Newton contre Leibniz Newton

Newton contre Leibniz
De la fonction position(t)
Isaac Newton (anglais, 1642-1727) dérive
la fonction vitesse(t)
De la fonction f(x)
Gottfried Wilhem Leibniz (allemand, 1644-1716) dérive
la fonction pente(x)
Newton
Fonction position : x(t)
x1
∆x
x
∆t
t
t1
Vitesse moyenne entre t et t+∆t : ∆x / ∆t
∆x = x1 − x = x(t + ∆t) − x(t)
1
∆x = x1 − x = x(t + ∆t) − x(t)
Vitesse(t) : dérivée de la fonction position
Notation Newton
∆x dx
lim
=
= x′(t )
∆t→0 ∆t
dt
Notation Leibniz
Dérivée en un point t
x(t + ∆t ) − x(t )
∆t→0
∆t
x′(t ) = lim
Leibniz
Pente à la courbe de f(x) au point x0 ?
f(x)
f(x0)
x0
x
On fait tendre x vers x0 …
2
f’
(x
0 )(
xx
0)
+
f(
x
0)
Leibniz
ta
ng
en
te
:y
=
f(x0)
x0
f ′ ( x0 ) = lim
Pente de la courbe = pente de la tangente :
x → x0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
Quel rapport avec la fonction trigonométrique tangente ?
Pente du segment AB =
CB sin α
=
= tan α
AC cos α
B
tan α > 0
α
A
α 1
C
tan α < 0
B
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Définition et notations : y = f (x)
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
∆x →0
∆x
f ( x) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim
x → x0
x − x0
Dérivée à gauche :
lim
<
x → x0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
f ′( x)
y′
y&
dy
dx
df
( x)
dx
d
f ( x)
dx
Lien entre dérivabilité et continuité
Théorème :
Si f est dérivable en un point alors elle est continue en ce point
Contraposé :
Si f n’est pas continue en un point alors elle n’est pas dérivable
en ce point
VRAI
Réciproque :
Si f est continue en un point alors elle est dérivable en ce point
FAUX
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f(x) = x2
Dérivable en tout point donc
continue en tout point
f(x) = |x|
Fonction continue en 0 mais
non dérivable en 0
Pas continue en x = 1
donc pas dérivable
1
Tangente verticale en x = 1
donc pas dérivable
1
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résumé
Pas de dérivée quand :
•
•
•
discontinuité
tangente verticale
point anguleux
Deux applications de la dérivée
• Linéarisation
• Sens de variation
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Linéarisation
Linéarisation
7
Linéarisation
Au voisinage de (1 , -1) on peut
« remplacer » la fonction par sa tangente
Approximation linéaire
de la fonction sin(x) en x = 0
sin’(x) = cos(x)
sin(x) ~ sin‘(0) (x – 0) + sin (0) = x
… cf. développements limités
Exemple d’utilisation :
La limite de sin(x) / x quand x tend vers 0 est 1 car :
sin(x) / x ~ x / x = 1
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Sens de variation d’une fonction
•
f est constante sur [a,b]
si la dérivée est nulle sur [a,b]
•
f est croissante sur [a,b]
si la dérivée est positive sur [a,b]
•
f est décroissante sur [a,b]
si la dérivée est négative sur [a,b]
Sens de variation d’une fonction
La dérivée s’annule en x quand
•
•
•
f admet un maximum local en x
f admet un minimum local en x
f admet un point d’inflexion à tangente
horizontale en x
Ça dépend du signe de la dérivée
seconde :
f ’’(x)
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Convexité
f est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde
est positive (la courbe de f sourit)
Concavité
f est concave sur un intervalle si sa dérivée seconde
est négative (la courbe de f est triste)
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Point d’inflexion
f a un point d’inflexion si la dérivée seconde s’annule
ET change de signe en ce point.
f ( x ) = x3
Théorème de Rolle
f de [a,b] dans IR, une fonction continue et dérivable
sur ]a,b[
Si f (a) = f (b) alors il existe
au moins un point c de
l’intervalle pour lequel
la dérivée s’annule
(tangente horizontale)
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