IE1_2009

Cycle préparatoire IFIPS
Semestre 2 Mécanique
2008-2009
Interrogation écrite n°1
Lundi 9 février 2009. Durée 1h30
Les documents sont interdits. Les calculatrices sont autorisées. Respectez les notations des
énoncés. Les exercices sont indépendants.
Exercice n°1 : TGV-Est
-) Le TGV Est Paris-Strasbourg part de la gare de l’Est à Paris, à vitesse nulle à l’instant t0=0.
-) Il accélère de manière uniforme jusqu’à l’entrée sur la ligne à grande vitesse (LGV)
20minutes plus tard afin d’atteindre à cet instant t1, la vitesse de 200km/h.
-) Ensuite, son accélération est double de la précédente jusqu’à ce que le TGV atteigne sa
vitesse commerciale, vc=320km/h à l’instant t2.
-) A partir de t2 et jusqu’à la gare Lorraine-TGV qu’il atteint une heure plus tard, à l’instant t3,
il roule à sa vitesse commerciale.
-) Ensuite Le TGV décélère uniformément jusqu’à son entrée en Alsace 40km plus loin où il
quitte la LGV à l’instant t4 lorsque sa vitesse atteint 160km/h.
-) Enfin, on considère qu’il roule à vitesse constante de 160km/h jusqu’à la gare de Strasbourg
située à 500km de Paris qu’il atteint à l’instant t5.
Il est vivement conseillé d’utiliser le kilomètre comme unité de distance et l’heure (ou la
minute) comme unité de temps. Dans chaque intervalle de temps [ti,ti+1], il est rappeler qu’il
est judicieux de prendre l’instant ti comme nouvelle origine des temps.
1) A partir des informations précédentes, représenter sur un graphique l’allure de la
variation de l’accélération et de la vitesse du TGV entre les instants t=t0 et t=t5.
2) On note xi, la position du TGV à l’instant ti et vi, la vitesse du TGV à ce même
instant ti. Ecrire successivement, dans chaque intervalle de temps [ti , ti +1 ] , la loi de
variation de l’accélération, de la vitesse et de la position en fonction de (t-ti) et des
données du problème.
3) En déduire les valeurs numériques de xi, vi, ti pour chaque valeur de i ainsi que les
accélérations du TGV, ai, dans chaque intervalle de temps [ti , ti +1 ] . En particulier,
déterminer la durée du trajet Paris-Strasbourg. Pour effectuer les applications
100
numériques, on effectuera l’approximation suivante :
= 34 .
3
Exercice n°2 :
Un point M se déplace dans le plan xOy le long de la courbe dont les équations paramétriques
⎧ x = 4t 2
s’écrivent : ⎨
.
⎩ y = 2t
1. Ecrire l’équation de la trajectoire. La tracer dans le plan xOy.
2. Donner l’expression du vecteur vitesse et du vecteur accélération dans le repère
orthonormé xOy. Le mouvement est-il uniforme ?
3. Représenter sur votre figure le vecteur vitesse aux instants t=0 et t=1s.
r r
4. On considère le repère de Frénet (M, u t , u n ) dans le plan xOy.
a) Rappeler l’expression des vecteurs vitesse et accélération dans la base de Frénet.
r r
r
r
1
1
(
)
(
)
4t
,
1
et
u
−
1
,
4
t
dans
la
base
O,
i, j
b) Montrer que ut =
=
n
16t 2 + 1
16t 2 + 1
du plan xOy.
c) Donner l’expression du rayon de courbure R en fonction du temps. A quel
instant t, R est-il minimum ?
d) Représenter sur votre figure, à l’instant t=0, le rayon et le centre I de la courbure
de la trajectoire.
e) Donner l’expression de l’abscisse curviligne, s(t), en fonction du temps, en
prenant l’origine pour t=0.
(
)
Exercice n°3 :
Une centrifugeuse est utilisée pour préparer les astronautes. Celle-ci tourne dans le plan
horizontal autour d’un axe de rotation Oz qui est donc vertical. Un astronaute, considéré
comme un point matériel M est placé dans une capsule à l’extrémité d’un des bras de la
centrifugeuse, à la distance R constante du point O. On supposera que la vitesse angulaire ω
de la centrifugeuse est constante. Le référentiel lié au sol sera noté (S).
On prendra pour les applications numériques : R=10m, ω=2 rad.s-1.
1) Faire un dessin dans le plan horizontal représentant le point O et un axe polaire Ox, le
point M et l’angle θ entre Ox et OM , et les 2 vecteurs formant le repère local
(M, ur ρ , ur θ ) .
r
r
2) Exprimer le vecteur position OM , le vecteur vitesse V , puis le vecteur accélération a
r
r
en fonction de R, ω, u ρ et u θ . Le mouvement est-il uniforme ?
r
r
3) Représenter la trajectoire sur votre dessin, puis l’allure des vecteurs V et a au point
M.
4) Calculer numériquement la vitesse linéaire et l’accélération de l’astronaute. Comparer
avec l’accélération gravitationnelle exercée par la Terre au sol (g=10 m.s-2).
5) On considère désormais le référentiel (S’) lié à la capsule dans laquelle se trouve
l’astronaute :
r
r
a) Exprimer le vecteur rotation ω en fonction de ω et u z .
b) Quelles sont les vitesses et accélérations relatives de l’astronaute dans ce
référentiel (S’) ?
c) En utilisant la loi de composition des vitesses, exprimer alors les vitesses et
accélérations d’entraînement et l’accélération de Coriolis dans le repère
(M, ur ρ , ur θ ) . Tracer ces vecteurs sur le schéma de la figure de la question 3).
6) Le siège de l’astronaute a été mal attaché et peut se déplacer librement (pendant un
cours instant) le long de la direction OM. On suppose que la vitesse de déplacement
r
r
du siège par rapport à la capsule est v t = v t u ρ avec vt constant. On prendra vt=1 m.s-1.
a) Quelles sont les vitesses et accélérations relatives de l’astronaute dans ce
référentiel (S’) ?
b) En utilisant la loi de composition des vitesses, exprimer alors les vitesses et
accélérations d’entraînement et l’accélération de Coriolis dans le repère
(M, ur ρ , ur θ ) . Tracer l’allure de ces vecteurs sur un nouveau schéma.