Cinématique et dynamique du point matériel

Plan du cours
Dynamique et Vibrations
Chapitre 1: Cinématique et dynamique du point matériel
Françoise Krasucki
Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck
Université de Montpellier
Cours HLME 301
2015-2016
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Dynamique et Vibrations
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Cinématique et dynamique du point matériel
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Dynamique et Vibrations
Cinématique et dynamique du point matériel
Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
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1
Cinématique et dynamique du point matériel
Mouvement du point par rapport à un référentiel
2
Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
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Cinématique et dynamique du point matériel
Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
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1
Cinématique et dynamique du point matériel
Mouvement du point par rapport à un référentiel
2
Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
Composition des mouvements
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Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
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1
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Mouvement du point par rapport à un référentiel
2
Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
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Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
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1
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Mouvement du point par rapport à un référentiel
2
Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
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Cinématique et dynamique du point matériel
Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
Mouvement du point par rapport à un référentiel
Concepts de la Mécanique classique
Espace : lieu des phénomènes repérés par des coordonnées
dans un référentiel. Mathématiquement cet espace est un
espace affine de dimension 3.
Temps : variable scalaire servant à décrire les évolutions des
positions (ou configurations) des systèmes matériels (espace
affine de dimension 1).
Masse : mesure de la quantité et de la répartition de matière.
Effort : ce qui cause (”explique”) les mouvements et/ou
déformations des systèmes matériels.
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Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
Mouvement du point par rapport à un référentiel
Position d’un point matériel
Position du point A dans le référentiel R0 = (O0 , ~x0 , ~y0 , ~z0 )
−−→
O0 A = x ~x0 + y ~y0 + z ~z0 = x(t) ~x0 + y (t) ~y0 + z(t) ~z0
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Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
Mouvement du point par rapport à un référentiel
Vitesse d’un point matériel
Vitesse de la particule A par rapport au repère R0
~
~ (A/R0 ) = d O0 A |R =
V
0
dt
Dérivée cinématique du vecteur O~0 A par rapport à R0 exprimée
dans le repère R0
 
 ẋ 
~
ẏ
V (A/R0 ) = ẋ(t) ~x0 + ẏ (t) ~y0 + ż(t) ~z0 =
 
ż R
0
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Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
Mouvement du point par rapport à un référentiel
Accélération d’un point matériel
Accélération de la particule A par rapport au repère R0
~
~Γ(A/R0 ) = d V (A/R0 ) |R
0
dt
 
 ẍ 
~Γ(A/R0 ) = ẍ(t) ~x0 + ÿ (t) ~y0 + z̈(t) ~z0 =
ÿ
 
z̈ R
0
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Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Champ des vitesses d’un solide S1 par rapport à R0
~ (A ∈ S1 /R0 )
Vitesse en A du solide S1 par rapport à R0 , V
Champ de moments (ou champ équiprojectif)
~ (B ∈ S1 /R0 )
V
=
~ (A ∈ S1 /R0 ) + BA
~ ∧ Ω(S
~ 1 /R0 )
V
~ (B ∈ S1 /R0 )
V
=
~ (A ∈ S1 /R0 ) + Ω(S
~ 1 /R0 ) ∧ AB
~
V
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Cinématique d’un solide rigide S1 par rapport à R0
Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Torseur cinématique
Eléments de réduction
(
τcinematique (S ∈ S1 /R0 ) =
~ 1 /R0 )
Ω(S
~ (A ∈ S1 /R0 )
V
)
A
Rotation instantanée en [rad/s]
Vitesse en [m/s]
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Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Transport de la vitesse de A en B
−−→ −−→ −→
O0 B = O0 A + AB = xA ~x0 + yA ~y0 + zA ~z0 + XB ~x1 + YB ~y1 + ZB ~z1
~ (B ∈ S1 /R0 ) = ẋA ~x0 + ẏA ~y0 + żA ~z0 + XB d~x1 |R + YB d~y1 |R + ZB d~z1
V
dt 0
dt 0
dt
~ ∧ ~x1 + YB Ω
~ ∧ ~y1 + ZB Ω
~ ∧ ~z1
= ẋA ~x0 + ẏA ~y0 + żA ~z0 + XB Ω
|
{z
} |
{z
}
~ (A∈S1 /R0 )
V
~ 1 /R0 )∧AB
~
Ω(S
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Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Remarque
~ (A1 ) où A1 est appelé ”point
On pourra trouver la notation V
coı̈ncidant”. Cette notation est ambigue et, bien que plus
compacte, nous ne l’utiliserons (presque) pas. En effet la lecture
~ (A ∈ S1 /R0 ) ramène bien à la définition de la vitesse,
même de V
qui n’est pas celle du point A, mais celle du solide rigide S1
exprimée en A. Bien sûr si A appartient à S1 on a
~ (A/R0 ) = V
~ (A ∈ S1 /R0 ).
V
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Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Mouvements particuliers
~ 1 /R0 ) = ~0
Translation : Ω(S
Rotation autour d’un axe fixe :
~ (A ∈ S1 /R0 ) = ~0
∃D une droite telle que ∀A ∈ D, V
~ 1 /R0 ) = Ω~z
Mouvement plan ⊥ ~z : Ω(S
A chaque instant t, tout mouvement est ”tangent” à un ”vissage”,
composition d’une rotation autour d’un axe et d’une translation le
long de cet axe.
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Composition des mouvements
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Traitement d’un exemple
Vecteur rotation instantanée à l’aide des angles d’Euler
~ 1 /R0 ) = ψ̇ ~z + θ̇ u~ + ϕ̇ z~0
Ω(S
ψ = (~x , u~)z (precession)
θ = (~z , z~0 )u (nutation)
ϕ = (~
u , x~0 )z 0 (rotation propre)
Animations sur les sites
http ://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Cinematique/euler1.html
http ://www.astro.oma.be/D1/DIDAC/anglesdeuler.php
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Composition des mouvements
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Traitement d’un exemple
Composition des dérivées cinématiques (formule de base)
d u~
d u~
~ 1 /R0 ) ∧ u~
|R0 =
|R1 + Ω(S
dt
dt
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Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Composition des vitesses
M mobile par rapport à R0 et par rapport R1
~ (M)|R + V
~ (M ∈ S1 )|R
~ (M)|R = V
V
1
0
0
vit. absolue = vit. relative + vit. d’entraı̂nement
où
~ (M ∈ S1 /R0 ) = V
~ (A ∈ S1 /R0 ) + Ω(R
~ 1 /R0 ) ∧ AM
~
V
S2 deuxième solide mobile par rapport à R0 et par rapport S1
~ 2 /R0 ) = Ω(S
~ 2 /S1 ) + Ω(S
~ 1 /R0 )
Ω(S
...
~ 3 /R0 ) = Ω(S
~ 3 /S2 ) + Ω(S
~ 2 /S1 ) + Ω(S
~ 1 /R0 )
Ω(S
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Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Accélération d’un solide S1 /R0
i
h
~ (A ∈ S1 /R0 ) + Ω(S
~ 1 /R0 ) ∧ AB
~
V
~˙ 1 /R0 ) ∧ AB
~
= ~Γ(A ∈ S1 /R0 ) + Ω(S
~ (B ∈ S1 /R0 ) − V
~ (A ∈ S1 /R0 )
~ 1 /R0 ) ∧ V
+ Ω(S
|
{z
~Γ(B ∈ S1 /R0 ) =
dR0
dt
~ 1 /R0 )∧AB
~
Ω(S
D’où,
~Γ(B ∈ S1 /R0 ) = ~Γ(A ∈ S1 /R0 ) + Ω(S
~˙ 1 /R0 ) ∧ AB
~
~ 1 /R0 ) ∧ Ω(S
~ 1 /R0 ) ∧ AB
~
+ Ω(S
Ce n’est plus un champ de moments ou torseur !
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Composition des mouvements
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Traitement d’un exemple
Composition des accélérations
M mobile par rapport à R0 et par rapport S1
~Γ(M/R0 ) = ~Γ(M/R1 ) + ~Γ(M ∈ S1 /R0 ) + ~Γc (M)
où
~Γ(M/R1 ) = d V
~ (M/R1 )|R (accélération relative)
1
dt
~Γ(M ∈ S1 /R0 ) (accélération d’entraı̂nement)
~Γc (M) = 2 Ω(R
~ 1 /R0 ) ∧ V
~ (M/R1 ) (accélération de Coriolis)
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Composition des mouvements
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Traitement d’un exemple
Principe Fondamental de la Dynamique
appliqué au point matériel
Enoncé
Pour tout point matériel M de masse m, dans un repère galiléen
G, la somme des forces appliquées à ce point est égale à m fois
l’accélération de ce point / repère G
X
~ext (résultante des forces appliquées)
m ~Γ(M/G) =
F~ext = R
Forces connues ⇒ mouvement de M déterminé par
Equations différentielles du second ordre
Conditions Initiales
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Composition des mouvements
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Traitement d’un exemple
Equilibres statique et relatif
Equilibre statique
Un point M est en équilibre (statique) dans une position donnée
(dite position d’équilibre) si sa vitesse et son accélération sont
nulles au cours du temps. Pour des forces appliquées données dans
un repère galiléen, ces positions d’équilibre satisfont l’équation,
X
F~ext = ~0
Equilibre relatif
Un point M est en équilibre relatif dans un référentiel non galiléen
noté S1 si,
~ (M/R1 ) et ~Γ(M/R1 )nulles
~
O~1 M = cste,
V
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Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Traitement d’un exemple
Cerceau C1 dans un repère galiléen R0 = (O0 , ~x0 , ~y0 , ~z0 ).
(O0 , ~z0 ) diamètre lié à C1 . R1 = (O0 , ~x1 , ~y1 , ~z0 ) repère lié à C1 .
Axe (O0 , ~z0 ) vertical ascendant (champ de gravité d’intensité g ).
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Composition des mouvements
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Traitement d’un exemple
Mouvement de S1 par rapport à R0
~ 1 /R0 ) à l’aide des angles d’Euler.
Expression de Ω(C
~ 1 /R0 ) = ψ̇ ~z0
Ω(C
~ = a cosθ ~y1 + a sinθ ~z0
Coordonnées de M : OM
.
Champ de vitesses de S1 par rapport à R0 , exprimé dans R1 .
~ (M ∈ C1 /R0 )
V
=
~ (O ∈ C1 /R0 ) + Ω(C
~ 1 /R0 ) ∧ OM
~
V
~0 + ψ̇ ~z0 ∧ a cosθ ~y1
=
−a ψ̇ cosθ ~x1
=
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Traitement d’un exemple
Mouvement d’un point M se déplaçant sur C1 (1)
Vitesse et accélération relatives.
~
~ (M/R1 ) = d OM |R = −a θ̇ sinθ ~y1 + a θ̇ cosθ ~z0
V
1
dt
~Γ(M/R1 )
=
~ (M/R1 )
dV
|R1
dt
=
−a (θ̈ sinθ + θ̇2 cosθ) ~y1
+ a (θ̈ cosθ − θ̇2 sinθ) ~z0
Vitesse absolue, c.a.d. /R0 , mais exprimée dans R1 .
~ (M/R0 )
V
=
~ (M/R1 ) + V
~ (M ∈ C1 /R0 )
V
=
−a θ̇ sinθ ~y1 + a θ̇ cosθ ~z0 − a ψ̇ cosθ ~x1
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Traitement d’un exemple
Mouvement d’un point M se déplaçant sur C1 (2)
Accélération absolue exprimée dans R1 .
~Γ(M/R0 ) = ~Γ(M/C1 ) + ~Γ(M ∈ C1 /R0 ) + ~Γc (M)
~Γ(M ∈ C1 /R0 )
=
~˙ 1 /R0 ) ∧ OM
~ + Ω
~ ∧ Ω
~ ∧ OM
~
Ω(C
=
ψ̈ ~z0 ∧ (a cosθ ~y1 + a sinθ ~z0 )
h
i
+ ψ̇ ~z0 ∧ ψ̇ ~z0 ∧ (a cosθ ~y1 + a sinθ ~z0 )
=
− a ψ̈ cosθ ~x1 − a ψ̇ 2 cosθ ~y1
~Γc (M) = 2 Ω(C
~ 1 /R0 ) ∧ V
~ (M/C1 ) = 2 a ψ̇ θ̇ sinθ ~x1
~Γ(M/R0 ) =
a (2 ψ̇ θ̇ sinθ − ψ̈ cosθ) ~x1
− a (θ̈ sinθ + ( θ̇2 + ψ̇ 2 ) cosθ) ~y1
+ a (θ̈ cosθ − θ̇2 sinθ) ~z0
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Traitement d’un exemple
Mouvement dans un champ de pesanteur (1)
R0 galiléen, lié à la Terre.
Vitesse angulaire constante ψ̇ = ω.
M décrit C1 sans frottement.
Repère local (~
u , ~v ).
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Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Mouvement dans un champ de pesanteur (2)
Bilan des efforts.
pesanteur : m ~g = − m g ~z0
~ = Nu u~ + Nx ~x1 (Nv = 0).
action du cerceau sur M : N
Dans le repère R1 , la réaction du cerceau sur M a pour expression,
~ = Nu cosθ~y1 + Nu sinθ~z0 + Nx ~x1
N
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Composition des mouvements
Dynamique du point matériel
Traitement d’un exemple
Mouvement dans un champ de pesanteur (3)
Principe Fondamental de la Dynamique.
~
m ~Γ(M/R0 ) = − m g ~z0 + N
Soit,

 2m a ω θ̇ sinθ
−m a (θ̈ sinθ + (θ̇2 + ψ̇ 2 )cosθ + ω 2 cosθ)

m a (θ̈ cosθ − θ̇2 sinθ)
=
=
=
Nx
Nu cosθ
Nu sinθ − m g
Système de 3 équations différentielles-algébriques de 2nd
ordre, non linéaires d’inconnues θ(t), Nx (t), Nu (t)
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Composition des mouvements
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Traitement d’un exemple
Positions d’équilibre, absolus et relatifs (1)
Positions d’équilibre relatifs : θ̈ = θ̇ = 0.

= 0
 Nx
Nu cosθ + m a ω 2 cosθ = 0 (A)

Nu sinθ − m g
= 0 (B)

 cosθ = 0 ⇔ θ = ± π2 ( et alors Nu = m g )
ou
(A) ⇒

Nu + m a ω 2 = 0
Cette deuxième équation, associée à (B) donne,
− m a ω 2 sinθ − m g = 0 ⇔ sinθ = −
∃ θrelatif si
g
a ω2
g
g
< 1 ⇔ ω2 >
a ω2
a
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Traitement d’un exemple
Positions d’équilibre, absolus et relatifs (2)
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Composition des mouvements
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Traitement d’un exemple
Equation du mouvement
En effectuant (−b) × sinθ + (c) × cosθ, on élimine Nu et il vient,
h
i
m a θ̈(sin2 θ + cos 2 θ) + (θ̇2 + ω 2 ) cosθ sinθ − θ̇2 cosθ sinθ
= −m g cosθ
Soit l’équation différentielle non linéaire du second ordre de
seule inconnue θ(t) (équation du mouvement),
θ̈ + ω 2 cosθ sinθ +
g
cosθ = 0
a
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