 485 – 4. « Symétries » du champ magnétique 486 – 5. Champs magnétiques engendrés par
quelques distributions modèles 488 – 6. Actions de Laplace 494 – Synthèse et méthodes 499 –
Exercices 500 – Corrigés 504
Chapitre 16. Électromagnétisme dans l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
1. Courant de déplacement 511 – 2. ARQS magnétique 512 – 3. Induction 513 – 4. Courants de
Foucault 521 – Synthèse et méthodes 524 – Exercices 525 – Corrigés 529
V
Table des matières
Chapitre 17. Milieux ferromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
1. Le modèle du dipôle magnétique 535 – 2. Description mésoscopique d’un milieu magnétique 537 – 3. Équation de Maxwell-Ampère dans un milieu magnétique 538 – 4. Classification
des milieux magnétiques 540 – 5. Circuit magnétique 543 – 6. Exemples de circuits magnétiques 543 – Synthèse et méthodes 552 – Exercices 554 – Corrigés 560
V. Conversion de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
Chapitre 18. Transformateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
1. Description d’un transformateur monophasé 569 – 2. Modèle du transformateur monophasé idéal 569 – 3. Approche électromagnétique 570 – 4. Approche électrocinétique 573 –
5. Quelques applications des transformateurs 575 – Synthèse et méthodes 580 – Exercices 581
– Corrigés 585
Chapitre 19. Contacteur électromagnétique en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
1. Électroaimant de levage 589 – 2. Expression de la force électromagnétique 590 – 3. Application :
fonctionnement d’un relais 594 – Synthèse et méthodes 595 – Exercices 596 – Corrigés 598
Chapitre 20. Machine synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
1. Effet moteur d’un champ magnétique tournant 603 – 2. Machine synchrone à pôles lisses
diphasée bipolaire à excitation séparée 605 – 3. Champ magnétique engendré dans l’entrefer par
un des enroulements 606 – 4. Champs magnétiques dans l’entrefer de la machine synchrone 608
– 5. Énergie et couple 610 – 6. Condition de synchronisme 611 – 7. Modélisation électrocinétique 612 – 8. Conversion réversible de l’énergie 614 – 9. Et si la condition de synchronisme
n’est pas satisfaite ? 616 – Synthèse et méthodes 618 – Exercices 620 – Corrigés 625
Chapitre 21. Machine à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
1. Moteur à courant continu à entrefer plan 633 – 2. Machine à courant continu à pôles lisses
bipolaire à excitation séparée 636 – 3. Analogie avec la machine synchrone 637 – 4. Modélisation
électrocinétique 641 – 5. Conversion électro-magnéto-mécanique 642 – 6. Comportement
électro-mécanique 643 – 7. Réversibilité 645 – Synthèse et méthodes 646 – Exercices 647 –
Corrigés 652
Chapitre 22. Conversion électronique statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
1. Structure d’un convertisseur électronique de puissance 659 – 2. Interrupteurs électroniques 660
– 3. Dipôles de type « source idéale » 662 – 4. Dipôles en régime commuté permanent : lissage 663
– 5. Hacheur 667 – 6. Redressement double alternance 670 – 7. Onduleur 673 – Synthèse et
méthodes 676 – Exercices 678 – Corrigés 684
VI. Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
Chapitre 23. Propagation unidimensionnelle, équation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . 691
1. Équation de propagation pour la corde vibrante 692 – 2. Ondes progressives : régime libre
pour une corde infinie 699 – 3. Ondes stationnaires : régime libre pour une corde finie 704 –
VI
Table des matières
4. Modes propres d’une corde fixée aux deux extrémités 708 – 5. Propagation dans un câble
coaxial 713 – Synthèse et méthodes 726 – Exercices 728 – Corrigés 734
Chapitre 24. Ondes sonores dans les fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
1. Approximation acoustique 743 – 2. Équation de propagation 749 – 3. Célérité des ondes
sonores 752 – 4. Ondes acoustiques planes progressives monochromatiques 754 – 5. Énergie
acoustique 763 – 6. Ondes sphériques 768 – 7. Effet Doppler 771 – Synthèse et méthodes 776
– Exercices 778 – Corrigés 782
Chapitre 25. Ondes électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789
1. Introduction - spectre électromagnétique 790 – 2. Équations de propagation pour le champ
électromagnétique 791 – 3. Étude des ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques 796 – 4. Énergie électromagnétique 800 – Synthèse et méthodes 808 – Exercices 810
– Corrigés 813
Chapitre 26. Dispersion et absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821
1. Introduction aux phénomènes de dispersion et absorption 821 – 2. Effet de la dispersion :
propagation d’un paquet d’ondes 827 – 3. Effet de peau dans un conducteur ohmique 835
– 4. Propagation dans un plasma dilué 840 – Synthèse et méthodes 851 – Exercices 852 –
Corrigés 858
Chapitre 27. Réflexion et transmission d’ondes sur un dioptre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869
1. Réflexion/transmission d’onde sonore 869 – 2. Réflexion d’une onde électromagnétique sur
un conducteur parfait 881 – Synthèse et méthodes 889 – Exercices 891 – Corrigés 896
VII. Thermochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903
Chapitre 28. Application du premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
1. Premier principe de la thermodynamique 905 – 2. La fonction enthalpie 909 – 3. Effets
thermiques d’une transformation isobare 915 – Synthèse et méthodes 921 – Exercices 922 –
Corrigés 927
Chapitre 29. Second principe : potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
1. Les fonctions thermodynamiques 935 – 2. Potentiel chimique 938 – 3. Présentation du
phénomène 943 – 4. Application et utilisation du phénomène 945 – Synthèse et méthodes 947
– Exercices 948 – Corrigés 951
Chapitre 30. Équilibre chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
1. Grandeurs chimiques de réaction 957 – 2. Équilibre chimique d’un système en réaction 961 –
Synthèse et méthodes 969 – Exercices 971 – Corrigés 975
Chapitre 31. Optimisation d’un procédé chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985
1. Variance 985 – 2. Optimisation 991 – 3. Présentation générale 995 – 4. Fabrication industrielle 997 – Synthèse et méthodes 1001 – Exercices 1002 – Corrigés 1007
VII
Table des matières
Chapitre 32. Systèmes binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1015
1. Généralités 1015 – 2. Équilibre solide-liquide avec miscibilité totale 1016 – 3. Équilibre
solide-liquide avec miscibilité nulle 1021 – Synthèse et méthodes 1024 – Exercices 1025 –
Corrigés 1029
VIII. Électrochimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
Chapitre 33. Courbes intensité-potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
1. Étude cinétique des réactions électrochimiques 1037 – 2. Lecture des courbes et informations
à recueillir 1040 – Synthèse et méthodes 1044 – Exercices 1045 – Corrigés 1050
Chapitre 34. Électrochimie et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057
1. Phénomène de corrosion humide 1057 – 2. Conversion d’énergie et stockage 1064 – 3. Historique 1070 – 4. Accumulateur au plomb 1071 – 5. Accumulateur nickel-hydrure métallique 1071
– 6. Accumulateur lithium-ion 1072 – Synthèse et méthodes 1074 – Exercices 1075 – Corrigés 1083
Annexe - Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
1. L’opérateur gradient 1091 – 2. L’opérateur divergence 1092 – 3. L’opérateur rotationnel 1093
– 4. Combinaison d’opérateurs 1093
VIII
Remerciements
Les auteurs souhaitent particulièrement remercier leur famille pour leur soutien sans faille
au cours des longues heures de travail passées à l’élaboration de ce livre, les techniciens de
laboratoire qui ont toujours répondu présent lorsqu’il s’agissait de réaliser des expériences,
aux protocoles parfois exotiques, servant d’illustrations (en particulier Jean-François Dondon
pour les photos de la partie ondes) et enfin les collègues et parents qui ont accepté de relire,
souvent en des temps records, les épreuves et qui ont permis, par leurs remarques, d’améliorer
considérablement la qualité de ce que le lecteur trouvera dans ces pages.
Un grand merci à Christophe Jorssen pour son expertise technique, sa maîtrise des arcanes de
LATEX.
Nous tenons également à remercier les éditions Vuibert pour la confiance qu’ils nous ont
accordée, en particulier à Aurélie Farfarana pour la qualité de son accueil et le suivi de ce projet.
Merci à Sébastien Mengin pour sa patience et sa disponibilité.
Merci enfin à ceux qui nous ont gracieusement permis d’utiliser des documents qu’ils ont
produits.
Nous accueillerons avec reconnaissance toutes les remarques pour les erreurs qui subsisteraient dans cet ouvrage, à l’adresse suivante :
[email protected]
Les auteurs
IX
Première partie
ÉLECTRONIQUE
Chapitre 1
Puissance électrique en régime sinusoïdal
Chapitre 2
Stabilité des systèmes linéaires
29
Chapitre 3
Rétroaction
73
Chapitre 4
ALI en régime non linéaire
107
Chapitre 5
Électronique numérique 147
Chapitre 6
Modulation et démodulation
175
3
CO
RS
U
1
Chapitre
Puissance électrique en
régime sinusoïdal
Dans la plupart des réseaux de transports d’électricité, l’énergie électrique est distribuée à
l’aide d’un courant sinusoïdal et d’une tension sinusoïdale, variant à une fréquence de 50 Hz ou
60 Hz selon les pays.
L’analyse de Fourier indique qu’un signal périodique quelconque peut s’écrire comme une
somme de signaux sinusoïdaux, ainsi l’étude du comportement d’un système linéaire en régime
sinusoïdal forcé permet d’en déduire le comportement en régime périodique quelconque par
combinaison linéaire.
Ce chapitre présente quelques résultats concernant la puissance électrique reçue par un dipôle
en régime sinusoïdal forcé et en régime périodique quelconque après avoir rappelé les notions
relatives à un dipôle électrique en régime sinusoïdal forcé et les règles d’association de dipôles.
1. Association de dipôles
1.1.
Intensité et tension pour un dipôle
•
A
i
dipôle
•
B
u = VA − VB
Figure 1.1. Schéma d’un dipôle
Définition 1.1. Dipôle électrique
Un dipôle électrique est un composant pouvant être connecté à d’autres éléments via
deux bornes de connexion (notées A et B sur la figure 1.1).
3
Partie 1 – Électronique
Définition 1.2. Intensité du courant électrique
L’intensité du courant électrique i qui traverse un dipôle est définie en un point du fil
constituant la borne de connexion et à travers la section Sfil orientée dans le même sens
que l’intensité i . L’intensité du courant électrique à l’instant t notée i (t ) est obtenue en
comptabilisant algébriquement le nombre de charges δq qui traverse la section Sfil pendant
une durée élémentaire dt : ce sont les charges qui traversent Sfil entre les instants t et t + dt .
Les charges (algébriques) sont comptées positivement si elles traversent Sfil dans le sens
positif, négativement sinon. L’intensité du courant électrique à l’instant t est alors :
i (t ) =
δq
.
dt
L’intensité du courant électrique est une grandeur algébrique (c’est à dire qui peut prendre
des valeurs positives ou négatives) qui s’exprime en ampères (A).
Remarque
Les charges négatives qui traversent la section Sfil dans le sens négatif ont une contribution
positive au courant. Autrement dit, les charges négatives se déplacent dans le sens inverse
du courant positif.
Dans le cadre de l’ARQS (Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires), l’intensité i (t ) est
la même en tout point des deux fils de connexion de part et d’autre du dipôle.
Définition 1.3. Tension entre les deux bornes d’un dipôle
La tension u(t ) entre les deux bornes du dipôle est la différence des potentiels des deux
bornes de connexion du dipôle u(t ) = VA (t ) − VB (t ). Le signe de la différence de potentiels
dépend du sens de la flèche de tension.
La tension est une grandeur algébrique qui s’exprime en volts (V).
La différence de potentiels aux bornes d’un fil de connexion est nulle : tous les points reliés
par des fils de connexion sont au même potentiel.
Le potentiel électrique en un point M de l’espace et à l’instant t noté V (M , t ) est relié à
l’énergie potentielle électrique notée Ep ,él (c’est-à-dire l’énergie potentielle associée à la force
de Lorentz électrique) d’une charge q0 située au point M à l’instant t par la relation Ep ,él =
q0 V (M , t ). Comme l’énergie potentielle, le potentiel électrique est défini à une constante près.
Cette constante peut être déterminée en imposant l’origine des potentiels en un point donné ;
en électricité cela revient à imposer une masse au circuit électrique.
Définition 1.4. Convention générateur et récepteur
Lorsque les flèches de l’intensité et de la tension sont dans le même sens, le dipôle est
dit en convention générateur. En revanche lorsqu’elles sont en sens opposés comme sur le
schéma de la figure ??, le dipôle est en convention récepteur.
4
CO
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
RS
U
1.2.
Lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff permettent de relier les différentes intensités et les différentes tensions
intervenant dans un circuit électrique contenant plusieurs dipôles reliés.
Un nœud est un point de connexion du circuit électrique relié à un ou plusieurs dipôles. Une
branche est une portion du circuit électrique située entre deux nœuds consécutifs. Une maille
est un ensemble de branches distinctes d’un circuit électrique constituant une boucle fermée
(et permettant ainsi de revenir au nœud de départ en passant une seule fois par chaque nœud) :
une maille peut être parcourue dans un sens ou dans un autre, elle est alors orientée.
Loi 1.1. Loi des nœuds
La somme algébrique des intensités électriques arrivant en un nœud est égale à zéro.
X
"k i k = 0 avec "k = +1 si l’intensité i k est orientée vers le nœud considéré et "k = −1
sinon.
Loi 1.2. Loi des mailles
La somme algébrique des tensions électriques le long d’une maille est égale à zéro.
X
"k u k = 0 avec "k = +1 si la flèche de la tension u k est dans le même sens que le sens de
parcours de la maille et "k = −1 sinon.
1.3.
1.3.1.
Dipôle électrique en régime sinusoïdal
Impédance et admittance complexe
Lorsqu’un dipôle linéaire est en régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant i (t ) qui le
traverse et la tension à ses bornes u(t ) sont sinusoïdales. En notant ω la pulsation des signaux,
ils peuvent s’écrire :
u(t ) = U0 cos(ωt + ϕu ) et i (t ) = I0 cos(ωt + ϕi ).
Les fonctions complexes associées à ces grandeurs sinusoïdales sont respectivement :
u(t ) = U0 exp j (ωt + ϕu ) et i (t ) = I0 exp j (ωt + ϕi ),
où j est le nombre complexe tel que j 2 = −1.
Souvent, la dépendance temporelle de ces fonctions complexes n’est pas précisée et la notation
usuelle est plutôt u et i .
Définition 1.5. Impédance et admittance complexe
L’impédance complexe associée au dipôle notée Z est par définition Z =
u
, elle dépend
i
a priori de la pulsation ω.
L’admittance complexe associée au dipôle notée Y est l’inverse de l’impédance complexe
1
Y = .
Z
5
Partie 1 – Électronique
1.3.2. Dipôles linéaires fondamentaux : conducteur ohmique, condensateur idéal,
bobine idéale
La relation courant-tension u R (t ) = R i R (t ) (loi d’Ohm) pour un conducteur ohmique de
résistance R en convention récepteur comme sur la figure 1.2 devient en notation complexe
1
u R = R i R , ainsi Z R =
= R.
YR
C
i R (t )
i C (t )
i L (t )
R
u L (t )
u C (t )
u R (t )
Figure 1.2. Conducteur ohmique en convention récepteur.
Figure 1.3. Condensateur en
convention récepteur.
L
Figure 1.4. Bobine idéale en
convention récepteur.
d u C (t )
pour un condensateur idéal de capacité C en
dt
convention récepteur comme sur la figure ?? devient en notation complexe i C = j C ωu C , ainsi
1
YC =
= j C ω.
ZC
La relation courant-tension i C (t ) = C
d i L (t )
pour une bobine idéale d’inductance L en
dt
convention récepteur comme sur la figure 1.4 devient en notation complexe u L = j L ωi L , ainsi
1
ZL =
= j L ω.
YL
La relation courant-tension u L (t ) = L
1.4.
Dipôles en série et diviseur de tension
Des dipôles sont en série lorsqu’ils sont dans une même branche du circuit électrique et qu’ils
sont parcourus par la même intensité du courant électrique.
1.4.1.
Impédance équivalente à un ensemble de dipôles en série
Considérons N dipôles d’impédances Z 1 , Z 2 , .... Z N en série comme sur la figure 1.5 constituant
une branche aux bornes de laquelle la tension est égale à u. Les dipôles sont numérotés à l’aide
d’un indice k variant de 1 à N : l’impédance du dipôle numéro k est notée Z k et la tension aux
bornes du dipôle numéro k est notée u k .
Par définition de la tension u =
en déduit u =
‚N
X
Œ
N
X
u k et par définition des impédances complexes u k = Z k i , on
k =1
Z k i = Z éq i (en factorisant par i ), ce qui donne l’expression de l’impédance
k =1
6
CO
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
N
X
RS
U
équivalente d’un ensemble de dipôle en série Z éq =
Zk .
k =1
Propriété 1.3. Dipôles en série
L’impédance équivalente d’un ensemble de dipôles en série est la somme des impédances
N
X
de chaque dipôle Z éq =
Zk .
k =1
i
Z1
Z2
u1
u2
i
i
ZN
uN
Z éq
u
u
Figure 1.5. Dipôle équivalent à un ensemble de dipôles en série.
1.4.2.
Diviseur de tension
Lorsque deux dipôles sont en série, parcourus par la même intensité du courant électrique i
comme sur la figure 1.6, la tension s s’exprime à l’aide de la tension e et des deux impédances
Z 1 et Z 2 (qui peuvent être des impédances équivalentes à un ensemble de dipôles associés en
série ou en dérivation).
e
En effet, par définition des impédances complexes e = (Z 1 + Z 2 )i donc i =
et s = Z 2 i ,
Z1 + Z2
on en déduit deux expressions de la formule du pont diviseur de tension :
Propriété 1.4. Formule du pont diviseur de tension
s=
i
e
Z2
Z1 + Z2
e=
e
1 + Z 1 Y2
Z1
Z2
s=
Z2
Z1 + Z2
e
Figure 1.6. Formule du pont diviseur de tension.
7
Partie 1 – Électronique
Remarque
Cette relation dite du « pont diviseur de tension » est utile pour déterminer la fonction de
s
transfert notée H définie par H = d’un quadripôle en sortie ouverte (lorsque l’intensité
e
en sortie du quadripôle est nulle).
1.5.
Dipôle en dérivation et diviseur de courant
Des dipôles sont en dérivation lorsqu’ils sont situés entre les deux mêmes nœuds d’un circuit électrique : les différences de potentiels entre leurs deux bornes de connexion sont alors
identiques, la tension est la même aux bornes des différents dipôles.
1.5.1.
Admittance équivalente à un ensemble de dipôles en dérivation
N dipôles d’admittances Y1 , Y2 , ..,Yk ,.. YN en dérivation comme sur la figure 1.7 sont considérés :
la différence de potentiels aux bornes de l’ensemble de ces dipôles est notée u. Les dipôles sont
numérotés à l’aide d’un indice k variant de 1 à N : l’admittance du dipôle numéro k est notée
1
Yk =
et l’intensité traversant le dipôle numéro k (en convention récepteur) est notée i k .
Zk
‚N
Œ
N
X
X
La loi des nœuds donne i =
i k et par définition d’une admittance complexe i =
Yk u
k =1
k =1
(en factorisant par l’intensité commune aux bornes de l’ensemble des N dipôles), on en déduit
N
X
i = Yéq u avec Yéq =
Yk .
k =1
Propriété 1.5. Dipôles associés en dérivation
L’admittance équivalente d’un ensemble de dipôles en dérivation est la somme des
N
N
X
X
1
1
admittances de chaque dipôle Yéq =
Yk ⇔
=
.
Z éq k =1 Z k
k =1
i
i1
Y1
ik
i2
Yk
Y2
i
iN
YN
u
Yéq
u
i
Figure 1.7. Dipôle équivalent à un ensemble de dipôles en dérivation.
8
CO
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
RS
U
1.5.2.
Diviseur de courant
La tension est notée u aux bornes de deux dipôles associés en dérivation comme sur la figure
1.8. L’intensité i 2 traversant le deuxième dipôle s’exprime à l’aide de l’intensité i et des deux
admittances Y1 et Y2 (qui peuvent être des admittances équivalentes à un ensemble de dipôles
associés en série ou en dérivation).
i
En effet, d’après la loi des nœuds i = i 1 + i 2 = (Y1 + Y2 )u donc u =
et i 2 = Y2 u, on en
Y1 + Y2
déduit deux expressions de la formule du pont diviseur de courant :
Propriété 1.6. Formule du pont diviseur de courant
i2 =
Y2 i
=
i
1 + Y1 Z 2
Y2
u
Y1 + Y2
i
i1
i2
Y1
i
Figure 1.8. Formule du pont diviseur de courant.
2. Facteur de puissance
2.1.
Valeur moyenne et valeur efficace
Définition 1.6. Valeur moyene et valeur efficace
Lorsqu’une grandeur s (t ) est périodique de période T =
également notée ⟨s (t )⟩ est définie par :
∀t 0
1
Smoy = ⟨s (t )⟩ =
T
Sa valeur efficace Seff est définie par :
Seff =
p
Z
2π
, sa valeur moyenne Smoy
ω
t 0 +T
s (t )d t .
t0
⟨s 2 (t )⟩.
Remarquons que les résultats ne dépendent pas de l’instant t 0 choisi pour le calcul.
La grandeur ⟨s 2 (t )⟩ est aussi appelée moyenne quadratique et en anglais la valeur efficace se
dit « Root Mean Square » (RMS) pour « racine carrée de la moyenne quadratique ».
9
Partie 1 – Électronique
Exemple (Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal sinusoïdal)
Pour un signal sinusoïdal de la forme s (t ) = A cos(ωt + ϕ), en prenant t 0 = 0 et en remarquant que ωT = 2π :
ZT
•
˜
1 A sin(ωt + ϕ) T
1
A cos(ωt + ϕ)d t =
⟨s (t )⟩ =
T 0
T
ω
0
A A sin(ωT + ϕ) − sin(ϕ) =
sin(ϕ) − sin(ϕ) = 0
=
2π
2π
Calcul de la moyenne quadratique en prenant t 0 = 0 et en utilisant la formule de trigonométrie suivante 2 cos2 (x ) = 1 + cos(2x ) pour la linéarisation de A 2 cos2 (ωt + ϕ) :
ZT
ZT
1
A2
A2
⟨s 2 (t )⟩ =
A 2 cos2 (ωt + ϕ)d t =
1 + cos(2ωt + 2ϕ) d t =
.
T 0
2T 0
2
Résultat 1.7. Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal sinusoïdal
La valeur moyenne d’un signal sinusoïdal s (t ) = A cos(ωt + ϕ) est nulle : ⟨s (t )⟩ = 0. Sa
p
A
valeur efficace est égale à l’amplitude A divisée par 2 : Seff = p .
2
Application (Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal créneau)
Le signal créneau périodique de période T suivant est considéré :

T
E
si 0 ≤ t < ,
2
s (t ) =
−E si T ≤ t < T .
2
On obtient ⟨s (t )⟩ = 0 et ⟨s 2 (t )⟩ = E 2 donc Seff = E .
Remarque
La valeur moyenne et la valeur efficace d’un signal constant indépendant du temps de la
forme s (t ) = S0 sont égales ⟨s (t )⟩ = Seff = S0 .
Propriété 1.8. Décomposition en série de Fourier d’un signal périodique
2π
, d’après la
ω0
théorie de Fourier, celle-ci peut s’écrire comme la somme (infinie, on parle donc de série)
∞
X
de fonctions sinusoïdales s (t ) = Smoy +
Sk cos(k ω0 t + ϕk ) où les termes de la série sont :
Dans le cas d’une fonction périodique s (t ) quelconque de période T =
k =1
• pour k = 1 : S1 cos(ω0 t +ϕ1 ) est le fondamental, il oscille avec la même période T =
2π
ω0
que le signal s (t ) ;
• pour k 6= 1 : Sk cos(k ω0 t + ϕk ) est l’harmonique de rang k , qui a une pulsation k ω0
2π
multiple du fondamental et donc une période
.
k ω0
10
CO
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
La moyenne quadratique Seff d’un signal périodique quelconque de période T est la
somme des moyennes quadratiques des signaux sinusoïdaux qui le composent, avec les
notations utilisées pour la décomposition en série de Fourier :
2
2
Seff
= Smoy
+
∞
X
S2
k
k =1
2
;
Remarque
La valeur moyenne est le résultat de la mesure donnée par un multimètre numérique
lorsqu’il est utilisé en mode « DC » et la valeur efficace est le résultat de la mesure lorsqu’il
est utilisé en mode « AC+DC » (pour les multimètres de type « True RMS », les multimètres
classiques qui ne sont pas de type « True RMS » affichent uniquement la valeur efficace de
la partie alternative en mode « AC ». ).
2.2.
Puissance instantanée reçue par un dipôle
Lorsqu’il existe une différence de potentiels u(t ) aux bornes d’un dipôle traversé par un courant
d’intensité électrique i (t ) allant de A vers B comme sur la figure ??, il reçoit une puissance
électrique liée à la variation d’énergie potentielle électrique des charges qui le traversent.
Définition 1.7. Énergie potentielle électrique
L’énergie potentielle électrique d’une charge q0 en un point M de potentiel électrique
V (M ) est la suivante Ep ,él = q0 V (M ).
Ainsi, lorsque le dipôle est traversé pendant d t par une quantité de charges δq = i (t )d t allant
de A vers B, il reçoit le travail électrique δWél = δq (VA (t ) − VB (t )) = i (t )(VA (t ) − VB (t ))d t , ce qui
permet d’identifier la puissance électrique notée p (t ) reçue par le dipôle δWél = p (t )d t , on en
déduit p (t ) = i (t )(VA (t ) − VB (t )) = i (t )u(t ).
Propriété 1.10. Puissance électrique reçue par un dipôle
La puissance instantanée reçue par un dipôle en convention récepteur comme sur la
figure 1.9 est égale à p (t ) = u(t )i (t ), et pour un dipôle en convention générateur comme
sur la figure 1.10 elle est égale à p (t ) = −u(t )i (t ).
i (t )
i (t )
dipôle
dipôle
u (t )
u (t )
Figure 1.9. Dipôle en convention récepteur.
Figure 1.10. Dipôle en convention générateur.
11
RS
U
Propriété 1.9. Moyenne quadratique d’un signal périodique quelconque
Partie 1 – Électronique
Remarque
La puissance fournie par un dipôle notée p f (t ) est l’opposé de la puissance reçue par le
dipôle qu’il soit en convention générateur ou récepteur p f (t ) = −p (t ).
2.3.
Puissance moyenne reçue par un dipôle
Le notion de puissance moyenne reçue par un dipôle intervient lorsque le dipôle a un fonctionnement périodique de période T . La puissance moyenne notée P est alors la valeur moyenne
temporelle de la puissance instantanée.
Définition 1.8. Puissance moyenne reçue par un dipôle
∀t 0 ,
1
P = ⟨p (t )⟩ =
T
Z
t 0 +T
p (t )d t .
t0
Pour un dipôle en régime sinusoïdal forcé et en convention récepteur :
u(t ) = U0 cos(ωt + ϕu ) et i (t ) = I0 cos(ωt + ϕi ).
Calcul de la puissance moyenne reçue par le dipôle en prenant t 0 = 0 et en rappelant T =
ainsi que la formule de trigonométrie cos(a ) cos(b ) =
1
P = ⟨u(t )i (t )⟩ =
T
Z
0
T
U0 I0
u(t )i (t )d t =
2T
Z
T
0
cos(a + b ) + cos(a − b )
:
2
2π
ω
U0 I0
cos(2ωt + ϕu + ϕi ) + cos(ϕu − ϕi ) d t =
cos(ϕu −ϕi ).
2
I0
U0 I0
U0
On remarque que
= Ueff Ieff car Ueff = p et Ieff = p .
2
2
2
Définition 1.9. Facteur de puissance
La puissance moyenne reçue par un dipôle en régime sinusoïdal forcé est de la forme :
P = Ueff Ieff cos(ϕ),
où cos(ϕ) = cos(ϕu − ϕi ) = cos(ϕi − ϕu ) est le cosinus du déphasage entre l’intensité du
courant traversant le dipôle et la tension aux bornes du dipôle.
cos(ϕ) est appelé facteur de puissance.
Au niveau du réseau de distribution de la puissance électrique en France, la tension efficace est
fixée à Ueff = 220 V. Pour une intensité efficace donnée, plus le facteur de puissance est élevé, plus
la puissance moyenne consommée sera élevée. Ainsi on peut dire que le facteur de puissance
caractérise la possibilité qu’a un dipôle à consommer de la puissance lorsqu’il est traversé par
un courant donné. À puissance donnée, plus le facteur de puissance est élevé, plus l’intensité
efficace sera faible ce qui limite les pertes par effet Joule en ligne. Le distributeur d’électricité,
qui facture la puissance moyenne consommée et pour lequel les pertes en ligne correspondent à
de la puissance perdue non facturée, oblige les consommateurs à avoir un facteur de puissance
12
CO
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
u(t ) = Umoy +
N
X
Uk cos(k ω0 t + ϕu ,k ).
k =1
Par linéarité l’intensité du courant qui traverse le dipôle est de la forme :
i (t ) = Imoy +
N
X
Ik cos(k ω0 t + ϕi ,k ).
k =1
La puissance moyenne reçue par le dipôle est alors la somme des puissances moyennes
correspondant à chaque pulsation contenue dans le spectre en tension :
P = Umoy Imoy +
N
X
UK Ik
cos(ϕu ,k − ϕi ,k ).
2
k =1
Uk
Cette puissance moyenne peut également s’exprimer à l’aide des valeurs efficaces Ueff,k = p ,
2
Ik
Ieff,k = p et des facteurs de puissance cos(ϕk ) = cos(ϕu ,k − ϕi ,k ) définis pour chaque pulsation
2
contenue dans le spectre de la tension u(t ).
Propriété 1.11. Puissance moyenne reçue par un dipôle en régime périodique quelconque
P = Umoy Imoy +
N
X
Ueff,k Ieff,k cos(ϕk ).
k =1
2.4.
Formes de puissance électrique
En électrotechnique (ou en électronique de puissance), une grandeur (tension ou intensité)
est dite continue lorsqu’elle est indépendante du temps, c’est-à-dire constante dans le temps ou
que sa valeur moyenne est non nulle. Une grandeur (tension ou intensité) est dite alternative
lorsque sa valeur moyenne est nulle.
Remarquons que ces définitions n’ont rien en commun avec la continuité au sens mathématique du terme (égalité des limites de part et d’autre en chaque valeur de l’ensemble de
définition).
Définition 1.10. Puissances continue et alternative en électrotechnique
En régime périodique de période T , une puissance électrique p (t ) = u(t )i (t ) est dite
« continue » lorsque ⟨p ⟩ 6= 0, ⟨u⟩ 6= 0 et ⟨i ⟩ 6= 0.
En régime périodique de période T , une puissance électrique est dite « alternative »
lorsque ⟨p ⟩ 6= 0, ⟨u⟩ = 0 et/ou ⟨i ⟩ = 0.
13
RS
U
supérieur à une valeur minimale. Lorsque les installations ne respectent pas cette condition, il
existe des techniques permettant de relever le facteur de puissance.
2π
Lorsqu’un dipôle linéaire est soumis à une tension périodique quelconque de période T =
,
ω0
sa décomposition en série de Fourier est de la forme :
Partie 1 – Électronique
2.5.
Représentation de Fresnel
La représentation de Fresnel est un outil graphique, qui donne une représentation vectorielle
de grandeurs sinusoïdales qui ont toutes la même fréquence. Elles est particulièrement adaptée
à l’étude des associations de dipôles linéaires en régime sinusoïdal forcé.
La représentation de Fresnel consiste à associer à chaque grandeur sinusoïdale un vecteur,
selon :
• l’une des grandeurs sinusoïdales (une tension ou un courant) est choisie comme origine
des phases, le vecteur correspondant est représenté selon l’axe des abscisses ;
• il existe plusieurs conventions pour la norme associée à chaque vecteur, soit elle correspond à l’amplitude de la fonction sinusoïdale, soit elle correspond à sa valeur efficace ;
• les autres vecteurs sont représentés qualitativement en tenant compte de leurs déphasages
(algébrique) par rapport à la grandeur choisie comme origine des phases (les angles positifs
sont représentés dans le sens trigonométrique) ;
• la loi des mailles se traduit graphiquement par des vecteurs associés aux tensions, mis
bout à bout, pour représenter leurs sommes ;
• de même la loi des nœuds se traduit graphiquement par des vecteurs associés aux intensités
des courants, mis bout à bout, pour représenter leurs sommes.
Exemple (Déphasage dans un circuit RL)
Dans le circuit R L suivant, l’intensité i (t ) est prise pour origine des phases de la forme
i (t ) = I0 cos(ωt ), on cherche le déphasage ϕ = ϕu − ϕi de la tension u(t ) = U0 cos(ωt + ϕ)
par rapport à l’intensité.
Les vecteurs associés à l’intensité i (t ) et à la tension u(t ) dans le diagramme de Fresnel
#»
#»
#» #»
sont notés respectivement I et U . La convention adoptée est telle que k I k = I0 et kU k = U0
(les normes des vecteurs sont confondues avec les amplitudes des signaux sinusoïdaux).
#»
#»
On commence par tracer le vecteur I . Le vecteur UR associé à la tension u R (t ) = R i (t )
#»
est colinéaire au vecteur I car les deux grandeurs sinusoïdales sont en phase.
di (t )
π
#»
Le vecteur UL associée à la tension u L (t ) = L
= −L I0 ω sin(ωt ) = L I0 ω cos(ωt + )
dt
2
π
#»
est orthogonal au vecteur I car la tension u L (t ) est déphasée de par rapport à l’intensité
2
i (t ).
u R (t )
i (t )
R
#»
UL
#»
u (t )
L
U
u L (t )
ϕ
#»
I
Figure 1.11. Circuit RL.
#»
UR
Figure 1.12. Diagramme de Fresnel correspondant au circuit RL.
14
CO
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
#»
#»
#»
Dans un diagramme de Fresnel, en associant la valeur efficace aux normes des différents
vecteurs, la puissance moyenne correspond au produit scalaire des vecteurs associés à l’intensité
#» #»
du courant traversant le dipôle et de la tension aux bornes du dipôle : P = U . I = Ueff Ieff cos(ϕ).
Remarques
π
.
2
Les résultats obtenus « graphiquement » à l’aide de la représentation de Fresnel sont identiques aux résultats que l’on peut obtenir en utilisant la notation complexe et les propriétés
des grandeurs complexes.
Une dérivée temporelle se traduit par un déphasage de
3. Puissance moyenne reçue par une impédance
3.1.
Différentes expressions de la puissance moyenne
En régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant électrique qui traverse le dipôle et la tension
à ses bornes peuvent s’écrire à l’aide de la notation complexe :
u = U0 exp j (ωt + ϕu ) et i = I0 exp j (ωt + ϕi ),
ou encore en introduisant les grandeurs efficaces :
p
p
u = Ueff 2 exp j (ωt + ϕu ) et i = Ieff 2 exp j (ωt + ϕi ).
Rappel
Pour le nombre complexe z = a + j b (où a est la partie réelle de z : a = Re(z ) et b sa partie
imaginaire b = Im(z )), le conjugué de z est le nombre complexe noté z ∗ tel que z ∗ = a − j b .
Si le nombre complexe z est écrit à l’aide d’une exponentielle complexe z = r exp( j θ ),
son complexe conjugué est égal à z ∗ = r exp(− j θ ).
Enfin on rappelle que z z ∗ = |z |2 = r 2 , où |z | désigne le module du nombre complexe z .
Les nombres complexes conjugués de u et i sont notés respectivement u ∗ et i ∗ et ont pour
expressions :
p
p
u ∗ = Ueff 2 exp(− j (ωt + ϕu )) et i ∗ = Ieff 2 exp(− j (ωt + ϕi )).
2
2
On remarque que u × u ∗ = U02 = 2Ueff
, de même i × i ∗ = I02 = 2Ieff
.
15
RS
U
#»
Ensuite la loi des mailles permet d’écrire U comme la somme suivante U = UR + UL et
finalise la représentation du diagramme de Fresnel.
#»
#»
#»
L’exploitation graphique permet alors d’en déduire kU k2 = kUR k2 +kUL k2 = (R 2 +(L ω)2 )I02
#»
kUR k
R
ainsi que le facteur de puissance cos(ϕ) = #» = p
.
kU k
R 2 + (L ω)2
La représentation de Fresnel permet de voir rapidement dans ce circuit R L que le déphasage de l’intensité par rapport à la tension est négatif ϕi − ϕu < 0.
Partie 1 – Électronique
Les résultats des produits u × i ∗ = 2Ueff Ieff exp j (ϕu − ϕi ) et u ∗ × i = 2Ueff Ieff exp j (ϕi − ϕu ) sont
indépendants du temps et leurs parties réelles sont reliées à la puissance moyenne. En effet,
1
1
P = Ueff Ieff cos(ϕu − ϕi ) = Re(u ∗ × i ) = Re(u × i ∗ ).
2
2
En utilisant les définitions de l’impédance complexe u = Z i et de l’admittance complexe
i = Y u, deux autres expressions de la puissance moyenne s’en déduisent :
Propriété 1.12. Autres expressions de la puissance moyenne
2
2
P = Re(Z )Ieff
= Re(Y )Ueff
.
Ces relations s’obtiennent également en remarquant que Re(Z ) = |Z | cos(ϕ) avec |Z | =
encore Re(Y ) = |Y | cos(ϕ) avec |Y | =
Ieff
.
Ueff
Ueff
ou
Ieff
Propriété 1.13. Autres expressions du facteur de puissance
cos(ϕ) = cos(ϕu − ϕi ) =
3.2.
Re(Z ) Re(Y )
=
.
|Z |
|Y |
Cas d’un dipôle purement réactif.
Un dipôle purement réactif est un dipôle dont l’impédance complexe associée est imaginaire
pure, l’admittance complexe associée est alors aussi un imaginaire pur (on appelle réactance du
dipôle la partie imaginaire de son impédance Im(Z )). Une bobine idéale ou un condensateur
idéal sont par exemples des dipôles purement réactifs.
Ce type de dipôle n’absorbe aucune puissance en moyenne car Re(Z ) = Re(Y ) = 0.
Propriété 1.14.
Un dipôle purement réactif d’impédance Z = j X absorbe en moyenne une puissance
nulle : P = 0 W.
16
SY
E
ÈS
Synthèse et méthodes
TH
N
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
Puissance électrique en régime sinusoïdal
É
En
p régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes d’un dipôle est de la forme u(t ) =
2Ueffpcos(ωt + ϕu ) et l’intensité qui le traverse en convention récepteur est de la forme
i (t ) = 2Ieff cos(ωt
p + ϕi ), les notations complexes
p associées à ces deux grandeurs sont respectivement u = 2Ueff exp j (ωt + ϕu ) et i = 2Ieff exp j (ωt + ϕi ). L’impédance complexe
u
i
du dipôle Z = et l’admittance complexe Y = sont alors définies. Leurs expressions
i
u
dans le cas des trois dipôles linéaires fondamentaux sont rappelées dans le tableau suivant :
Dipôle
Impédance complexe (en Ω)
Admittance complexe (en S)
É
É
É
É
É
Condensateur idéal
1
ZC =
jCω
YC = j C ω
Bobine idéale
Conducteur ohmique
ZL = j L ω
ZR = R
YL =
1
j Lω
YR =
1
R
Lorsque deux dipôles d’impédance Z 1 et Z 2 sont en série, parcourus par la même intensité
du courant électrique, la tension s aux bornes du dipôle d’impédance Z 2 s’exprime à l’aide
Z2
de la tension e aux bornes de l’ensemble des deux dipôles selon s =
e.
Z1 + Z2
La valeur moyenne Smoy et la valeur efficace Seff d’un signal s (t ) périodique de période T
sont définies par :
Z t 0 +T
1
s (t )d t ,
∀t 0 , Smoy =
T t
0
p
Seff = ⟨s 2 (t )⟩.
La puissance instantanée p (t ) reçue par un dipôle en convention récepteur est égale au
produit de la tension à ses bornes et de l’intensité du courant qui le traverse p (t ) = u(t )i (t ).
Lorsque le dipôle est en régime sinusoïdal forcé, la puissance moyenne reçue par ce dipôle
est égale à :
P = Ueff Ieff cos(ϕ),
où cos(ϕ) est le facteur de puissance.
Cette puissance moyenne peut s’exprimer à l’aide de la notation complexe :
2
2
P = Re(Z )Ieff
= Re(Y )Ueff
.
É
Ainsi un dipôle purement réactif (dont la partie réelle de l’impédance est nulle) n’absorbe
pas de puissance en moyenne.
17
Exercices
Puissance électrique en régime sinusoïdal
Vrai ou faux ?
Vrai
Faux
L’admittance complexe d’un condensateur réel caractérisé
par une capacité C et une résistance de fuite en dérivation R
1
a pour expression Y C = + j C ω.
R
b) Une impédance complexe peut être associée à tout type de
dipôle.
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
L’expression de la fonction de transfert d’un quadripôle notée
s
H = ne dépend pas de l’intensité du courant dans la
e
branche de sortie du quadripôle.
ƒ
ƒ
d) La valeur efficace d’un signal sinusoïdal est égale à la tension
ƒ
ƒ
a)
c)
crête-à-crête divisée par
p
2.
e)
Le résultat de la mesure de la tension à l’aide d’un voltmètre
en mode « DC » est nul pour un signal purement sinusoïdal.
ƒ
ƒ
f)
Les vecteurs associés à l’intensité et la tension pour une
bobine idéale sont orthogonaux dans une représentation de
Fresnel.
ƒ
ƒ
g) La puissance instantanée p (t ) reçue par un dipôle dont la
ƒ
ƒ
h) La puissance moyenne P reçue par un dipôle dont la tension
ƒ
ƒ
tension à ses bornes est égale à u(t ) et l’intensité du courant
le traversant en convention générateur est égale à i (t ) est
égale à p (t ) = u(t )i (t ).
et l’intensité en convention récepteur sont
u(t ) = U0 (1 + cos(ωt + ϕ)) et i (t ) = I0 (1 + cos(ωt )) est égale à
P = U0 I0 (1 + cos(ϕ)).
18
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
Exercices guidés
Exercice A
(5 min.)
Un dipôle inconnu est alimenté par un signal purement sinusoïdal de fréquence f = 50 Hz, le
spectre en amplitude de la tension aux bornes du dipôle est représenté sur la figure 1.13.
Amplitude (en V)
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0
50
100
150
200
250
300
Fréquence (en Hz)
Figure 1.13. Spectre en amplitude de la tension aux bornes d’un dipôle inconnu.
1. À partir de l’observation du spectre en amplitude, que peut-on déduire quant à la linéarité
du dipôle ?
2. Calculer numériquement la valeur efficace de la tension aux bornes du dipôle.
(15 min.)
e (t ) =

E
0
T
0<t < ,
2
T
< t < T,
2
EX
19
ER
avec E = 5,0 V.
1. Calculer la valeur moyenne notée Emoy et la valeur efficace notée Eeff du signal créneau
e (t ).
2. Un conducteur ohmique de résistance R est alimenté par la tension créneau e (t ). Quelle
est l’expression de la puissance moyenne Pmoy reçue par le conducteur ohmique ?
3. Un condensateur idéal de capacité C est alimenté par la tension créneau e (t ), quelle est la
puissance moyenne reçue par le condensateur ?
La valeur efficace du signal précédent mesurée avec un voltmètre numérique est égale à Emes =
2,78 V.
Pour comprendre ce résultat, on décrit dans la suite le principe de la mesure d’une tension
efficace à l’aide d’un voltmètre. Pour afficher la valeur efficace d’un signal sinusoïdal de la forme
s (t ) = S0 sin(ωt ) + Smoy , un voltmètre « classique » (c’est à dire qui n’est pas « TRMS » pour True
Root Mean Square) effectue la série d’opérations suivante :
• la valeur moyenne du signal sinusoïdal est filtrée ;
• la tension sinusoïdale s (t ) −Smoy est redressée, en sortie du montage redresseur on obtient
la tension s 0 (t ) = |s (t ) − Smoy | correspondant à la valeur absolue de s (t ) − Smoy ;
π⟨s 0 (t )⟩
• le résultat de la mesure de la valeur efficace correspond à Smes =
p .
2 2
4. Obtenir l’expression de ⟨s 0 (t )⟩ en fonction de S0 . Justifier l’expression de Smes .
ES
Un signal créneau e (t ) est défini par :
CI
C
Exercice B
Partie 1 – Électronique
5. Expliquer le résultat de la mesure pour Emes . L’utilisation d’un voltmètre en mode « AC »
pour mesurer la tension efficace d’un signal périodique non sinusoïdal est-elle pertinente ?
Exercice C
(15 min.)
Un dipôle linéaire inconnu d’impédance complexe Z = R + j X est associé en série avec un
conducteur ohmique de résistance R0 connue selon le schéma de la figure 1.14 . L’ensemble est
en régime sinusoïdal forcé, l’intensité du courant électrique
p qui traverse les deux dipôles est
prise pour origine des phases et a pour expression i (t ) = I0 2 cos(ωt ).
i (t )
r
L
i (t )
u (t )
R0
dipôle
u 1 (t )
u 2 (t )
R
u 3 (t )
Figure 1.14. Association en série d’un conducteur ohmique avec un dipôle inconnu.
Figure 1.15. Alimentation d’une installation
domestique par le réseau électrique.
1. Représenter sur un diagramme de Fresnel, les vecteurs associés aux tensions u 1 (t ), u 2 (t )
et u 3 (t ). Faire apparaître sur ce diagramme le déphasage noté ϕ de u 2 (t ) par rapport à i (t ).
2. Obtenir, à l’aide du diagramme de Fresnel, l’expression du facteur de puissance du dipôle,
en fonction des valeurs efficaces U1 , U2 et U3 des tensions u 1 (t ), u 2 (t ) et u 3 (t ).
3. En déduire l’expression de la puissance moyenne Pm consommée par ce dipôle en fonction
de R0 , U1 , U2 et U3 .
4. En déduire une méthode permettant de mesurer expérimentalement cette puissance à
l’aide de multimètres. Dans quel mode faut-il utiliser ces multimètres ?
Cette méthode est mise en œuvre pour une bobine réelle de résistance R et d’inductance
L , la fréquence des signaux est égale à 50 Hz, R0 = 10 Ω et les tensions efficaces mesurées sont
U1 = 1,1 V, U2 = 0,44 V et U3 = 1,4 V.
5. Évaluer numériquement le facteur de puissance et la puissance moyenne consommée par
la bobine.
6. En déduire les valeurs numériques de la résistance R de la bobine et de son inductance
propre L .
Exercices
Exercice 1
(20 min.)
Une installation domestique est modélisée par une bobine réelle d’inductance pure L et de
résistance R . Elle est alimentée, via une ligne de résistance r = 50 Ω, par une tension u(t ) de
20
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
valeur efficace U = 220 V à la fréquence 50 Hz comme représentée sur la figure 1.15. L’installation
domestique seule consomme une puissance Pm = 150 W. La valeur efficace de l’intensité du
courant i (t ) dans le circuit vaut I = 2,0A.
1. Déterminer les valeurs numériques de L et R .
2. Quelle est la valeur numérique du facteur de puissance cos ϕ de l’installation ?
3. Pourquoi n’est-ce pas intéressant pour le distributeur d’électricité d’avoir un facteur de
puissance faible pour les installations domestiques ou industrielles ?
4. Évaluer numériquement le rendement en puissance de la ligne, défini comme le rapport
de la puissance consommée par l’installation domestique sur la puissance totale fournie.
Une méthode permettant de relever le facteur de puissance consiste à placer un condensateur
en dérivation au niveau de l’installation domestique.
5. Calculer la valeur de la capacité C d’un condensateur à placer en dérivation sur l’installation domestique permettant de relever le facteur de puissance à cos ϕ 0 = 1.
6. Calculer dans ce cas les valeurs de l’intensité efficace I 0 qui traverse la résistance r et le
rendement de la ligne.
Exercice 2
(30 min.)
Un sèche-cheveux peut être modélisé par un conducteur ohmique de résistance réglable RC
(résistance chauffante) associé en dérivation avec le moteur de la soufflerie modélisé par une
association série d’un conducteur ohmique de résistance r et d’une bobine d’inductance L selon
le schéma de la figure 1.16.
i (t )
i 1 (t )
i 2 (t )
L
u (t )
RC
r
Figure 1.16. Modélisation d’une résistance
chauffante associée à un moteur de soufflerie.
Figure 1.17. Capture d’écran d’oscilloscope.
EX
21
ER
CI
C
ES
L’intensité du courant
électrique qui traverse le sèche-cheveux en convention récepteur
est de
p
p
la forme i (t ) = I 2 cos(ωt + ϕ) et la tension à ses bornes est de la forme u(t ) = U 2 cos(ωt ).
1. Quelle est l’impédance complexe Z du sèche-cheveux ?
Un commutateur permet de sélectionner trois valeurs différentes pour la résistance RC :
• la résistance RC est déconnectée (ou infinie), ce qui donne un fonctionnement sans chauffage de la soufflerie (mode froid) ;
• RC = R1 (chauffage moyen) ;
• ou RC = R2 (chauffage fort).
Partie 1 – Électronique
Les puissances électrique moyennes P consommées par le sèche-cheveux dans les différents
modes sont répertoriées dans le tableau 1.2 (lorsque U = 220 V et pour une fréquence correspondant à celle du réseau de distribution) :
Table 1.2. Puissance moyenne consommée et déphasage pour les différents
modes de fonctionnement du sèche-cheveux.
Mode
P (en kW)
Déphasage du courant total par rapport à la tension
Froid
0,50
ϕF
Moyen
1,0
ϕ1
Fort
2,0
ϕ2
2. Représenter sur un diagramme de Fresnel les vecteurs associés à la tension u(t ) et les
intensités des courants i (t ), i 1 (t ) et i 2 (t ). Représenter sur ce même schéma le déphasage
ϕ de l’intensité i (t ) par rapport à u(t ) et préciser le signe de ce déphasage.
3. Donner l’expression de la puissance moyenne consommée par le moteur de la soufflerie
notée Pmot en fonction de r , L , ω et U . Quelle est sa valeur numérique ?
Lorsque le sèche-cheveux est en mode froid, les tensions u(t ) et u r (t ) = r i 2 (t ) sont visualisées
simultanément à l’aide d’un oscilloscope. La capture d’écran d’oscilloscope visualisée sur la
figure 1.17 est obtenue.
4. Identifier u(t ) et u r (t ) pour les deux signaux visualisés en justifiant. Obtenir numériquement à l’aide de cette capture d’écran, la fréquence f des signaux, l’amplitude de chacune
des deux tensions et le déphasage ϕF .
5. Calculer numériquement R1 et R2 .
6. Donner qualitativement l’évolution du déphasage ϕ lorsque la résistance RC diminue.
Exercice 3
(10 min.)
Un haut-parleur est assimilé à un conducteur ohmique de résistance R0 = 4,0 Ω. Il émet le
son correspondant à une tension démodulée en amplitude (cf. chapitre « Modulation et démodulation ») : pour cela, la tension modulée vm (t ) = V0 cos(2πF t )(1 + cos(2πf t )) est multipliée
par la tension dite « porteuse » vp (t ) = V0 cos(2πF t ) pour obtenir en sortie du multiplieur le
signal démodulé de la forme vd (t ) = k vm (t ) × vp (t ). Les données numériques sont les suivantes :
F = 100 kHz, f = 2,5 kHz, V0 = 20 V et k = 0,10 V −1 .
1. Obtenir et tracer le spectre en amplitude de la tension vd (t ). Parmi ces fréquences, quelles
sont celles entendues par l’oreille humaine ?
2. Calculer numériquement la puissance moyenne Pm consommée par le haut-parleur lorsqu’il est alimenté directement par la tension vd (t ).
Un quadripôle peut-être placé à la sortie du multiplieur, faisant l’effet d’un filtre en tension, de
G0
fonction de transfert H =
 ‹n avec G0 > 0 et f c = 20 kHz. Pour déterminer les paramètres
f
1+ j
fc
G0 et n du filtre employé, deux mesures du gain en décibel ont été réalisées à deux fréquences
différentes : GdB = 0,0 dB à 1,0 kHz et GdB = −100 dB à 200 kHz.
3. Déterminer à partir des mesures G0 et n.
4. Quelle est la puissance moyenne Pm0 consommée par le haut-parleur après filtrage ? Commenter.
22
Corrigés
Puissance électrique en régime sinusoïdal
Corrigés des Vrai/Faux
a) Vrai. Les admittances complexes de deux dipôles en dérivation s’additionnent.
b) Faux. La notion d’impédance ou d’admittance complexe est utilisée uniquement pour les
dipôles linéaires.
c) Faux. L’expression de la fonction de transfert (obtenue par exemple à l’aide de la formule
du pont diviseur de tension) est valable lorsque le quadripôle est en sortie ouverte, c’est-à-dire
que l’intensité du courant dans la branche de sortie du quadripôle est nulle.
d) Faux. La valeur efficace d’un signal sinusoïdal est égale à l’amplitude (tension crête-àp
crête divisée par 2) du signal divisée par 2 (encore faut-il que la valeur moyenne de ce signal
sinusoïdal soit nulle).
e) Vrai. La tension moyenne (mesurée par un voltmètre en mode « DC ») d’un signal purement
sinusoïdal est nulle.
f) Vrai. La tension et l’intensité du courant pour une bobine idéale sont en quadrature de
phase.
g) Faux. Lorsque la tension aux bornes du dipôle et l’intensité traversant le dipôle sont définies
en convention récepteur, la puissance p (t ) = u(t )i (t ) correspond à la puissance électrique
fournie par le dipôle.
h) Faux. Il faut sommer les puissances moyennes des différentes composantes spectrales,
1
c’est-à-dire P = U0 I0 (1 + cos(ϕ)).
2
Corrigés des exercices guidés
Exercice A
1. L’apparition de fréquences différentes de f = 50 Hz dans le spectre en amplitude de la
tension aux bornes du dipôle est caractéristique d’un dipôle non
vlinéaire.
u
XU2
t 2
k
2. La tension efficace se calcule à l’aide de la formule Ueff = Umoy
+
. Sur le spectre
2
k
23
CO
RR
IG
ÉS
en amplitude de la tension, on peut lire Umoy = 1,3 V ; U1 = 2,7 V ; U2 = 1,0 V ; U3 = U5 = 0,10 V et
U4 = 0,2 V, on en déduit Ueff = 2,4 V.
Partie 1 – Électronique
Exercice B
1. Par définition de la valeur moyenne et de la valeur efficace d’un signal périodique, on
obtient :
T
Z
E
1
2
E d t = = 2,5 V;
Emoy = ⟨e (t )⟩ =
T 0
2
et
1
⟨e (t )⟩ =
T
T
2
Z
2
0
E 2d t =
E2
2
E
donc Eeff = p = 3,5 V.
2
2. La loi d’Ohm nous donne e (t ) = R i (t ) et par définition de la puissance moyenne reçue par
E2
e 2 (t )
E2
un dipôle : Pmoy = ⟨e (t )i (t )⟩ = ⟨
⟩ = eff =
R
R
2R
de (t )
3. La relation courant-tension pour un condensateur idéal est i (t ) = C
donc ⟨e (t )i (t )⟩ =
dt
de (t )
⟩ = 0, un condensateur idéal ne consomme pas de puissance en moyenne.
C ⟨e (t )
dt
4. La valeur moyenne du signal redressé est égal à :
1
⟨s 0 (t )⟩ =
T
Z
T
0
2
S0 | sin(ωt )| =
T
T
2
Z
0
T
•
˜
2S0
S0 cos(ωt ) 2
=
S0 sin(ωt ) = −2
.
T
ω
π
0
S0
Le résultat de la mesure est donc égal à Smes = p ce qui est bien la valeur efficace pour la partie
2
sinusoïdale du signal.
πE
5. La série d’opérations appliquée au signal e (t ) donne pour résultat Emes = p , ce qui donne
4 2
bien 2,78 V. Pour un signal périodique quelconque, la mesure de la tension efficace à l’aide d’un
π⟨|e (t ) − ⟨e (t )⟩|⟩
voltmètre classique donne pour résultat
, ce qui ne correspond pas à sa valeur
p
2 2
efficace. L’utilisation d’un voltmètre non TRMS en mode « AC » est pertinente uniquement pour
un signal sinusoïdal.
Exercice C
1. La tension u 1 (t ) et i (t ) sont en phase d’après la loi d’Ohm u 1 (t ) = R0 i (t ) et la loi des mailles
permet d’écrire u 3 (t ) = u 1 (t ) + u 2 (t ), le diagramme de Fresnel de la figure 1.18 s’en déduit.
U 2 − U12 − U22
#»
#»
#» #»
#»
#» #»
2. kU3 k2 = kU1 + U2 k2 = kU1 k2 + kU2 k2 + 2U1 .U2 cos(ϕ), on en déduit cos(ϕ) = 3
.
2U1U2
3. Pm = U2 I0 cos(ϕ) et l’intensité efficace est reliée à la tension aux bornes du conducteur
U 2 − U12 − U22
U1
ohmique I0 =
. On en déduit Pm = 3
.
R0
2R0
4. Les multimètres sont des appareils à masse flottante donc il suffit de les brancher pour
obtenir les tensions efficaces U1 , U2 et U3 en mode voltmètre « AC ».
24
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
#»
U2
#»
U3
ϕ
#»
I
#»
U1
Figure 1.18. Diagramme de Fresnel représentant les tensions u 1 (t ), u 2 (t ) et u 3 (t ).
5. En utilisant les formules obtenues précédemment cos(ϕ) = 0,575 et Pm = 27,8 mW.
 ‹2
U1
6. La puissance moyenne reçue par la bobine s’écrit aussi Pm = Re(Z )I02 = Re(Z )
et
R0
la partie réelle de l’impédance de la bobine est égale à sa résistance notée R , on en déduit
R 2 Pm
R = 0 2 = 2,3 Ω.
U1
Re(Z )
Le facteur de puissance s’exprime aussi cos(ϕ) =
où |Z | est le module de l’impédance
|Z |
complexe de la bobine réelle qui est égale Z = R + j L ω en notant L l’inductance propre de la
bobine. On en déduit :
p
R
|Z | = R 2 + (L ω)2 =
= 4,0 Ω,
cos(ϕ)
et :
L=
1 Æ
|Z |2 − R 2 = 10 mH.
2πf
Corrigés des exercices
Exercice 1
25
CO
RR
Remarque
Une autre manière de limiter les pertes par effet Joule en ligne consiste à transporter
IG
ÉS
1. La puissance moyenne consommée par l’installation domestique s’exprime à l’aide de la
partie réelle R de l’impédance complexe caractérisant l’installationv
selon Pm = R I 2 , on en déduit
 ‹
U p
Pm
1t U 2
= 37,5 Ω. Par ailleurs,
R=
= (R + r )2 + (L ω)2 , donc L =
− (R + r )2 = 0,21 H.
I2
I
ω
I
Re Z
2. cos ϕ =
= 0,49 avec Z = R + j L ω, l’impédance complexe de l’installation domestique.
|Z |
3. À puissance moyenne consommée et tension efficace fixées, un faible facteur de puissance
entraîne une intensité efficace élevée, ce qui augmente la puissance perdue par effet Joule
r I 2 lors du transport électrique. Par ailleurs, la puissance moyenne consommée facturée par
le distributeur a pour expression Pm = Ueff Ieff cos ϕ : un faible facteur de puissance limite la
puissance facturée.
Partie 1 – Électronique
l’électricité à l’aide de lignes hautes tensions en utilisant deux transformateurs (en entrée
de ligne et en bout de ligne) : cf. chapitre « Transformateur ».
Pm
= 0,43.
Pm + r I 2 
‹
Re(Y 0 )
1
R
Lω
5. cos ϕ 0 =
avec Y 0 = j C ω +
=
+ j Cω−
, le facteur de
|Y 0 |
Z
R 2 + (L ω)2
R 2 + (L ω)2
L
= 36 µF.
puissance est unitaire lorsque Im(Y 0 ) = 0, ce qui donne C =
2
R + (L ω)2
6. La valeur efficace de l’intensité du courant I 0 dans la ligne s’obtient en écrivant :
(L ω)2 0
0 0
U = |r + Z |I = r + R +
I
R
4. Le rendement de la ligne noté η est égal à η =
On en déduit I 0 = 1,1A. La puissance moyenne consommée par l’installation est donc égale
Pm0
à Pm0 = Re Z 0 I 02 = 179 W et le rendement de la ligne est égal à η0 =
= 0,75 > η. Le
Pm0 + r I 02
relèvement du facteur de puissance permet de limiter les pertes en ligne, il permet également au
distributeur de facturer une consommation plus élevée.
Exercice 2
1. L’impédance complexe du sèche-cheveux est Z =
RC (r + j L ω)
.
RC + r + j L ω
u(t )
est en phase avec
RC
la tension u(t ) et le déphasage de i 2 (t ) par rapport à la tension u(t ) est négatif comme obtenu
dans l’exemple page 14 du cours. Le vecteur représentant le courant d’intensité i (t ) est obtenu
en sommant les vecteurs représentant les courants d’intensités i 1 (t ) et i 2 (t ) par application de la
loi des nœuds. On observe qualitativement d’après le diagramme de Fresnel que le déphasage
2. Le diagramme de Fresnel est représenté sur le schéma 1.19, i 1 (t ) =
ϕ
#»
U
#»
I1
#»
I
#»
I2
Figure 1.19. Diagramme de Fresnel représentant la tension u(t ) et les courants d’intensités i (t ),
i 1 (t ) et i 2 (t ).
ϕ est négatif : ϕ < 0.
3. La puissance moyenne consommée par le moteur de soufflerie d’admittance complexe
1
U 2r
Y =
est égale à Pmot = U 2 Re(Y ) =
. Cette puissance correspond à la puissance
r + j Lω
r 2 + (L ω)2
moyenne consommée par le sèche-cheveux en mode froid pour lequel la résistance RC est infinie
donc i 1 (t ) = 0 et i (t ) = i 2 (t ), on en déduit Pmot = 0,50 kW.
4. ϕ < 0 donc le courant d’intensité i (t ) = i 2 (t ) est en retard de phase par rapport à la tension
u(t ), ainsi le signal de la voie CH1 correspond à u(t ) et le signal de la voie CH2 correspond à
u r (t ).
26
Chapitre 1 – Puissance électrique en régime sinusoïdal
La période des signaux est égale à 8 × 2,5 ms = 20 ms ce qui correspond à une fréquence
f = 50 Hz. L’amplitude de u(t ) est égale à 8,0 V et l’amplitude de u r (t ) est égale à 1,0 V.
La durée entre deux maxima des deux signaux est égale à ∆t = 1,2 × 2,5 ms, ce qui donne un
déphasage de ϕF = −2π f ∆t = −54 ˚.
5. La puissance consommée lorsque la résistance RC est connectée est égale à :
P = ⟨u(t )(i 1 (t ) + i 2 (t ))⟩ = ⟨u(t )i 1 (t )⟩ + ⟨u(t )i 2 (t )⟩ =
U2
+ Pmot .
RC
U2
+ Pmot donc R1 = 97 Ω.
R1
2
U
+ Pmot donc R2 = 32 Ω.
Lorsque RC = R2 , P = P2 = 2,0 kW =
R2
6. Lorsque la résistance RC diminue, la valeur efficace de i 1 (t ) augmente alors que celle de i 2 (t )
reste fixée (car elle ne dépend que des valeurs de U , L , r et ω). Ainsi, d’après le diagramme de
Fresnel, on peut en déduire que la valeur absolue du déphasage ϕ diminue lorsque la résistance
RC diminue (ce qui est en accord avec une puissance consommée plus grande, car le facteur de
puissance cos ϕ augmente).
Lorsque RC = R1 , P = P1 = 1,0 kW =
Exercice 3
1. La tension démodulée vd (t ) s’écrit comme une somme de fonctions sinusoïdales en utilisant
cos(a + b ) + cos(a − b )
la formule de trigonométrie cos(a ) cos(b ) =
, on obtient :
2
§
ª
k V02
1
1
vd (t ) =
1 + cos(2πf t ) + cos(2πF t ) + cos(2π(2F + f )t ) + cos(2π(2F − f )t ) .
2
2
2
Le spectre en amplitude en fonction de la fréquence s’en déduit, il est représenté sur la figure
1.20. Seule la fréquence f = 2,5 kHz fait partie du domaine audible par l’oreille humaine.
spectre de vd (t )
20 V
10 V
0 f
2F − f
F
2F + f
Figure 1.20. Spectre en amplitude en fonction de la fréquence de la tension vd (t ) (l’échelle en
fréquences n’est pas respectée pour une meilleure lisibilité).
2. La puissance moyenne consommée par le haut-parleur a pour expression Pm =
Vd2,eff
où
R0
est la moyenne quadratique de vd (t ) c’est-à-dire la somme des moyennes quadratiques
9k 2 V04
des différentes composantes spectrales de vd (t ). On obtient, après calcul, Vd2,eff =
donc
16
Pm = 225 W.
CO
RR
27
IG
ÉS
Vd2,eff
Partie 1 – Électronique
‹ f 2n
3. Le gain en décibel du filtre a pour expression GdB = 20 logG0 − 10 log 1 +
.
fc
f
1
À 1,0 kHz,
=
donc GdB ' 20 logG0 = 0,0 dB donc G0 = 1,0.
fc
20
 ‹
f
f
À 200 kHz,
= 10 donc GdB ' −20n log
= −100 dB donc n = 5,0.
fc
fc
4. En sortie, seules les fréquences 0 et f sont conservées (avec un gain unitaire), les trois autres
fréquences sont suffisamment atténuées pour pouvoir considérer qu’elles sont nulles. Ainsi
3k 2 V04
Pm0 =
= 150 W. Le filtrage permet de limiter la puissance consommée par le haut-parleur
8R0
en n’émettant pas certaines fréquences qui ne correspondent pas au domaine audible. Cette
puissance pourrait être encore limitée en filtrant la composante continue du spectre de vd (t ) (à
l’aide d’un filtre passe-haut).
28

VUIBERT
PHYSIQUE – CHIMIE
PSI/PSI*
, des ouvrages pour faire la différence :
– Des cours complets pour acquérir les connaissances indispensables ;
– Des fiches de synthèse et de méthode pour réviser l’essentiel et acquérir
les bons réflexes ;
– De nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner :
Vrai/faux, exercices guidés et exercices d’application ;
– Des sujets de concours corrigés pour se mettre en situation d’épreuve
SOMMAIRE :
Partie I : Électronique. 1. Puissance électrique en régime sinusoïdal – 2. Stabilité des systèmes
linéaires – 3. Rétroaction – 4. ALI en régime non linéaire – 5. Électronique numérique – 6. Modulation
et démodulation. Partie II : Phénomènes de transport. 7. La diffusion thermique – 8. La diffusion des
particules. Partie III : Mécanique des fluides. 9. Cinématique des fluides – 10. Actions de contact
dans un fluide – 11. Nombre de Reynolds – 12. Bilans macroscopiques. Partie IV : Électromagnétisme.
13. Champ électrique en régime stationnaire – 14. Transport de charge – 15. Champ magnétique en
régime stationnaire – 16. Électromagnétisme dans l’ARQS – 17. Milieux ferromagnétiques. Partie V :
Conversion de puissance. 18. Transformateurs – 19. Contacteur électromagnétique en translation –
20. Machine synchrone – 21. Machine à courant continu – 22. Conversion électronique statique. Partie VI :
Ondes. 23. Propagation unidimensionnelle, équation de d’Alembert – 24. Ondes sonores dans les
fluides – 25. Ondes électromagnétiques dans le vide – 26. Dispersion et absorption – 27. Réflexion et
transmission d’ondes sur un dioptre. Partie VII : Thermochimie. 28. Application du premier principe –
29. Second principe : potentiel thermodynamique – 30. Équilibre chimique – 31. Optimisation d’un
procédé chimique – 32. Systèmes binaires. Partie VIII : Électrochimie. 33. Courbes intensité-potentiel –
34. Électrochimie et applications
Annexe : analyse vectorielle
Les auteurs
Frédéric Bruneau est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor Grignard à
Cherbourg.
Marc Cavelier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à Rennes.
Claire Delacour est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Paul Constant à
Montluçon.
Erwan Jahier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Chateaubriand à Rennes.
Christophe Jorssen est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Jacques Decour
à Paris.
Yann Lozier est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques.
Mathilde Marchand-Hartog est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Jacques
Decour à Paris.
Philippe Ribière est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Stanislas à Paris.
ISBN : 978-2-311-40031-1
www.
.fr