Couche limite laminaire 09

1
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Eléments de Mécanique des Fluides
q
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2
Objectifs de la séance
• Ecoulements irrotationnels et fluide visqueux
• Notion de couche limite – liaison aux conditions limites de
non-glissement
• Ecoulements laminaire et turbulent
– Expérience de Reynolds
– Ecoulements en transition et établi
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• Dimension caractéristique de la couche limite
– plaque oscillante
– Plaque infiniment mince
– Formulation générale des équations de la couche limite
• Décollement de la couche limite
– Liaison avec la prise en compte d’un gradient de pression
• Couche limite et traînée
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1
3
Ecoulements irrotationnels – domaine d’application
• Historiquement, les écoulements irrotationnels sont étudiés
pour résoudre le problème « extérieur » si Re >> 1
• Le problème « intérieur »,
» couche limite,
limite est un lieu
d’épaisseur limitée où la viscosité est dominante
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• La liaison entre les deux est assurée par cohérence du champ
de vitesse à l’interface
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Ecoulements irrotationnels – domaine d’application
• Les solutions de base de l’écoulement irrotationnel sont
définies pour un domaine spatial infini où les conditions
limites sont imposées
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• La modélisation d’écoulement autour de corps fictifs est
possible mais il n’est possible de les remplacer par des corps
réels que dans l’hypothèse supplémentaire d’un fluide parfait
(pas de viscosité)
• Il y a en effet
ff toujours
j
glissement
li
t des
d particules
ti l à la
l paroii
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2
Ecoulements irrotationnels – domaine d’application
5
• Rappel : vitesse tangentielle pour un corps fictif en rotation :
v  r  rc   2U  sin  

2 rc
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• Cette vitesse dépend de , un cylindre réel en rotation aurait
une vitesse tangentielle constante
 il existe un glissement différentiel entre le fluide et le
corps
p réel
 valable uniquement pour un fluide parfait
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6
Rappel : Corps imperméable
• En toute généralité, à la paroi d’un corps imperméable, une
particule fluide adhère à la paroi :


U
W
fluide à la paroi
surface du corps
• Si le corps est fixe :
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
U
0
   
 U n  U t  0

n

U
fluide à la paroi

t
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3
7
Rappel : Corps imperméable
• Pour un fluide parfait, il n’y a pas de viscosité et donc pas de
frottement entre le fluide et le corps:

 U tangentielle  0
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• Pour un corps imperméable dans un fluide parfait, la
condition sur la vitesse normale est donc suffisante :
   
U n  W n
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Ecoulements irrotationnels – domaine d’application
8
• Cohérence des conditions aux limites pour l’équation de
Laplace :
– Equation en dérivées secondes
– Besoin analytique d’une seule condition à chaque frontière
– Vis-à-vis
Vis à vis des équations complètes,
complètes il s’agit d’un problème aux
perturbations singulières
– Pour un domaine spatial infini, approche cohérente vu le report des
conditions aux limites
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• Questions à se poser :
– Un écoulement irrotationnel est-il physiquement possible en présence
d’une paroi fixe ou mobile ?
– Il a été démontré « Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien
incompressible ne mobilise pas les contraintes visqueuses » (cours 5
slide 34). Quelle en est la signification physique ?
– Pour un domaine spatial fini, quelle est l’influence des conditions aux
limites de non-glissement observées pour un fluide visqueux (même
faiblement) ?
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4
9
Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux
• Considérons deux cylindres concentriques en rotation
• Conditions aux limites : parois solides imperméables
• Quelle sont les caractéristiques de l’écoulement stationnaire ?
ω2
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V
ω1
r
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Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux
10
• Développement d’un écoulement irrotationnel possible ?
• 2 approches
h :
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– Résoudre Navier-Stokes en général et chercher les conditions suffisantes
– Poser l’irrotationnalité et chercher les conditions suffisantes
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5
Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux – Navier‐Stokes
ω2
11
V
Passage en coordonnées cylindriques…
r
ω1
 u, v, w    vr , v , w 
 x, y , z    r ,  , z 
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→N-S pour un écoulement stationnaire et un fluide incompressible
 vr vr 1 v w
 r  r  r   z  0

 ui
 vr v vr v 2
v
v
1 p
2 v 



w r 
   vr  r2  2  
 x  0
vr
r 
r
z
 r
r
r  

 i
 r

 u

p
1

v
v

v
v
v

v
v

p
1
2 v 
j

r






u
v

 u j


w

   v  2  2 r 
 i xi
 r r

x

r

r

z
r

 



r
r

j


v
w
w


w
1
p


v

 r r  r   w z    z  w

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Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux – système simplifié
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• L’écoulement est symétrique
vr  0

v  f  r 

w  0
 p  f r 

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• Les 4 équations de N-S se réduisent à :
• Ou encore :
 v
1 p


 r
 r

 1   r v   v  0
 r r  r  r 2

2
 v 2
1 p


 r
 r

0    v  v 
 


r2 


v 
1   v
r
r r  r
2
2
 1  v  v
 2

2
z
 r 
p  f  v 
v
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6
13
Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux
1   v
r
r r  r
 v
 2  0
 r
v  r   Ar 
Composante
rotationnelle
CL (aux parois):
v  r  r1   1r1
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p  r  r1   p1
B
Composante
irrotationnelle
(non glissement)
v  r  r2   2 r2
A
B
r
(référence)
2 r22  1r12
r22  r12
1  2  r22 r12
r22  r12
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Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux
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• Expressions finales de la vitesse et de la pression :
v  r  
p  r   p1 


r22

2
 r12

2
2
 2 r2  1r1



2
2 r22  1r12
r22
 r12
r
1  2  r22 r12 1
r22  r12
r
r 2  r12
1 
2 1
 2r22 r12 2  1   2 r22  1r12  r24 r14 2  1   2  2  
r

2
r
1 


Ecoulement de Taylor-Couette entre deux cylindres pour un fluide visqueux
• Condition suffisante d’un écoulement irrotationnel :
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2 r22  1r12
r22  r12
0
v 2 2 r2 r1


v 1 1r1 r2
Rappel : vortex libre
v  r   1
p  p1 
v 
r12
r
12 r12 
2
r2
 1  12
 r




2 r
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7
Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux
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• Ecoulement irrotationnel entre deux cylindres en rotation?


vr  r

v  1 
  r 

v r1  v 1
v  v
2
  r2
   1 vz v
 U   

z
  r 
(symétrie)
  vr vz
 ,  z  r
 
vr  0
r1
 v 1 
r2
 v 2 
A
r1
A
r2
 A

 
 
 
1   2
  U   0, 0, 
r  r 

v  f  r 

v


v
 
 1    rv  vr
 , r  r  
 

 
 
 2
 0    f    A
r 
v 1 v 2
v
r

 1  1
r1
r2
v 2 r2
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Ecoulement irrotationnel entre deux cylindres coaxiaux
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• Conclusion
« Un écoulement irrotationnel entre deux cylindres en rotation est possible
pour autant que les vitesses de rotations des cylindres varient de façon
inversement proportionnelle au rayon »
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v 1 r1

v 2 r2
• Cette conclusion est valable pour un fluide visqueux
• Dans le cas d’un fluide parfait, la rotation des cylindres
n’entraînerait pas de mouvement du fluide puisqu’il n’existe pas
de viscosité  pas d’interaction fluide-solide
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8
Un écoulement irrotationnel est‐il physiquement possible ? 17
• Ecoulement irrotationnel d’un fluide visqueux et paroi fixe
  0

paroi
0
• La solution du laplacien est harmonique et ne peut accepter
d’extremum dans le domaine (slide 54 - cours 5)
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• La condition d’imperméabilité prend la forme d’un extremum
 La seule solution possible est un fluide au repos
= 0
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Limite de la théorie potentielle
• « Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien
incompressible ne mobilise pas les contraintes visqueuses »
(cours 5 slide 34)
• Quelle en est la signification physique ?
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Les tensions visqueuses existent mais sont en équilibre dans les
trois directions
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9
19
Limite de la théorie potentielle
• Irrotationnel : Paradoxe de d’Alembert
« pas de force appliquée dans un
écoulement incompressible uniforme
stationnaire sans surface libre »
stationnaire,
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Distribution de pression
(rouge : pression haute, bleu : pression basse)
• Ecoulement visqueux de Stokes (Re<<1)
« développement
pp
d’une force de traînée
composée d’une fraction liée à la
pression et une autre fraction due
au frottement »
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20
Expérience de Reynolds
• Le régime d’écoulement a été caractérisé en fonction du nombre
de Reynolds (cours 4 – slide 69 – valable pour un écoulement en conduite):
• Laminaire - Re < 2000
• Transitoire – 2000 < Re < 3000
• Turbulent – Re > 3000
• Quelle en est la signification physique ?
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Expérience de Reynolds
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21
Expérience de Reynolds
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Régimes d’écoulement
22
• Régime laminaire
– Ecoulement dont les filets fluides ne s’entrecroisent pas
– Pas de mélange mais interaction visqueuse entre les filets fluides
– En stat
stationnaire,
o a e, les
es lignes
g es de courant
cou a t sont
so t confondues
co o dues avec les
es
trajectoires
Solutions analytiques possibles au prochain cours
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• Régime turbulent
– L’écoulement devient instable
– Il existe un mélange des filets fluides même en écoulement
globalement stationnaire
– La notion de ligne de courant n’a plus de sens sauf « en moyenne
temporelle »
Fera l’objet de deux cours spécifiques
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Régimes d’écoulement
23
• La transition de régime dépend du nombre de Reynolds
Re 
U c Lc

• Dépend donc de :
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– La viscosité du fluide
– La vitesse de l’écoulement
– Une longueur caractéristique
• Exemple d’une conduite circulaire en laminaire
longueur caractéristique = diamètre
• Exemple d’une plaque mince parallèle à l’écoulement
longueur caractéristique = abscisse
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Régimes d’écoulement
24
• Exemple d’une conduite circulaire en laminaire :
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Régime non établi
Régime établi
– La vitesse entre de façon uniforme et l’écoulement est stationnaire
– A la paroi, condition de non-glissement  ralentissement
– Par continuité, les vitesses au centre augmentent
– Une fois le régime établi, le profil de vitesse est constant
– Une couche limite laminaire s’est développée dans toute la section
depuis les bords
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12
• Dès les nombres de Reynolds faibles, il existe des tourbillons
derrière le cylindre
• Si la vitesse augmente, les tourbillons commencent par se
détacher de façon
ç alternée (tourbillons
(
de Von Karmann))
• A Re>>1, la couche limite « décolle » et forme un large sillage
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25
Ecoulement autour d’un cylindre en fonction du Reynolds
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26
Importance de la couche limite
• Dès qu’une viscosité existe, l’observation d’écoulement met
en évidence un comportement particulier à la paroi
• A cet endroit, les conditions de non glissement perturbent
ll’écoulement
écoulement
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 Couche limite
Il ppeut arriver qque cette couche limite se « décolle » de la pparoi
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13
27
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Couche limite laminaire
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Viscosité, couche limite et pertes de charge
28
• Quelques questions sur la couche limite :
Quelles en sont les grandeurs caractéristiques ?
Quelles
Que
es so
sontt les
es équat
équations
o s régissant
ég ssa t lee pproblème
ob è e ?
D’où provient la rotationnalité d’un écoulement ?
Peut-on relier la viscosité et donc la couche limite aux pertes de
charge d’un écoulement ?
– …
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–
–
–
–
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14
29
Rappel : Navier‐Stokes
• La formulation non-conservative des équations de NavierStokes valables pour un fluide newtonien incompressible
barotrope :

U  0

 

 DU 

 U
p
 U  U 
 F    U

Dt

 t


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peut être écrite sous une forme similaire aux équations de Lamb:

U  0

 2
 
 U



U
p

U    F     


 2
 t








U



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30
Rappel : Projection sur une ligne de courant
• Si le champ de force est conservateur et que l’écoulement est
stationnaire :

U  0

 2
 
U
 
p
  G  
2

 
 


  
U





U




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• Par une multiplication
scalaire de l’équation de quantité de

mouvement par U :

U  0

 2 

 
U
 
p

U   G  
U


U


2







H =Fonction de Helmholtz
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15
Sillage et pertes
31
•
H
représente la charge de l’écoulement et va diminuer pour
autant que


 U U  0
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
• Supposons : U  0
• A la surface d’un corps solide imperméable la vitesse normale
est nulle et la vitesse tangentielle est nulle
• La vérification des CL et un raccordement asymptotique de la
vitesse de la couche limite avec l’écoulement extérieur induit :

U  0
• Pour un tube de courant passant près de la surface, H tube va
diminuer dans le sens de l’écoulement
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32
Sillage et pertes
• Définition du « sillage » :
« zone rassemblant toutes les lignes de courant passant à
proximité de la surface du corps »
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• Dans le sillage, H sillage est inférieur à la valeur sur une ligne de
courant transitant loin du corps
 Par conservation de qquantité de mouvement,, la pperte est liée à
la traînée du corps = force appliquée
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16
33
Equations d’Helmholtz, équation de vorticité
• Formons le produit vectoriel de la conservation de quantité de
mouvement avec l’opérateur  (pour un fluide newtonien incompressible
barotrope et un champ de force conservateur)


 U   
  
 U       H  U
 t




 


   U       H     U

t


 
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0
 

  
   
  

     
U   U  
  U     U  U  

 


=0
continuité


   U  0 

 






D 
  U   
Dt


 
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Equations d’Helmholtz en 2D
34
• Dans un écoulement bidimensionnel :

  0 0 z 


  U  0


D
  
Dt
 
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  2 z  2 z
 z
 z
 z
u
v
  z   

 x 2
t
x
y
y 2




Equation d’advection-diffusion
d d
d ff
de
d z
à la surface d’un corps solide imperméable, une couche
tourbillonnaire se diffuse en formant une
« couche limite »
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35
Diffusion de la couche tourbillonnaire
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36
Création de rotationnalité
• La création de rotationnalité dans le fluide s’explique
principalement par l’adhérence des particules fluides sur une
paroi solide
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• Le long d’une paroi solide, il y a création continue de vorticité
(rotation)
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18
37
Résolution de la QM en terme de fonction de courant
• En utilisant la fonction de courant en 2D (pour un fluide newtonien
incompressible barotrope et un champ de force conservateur) :


,v  
y
x


  U      A     z
u
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

• La conservation de quantité de mouvement devient :


 U   
  
 U       H  U
 t




         
4


    z   
t
 y x x y 
38
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Mouvement d’une plaque oscillante
Longueur caractéristique de la couche limite
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19
Plaque oscillante
39
y
• Ecoulement 2D xy
• Plaque selon x de longueur infinie
• Mouvement oscillatoire selon x
u  y, t  plaque  u  0,
0 t   U 0 exp  it 
x
• Déplacement de la plaque
 /2
L  2U 0

cos t  dt  2
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0
L
2U 0
U0


• Hypothèse: pression uniforme selon x
Constatation : à cause de la viscosité,
viscosité il existe un entraînement
des particules et une propagation du mouvement oscillatoire
  u  y, t  
U 

 0 
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Plaque oscillante : démarche
40
• Démarche :
–
–
–
–
–
Partir des équations de Navier-Stokes simplifiées en 2D dans le plan xy
Hypothèse d’absence de force extérieure
Appliquer
pp que uunee déco
décomposition
pos t o de va
variables
ab es pour
pou u  y, t   f  t  g  y 
Intégrer analytiquement la solution pour déduire u
Déterminer les constantes d’intégration grâce aux CL
y
Condition limite à la plaque:
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u  y, t  plaque  u  0, t   U 0 exp  i t 
C diti limite
Condition
li it « à l’infini
l’i fi i »:
u  y, t  y   0
x
L
2U 0

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20
Plaque oscillante
y
41
Simplification des équations de Navier-Stokes
» Ecoulement selon x
» Variation des vitesses uniquement selon y
» plaque infinie : Indépendance de la pression selon x
P dde forces
f
extérieures
té i
x » Pas
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L
2U 0

 u v w
 x  y  z  0

u
u
u
1 p
 u
 t  u x  v y  w z  Fx   x  u


 v  u v  v v  w v  F  1 p  v
y
 t
x
y
z
 y


w

w

w

w
1 p
 u
v
w
 Fz 
 w
 t
x
y
z
 z
 u
 x  0


2
 u  u    u
 t
y 2
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Plaque oscillante
42
Décomposition des variables
u  y, t   f  t  g  y 
Navier-Stokes
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u
 2u
 2
t
y
Intégration
dff
u   fg 
f

g
 u dt
f
t
t
t
d2g
 2 u   fg 
2 g
dy 2

 f 2 u
2
2
g
y
y
y
2
d2g
df
dy 2
 dt  
 k  Cte
f
g
f  t   C1 exp
p  kt 
1 

 k 12 
k 2
 
g  y   C2 exp   y     C3 exp  y   
   
   




1



 k 12  
k 2
 
 u  y, t   C1 exp  kt   C2 exp   y     C3 exp  y    

   
    





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21
Plaque oscillante
Utilisation des CL
43
u  y, t  z   0  C3  0
u  0, t   U 0 expp  it 
C C  U 0
 1 2
k  i
 C1C2 exp  kt 
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1 

 i  2
 u  y, t   U 0 exp  it  y   

  


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Plaque oscillante : longueur caractéristique de la couche limite
44
Solution :
1 

 i  2
u  y, t   U 0 exp  i t  y   

  


1 
1 
 

  2
  2
 u  y, t   U 0 exp   y    exp i   t  y    
 
  2  
 2   



 
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Amplitude f(y)
 2 
  
 
1
2
1
 2 
   

U
L
2 0

 U 0  e1
1
2
 
 
 
1
2
 i    
exp     
 4   2 
1
2
1  i 
Mouvement oscillant
Oscillations limitées à une couche
d’une épaisseur de l’ordre de δ
2
 2  2

  4U 2
0

 i 
 
 



1
2
  


 U0 L 
1
2
 Re
1
2
Plus l’écoulement est turbulent (Re >>), plus la couche limite est fine …
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22
Rappel : méthode de calcul
45
• Approximation de couche limite
• Calcul de l’écoulement « extérieur » selon l’hypothèse d’un fluide idéal
 épaisseur de couche limite supposée nulle
 1 seule condition aux limites : vitesse normale nulle
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• Calcul de l’écoulement « intérieur » selon l’hypothèse d’une couche
limite mince
 2 conditions
di i
aux limites
li i à la
l paroii : vitesse
i
normale
l et tangentielle
i ll
nulles
 vitesse au somment de la couche limite = vitesse du problème
extérieur
46
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Evolution de la couche limite laminaire Approche macroscopique
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23
Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
• Supposons :
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47
– Un fluide incompressible en écoulement stationnaire
– Un champ de vitesse « extérieur » uniforme selon x dans le plan xy
– Une plaque infiniment mince alignée selon l’axe x dont le bord
d’
d’attaque
est en (0,0)
( )
– Un volume de contrôle sur lequel sont appliqués les deux premiers
principes de conservation (masse et quantité de mouvement)
– Le bord supérieur du volume de contrôle est telle que h>>et que l’on
peut supposer l’écoulement selon x comme non perturbé
– Le ralentissement de la vitesse à la paroi induit obligatoirement un
échange par le bord supérieur
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48
Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
Question : Comment évolue l’épaisseur de la couche limite
laminaire selon x ?
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Théorie potentielle
applicable!!
h
Couche limite
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24
Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
49
• Principe de conservation de la masse

x
h
h
x
 
U n dS  0   U 0 dy   u x dy   v y  h dx
 


0
A


0
h

 vdx   U 0  u  dy
0
0
0
• Principe
i i de
d conservation
i de
d quantité
i de
d mouvement selon
l x
(épaisseur unitaire)
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 Fx 
 


udV


u
U
n dA
A
t V
 
• En supposant que le gradient de pression selon x est nul, la
seule force appliquée est la traînée de frottement sur la plaque
h
h
 Ftraînée    u dy  U h  U 0  U 0  u  dy

0
0



 QM x bordentrée 
2
2
0
QM x bordsortie
QM x bordsup érieur
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50
Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
• En effet :
h
 
2
2



u
U
n
dA

   ux  u0  dh 
 
A
0
x
   uv 
y h
0
h
x
0
0
  uv  y 0  dx

    u x2  U 02  dh   U 0 v y  h dx
h
x
   u x2 dh  U 02 h  U 0   v y  h dx
0
0



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par la continuité
h
h
   u x2 dh  U 02 h  U 0   U 0  u x  dy
0
0
h
h
0
0
   u x2 dh  U 0   u x dy
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25
Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
51
• Combinant les termes :
h
Ftraînée    u U 0  u  dy
0
• Etant donné le principe d’action-réaction, la force sur la
plaque est de direction opposée :
h
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Fplaque     u U 0  u  dy
0
• Mais est aussi égale à :
x
Fplaque     0 dx
0
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52
Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
• Il est donc possible de déduire une relation liant les
contraintes à la distribution de vitesse :
h
h

u 
u 
2 
 0    u U 0  u  dy  U 0  1   dy
x 0
x 0 U 0  U 0 
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• Cette intégrale peut être évaluée en choisissant un profil de
vitesse pour autant que ce profil soit auto-similaire, c’est-àdire qu’il possède la même forme quelle que soit l’abscisse x
u
 y
 f    f  
U0
 
 0  U 02

y

1
u 
 u 
1 
 d

x 0 U 0  U 0 
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26
Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
53
• Hypothèse de Von Karmann
– Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme
d’intensité U0
– Conditions limites de non-glissement à la paroi : u  x, 0   v  x, 0   0
– Condition de compatibilité entre écoulement « intérieur » et « extérieur »
u  x,    U 0
– Profil parabolique dans la couche limite d’épaisseur 
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u
   2  
U0
 0  U 02

y


 2
  2    1    2     d  U 02

x 0
x 15
1
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Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
54
• Hypothèse de Von Karmann
u
   2    F
U0
 0  U 02
2 
15 x
– A la surface de la plaque :
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0  
u
y

y 0
U 0 F
U    2    
 0 
   0


 2
 0
U0

– L’égalisation des deux expressions de 0 :
 0  2
15

dx   d 
U 0
U0

 U 02
15
2 
15 x
x
2
 Cste 
U 0
2
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27
Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
55
• Hypothèse de Von Karmann
– La constante peut être déterminée :

x
 30

x 0
0
30
5.5

Re x
Re x

 xU 0

longueur caractéristique = abscisse
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– Introduisons cette expression pour déterminer 0 :
0 
U 03
2
30
x
La tension varie de façon inversément
proportionnelle à la racine carrée de la distance
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Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
56
• Hypothèse de Von Karmann
– La traînée de frottement sur une demi-plaque de longueur L et de largeur
unitaire :
L
Ftraînée    0 dx 
0
4
U 03 L
30
– Si la traînée est exprimée en fonction de la pression au point de stagnation:
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Ftraînée  C f L
U 02
2

4
U 03 L
30
– On obtient pour le coefficient Cf :
Cf 
8
30

8
1

U 0 L
30 Re L
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28
57
Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
• D’autres coefficients peuvent être trouvés selon l’hypothèse
choisie pour le profil de vitesse
• Hypothèse de Prandtl
– Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme
d’intensité U0
– Conditions limites de non-glissement à la paroi : u  x, 0   v  x, 0   0
– Condition de compatibilité entre écoulement « intérieur » et « extérieur »
u  x,    U 0
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– Profil dans la couche limite d’épaisseur 
u 
 3  2
U0 2


Cf 

y

1.328
Re L
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Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane
58
• Hypothèse de Blasius – solution exacte
– Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme
d’intensité U0
– Conditions limites de non-glissement à la paroi :
– Condition de compatibilité entre écoulement « intérieur » et « extérieur »
u  x, 0   v  x, 0   0
– Profil parabolique dans la couche limite d’épaisseur 
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u  x,    U 0
Equation de Blasius:
1  2 F 3 F
F

0
2  2  3
Pas de solution analytique  évaluation numérique
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29
Ecoulement sur une plaque plane – Solution analytique
59
• solution exacte – Prandtl/Blasius
Les conditions aux limites deviennent
u  x, 0   0
v  x, 0   0
u  x, y     U 0
Evolution de la vitesse selon
l’épaisseur de la couche limite
f   0   0
 f '   0   0
f '      1
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Intégration numérique
 U0 

 x 
 99% 
1
2
5

x

5
Re
1
2
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60
Généralisation des coefficients de traînée et de frottement
• Pour un corps dans un écoulement, il est habituel de calculer
la traînée et la portance des corps grâce à ces coefficients :
Traînée  CD A
U 2
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2
U 2
Portance  CL A
2
• A est la surface du corps projetée normalement selon la
direction d’écoulement
• CD et CL sont des coefficients obtenus grâce à des tables ou
des abaques (liaison au nombre de Reynolds)
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30
Coefficient de traînée et de frottement
• Le nombre de Reynolds a été défini comme (cours 4 – slide 69):
61
U c2
Re 
U c Lc


Lc
U c
L2c
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rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses
• Si les équations avaient été adimensionnalisées grâce à une
contrainte tangentielle
g
de référence à la pparoi  p , on aurait
déjà pu définir :
p
1
 C
U c2 2 f
Coefficient de
frottement pariétal
62
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Evolution de la couche limite laminaire Approche exacte – équations de Prandtl
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31
63
Equations de la couche limite
• Equations de Prandtl
u v

0
x y
p
– QM selon y :
0
y
u
u
1 p
 2u
– QM selon x : u
v

 2
 x
x
y
y
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– Continuité :
Hypothèses :

L
 1
U0  x   u
Re  1
Prise en compte du gradient de pression selon x
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64
Couche limite
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32
65
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Prise en compte du gradient de pression d
dans le sens de l’écoulement
l
d l’é l
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Prise en compte du gradient de pression selon x
66
• Quid du gradient de pression ??
u
u
u
1 p
 2u
v

 2
 x
x
y
y
– Gradients de pression négligés dans les différents développements
– Gradient négatif (pression décroît dans le sens de l’écoulement) : effet stabilisant
– Gradient positif: effet déstabilisant sur le profil de vitesse u(y)
 Analyse mathématique de la quantité
 2u
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y
2
0
y 0
 2u
y 2
0
y 
  2u

 y 2


y 0
 2u
y 2
u  p 
  u
 p
v  

 u
y  x 
x
  x

y 0


y 0 

(comportement asymptotique)
→ Passage par 0 obligatoire
→ Point d’inflexion dans le profil de vitesse!
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33
Prise en compte du gradient de pression selon x
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67
• Quid du gradient de pression ??
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Prise en compte du gradient de pression selon x
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68
• Quid du gradient de pression??
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Prise en compte du gradient de pression selon x
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• Conséquence: profil de vitesse dans les divergents
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Prise en compte du gradient de pression selon x
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Prise en compte du gradient de pression selon x
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Stabilité de la couche limite d’
d’une plaque plane
l
l
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Stabilité de la couche limite
• L’expérience de Reynolds illustre trois comportements de
l’écoulement dans une conduite
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– Laminaire
– Turbulent lisse (ondulation)
– Turbulent rugueux (brassage fort)
• Les mêmes transitions existent pour la couche limite le long
d’une plaque plane
• La transition entre une couche limite laminaire et turbulente
se produit pour un ReL compris entre 5 105 et 106
• Cette couche limite turbulente et le profil de vitesse associé
seront étudiés dans le second cours dédié à la turbulence
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Décollement de la couche limite
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• Rappel : la traînée d’un corps se compose :
– d’une traînée de pression
– d’une traînée de frottement
• A bas nombre de Re,
Re la traînée par frottement est dominante
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(illustration au prochain cours)
• Aux nombres de Re élevés, la traînée de pression (induite
principalement par le décollement de la couche limite) devient rapidement
dominante
• Observation : une couche limite laminaire décolle plus
p
qqu’une couche limite turbulente
rapidement
 La traînée d’un corps est globalement plus faible en couche limite
turbulente car les proportions des deux composantes changent
 La traînée de frottement augmente mais la traînée de pression diminue
plus rapidement ce qui induit une diminution globale
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Comportement de l’écoulement en fonction du Re
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• Point de découlement de la couche limite laminaire
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95° < φ < 105°
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• Quelle est l’utilité de la forme ou de l’état de surface de ces
balles ??
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Décollement de la couche limite
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